Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 |

sin 3 + 0 - 0 = sin 1 + sin 5, Как и следовало ожидать, по причинам, указанным sin 3 + 0 = sin 2 + 1. (16) во введении, эти результаты отличаются от значений, полученных в [4]: I1 = 0.91, I2 = 0.44, I3 = 0.25. Еще раз В результате получим 21 уравнение для 21 неизвестотметим, что данная методика позволяет исследовать ной. Как и в [4], воспользуемся методом последовательситуации для любых значений расстояния d, а не только ных приближений по величинам 3-7. Для этого преддля малых, как в [4].

ставим эти величины и их синусы в виде 3 = 3 + 3, Для проверки справедливости исходных допущений 0 0 0 sin 3 = sin 3 + cos 3 3 и т. д., где 3-7 считаем рассмотрим получившуюся структуру типичной картиизвестными (на первой итерации равными нулю), а ны. Из рис. 2 видно, что предположение о малости всех 3-7 являются новыми неизвестными (вместо 3-7), k, кроме 1-7, справедливо.

относительно которых система линейна.

При d > 5 критическое состояние отсутствует, т. е.

Тогда 19 из 21 уравнения будут линейными. Вычислив кривые (17) и (18) имеют две точки пересечения при обратную матрицу: выразим 19 неизвестных A1-A14, любых, сколь угодно малых, значениях I. Этот результат 3-7 через 1 и 2. Подставив полученные выраже- подтверждает вывод работы [4] о том, что при стремления в оставшиеся два уравнения, получим систему из нии I к нулю минимально возможное расстояние между двух нелинейных уравнений относительно двух неиз- линейными вихрями не возрастает неограниченно, как в Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Пиннинг линейных вихрей в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде... Таблица 1. Результаты расчета для чередующихся конфигураций Расстояние L = 14 (N = 7) L = 10 (N = 5) L = 13 (N = 7) L = 9 (N = 5) d Id f (Id) Id f (Id) Id f (Id) Id f (Id) 1 0.934 0.616 0.934 0.616 0.934 0.616 0.934 0.2 0.339 0.268 0.336 0.268 0.339 0.268 0.333 0.3 0.140 0.183 0.130 0.186 0.139 0.184 0.122 0.4 0.0587 0.151 0.0394 0.157 0.0564 0.152 0.0256 0.5 0.0196 0.136 - - 0.0160 0.137 - случае плоских вихрей, а достигает некоторой конечной значении параметра пиннинга Id. Для расчета воспольвеличины d0 и далее остается постоянным. Правда, в [4] зуемся приближением непрерывной среды. В [3] было предсказывается большее значение этой постоянной: показано, что каждый вихрь имеет центральную часть d0 = 7-8. (остов) размером в несколько ячеек, где существенна Аналогичные расчеты были проведены для полосы дискретность среды, а в наружных областях зависишириной 9 ячеек (N = 5). Их результаты приведены в мость от координат можно считать квазинепрерывной.

четвертом столбце табл. 1. Сравнение результатов для Поскольку взаимодействие вихрей определяется их наN = 7 и N = 5 показывает, что критические значения ружными областями, то при анализе условий равновесия параметра пиннинга, при которых вихри еще могут можно использовать выражения для сил взаимодействия удерживаться на определенном расстоянии друг от дру- вихрей в непрерывной среде.

га, увеличиваются с ростом ширины полосы. То же можно сказать и о величине d0: при N = 5 d0 = 4, а при N = 7 d0 = 5. Поэтому с дальнейшим увеличением ширины полосы можно ожидать увеличения d0. Далее этот вопрос будет обсужден более подробно.

Зависимость результатов от ширины рассматриваемой полосы говорит о том, что нельзя пренебрегать влиянием границы и считать вихри уединенными. Учет влияния границ может быть проведен на базе следующих соображений [3].

егко видеть, что рассмотренная выше конфигурация эквивалентна периодической последовательности пар вихрей попеременно чередующейся ориентации. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим такую последовательность, в которой расстояние между центральными линиями соседних пар равняется 2N ячеек, т. е. между их центральными ячейками размещается (2N - 1) ячеек.

Для примера на рис. 3, a изображена такая конфигурация с N = 3 и d = 2. Центральные ячейки вихрей будем обозначать точками или крестиками в зависимости от их ориентации. Из симметрии картины ясно, что в ряду ячеек, расположенном посредине между центральными линиями соседних пар (на рис. 3, a он пересекается линией AA) все горизонтальные токи равны нулю. Поэтому структура картины между двумя такими соседними ДосевымиУ вертикальными рядами (между линией AA и симметричной ей слева от вихрей) идентична рассмотренному нами случаю одной пары вихрей, расположенной в центральном ряду слоя шириной (2N - 1) ячеек.

Таким образом, влияние границ полосы может быть учтено и оценено как воздействие на рассматриваемые Рис. 3. Бесконечные периодические последовательности видва вихря всей системы периодически расположенных хрей параллельной или попеременно чередующейся ориентадополнительных вихрей. Ситуация напоминает метод ции, эквивалентные единичному вихрю в плоской пластине зеркального отражения в электростатике.

толщиной в 13 ячеек и соответствующие различным граничНайдем максимальную силу пиннинга вихря. Она ным условиям. Точками и крестиками обозначены центральные равна силе, действующей на вихрь при критическом ячейки вихрей.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 70 М.А. Зеликман В [2] был рассмотрен вопрос о переходе от дискретного случая к непрерывному при малых значениях параметра пиннинга I. Там показано, что вихрь в непрерывной среде описывается теми же уравнениями, что и обычный абрикосовский [5], но роль лондоновкой глус бины проникновения играет величина = a/ I. Тогда энергия взаимодействия двух таких вихрей в расчете на один вихрь равна Uint = E0IK0(r/), (19) где плюс соответствует отталкиванию, а минус Ч притяжению; K0 Ч функция Бесселя (Ганкеля) нулевого порядка от мнимого аргумента, r Ч расстояние между центрами вихрей, = a/ I Ч характерный размер вихря, E0 /420a2. Воспользовавшись тем, что dK0/dx = -K1(x), найдем силу, действующую на вихрь со стороны другого вихря, Fint = -Uint/r = E0I3/2K1(r/). (20) Рассмотрим один из вихрей исходной пары. Он взаРис. 4. Рассчитанное распределение скачков фазы по конимодействует со всеми вихрями в обеих бесконечных тактам вблизи центра одного из вихрей для ДпараллельнойУ цепочках. Но вихри из собственной цепочки могут лишь конфигурации. Картина симметрично продолжается влево.

деформировать его, но не стремятся сдвинуть. Поэтому при рассмотрении условий его равновесия нужно учесть только силы, действующие со стороны вихрей другой ДпараллельныхУ конфигураций, потому что именно они цепочки. Учитывая соответствующие косинусы, получим дают возможность провести расчет сил пиннинга при для полной величины этой силы очень малых значениях I.

E0I На рис. 4 изображено рассчитанное распределение F = I K1(d I) a скачка фазы по контактам для случая ДпараллельнойУ конфигурации с L = 8 (N = 5) для d = 51 при кри d тическом значении I51 = 0.000974. Из рис. 4 видно, + 2 K1 d2 +(mL)2 I (-1)m, d2 +(mL)что значения скачка фазы в некоторых горизонтальных m=(21) участках имеют величину порядка 0.4Ц0.5. При уменьшегде d Ч расстояние между центрами вихрей пары, нии периода L для случая ДпараллельнойУ конфигурации L Ч период цепочки (величины d и L выражены в эти величины будут расти, так что при L < 8 услочисле ячеек). Первый член в скобках (21) соответствует вие sin k k нарушается, и предложенная методика отталкиванию вихрей пары.

неприменима.

Проведенное выше рассмотрение справедливо лишь На рис. 5 приведены графики зависимости максимальв том случае, если расстояние между центральными ной силы пиннинга (нормированной на величину E0/a) линиями соседних пар равняется четному числу ячеек.

от параметра I для ДчередующейсяУ конфигурации с Конфигурацию рис. 3, a будем называть Дчередующаяся (alternate) четнаяУ в соответствии с ориентацией соседних пар. Рассмотрим также следующие конфигурации: Дчередующаяся нечетнаяУ (рис. 3, b), Дпараллельная (parallel) четнаяУ (рис. 3, c) и Дпараллельная нечетнаяУ (рис. 3, d). В каждой из этих конфигураций последнее уравнение (3), а значит и матрица (6), будут иметь свой вид, в результате чего изменятся соотношения (8)Ц(15) и выражения для b1-b6 в (17), (18). В частности, для рис. 3, b в матрице (6) надо заменить крайний правый элемент a в нижнем ряду на (a + ), для рис. 3, c Чего же на (a - ), а для рис. 3, d Ч второй справа элемент нижнего ряда (-) на (-2).

Результаты расчета для Дчередущейся нечетнойУ конфигурации приведены в табл. 1, а для обеих Дпарал- Рис. 5. Графики зависимостей максимальной силы пиннинга лельныхУ Ч в табл. 2. Отметим важность рассмотрения от параметра I.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Пиннинг линейных вихрей в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде... Таблица 2. Результаты расчета для параллельных конфигураций Расстояние L = 13 (N = 7) L = 12 (N = 7) L = 9 (N = 5) L = 8 (N = 5) d Id f (Id) Id f (Id) Id f (Id) Id f (Id) 2 0.340 0.267 0.341 0.267 0.346 0.266 0.351 0.3 0.144 0.182 0.146 0.182 0.157 0.179 0.166 0.4 0.0702 0.147 0.0726 0.147 0.0864 0.144 0.0953 0.6 0.0248 0.118 0.0271 0.118 0.0389 0.116 0.0456 0.11 0.00664 0.101 0.00781 0.101 0.0133 0.098 0.0164 0.51 0.000364 0.091 0.000437 0.090 0.000782 0.084 0.000974 0.101 0.0000956 0.090 0.000115 0.0886 0.000207 0.082 0.000259 0.d = 14 (кривая A-14) и ДпараллельнойУ с d = 8 (кри- ДчередующихсяУ с ростом L величина Id убывает, для вая P-8). Расчет проводился по формуле (21), но для ДпараллельныхУ Ч наоборот. Чем меньше d, тем слабее случая ДпараллельныхУ конфигураций в членах ряда эта зависимость. Это объясняется тем, что равнодействуотсутствует (-1)m. Остальные кривые из табл. 1 и 2 ющая сил, действующих на вихрь со стороны вихрей порасполагаются между этими двумя. следовательности, в ДчередующихсяУ конфигурациях наДля более детального анализа этих зависимостей правлена против силы взаимодействия вихрей пары, т. е.

вычислим значения коэффициента пропорциональности уменьшает ее и тем самым помогает вихрям удержаться f (I) =Fa/E0I при критических значениях Id. Резуль- на месте, а в ДпараллельныхУ Ч наоборот. Поэтому в таты расчета приведены в соответствующих столбцах ДчередующихсяУ конфигурациях уменьшение L ведет к табл. 1 и 2. На рис. 6 изображены графики функ- уменьшению Id, а в ДпараллельныхУ Ч к увеличению.

ций f (I) для всех рассмотренных случаев (табл. Чем меньше d, тем это влияние слабее.

и 2). Крестиками на графиках обозначены рассчитанные 2. Кривая для двух уединенных вихрей (L = ) пройточки. Цифры около них обозначают расстояние d, при дет между кривыми A-14 и P-13. С уменьшением L котором вычислялось соответствующее значение Id.

кривые для ДчередующихсяУ и ДпараллельныхУ конфиПроанализировав результаты расчетов в табл. 1 и гураций удаляются от нее в разные стороны. Будем и графики рис. 6, можно сформулировать следующие ориентировочно считать, что эта кривая пересекается выводы.

с осью ординат в точке 0.1. Тогда условие равенства 1. Критическое значение параметра пиннинга Id, при максимальной силы пиннинга силе взаимодействия двух котором пара вихрей еще может удерживаться на уединенных вихрей примет вид определенном расстоянии d друг от друга, убывает с E0I ростом d. При этом величина Id зависит от периода 0.1E0 I = IK1(d I). (22) a a последовательности вихрей L и типа конфигурации: для При малых значениях x функция K1(x) примерно равна 1/x, и из (22) следует, что минимальное расстояние между вихрями d0 равно 10 ячейкам вне зависимости от I. Величина x при этом равна 10 I, т. е. условие малости x принимает вид I 0.1 (I 0.01). Ранее уже говорилось о том, что подобный результат был получен в [4], но минимальное расстояние там равнялось 7-8 ячейкам.

Таким образом, при стремлении I к нулю минимальное расстояние между двумя уединенными линейными вихрями в дискретной среде не возрастает неограниченно (как для плоских вихрей, а также для абрикосовских вихрей в непрерывной среде), а достигает некоторой конечной величины d0 и далее остается постоянным.

Этот факт говорит о том, что при стремлении I к нулю пренебречь пиннингом линейных вихрей нельзя, а пиннингом плоских Ч можно. Это объясняется тем, Рис. 6. Графики зависимостей коэффициента пропорциональчто в случае плоских вихрей с уменьшением I ширина ности f (I) =Fa/E0I при критических значениях Id. ДЧеревихря стремится к бесконечности. Поэтому при смедующиесяУ конфигурации обозначаются буквой A (alternate), а щении вихря на величину, малую в сравнении с его ДпараллельныеУ Ч буквой P (parallel), число рядом с буквой размером, изменение его энергии, т. е. и сила пиннинга, обозначает период L. На вставке показаны крайние графики A-и P-8 в более широком диапазоне I. при стремлении I к нулю убывает значительно быстрее, Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 72 М.А. Зеликман чем сила взаимодействия вихрей. Линейный же вихрь Заключение при сколь угодно малых значениях I имеет центральную Предложен новый метод решения нелинейной систечасть размером в несколько ячеек, где скачки фазы мы уравнений квантования флюксоида в ячейках трехнамного больше, чем в остальной области вихря, причем мерной упорядоченной джозефсоновской среды, позвоформа центральной части вихря не изменяется при ляющий найти токовую конфигурацию двух взаимостремлении I к нулю. Сила пиннинга такого вихря при стремлении I к нулю убывает значительно мед- действующих линейных вихрей, а также минимально возможное расстояние между ними при данном значении леннее, чем в случае плоских вихрей, так что при параметра пиннинга.

очень малых I максимальная сила пиннинга и сила взаимного отталкивания линейных вихрей зависят от I Этот метод позволяет весьма точно рассчитывать одинаково. токовую конфигурацию, сечение которой плоскостью, перпендикулярной ее оси, представляет собой не квадЭти рассуждения справедливы только для уединенной рат, как в предыдущих работах, а бесконечную полосу, в пары вихрей на бесконечном расстоянии от границы, когда отсутствуют как реальные, так и ДмнимыеУ допол- среднем ряду которой находятся центры вихрей. Ширина полосы для рассмотренных в работе случаев равна нительные вихри. Существование же дополнительных вихрей меняет ситуацию. В случае ДчередующейсяУ кон- или 9 ячейкам, но предложенная методика позволяет произвольно увеличить эту ширину. При этом чисфигурации они помогают вихрю удержаться на месте, ло неизвестных растет пропорционально ширине полопоэтому d0 становится меньше 10, что подтверждается сы. Существовавшие ранее методики были ограничены и численным расчетом (табл. 1). В ДпараллельныхУ конфигурациях дополнительные вихри увеличивают си- небольшими по размеру квадратами, поскольку число неизвестных пропорционально площади квадрата.

у отталкивания, поэтому вихрю труднее удержаться.

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги по разным темам