Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 8 07 Динамика связанных волн в световодах с переменными по длине дисперсионными и нелинейными параметрами й И.О. Золотовский, Д.И. Семенцов Ульяновский государственный университет, 432700 Ульяновск, Россия (Поступило в Редакцию 13 октября 2004 г. В окончательной редакции 8 ноября 2005 г.) Исследуется динамика двухволнового импульса в световоде с распределенными по длине параметрами дисперсии и нелинейности и реализуемой линейной и кроссмодуляционной межволновой связью. Для различных профилей дисперсии групповых скоростей и нелинейности получены зависимости от продольной координаты длительности и скорости частотной модуляции распространяющегося импульса.

PACS: 42.25.Bs, 42.81.Dp Введение Общие уравнения Распространение волнового пакета, формируемого Среди проблем нелинейной волоконной оптики, индвумя взаимодействующими модами, с учетом зависимотенсивно обсуждаемых в последнее время, особое место сти от координаты z, дисперсии групповых скоростей, занимает проблема распространения однонаправленных нелинейности волноведущей среды керровского типа, связанных волн. Обычно подобного рода образования намежмодовой расстройки скоростей, а также дисперсии блюдаются в туннельно-связанных световодах [1Ц3], пелинейной межмодовой связи описывается следующей риодических структурах [4,5], анизотропных средах [6].

системой уравнений для временных огибающих двух Интерес к подобного рода системам обусловлен осо( j = 1, 2) взаимодействующих мод [7,8]:

быми свойствами световодов, дисперсионные параметры которых имеют сильную зависимость не только от Aj (-1)j Aj d (z ) 2Aj j свойств материала самого волокна, но и начальных усло- + - i 2 z v(z ) 2 вий его возбуждения [7,8]. С другой стороны, в системах волоконно-оптической связи широкое применение + i(cj(z )|Aj|2 + kj(z )|A3- j|2)Aj = -i (z )A3- j. (1) в последнее время находят световоды с переменными по длине параметрами. Так, реализация конкретного Здесь введены время в бегущей системе координат z распределения по длине световода хроматической дис = t - dz /u(z ), групповая скороcть волнового паперсии позволяет ограничить дисперсионное уширение импульса [9Ц12]. В работах [13,14] была обнаружена кета u(z ) =2u1u2/(u1 + u2), где uj(z ) =(j/)-1 и возможность усиления солитонного импульса с сохраd (z ) =(2j/2)0 Ч групповые скорости и параметj нением его формы в световоде с определенным образом ры дисперсии групповых скоростей каждой из мод, подобранной продольной неоднородностью инкремента где соответствующие производные берутся на несущей усиления. Следовательно, реализация сильной межволчастоте импульса 0: j(z ) Ч константы распространовой связи, как и формирование заданных распренения, v-1 =(u1 - u2)/2u1u2 Ч расстройка групповых делений параметров световода (дисперсии групповых скоростей; cj и k Ч параметры нелинейности, опрескоростей (ДГС), керровской нелинейноcти, усиления деляющие фазовую самомодуляцию и кроссмодуляцию и т. д.) открывают дополнительные возможности для взаимодействующих мод. Учет дисперсии межволновой управления динамикой распространяющегося в свето- связи производится заменой параметра линейной связи воде излучения. В этой связи представляет интерес (z ) на оператор рассмотрение возможности совмещения трансформаци онных свойств как неоднородных световодов, так и све (z ) = (z ) 1 - (-1)ji(z ), (2) товодов с сильной межмодовой связью, т. е. возможности создания и эффективного использования неоднородных где параметр (z ) определяется соотношением [15]:

туннельно-связанных световодов. В настоящей работе исследуется динамика распространения однонаправлен2 1 (z ) (z ) +. (3) = ных волн в световоде с сильной линейной и нелинейной (z ) (кроссмодуляционной) межволновой связью, а также с зависящими от продольной координаты параметрами Решение уравнений (1) может быть получено в линейной связи, хроматической дисперсии и керровской приближении сильной линейной связи однонаправленнелинейности. ных волн, формирующих единый волновой пакет, при 64 И.О. Золотовский, Д.И. Семенцов которой средняя длина межмодового взаимодействия любом профиле D (z ). Пусть на вход световода подается f -L = | | для каждой точки световода меньше со- гауссов частотно-модулированный импульс и для амплиответствующих характеристических длин: дисперсион- туд составляющих его мод выполняются соотношения ной Ldj = 02/ |d |, длины нелинейной фазовой само- Af (, 0) =Af 0( ), где j и кроссмодуляции Lnj = cj + kj I0, межмодового раз ( ) =exp -(1 + i002) /202. (8) бегания L = v 0 и характерной длины неоднородности Ч l0. Здесь средние значения параметров на С учетом (8) для амплитуд ПИ может быть получено трассе z определяются стандартным образом, например, z точное решение уравнения (5):

v(z ) = v(z )dz /z, параметры 0 и I0 Ч начальные длительность и пиковая интенсивность вводимого в све- -1/a (z, ) =a Vf exp - + if, (9) f f товод излучения. В этом случае временная огибающая 2Vf соответствующей моды может быть представлена в виде где суммы двух парциальных импульсов (ПИ):

Vf =(1 - 0 D z )2 +( D 0-2z )2, f f z -2 2 Aj =(-1)j+1a1(, z ) exp i | (z )|dz 2f = Vf D (0 + 0-4)z - f D z z f - arctg.

02(1 - 0 D z ) f + a2(, z ) exp -i | (z )|dz, (4) 0 Длительность соответствующего ПИ становится минимальной в точке z, для которой выполняется условие f где a Ч медленно меняющиеся с координатой z f амплитуды ПИ. Для указанных амплитуд справедливы следующие уравнения: = z D (z ). (10) f f f 0 + 0-a iD 2a f f f - + 2(|a |2 + s|a3- f |2)a = 0, (5) f f В этой точке значение чирпа (z ) =(2/ )z равно z 2 f f нулю, а длительность ПИ, для которого выполняется где f = 1, 2, а параметры 4 = c1 + c2 + k1 + k2 и условие компрессии, составляет s =(c1 + c2)/2. В(5) введена эффективная дисперсия d1 + d2 (-1)f f = 0/(1 + 004)1/2. (11) D (z ) = + 1 +(v )2, (6) f 2 v2| | В случае однородного (по длине световода) параметра определяющая свойства волноведущей среды по отношеДГС (D = const) система (9) имеет решения, которые f нию к ПИ и включающая материальную и межмодовую были подробно проанализированы в работах [7,8].

(второе слагаемое) дисперсии.

Отметим, что при симметричном или антисимметУравнения (1) должны решаться совместно с наричном двухмодовом возбуждении световода, как слечальными условиями для временных огибающих мод дует из (7), амплитуда одного из ПИ равна нулю Aj(, z ), определяемыми условиями возбуждения свето(a1 = 0 при симметричном возбуждении, a2 = 0 при вода. Общий вид начальных условий задается соотноантисимметричном). С практической точки зрения этот шением A2(, 0) =A1(, 0), где параметр определяет тип возбуждения световода можно считать наиболее тип возбуждения волокна. При = 1 имеют место важным, поскольку именно он позволяет успешно иссимметричное либо антисимметричное, а при = 0 Ч пользовать управляемость эффективных дисперсионных одномодовое возбуждение световода. Для амплитуд ПИ параметров.

с учетом (4) начальные условия могут быть записаны в виде a (, 0) =f 0( ), где для пиковых значений f амплитуд ПИ справедливо соотношение Нелинейный случай a = 1 +(-1)f A10, (7) f 0 В [10] было показано, что в неоднородных по длине волноведущих системах без усиления (и затухания) а временная функция ( ) определяет форму вводимого динамика волновых пакетов может быть корректно в световод волнового пакета.

описана на основе вариационного подхода, согласно которому динамика импульсов анализируется на основе системы уравнений Лагранжа, для пробных функций, Линейный случай определяющих характеристики импульса и отвечающих Если в процессе распространения волнового пакета по исследуемой системе уравнений (5) [16]. Следуя этой световоду нелинейными эффектами можно пренебречь, методике, для построения лагранжиана в качестве пробсистема уравнений (5) может быть точно решена при ных выберем функции, описывающие наиболее часто Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Динамика связанных волн в световодах с переменными по длине... встречающиеся на практике импульсы Ч гауссовой и длительности импульса (15), должны решаться численсеканс-гиперболической формы соответственно ным методами с учетом конкретных зависимостей d(z ) и r(z ). Однако для целого ряда практически важных 2 случаев можно найти точные решения. Более того, a (z, ) =C exp - + i + if, (12а) f f 2I2 2 из общего вида уравнения (15) следует, что, меняя значения параметров d(z ) и r(z ), можно эффективно a (z, ) =C sech(/I) exp i(f + ). (12б) управлять длительностью и, как следствие, интенсивноf f стью распространяющихся импульсов.

Роль варьируемых параметров здесь выполняют действительные амплитуды C (z ), фазы f (z ), длительf ность I(z ) и скорость частотной модуляции (чирп) Частные решения и их анализ (z ) ПИ. Отметим, что в рассматриваемом случае Рассмотрим подробнее некоторые наиболее показаотсутствия разбегания ПИ длительности и чирпы обоих тельные частные случаи, позволяющие найти точные ПИ должны быть равными и описываться следующей решения системы (13). Так, в случае, когда d(z ) r(z ) замкнутой системой уравений:

эта система уравнений позволяет для длительности C2 I = const, (13а) импульса записать следующее уравнение:

f I dI = k1Deff(z )I, (13б) + U(I) =U0, (16) z d = k2Deff(z )I-4 - k3Deff(z )U(I ) =4D2I-2 + 5R0(W1 + W2)D0I-1, z U0 = 1D00(0) + 2D20-2 + 3R0(W1 + W2)D00-1, + k4Reff(z )(W1 + W2)I-3, (13в) где для импульсов гауссовой формы параметры где энергия ПИ Wf = |a |20 = |C |2I const. Для f 0 f 1,2,4 = 1, 3,5 = 2, а для импульсов секанс-гиперимпульсов гауссовой формы k1,2,3 = 1, k4 = 1/ 2, а болической формы 1 = 2, 2,5 = 8/2, 3,4 = 4/2.

для импульсов секанс-гиперболической формы k1,3 = 2, Уравнение (16) можно рассматривать как уравнение двиk2,4 = 2/2. Входящие в (13) эффективные параметры жения частицы в потенциальном поле U(I), возникаюопределяются соотношениями щее, например, в задаче Кеплера [17]. Так, при U0 > 0 решение уравнения (16) соответствует в динамике частицы W1D1 + W2DDeff(z ) = ее инфинитному движению в потенциальном поле, что W1 + Wдля импульса означает его временное уширение. Из условия U0 = 0 можно определить энергию импульса d1 + d2 2 1 +( v)= +, W0 = W1 + W2, превышение которой приводит к фор2 1 + 2 v2| | мированию солитоноподобного импульса. При U0 < 2 решение уравнения (16) описывает финитное движение, W1 + W2 + 2sW1WReff(z ) =которое можно трактовать как квазисолитонный режим (W1 + W2)распространения излучения, при котором длительность импульса I(z ) периодически меняется около значения, c1 + c2 - k1 - k2 1 - 2 = 2 +. (14) соответствующего минимуму функции U(I) и определя4 1 + емого выражением S = 24D0/5R0(W1 + W2).

Пусть выражения для эффективных параметров дисНекоторые точные решения системы (13) можно персии и нелинейности можно представить следующим получить и в том случае, когда d(z ) = r(z ). Рассмотрим образом: Deff d(z )D0, Reff r(z )R0, где величины D0 некоторые из них.

и R0 не зависят от z. В этом случае как для импульсов 1. Профиль дисперсии групповых скоростей на длине гауссовой, так и секанс-гиперболической формы можно световода определяется зависимостью получить следующее уравнение, определяющее длительность рассматриваемого волнового пакета Deff(z ) =D0 exp(-nz ), (17) 2I где дисперсия D0 < 0, а нелинейность Reff = R0. Ес= k1k2D2I-ли на вход световода подается частотно-модулированный импульс с начальной длительностью 0 = + k1k4R0 r()/d() (W1 + W2)D0I-2, (15) = -k2D0/k4R0(W1 + W2) и скоростью частотной модуляции 0 = -/k1D0, для текущего значения длительности z и чирпа импульса верны следующие соотношения:

где = s(z )dz. В общем случае система уравнений (13), как и следующее из нее уравнение для I = 0 exp(-z ), = 0 exp(z ). (18) 5 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 66 И.О. Золотовский, Д.И. Семенцов Эффективное управление профилем (зависимостью Если на вход световода подается частотно-модулиро от z ) ДГС становится возможным в современных фо- ванный импульс с длительностью 02 > k1k2D0/ (при тонно-кристаллических (ФК) световодах [18,19] и све- D0 > 0) и чирпом 0 = -/k1D0, то длительность полутоводах с изменяемым профилем поперечного сече- чаемого при этом солитоноподобного импульса меняетния [20,21]. В ДдырчатыхУ ФК-световодах и светово- ся в точном соответствии с формулой (19). Минимальдах с изменяемым радиусом сердцевины технологи- ная длительность импульса, которая при использовании чески несложно на заданной длине реализовать рас- рассматриваемой схемы сжатия может быть получена пределение [17]. Пусть в этом случае входные зна- на длине световода z = ln(042/k1k2D2), составляет m чения параметров нелинейности и ДГС составляют min =( k1k2D0/)1/2. При этом случаю I = min со R0(I10 + I20) 0.01 m-1 и D0 -10-26 s2/m, а дли= = ответствует текущая нелинейность R(z ) =0. Значение m тельность вводимых в световод импульсов гауссовой и чирпа остается неизменным на всем пути следования секанс-гиперболической формы 0 10-12 s. Если пара= импульса, т. е. = 0. Заданный функцией (20) профиль метр неоднородности дисперсии 0.4m-1, то, соглас= нелинейности может быть практически реализован толь но (18), на длине световода L 10 m импульс может = ко на длине световода L < z, поскольку параметр R(z ) m быть сжат до длительноcти I(L) 2 10-14 s. При этом = не может принимать отрицательных значений. В слу чирп должен иметь значение порядка = 2 1028 s-2.

чае 02 < k1k2|D0/| для рассматриваемого профиля Если после описанного временного сжатия ДпогаситьУ нелинейности решение типа I = 0 exp(-z ) реализучирп сформированного импульса (при последующем ется при D0 < 0. При этом сжатие может быть сколь его введении в линейный световод с нормальной и угодно большим при условии, что R(z ) неограниченпостоянной по длине ДГС, например, в одномодовом но возрастает. Данный пример представляет интерес, ФК-световоде с большим диаметром сердцевины [22]), поскольку демонстрирует принципиальную возможность то длительность импульса можно довести до значений солитоноподобного сжатия при D0 > 0 и при уменьшанескольких фемтосекунд, сделав его при этом спектральющемся R(z ). В данном случае сжатие реализуется за но ограниченным.

счет начального чирпа вводимого в световод излучения, Некоторые из рассматриваемых далее случаев неодноа нелинейность уменьшает степень и увеличивает длину родности световода являются достаточно искусственнысжатия.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам