Книги по разным темам
Pages: | 1 | 2 | Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 3 01;11 Нелинейные свойства двухфазных композитных пленок во фрактальном режиме й А. Дзедзиц,1 А.А. Снарский,2 С.И. Буда2 1 Вроцлавский политехнический институт, Вроцлав, Польша 2 Национальный технический университет Украины, 256057 Киев, Украина (Поступило в Редакцию 10 марта 1998 г. В окончательной редакции 26 июля 1999 г.) Рассмотрены промежуточные (между трех- и двумерными) неоднородные двухфазные проводящие пленки, размер которых вдоль пленки больше корреляционной длины, а поперек Ч меньше. В рамках перколяционного подхода получены зависимости сопротивления в слабонелинейном случае от концентрации хорошо проводящих частиц, их размеров и толщины пленки.Введение полимерных толстопленочных резисторов, содержащих высокоструктурную сажу [8]. Но, например, в работе [9] Современная микроэлектроника широко использует значения t достигают 20, что противоречит гипотезе об пленочные структуры, приготовленные по различным универсальности критических индексов. Представляется, технологиям. Одной из таких структур являются толчто теория перколяции двухфазных систем приложима стопленочные резисторы (ТПР) (см. обзор литературы не к любым ТПР (не в любых обстоятельствах, темперав [1,2]). Присутствие кубической нелинейности в кертурах, способах приготовления и т. п.). Тем не менее во метных и полимерных ТПР, о которой и пойдет речь многих случаях перколяционный подход адекватен, о чем далее, наблюдалась, например, в [3,4] (рис. 1).
говорит не только согласие с критическим поведением Типичные размеры ТПР Ч поперек пленки (толщина) проводимости, но и с данными по измерению 1/ f шума H = 20 - 25 m и вдоль L = 1 - 5 mm. Размер частиц и генерации третьей гармоники (см., например, [10Ц13]).
проводящей фазы 0.1 - 1 m, размер частиц стекла Изучению линейной проводимости в ТПР, находящих 0.7 - 7 m, а расстояние между зернами проводящей ся в 2.5D-режиме, посвящены работы [14Ц18]. Основная фазы около 1Ц2 nm (рис. 2). При протекании тока в идея теоретического описания проводимости неоднородсреднем вдоль подложки локальные токи, как следует ной пленки (рис. 2) с H < 3 и L 3 (3 Чкориз вышеприведенных размеров, будут иметь составляреляционная длина 3D-системы) заключается в том, что ющую, перпендикулярную к подложке. Следовательно, пленку представляют состоящей из кубиков H H H. В ТПР не являются в отношении протекания тока двухпростейшем приближении за счет флуктуаций структуры мерной (2D) структурой. Это также, вообще говоря, кубик находится во фрактальном режиме, часть кубии не 3D-структура. Для последнего требуется, чтобы ков включает в себя проводящий кластер, т. е. хорошо H ( Ч корреляционная длина). Таким образом, проводит, часть Ч нет, т. е. проводит плохо. ТПР как бы задача определения проводимости ТПР принадлежит к промежуточному классу, находящемуся между 2D- и 3D-задачами; будем далее для краткости говорить о 2.5D-задаче.
При теоретическом описании экспериментальных исследований по ТПР и другим композитным системам часто используется стандартная двухфазная перколяционная модель, предполагающая универсальное поведение удельного эффективного сопротивления e в зависимости от концентрации p хорошо проводящей фазы 1. Например, при p > pc (порога протекания), e 1(p - pc)-t, где t Ч универсальный критический индекс проводимости равный для 3D-системы t3 2. Во многих случаях такое перколяционное описание хорошо согласуется с экспериментом. Например, в [5,6] получены значения t от 1.7 0.2 до 2.3 0.4. При этом сопротивление пленки на квадрат менялось в 106 раз.
Рис. 1. Зависимость сопротивления полимерных толстоплеВ то же время критические индексы, вычисленные по ночных резисторов типа TU-10 K-5 от напряжения при темпеданным [7], имеют значения 2.65, 2.87 и даже 2.99. ратурах сушки: Ч 150, Х Ч190, Ч 230, + Ч 270C;
Похожие значения t (между 2.26 и 2.87) получены для R = R(U) - RU=1V.
Нелинейные свойства двухфазных композитных пленок во фрактальном режиме Рис. 2. Типичные геометрические характеристики толстопленочных резисторов a0 0.1 Ч 1 m, b0 0.7 Ч 7 m, H 20 - 25 m; 1 Ч толстопленочный резистор, 2 Ч хорошо проводящие включения, 3 Ч непроводящая подложка.
представляют собой 2D-двухфазную систему, состоящую размазки, 1 = t - (d - 2), 2 = q + (d - 2), из таких хорошо и плохо проводящих H H H t и q Ч критические индексы выше и ниже порога элементов. В таком приближении в ТПР применимо соответственно.
стандартное 2D описание. Например, выше порога про- Подставляя в R1 и R2 вместо, например, H для хорошо проводящей реализации получаем [21] текания (p > pc) сопротивление пленки толщиной a равно R = r1 (p - pc2)/pc2 -t2, где r1 = 1a0/a2, r1(H) =1(H/a0)(t3-3)/3/a0 (2) 1 Ч удельное сопротивление хорошо проводящей фазы (1 2), a0 Ч характерный минимальный размер, в и для плохо проводящей случае сеточных задач Ч размер связи.
r2(H) =2(H/a0)-(q3+3)/3/a0. (3) В (2) пренебрегается шунтированием второй фазы, а Вычисление сопротивления нелинейной в (3) Ч падением напряжения на первой фазе. Веропленки ятность встретить реализацию с r1(H) и r2(H) равна соответственно [19] Моделирование 2.5D-системы, как 2D, состоит в том, что вместо r1 необходимо брать сопротивление кубика H + 3 H - PH =, 1 - PH =. (4) размера H H H, включающего в себя протекательную 2H 2H структуру Ч r1(H). Тогда для 2.5D-пленки Таким образом, близость к порогу протекания в пленке равна PH - pc2 -tR2.5 = r1(H), (1) PH - pc2 pc2.5 = =, (5) pc2 H где PH Ч концентрация кубиков H H H с r1(H).
где учтено, что pc2 = 1/2 и нижний индекс в 2.Таким образом, для вычисления сопротивления пленки подчеркивает, что речь идет о концентрации кубиков в2.5D-режиме необходимо знать зависимость r1(H) от H H H H в 2.5D-системе.
и вероятность проводящей реализации. В данной работе Далее мы будем рассматривать Фглубоко фрактальдля определения этих величин мы будем использовать ныйФ режим, когда H |3| (подробности см. в [19]);
подход, предложенный в [19], который легко обобща- согласно (5), при этом |2.5| 1, т. е. можно считать, ется на нелинейный случай. Согласно [19], r(H) во что 2.5D-система находится вблизи порога протекания, фрактальной области (H < ) определяется по схеме и описывать ее согласно теории перколяции. Подставляя перколяционной структуры в области размазки [20,13], (2) и (5) в (1), получаем для 2.5D-пленки где роль величины области размазки играет теперь t3-t2--tH = (H/a0)-1/3, а 3 Ч критический индекс корреR2.5 = 1(H/a0) 3 /a0. (6) ляционной длины.
Обратимся теперь к случаю слабонелинейной провоСогласно схеме перколяционной структуры, в области димости. С точностью до кубических слагаемых размазки с вероятностью PH можно встретить структуру, связанную с протеканием выше порога протекания Ч E = i(j) j = i j + i j2 j, j = iE + iE2E, (7) мостик длиной N1/a0 и с вероятностью 1 - PH Чпрослойку (N2 параллельно соединенных плохо проводящих где i и i Ч нелинейные части удельных сопротивления связей). Сопротивление мостика и прослойки R1 = r1N1, и проводимости, рассматривается случай слабой нелиR2 = r2/N2, где Ni = ||-i, Ч величина области нейности и предполагается, что i j2 i и iE2 i.
4 Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 50 А. Дзедзиц, А.А. Снарский, С.И. Буда В терминах полного сопротивления и ниже порога e r2.5(H) =a-12(H/a0)(q2-q3-3)/3|3|q2, ri(Ii, a0) =ri(a0) +mi(a0)Ii2, e M2.5(H) =a-52(H/a0)3(q2-q3-3)/3|3|3q2. (17) ri(a0) =i/a0, mi(a0) =i/a5, (8) Если пренебречь смещением порогов в [17], то полугде ri(Ii, a0) Ч нелинейное сопротивление элемента ченные в [17] линейные сопротивления пленки совпадут a0a0a0 i-й фазы в Ii Ч полный ток через этот элемент.
e с нашими выражениями. Заметим, что в [17] r2.5 были поВ нелинейном случае (8) сопротивление лучены из совершенно других соображений Ч методом мостика определяется аналогично предыдущему Фперколяционного ренорм преобразованияФ.
R1 = r1(I1, a0)N1. Для определения сопротивления прослойки удобнее сначала перейти к кондактансу Вычисление сопротивления нелинейной элемента a0 a0 a0 - g2()N2, где Чразность потенциалов на этом элементе. Тогда кондактанс пленки с учетом смещения порога прослойки равен G2 = g2()N2, после этого можно протекания перейти к R2 = 1/G2. С точностью до кубических по току слагаемых До сих пор мы не учитывали сдвиг порога протекания для кубиков с размером H. Согласно [23,24], средRi(I, H) =ri(H) +Mi(H)I2, (9) ний по реализациям порог протекания pcH сдвигается относительно pc3 на величину, пропорциональную H, где I Ч полный ток через образец H H H и r1(H), pcH = pc3 + AH, (18) r2(H) имеют, конечно, тот же вид, что и ранее в (2) и (3), а нелинейные части равны где A Ч некоторая константа.
При таком определении сдвига peH в среднеквадра-(t3-3) M1(H) =1H a-5, тичной флуктуации порогов протекания теперь необходимо также учитывать численный множитель, который, 3(q3+3) M2(H) =2H a-5. (10) согласно [24,25], обозначается B, т. е. вместо (4) имеет место Используем хорошо известные выражения [22] для PH = p - pc3 +(B - A)H /2BH. (19) двумерной пленки в слабонелинейном случае Формула (19) совпадает с (4) при A = 0 и pc3/B = 1.
t2 -kБлизость к порогу протекания пленки с учетом попраe(p) =1, e = 1, p > pc, (11) вленной концентрации (19) выглядит так:
e(p) =2|r|q2, e = 2| |-k2, p < pc, (12) 2.5 = pc3 - A B. (20) где k2 и k2 Ч критические индексы 1/ f шума. H Заметим, что в [22] нелинейная связь между плотноПри 3 0 близость к порогу пленки становится стью тока и напряженностью поля была выбрана в виде равной константе A/B, а не 0, как в формуле (5).
j = E + E2E, однако легко видеть, что с точностью В зависимости от значений 3 близость к порогу 2.до кубических слагаемых = -4. Если принять для принимает значения k2 и k2 их выражения через t, q и [23] k2 = 22 - t2, k2 = 22 - q2, то для R2.5(I) вместо (1) можно записать I 2.5 = pc3 для 0
Для случая II сопротивление пленки определяется e e Re (I) =r2.5(H) +M2.5(H)I2, (15) 2.e r2.5(H) =C1a-12(H/a0)-(q3+3)/3, где выше порога протекания e M2.5(H) =C2a-52(H/a0)3(q3+3)/3, (25) e -t2 r2.5(H) =a-11(H/a0)(t3-t2-3)/33, где константы Ci есть произведение констант A и B в e -tM2.5(H) =a-51(H/a0)(t3-t2-3)/33 (16) определенных степенях.
Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. Нелинейные свойства двухфазных композитных пленок во фрактальном режиме В случае IV пленка находится в области размаз- Список литературы ки с шириной, равной 2.5 = (1/2)1/(t2+q2) [1] Dziedzic A. // Microelectronics and Reliab ility. 1991. Vol. 31.
(H/a0)(t3+q3)/3(t2+q2). Для |2.5| 2.5 сопротивление P. 549Ц558.
пленки равно (13) или (14) при 2.5 =2.[2] Чайковский И.А. // Микроэлектроника. 1988. Т. 17. С. 291 - 3q3+t 304.
e r2.5(H) =a-12 h(H/a0)- 1+ 23, 0 [3] Kasukabe S., Taketa M. // Electrocomponent Science and Technology. 1981. Vol. 8. P. 167Ц174.
3q2 3q3+te [4] Dziedzic A., Kita J., Mach P. // Vacuum. 1998. Vol. 50.
M2.5(H) =a-52ht2+q2 (H/a0)-3 1+ 23, (26) P. 125Ц130.
[5] Carсia P.F., Ferretti A., Suna A. // J. Appl. Phys. 1982.
где учтено, что t2 = q2.
Vol. 53. P. 5282Ц5288.
[6] Kubovy A. // J. Phys. 1986. Vol. D19. P. 2171Ц2183.
Заключение [7] Carcia P.F., Suna A., Childers W.D. // J. Appl. Phys. 1983.
Vol. 54. P. 6002Ц6008.
Для представления о качественном поведении сопро[8] Dziedzic A., Nitsch K., Kolek A. // Proc. 11th Europ.
тивления пленки удобно подставить в полученные вы- Microelectronics Conf. 1997. P. 622Ц626.
ражения численные значения критических индексов. Со- [9] Kubat J., Kuzel R., Krivka I., et al. // Synt. Metals. 1993.
Vol. 54. P. 187Ц194.
гласно [26], t3 = 2.0, t2 = q2 = 1.3, q3 = 0.73, 3 = 0.88.
[10] Weissman M.B., Dollinger C.D. // Appl. Phys. J. 1987. Vol. 52.
С учетом этих значений выше порога протекания и без P. 3095Ц3101.
учета его смещения (см. (16)) получаем [11] Dubson M.A., Hui Y.C., Weissman M.B., Garland J.C. // e -0.8 e Phys. Rev. 1989. Vol. B39. P. 6807Ц6813.
r2.5(H) 1a0 H-0.2, M2.5(H) 1a-4.8H-0.2 (27) [12] Yagil Y., Deutscher G., Bergman D.J. // Int. J. Mod. Phys.
1993. Vol. B7. P. 3353Ц3374.
и ниже порога протекания (см. (17)) [13] Snarskii A.A., Morozovsky A.E., Kolek A., Kusy A. // Phys.
e Rev. 1996. Vol. E53. P. 5596Ц5605.
r2.5(H) 2a-0.65H-0.35, [14] Clerc J.P., Giraud G., Alexander S., Guyon E. // Phys. Rev.
e 1980. Vol. B22. P. 2489Ц2494.
M2.5(H) 2a-5.95H-1.06. (28) [15] Gadenne M., Gadenne P. // Phys. 1989. Vol. A157. P. 344 - Учет смещения порога протекания приводит в слу- 351.
[16] Gadenne P., Yagil Y., Deutscher G. // Physica. 1989.
чае II (22) к следующим зависимостям (см. (25)):
Vol. A157. P. 279Ц283.
e e r2.5(H) 2a0.83H-1.83, M2.5(H) 2a0.49H-5.49, (29) [17] Неймарк А.В. // ЖЭТФ. 1990. Т. 98. С. 611Ц626.
0 [18] Gadenne P., Gadenne M., Yagil Y., Deutscher G. // Physica.
а в случае IV (см. (26)) 1994. Vol. A207. P. 228Ц233.
[19] Морозовский А.Е., Снарский А.А. // ЖЭТФ 1996. Т. 109.
e r2.5(H) 12 H-3.38, С. 674Ц682.
[20] Morozovsky A.E., Snarskii A.A. // Int. J. Electronics. 1995.
e Vol. 78. P. 135Ц137.
M2.5(H) 2(1/2)3/2a5.14H-10.14. (30) [21] Efros A.L., Shklovskii B.I. // Phys. St. Sol. 1976. Vol. B76.
e e P. 475Ц485.
Заметим, что зависимость r2.5(H) и M2.5(H) от H и [22] Stroud D., Hui P.M. // Phys. Rev. 1988. Vol. B37. P. 8719 - a0 различна, следовательно, одновременное изменение e 8724.
в одинаковое число раз H и a0 не оставляет r2.5(H) и e [23] Morozovskii A.E., Snarskii A.A. // Sov. Phys. JETP. 1989.
M2.5(H) незименными. Таким образом, изменение ФгруVol. 68. P. 1066Ц1069.
бостиФ (размеров) частиц хорошо проводящей фазы при[24] Левинштейн М.Е., Шкловский Б.И., Шур М.С., водит к нетривиальному изменению сопротивления ТПР.
Эфрос А.Л. // ЖЭТФ. 1975. T. 69. C. 386Ц392.
Из-за наличия многих параметров Ч,, r1/r2, [25] Шкловский Б.И., Эфрос А.Л. Электронные свойства 1/2, H и т. д. имеет место большое разнообразие легированных полупроводников. М.: Наука, 1979.
возможных зависимостей сопротивления 2.5D-пленки.
[26] Stauffer D., Aharony A. Introduction to Percolation Theory.
Тем не менее возможные экспериментальные ситуации 2nd ed. London: Taylor & Francis; Washington, 1992.
Pages: | 1 | 2 | Книги по разным темам