Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 |

3QEn-1 n+2n - 1 2n + p( j) = 0, ( j = 0; 1); p(1/2) = - P1();

ga ga n=(10) 3QE0 (r, ) = E0a(3/2) p( j) = - a(i-1/2)P1() ga 2 5r2 4 (n - 1)(n + 1) n n + + 6(Q) a(1)a(1) P1() n n++ (1- n2) a(i-1/2) + a(i-1/2) Pn(), n-1 n+1 (2n + 1)(2n + 3) 2n - 1 2n + n=n= (1 - n2)n n + j = ; 2. (7) + 3E0 a(3/2) + a(3/2) n-1 n+2n - 1 2n + n=Давление электрического поля на равновес ную поверхность капли Pn() +(Q) a(2) + kKkmna(1)a(1).

n k m r(n+1) k=2 m=1 r = r() : pEQ = E2 = ( )(11) 8 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 40 С.О. Ширяева Используя выражения (8)Ц(11), вычислим последова- Баланс давлений в нулевом порядке малости опретельно все компоненты в разложении давления электри- деляет внутреннее давление в заряженной сферической ческого поля pEQ по порядкам малости капле в отсутствие внешних полей p(0) - p0 = 2 - Q2/8.

p(0) = Q2/8; p(1/2) = (Q)E0P1();

EQ EQ Компонента баланса давлений порядка 1/2 показыва 2 ет, что: p(1/2) = 0.

p(1) 3E0 (1 + 2P2()) + 2Q2 an(n - 1)Pn() ;

EQ Рассмотрение в балансе давлений слагаемых первоn=го порядка малости по позволяет определить по p(3/2) 6(Q)E0a(1)P1() +5 Q2(n - 1)a(3/2) стоянную добавку к внутреннему давлению в капле n EQ p(1) = -3E0/8 и коэффициенты первого порядка мало n=сти в разложении (3):

(1 - n2)n(2n - 3) + 3(Q)E0 a(1) n-3E2n - a(1) = n2. (13) n 16 - Q(n + 1)(2n - 1) + a(1) Pn() ;

n+Из (13) следует, что с точностью до слагаемых 2n + отклонение равновесной формы поверхности капли 7Q2 n - от сферы определяется полиномом Лежандра второго p(2) - a(1) P0() EQ n 8 2n + порядка P2():

n=r() 1 +(3wP2()/(1 - W )) + O(3/2);

1 54 + E0 a(1) + (Q)E0a(3/2) 3 4 35 Q2 EW ; w, (14) 16 n(n + 1) - 9Q2 a(1)a(1) P1() n n+где W Ч параметр Рэлея и w Ч параметр Тейло(2n + 1)(2n + 3) n=ра, которые характеризуют устойчивость поверхности капли по отношению к собственному заряду и заряду, Q+ 2(n - 1)a(2) + (3 - 2k2 + m n индуцированному в капле внешним электростатическим n=2 k=2 m=полем соответственно.

Из сравнения полученного выражения с разложением + k(2n + m - 7))Kkmn + knm a(1)a(1) в ряд по эксцентриситету e уравнения вытянутой сфеk m роидальной поверхности, выписанного в сферических координатах 9E0 8 n(n + 1)(n + 2) + n2a(1) + a(1) 2 n+4 15 (2n + 3)(2n + 5) rsph 1 + e2P2()/3 + O(e4), (n - 2)(n - 1) +(1 - n2 - n3) a(1) следует, что равновесную форму поверхности заряженn-(2n - 3)(2n - 1) ной капли, ускоренно движущейся в слабых электростатическом и гравитационном полях, можно считать n (n - 2)n(2n + 3)- + (1-n2)n2+ a(1) сфероидом с точностью до слагаемых e2, когда эксn (2n-1)(2n+1) 2n + центриситет сфероида связан с зарядом капли и на3(Q)E0 n(2n - 3) пряженностью электростатического поля соотношением + (1 - n2) a(3/2) n-e2 = 9w/(1 - W ).

4 2n - Рассмотрев условия баланса давлений в порядке ма(n + 1)(2n - 1) лости 3/2, получим p3/2 = 0, а выражение для коэффи+ a(3/2) Pn(); (12) n+2n + циентов a(3/2) в разложении (3) имеет вид n kmn - k(k + 1)m(m + 1)Cn0 Cn0.

k0m0 k(-1)m9(Q)Ea(3/2) = n3 a(1).

n 10(10 - Q2/2) Расчет равновесной формы капли Таким образом, в данном порядке малости отличен от Подставим полученные разложения (6), (7), (12) в нуля только коэффициент a(3/2) при полиноме Лежандинамическое граничное условие на свободной поверхдра P3(), который учитывает влияние на равновесную ности капли (1) и, приравняв слагаемые одинакового форму поверхности капли суммарного давления поля порядка малости по, вычислим искомые коэффициенты силы тяжести и силы инерции. В результате симметрия a(m) в выражении (3) для равновесной формы капли. формы поверхности капли относительно экваториальной n Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Аналитический нелинейный расчет равновесной формы заряженной капли... плоскости нарушается, причем смена знака заряда капли приводит к зеркальному отражению формы относительно этой плоскости.

Баланс компонент давлений следующего, второго, порядка малости позволяет найти p(2) = =(7Q2/8 - 8)(a(1))2/5 и выяснить, что из коэффициентов a(2) отличны от нуля лишь a(2) и a(2):

n 2 1 Qa(2) = 10 - a(1) 2 7(2 - Q2/8) 81 9E0(Q) + E0a(1) + a(3/2) ;

2 20 Рис. 1. Линии, соответствующие знакам строгого равенства в соотношениях (17). Номер у кривой совпадает с нижним 1 3 Qиндексом Fk. Пунктир Ч расчет для капель воды, вдоль a(2) = 10 - a(1) 4 7(3 - Q2/8) 5 которых должны изменяться параметры w, W, чтобы капля фиксированного радиуса неподвижно висела в коллинеарных 9 2E0(Q) электростатическом и гравитационных полях (в электростати+ E0 a(1) + a(3/2).

2 ческом подвесе): 5 Ч R = 1, 6 Ч2, 7 Ч 3 mm.

Кроме того, если в выражениях (5) для коэффициентов при полиномах нулевого и первого порядков в разложении (3) учесть (13), то выяснится, что во При заданной величине параметра соотношения (17) втором порядке малости поправка к трансляционной определят область значений параметров w и W, в моде (n = 1) отсутствует a(2) = 0, а коэффициент при которой разложение (15) равномерно.

нулевой моде (n = 0) имеет вид a(2) = - a(1) /5.

На рис. 1 в плоскости параметров w, W изображены 0 В итоге форма равновесной поверхности капли с линии, соответствующие знакам строгого равенства в точностью до слагаемых второго порядка малости по соотношениях (17), при = 0.3. Область применимости включительно (что эквивалентно учету слагаемых выражения (15) лежит ниже всех линий. Для заряженчетвертого порядка по E0) запишется в виде ной капли, ускоренно движущейся в гравитационном и электростатическом полях, параметры W и w моr = 1 + a(2)P0() + a(1) + a(2) P2() 0 2 гут изменяться в указанной области произвольно. Это обстоятельство существенно отличает рассматриваемый + a(3/2)P3() +a(2)P4(), (15) 3 случай от случая заряженной капли в электростатическом подвесе, когда значения параметров W и w где коэффициенты a(m), выраженные с помощью (14) n неявляются независимыми, а связаны с условием:

через параметры Тейлора и Рэлея, определяются соот12 W w = g (g Ч безразмерное ускорение свободного ношениями падения) [3Ц4]. В результате для капли в электростати9w2 3w ческом подвесе параметры W и w могут изменяться в a(2) = - ; a(1) = ;

5(1 - W )2 2 1 - W области равномерности лишь вдоль заданных линий. На рис. 1 пунктиром изображены соответствующие линии 108 W wдля капель воды с радиусом в 1, 2 и 3 mm. Пределы изa(3/2) = ;

5(5 - 4W )(1 - W ) менения параметров w и W на рис. 1 ограничены сверху их критическими значениями, при которых поверхность 9w2(79 - 84W + 8W ) a(2) = ;

капли теряет устойчивость: wcr 0.052, Wcr = 1. Таким 7(1 - W )3(5 - 4W ) образом, область равномерности разложения (15) вклю54w2(65 - 33W - 28W ) чает достаточно большие напряженности электрическоa(2) =. (16) 35(1 - W )2(3 - 2W )(5 - 4W ) го поля и величины собственного заряда капли (вплоть Условием равномерности разложения (15) является до 0.7) от величин своих критических значений.

справедливость принятых соотношений малости между На рис. 2 представлены формы поверхностей равновеликих по объему сферы, сфероида положительно и откоэффициентами a(m):

n рицательно заряженных капель, уравнения поверхностей a(3/2) 3 которых имеют вид (15), отличаясь лишь знаком при F1 a(1) ; F3 1/2;

a(1) коэффициенте a(3/2). Из рис. 1 и 2 видно, что поверх2 ность заряженной капли, ускоренно движущейся в элекa(2) тростатическом и гравитационном полях, отличается от k Fk, (k = 0, 2, 4). (17) сфероидальной: для положительно заряженных капель a(1) Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 42 С.О. Ширяева [3] Ширяева С.О. // ЖТФ. 2006. Т. 76. Вып. 3. С. 93Ц95.

[4] Ширяева С.О. // Изв. РАН. МЖГ. 2006. № 2. С. 17Ц30.

[5] Ширяева С.О. // ЖТФ. 2006. Т. 76. Вып. 6. С. 44Ц53.

[6] Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белавина Е.И. // ЖТФ.

1989. Т. 59. Вып. 6. С. 27Ц34.

[7] Григорьев А.И. // ЖТФ. 2002. Т. 72. Вып. 7. С. 41Ц47.

[8] Финн Р. Равновесные капиллярные поверхности. М.: Мир, 1989. 310 с.

Рис. 2. Форма поверхностей: 1 Ч положительно, 2 Чотрицательно заряженной капель, 3 Ч сфероида, 4 Ч сферы, рассчитанные при w = 0.02, W = 0.4.

большую кривизну имеет вершина, ориентированная по полю, тогда как для отрицательно заряженных Ч наоборот. Однако вследствие незначительности этих отличий даже на границе области применимости выражения (15), использование в аналитических расчетах сфероидального приближения для описания равновесной формы капли представляется оправданным даже в более высоком приближении, нежели квадратичное по эксцентриситету.

Заключение Помодовый анализ баланса давлений на свободную поверхность капли, проведенный в квадратичной по амплитуде равновесной деформации формы капли в электростатическом и гравитационном полях, показал, что применение в аналитических и численных расчетах сфероидального приближения для равновесной формы капли может быть оправдано не только в линейном по величине сфероидальной деформации приближении, но и в квадратичном.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 05-08-01147-а и 06-01-00066-а).

Список литературы [1] Ширяева С.О., Волкова М.В., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2005.

Т. 75. Вып. 3. С. 36Ц44.

[2] Ширяева С.О., Григорьев А.И., Волкова М.В. // ЖТФ. 2005.

Т. 75. Вып. 7. С. 40Ц47.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам