Книги по разным темам
Pages: | 1 | 2 | Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 1 01;04;10 Конкуренция неустойчивостей в условиях черенковского и аномального доплеровского резонансов электронного пучка с ленгмюровской и циклотронной волнами магнитоактивной плазмы 2 й И.Н. Карташов,1 М.В. Кузелев,1 А.А. Рухадзе 1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 119992 Москва, Россия 2 Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН, 119991 Москва, Россия e-mail: kartashov@ph-elec.phys.msu.su (Поступило в Редакцию 12 апреля 2005 г.) Получена система нелинейных уравнений единым образом описывающая развитие в пучково-плазменных системах в конечном внешнем магнитном поле черенковской неустойчивости на плазменной ветви колебаний, черенковской неустойчивости на циклотронной ветви колебаний плазмы, а также неустойчивостей на плазменной и циклотронной ветвях в режиме аномального эффекта Доплера. Осуществлен анализ полученных уравнений в линейном приближении. Приведены результаты моделирования нелинейной динамики пучковых неустойчивостей в плазме в конечном магнитном поле в условиях совместного влияния эффекта Черенкова и аномального эффекта Доплера.PACS: 52.40.w Многочисленные теоретические и эксперименталь- скорость пучка, e Ч электронная циклотронная чаные исследования [1,2] посвящены одночастичному и стота, а =(1 - u2/c2)-1/2 Ч релятивистский фактор коллективному эффектам Черенкова, которые считают- электронного пучка. Возникает вопрос о конкуренции ся основными механизмами вынужденного излучения эффектов Черенкова и аномального эффекта Доплера.
прямолинейными электронными пучками замедленных Действительно, хотя развиваются они в разных диапаэлектромагнитных волн в системах с плазменным запол- зонах частот и длин волн, при аномальном эффекте нением. Обычно в экспериментах черенковское взаимо- возбуждаются поперечные движения электронов пучка, что может повлиять на эффективность черенковского действие пучков с плазмой осуществляется при наличии излучения. В линейном приближении взаимное влияние достаточно сильного продольного внешнего магнитного эффектов Черенкова и аномального эффекта Доплера поля. В работах [3Ц5] показано, что при определенных условиях как на сами механизмы черенковского излуче- рассмотрено в работах [10,11]. Очевидно, что в рамках линейной теории исследование конкуренции названных ния, так и на спектры излучаемых пучками плазменных эффектов сводится к сравнению инкрементов развития волн величина внешнего магнитного поля существенно соответствующих неустойчивостей: обычно инкременты не влияет. Поэтому большинство теоретических исслечеренковских неустойчивостей превосходят инкременты дований проводилось в предположении, что внешнее неустойчивостей при аномальном эффекте Доплера. Намагнитное поле велико. С другой стороны, актуальстоящей работой мы начинаем цикл исследований по ная задача повышения частоты и мощности излучения, нелинейной теории излучательных пучковых неустойвозбуждаемого пучками в плазменных системах, мочивостей, развивающихся в условиях черенковского и жет быть решена путем повышения плотности плазмы аномального доплеровского резонансов прямолинейных и использования более плотных электронных пучков.
электронных пучков с волнами различных плазменных Увеличение же величины внешнего магнитного поля систем в конечном внешнем магнитном поле.
является задачей достаточно сложной и дорогостоящей.
Рассмотрим безграничные в поперечном направлении Поэтому в последнее время активно стали проводиться холодные электронную плазму и прямолинейный элекэкспериментальные исследования в условиях, при котронный пучок. Ограничимся потенциальным приближеторых ленгмюровская частота электронов плазмы сонием и, соответственно нерелятивистским движением поставима с электронной циклотронной частотой, а в электронов пучка. Пусть z Ч координата вдоль наслучае плотных электронных пучков к этим частотам правления невозмущенного движения пучка и внешнего приближается и ленгмюровская частота электронов пучмагнитного поля, x Ч поперечная координата, а от кока [6]. Собственно для черенковских механизмов это не ординаты y Ч зависимости нет. Следуя [12], выражение очень важно. Но в конечном внешнем магнитном поле для плотности заряда частиц сорта = p, b представим возникает новый механизм вынужденного излучения Ч в виде аномальный эффект Доплера [7Ц9], проявляющийся при - kz u = - e/ < 0, где >0 Ч частота, kz > 0 Ч (t, x, z ) =en0 (x - x)(z - z )dx0dz. (1) продольное волновое число излучаемой волны, u Ч Конкуренция неустойчивостей в условиях черенковского и аномального доплеровского... d2z Здесь x(t, x0, z ), z (t, x0, z ) Ч уравнения траектории b 0 0 = - ik частицы, выходящей в момент времени t = 0 из точ- dt2 =p,b ки x0, z, = p Ч электроны плазмы = b Чэлектроны пучка. Представим потенциал электростатического nq-2ns (t) exp(iskxb) exp(ink z ) - K.C., b ns поля (t, x, z ) в виде n,s= e (t, x, z ) = ns (t) exp(iskx) d2xb m + 2(xb - x0) =- ik n,s=dt2 e =p,b exp(ink z ) +K.C., (2) sq-2ns (t) exp(iskxb) exp(ink z ) - K.C., b ns где e Ч заряд, m Ч масса электрона, а k и k Ч n,s=основные продольное и поперечное волновые числа. Эти (7) числа определяются, в частности, структурой начальУравнения (6) и (7) дополняются начальными услоного возмущения, внесенного в пучково-плазменную виями, учитывающими отсутствие начальной модуляции систему. Подставляя (1) и (2) в уравнение Пуассона плазмы и пучка и отсутствие у пучка начальной попеимеем речной скорости:
nx (t) =q-2 ns (t). (3) ns =p,b z (t = 0) =z (0, 2/k ], Здесь x(t = 0) =x0 (0, 2/k], 2/k 2/k (8) k k ns (t) = dx0 dz exp -iskx(t, x0, z ) 0 0 (t = 0) =u, (up = 0, ub = u), 0 (t = 0) =0.
exp -ink z (t, x0, z ) Ч (4) Естественно, что при проведении численных расчетов безразмерные амплитуды гармоник возмущений плотк функциям (8) добавляются некоторые малые возмущеностей частиц сорта (размерные амплитуды полуния, вносящие затравочную модуляцию распределения чаются умножением величин (4) на невозмущенные частиц по плотности, или по скорости. Например, если плотности n0), а q2 = s2k2 + n2k2. В итоге потенциал ns z (t = 0) =z + 1 sin(n1k z ) +2 sin(n2kx0), то в наb 0 электростатического поля записывается в виде чальный момент электронный пучок имеет модуляцию по плотности: в продольном направлении на гармониe (t, x, z ) = ке n1, а в поперечном Ч на гармонике n2, глубина m модуляции задается величинами 1,2.
По поводу уравнений (6) и (7) сделаем некоторые q-2ns (t) exp(iskx) exp(ink z ) +K.C., (5) разъяснения. Данные уравнения описывают и плазму и ns n,s=0 пучок без каких-либо упрощающих предположений, т. е.
с учетом всех нелинейных явлений. Одним из нелигде = 4e2n0/m Ч ленгмюровские частоты ча- нейных эффектов является генерация пространственных стиц сорта.
гармоник возмущений плотности, а значит и гармоник Используя (5), уравнения движения электронов плаз- напряженности электрического поля (если различные мы ( = p) и пучка ( = b) можно записать следующим гармоники присутствуют в начальном возмущении, то образом:
они естественно имеются и на линейной стадии, что также учтено в уравнениях (6), (7)). Суммирование по инd2z p 2 дексу s в правых частях (6) и (7) описывает генерацию = - ik dt2 поперечных гармоник, суммирование по индексу n дает =p,b генерацию продольных гармоник. Двумерный характер движения электронов приводит к возможности появле nq-2ns (t) exp(iskx ) exp(ink z ) - K.C., p p ns ния постоянных составляющих Ч нулевых гармоник:
n,s=гармоники n = 0, s = 1 и гармоники n = 1, s = 0. Это учитывается тем, что нижние пределы суммирования d2x p + 2(x - x0) =- ik по n и s в уравнениях (6) и (7) равны нулю (гармоника dt2 e p =p,b n = s = 0 вклада в напряженность электрического поля в потенциальном приближении не дает).
В связи с выбором нижнего предела суммирования sq-2ns (t) exp(iskx ) exp(ink z ) - K.C., p p ns по поперечному индексу s сделаем важное замечание.
n,s=(6) Если система поперечно не ограничена, то поперечное Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 38 И.Н. Карташов, М.В. Кузелев, А.А. Рухадзе волновое число возмущений может быть любым, в В линейном по возмущениям x и z приближении том числе и равным нулю. При этом нижний индекс уравнения (6) и (7) записываются в виде суммирования по s следует взять нулевым. Однако, когда d2z p имеется конечный поперечный размер, ситуация оказы= - ik q-2(t) вается иной. Например, если пучково-плазменная систе- dt2 =p,b ма расположена в области 0 < x < L, а при x = 0, L находятся металлические плоскости Ч плоский волновод, exp(ikx0) exp(ik z ) - K.C., то формула (2) принимает вид d2x p e + 2x = - ik q-2(t) p (t, x, z ) = ns (t) sin(skx) dt2 e =p,b m n=0,s= exp(ikx0) exp(ik z ) - K.C., (11) exp(ink z ) +K.C., (2a) d2zb = - ik q-2(t) где k = /L Ч минимальное поперечное волновое чисdt2 =p,b ло волновода. Соответствующим образом преобразуются и уравнения (6) и (7), но нижний индекс суммирова- exp(ikx0) exp(ik z + ik ut) - K.C., ния по s в них уже будет s = 1. Известно, что черенковский резонанс пучка с s-й поперечной модой плазменной d2xb + 2xb = - ik q-2(t) волны возможен только при 2 > s2k2 u2. Поэтому в p dt2 e =p,b поперечно ограниченной системе, где s 1, условия развития основной черенковской неустойчивости иные, exp(ikx0) exp(ik z + ik ut) - K.C.. (12) чем в безграничной системе, где s 0. Соответственно, по-разному будут развиваться и неустойчивости при Здесь q2 = k2 + k2. Перейдем теперь в уравнениях (11) аномальном эффекте Доплера. В настоящей работе мы и (12) к величинам z и x, введенным в (10). Имеем рассматриваем пространственно неограниченную систему, т. е. используем нелинейные уравнения (6) и (7).
d2z p = -ik q-2 2p + bb, p Перейдем к линейному анализу уравнений (6) и (7).
dtВ линейном приближении имеем d2xp + 2xp = -ikq-2 2p + bb, (13) x = x0 + x(t, x0, z ), p dt2 e (9) z = z + ut + z x0, z ), (t, 0 0 d + ik u zb = -ik q-2 2p + bb, p dt где слагаемые со знаком ДУ являются малыми возмущениями, по которым будет проведена линеаризация.
d + ik u xb + 2xb = -ikq-2 2p + bb.
Кроме того, для упрощения последующих выражений e p dt линейной теории опустим суммирование по индексам n (14) и s (в линейном приближении пространственные гармоС учетом первого соотношения (10) из (13) и (14) для ники возмущений не взаимодействуют). При необходигармонических решений находим соотношения мости же учесть номер гармоники будем иметь в виду, что в формулах линейной теории следует положить k2 k k = nk, k = sk. Тогда выражение (4) преобразуется q2p = + 2p + bb, 2 2 - 2 p e к виду (t, x, y) =-ik z (t) - ikx(t), k k q2b = + bb + 2p.
p ( - k u)2 ( - k u)2 - e 2/k 2/k k k (15) z (t) = z exp(-ikz ) Откуда следует известное линейное дисперсионное урав0 нение [13] exp(-ikx0)dx0dz exp(-ikut), 2 b p k2 1 - 2/k 2/k 2 ( - k u)k k x(t) = x exp(-ikz ) b 0 0 p + k2 1 - - = 0. (16) 2 - 2 ( - k u)2 - e e exp(-ikx0)dx0dz exp(-ikut). (10) Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Конкуренция неустойчивостей в условиях черенковского и аномального доплеровского... Уравнение (16) имеет довольно простую структуру и описывает несколько типов пучково-плазменных взаимодействий (неустойчивостей). Прежде всего это черенковское взаимодействие на низкочастотной и высокочастотной плазменных ветвях. Взаимодействие на низкочастотной ветви возникает и в случае бесконечно сильного магнитного поля. В этих двух случаях поперечное движение частиц не является определяющим для развития неустойчивости. В случае, когда пучок не полностью замагничен возникают неустойчивости связанные с раскачкой поперечной скорости пучка Ч аномальный эффект Доплера на низкочастотной плазменной ветви и аномальный эффект Доплера на высокочастотной плазменной ветви. Мы не будем приводить здесь аналитических выражений для комплексных частот названных неустойчивостей (см. например [10,11]), а ограничимся только численными решениями.
Для численного анализа дисперсионного уравнения (16) выберем следующие параметры системы: b/2 = 0.05, e/p = 1.5, ku/p = 1.4, p k = 3.5cm-1.
На рис. 1 представлены зависимости инкремента неустойчивости Im /p электронного пучка в плазме в конечном магнитном поле от продольного волнового числа k для различных поперечных мод s = 0, s = и s = 2. Рис. 1, a соответствует моде s = 0. В этом случае имеется только одна область неустойчивости, связанная с вынужденным черенковским излучением низкочастотной плазменной волны, другие неустойчиРис. 1. Зависимости инкремента неустойчивости Im /p вости на поперечной моде s = 0 отсутствуют, что видкак функции продольного волнового числа k для различных но непосредственно из дисперсионного уравнения (16).
значений k.
Напомним, что в этом уравнении под k, которое мы зафиксировали, следует понимать sk. Черенковская неустойчивость на моде s = 0 является одночастичным На рис. 1, c изображены инкременты неустойчивовынужденным эффектом Черенкова [8,9] (Im >b).
стей на поперечной моде s = 2. Видны те же три На рис. 1, b изображены инкременты неустойчивостей области неустойчивости, что и на рис. 1, b. Области на поперечной моде s = 1. Имеются три не перечеренковской неустойчивости на циклотронной волне и крывающиеся области неустойчивости. Левая область, аномально доплеровской неустойчивости на плазменной где инкремент максимален, связана с вынужденным волне частично перекрывались, что обусловлено малочеренковским излучением высокочастотной циклотронстью частоты плазменной волны на второй поперечной ной волны в плазме. Эта неустойчивость обусловлена гармонике.
коллективным вынужденным эффектом Черенкова [8,9] (Im
Книги по разным темам