Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 |

n-1 n+2n - 1 2n + Q n= = ; (r, ) =-E0 r 1 -. (9) 0 1/(7) r r3 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 36 С.О. Ширяева В первом порядке малости получим следующую си- стему краевых условий, дополняющих уравнение (8) для r + 2r + rr a(2) 2 0 n функции : n=- r : 0;

+ 2r + rr a(3/2) + 2r +rr a(1) Pn() 1/2 1/2 1 n n (1) r = 1 : + r a(1)Pn() = ;

1 0 n S - a(3/2) + a(1) Pn() 1/2 n=2 n n n= r +(2r + rr ) a(1)Pn() d = 0. 1 0 n - 2r + rr (a(1))2 P0() 0 n r=n=2n + -n=Решение этой краевой задачи описывает в линейном 9(n + 1) приближении потенциал в окрестности заряженной кап+ a(1)a(1) P1() n n+ли, поверхность которой отлична от сферы (2n + 1)(2n + 3) n= (r, ) =Q a(1)r-(n+1)Pn(). (10) n + r + 2rr + rrr 0 n=Задачи порядков малости 3/2 и 2 учитывают уже взаимо- действие как собственного заряда капли, так и внешнего a(1)a(1)Pk()Pm() d = 0.

k m поля с отклонением формы ее поверхности от сферы. k=2 m=r=Соответствующие системы краевых условий имеют вид Решив соответствующие краевые задачи, получим вырадля порядка малости 3/2:

жения для компонент электростатического потенциала r : 0;

3/порядка 3/2 и 2:

r = 1 :

= E0 a(1)P1() 3/(3/2) 5r2 + r a(3/2) + r a(1) Pn() = ;

3/2 1/0 n n S n=(1 - n,2)n n + + 3E0 a(1) + a(1) r-(n+1)Pn();

1 n-1 n+ 2n - 1 2n + n=r + (2r + rr )a(3/2) 3/2 0 n (11) n=- (r, ) = E0a(3/2) 5r2 +(2r + rr )a(1) Pn() 1/2 1/n (n - 1)(n + 1) + 6Q a(1)a(1) P1() n n+ (2n + 1)(2n + 3) n=- a(1) Pn() d = 0;

1/n r=n= (1 - n,2)n n + для порядка малости 2:

+ 3E0 a(3/2) + a(3/2) n-1 n+2n - 1 2n + n=r : 0;

Pn() r = 1 :

+ Q a(2) + kKkmna(1)a(1). (12) n k m r(n+1) k=2 m= + r a(2) + r a(3/2) + r a(1) Pn() 2 1/2 0 n n n n=С помощью выражений (9)-(12) вычислим последовательно все компоненты в разложении давления электри ческого поля pEQ:

- r 0 a(1) P0() n 2n + n= p(0) = Q2/8; p(1/2) = QE0 P1();

9(n + 1) EQ EQ - r 0 a(1)a(1) P1() n n+(2n + 1)(2n + 3) n= 1 (2) + rr 0 a(1)a(1)Pk()Pm() = ; p(1) 3E0 1 + 2P2() + 2Q2 an(n - 1)Pn() ;

k m S EQ 2 k=2 m=2 n=Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Нелинейный анализ равновесной формы заряженной электропроводной капли... ской капли в отсутствие внешних полей Q p(3/2) 6E0a(1)P1() +5 Q(n - 1)a(3/2) n EQ n=Qp(0) - Patm = 2 -.

in (1 - n,2)n(2n - 3) + 3E0 a(1) n-2n - Приравняв слагаемые, имеющие порядок малости 1/2, получим выражение для добавки к давлению (n + 1)(2n - 1) в капле, возникающей вследствие действия гравитации:

+ a(1) Pn() ;

n+2n + p(1/2) = -g и условие неподвижности центра масс заряin женной капли в электрическом и гравитационном полях 7Q2 n - p(2) - (a(1))2 P0() EQ n 3 E0 Q8 2n + n=g = QE0 = 12 wW; w ; W ; (14) 4 16 1 54 + E0 a(1) + QE0a(3/2) где w и W Ч параметры Тейлора и Рэлея, характеризу3 4 35 ющие устойчивость поверхности капли по отношению к внешнему электрическому полю и собственному заряду n(n + 1) - 9Q2 a(1)a(1) P1() соответственно.

n n+(2n + 1)(2n + 3) n=2 Рассмотрение слагаемых первого порядка малости по позволяет определить добавку к внутреннему дав Q+ 2(n - 1)a(2) + 3 - 2k2 лению в капле p(1) = -3E0/8 и коэффициенты первого in n порядка в разложении (2):

n=2 k=2 m=3E+ m + k(2n + m - 7) Kkmn + kmn a(1)a(1) a(1) = n,2. (15) k m n 16 - QСогласно (15) первый порядок малости имеет лишь 9E0 8 n(n + 1)(n + 2) + n,2a(1) + a(1) 2 n+2 коэффициент при полиноме Лежандра P2(), в то вре4 15 (2n + 3)(2n + 5) мя как коэффициенты при всех остальных полиномах имеют более высокий порядок малости. В результате с (n - 2)(n - 1)n +(1 - n,2 - n,3) a(1) n-2 точностью до слагаемых равновесная форма поверх(2n - 3)(2n - 1) ности капли запишется в виде n + (1 - n,2)nr() 1 + 3wP2()/(1 - W ) + O(3/2).

(2n - 1)(2n + 1) Из сравнения этого выражения с разложением в ряд по (n - 2)n(2n + 3) - + a(1) эксцентриситету e уравнения сфероидальной поверхноn 2n + сти, выписанного в сферических координатах 3QE0 n(2n - 3) rsph 1 + e2P2()/3 + O(e4), + (1 - n,2) a(3/2) n-4 2n - следует, что равновесную форму поверхности заряжен(n + 1)(2n - 1) ной капли в слабом электростатическом и гравитаци+ a(3/2) Pn();

n+2n + 3 онном полях можно считать сфероидом с точностью до слагаемых e2, эксцентриситет которого связан с (13) зарядом капли и напряженностью электростатического kmn - k(k + 1)m(m + 1)Cn0 Cn0.

k0,m0 k(-1),mполя соотношением e2 = 9w/(1 - W ), что совпадает с результатами ранее проведенных исследований [22].

5. Расчет равновесной формы капли Рассмотрев условие баланса давлений в порядке мав электростатическом подвесе лости 3/2, получим очередную поправку к давлению внутри капли p3/2 = -ga(1) и выражение для коэффиin Коэффициенты a(m) в выражении для формы равновесn циентов a(3/2) в разложении (2) n ной поверхности (2) вычислим, подставив полученные разложения для давлений (6), (7), (13) в условие баланса 3(9QE0 - 4g) a(3/2) = n,3 a(1).

n давлений (3), приравняв слагаемые одинакового порядка 20(10 - Q2/2) малости по и используя ортогональность полиномов В данном порядке малости отличен от нуля коэфЛежандра.

В нулевом порядке получим равенство, описывающее фициент a(3/2) при полиноме Лежандра P3(), котобаланс давлений на поверхности заряженной сфериче- рый учитывает влияние на равновесную поверхность Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 38 С.О. Ширяева гравитационного поля и взаимодействия собственного Разложение (16) будет равномерным в области значений заряда капли с внешним электростатическим полем, что параметров w и W, в пределах которой коэффициенприводит к нарушению симметрии равновесной формы ты a(m) удовлетворяют соотношениям малости n относительно экваториальной плоскости.

Условие баланса добавок к давлениям следующе- a(3/2) F1 a(1) ; F3 1/2;

го, второго порядка малости позволяет найти p(2) = a(1) in = - 8-7Q (a(1))2 - ga(3/2) и выяснить, что из коэф5 8 2 a(2) фициентов a(2) отличны от нуля лишь a(2) и a(2):

n k 2 Fk ; k = 0, 2, 4. (18) a(1) 1 Qa(2) = 10 - (a(1))2 7(2 - Q2/8) 6. Анализ полученных результатов 81 3 9E0Q На рис. 1 в плоскости параметров w, W изображены + E0a(1) + - g a(3/2) ;

2 20 2 линии, соответствующие знакам строгого равенства в соотношениях (18). Область равномерной пригодности выражения (16) лежит ниже и левее всех кривых.

1 3 QВидно, что наибольшее ограничение на размеры области a(2) = 10 - (a(1))4 7(3 - Q2/8) 5 равномерной пригодности выражения (16) накладывает отношение между коэффициентами при полиноме Лежандра второго порядка: F2. Пределы изменения 9 2 15E0Q + E0 a(1) + - g a(3/2).

2 параметров w и W ограничены сверху их критическими 5 3 значениями, при которых поверхность капли теряет устойчивость: wcr 0.052, Wcr = 1. Таким образом, обКроме того, согласно (5) и (15) для коэффициентов ласть равномерности разложения (16) включает допри полиномах нулевого и первого порядков получаем статочно большие напряженности электрического поля a(2) = - (a(1))2, a(2) = 0, т. е. выясняем, что во вто0 5 2 и величины собственного заряда капли, достигающие ром порядке малости поправка к трансляционной моде 0.7 своих критических значений.

(n = 1) отсутствует, но имеется поправка к нулевой На рис. 2 представлены формы поверхностей рав(n = 0).

новеликих по объему сферы, сфероида и равновесной Форма равновесной поверхности капли с точностью капли, уравнение образующей формы которой удовледо второго порядка малости по включительно (что творяет (16). Из приведенных иллюстраций видно, что эквивалентно учету слагаемых четвертого порядка по Eи g) описывается следующим выражением:

r = 1 + a(2)P0() + a(1) - a(2) P2() 0 2 + a(3/2)P3() +a(2)P4(), (16) 3 где коэффициенты a(m), выраженные с помощью (14) n через параметры Тейлора w и Рэлея W, определяются соотношениями 9w2 3w a(2) = - ; a(1) = ;

5(1 - W )2 2 1 - W 108 W wa(3/2) = ;

5(5 - 4W )(1 - W ) 9w2(79 - 84W + 8W ) a(2) = ;

7(1 - W )3(5 - 4W ) Рис. 1. Зависимость между w и W, соответствующие знакам 54w2(65 - 33W - 28W ) строго равенства в соотношениях (18) при = 0.3. Номер a(2) =. (17) 35(1 - W )2(3 - 2W )(5 - 4W ) кривой совпадает с нижним индексом Fk.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Нелинейный анализ равновесной формы заряженной электропроводной капли... Рис. 2. Формы образующих равновеликих по объему сферы (1), сфероида (2) и равновесной капли (3). a) w = 0.01, W = 0.5;

b) 0.02, 0.4; c) 0.03, 0.2; d) 0.04, 0.1.

поверхность заряженной капли, подвешенной в электро- сферической. Последнее обстоятельство представляет статическом и гравитационном полях, слабо отличается интерес в связи с широким использованием электростаот сфероидальной даже на границе области примени- тических подвесов в экспериментах по проверке критемости выражения (16). Таким образом, использование рия Рэлея (критерия устойчивости капли по отношению в аналитических расчетах сфероидального приближения к собственному заряду) [11Ц14].

для описания равновесной формы капли является оправданным даже в более высоком приближении, нежели Заключение квадратичное по квадрату эксцентриситета.

На рис. 3 приведена зависимость отношения меньшей полуоси равновесной фигуры капли к большей от па- Использование усовершенствованной процедуры пораметров w и W, рассчитанная в области асимптотично- модового анализа условия баланса давлений на равности (16). Несложно видеть, что максимальное удлинение весной поверхности капли показало, что применение в капли достигается при максимальных значениях w и W, аналитических и численных расчетах сфероидального даже при малых w большие значения W приводят к приближения для равновесной формы заряженной капзаметному искажению формы капли по сравнению со ли во внешних электростатическом и гравитационном Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 40 С.О. Ширяева [13] Berg T.G.O., Trainor R.J., Vaughan U. // J. Atmosph. Sci.

1970. Vol. 27. N 11. P. 1173Ц1181.

[14] Schweizer J.W., Hanson D.N. // J. Cool. Int. Sci. 1971. Vol. 35.

N3. P. 417Ц423.

[15] Григорьев А.И., Жаров А.Н., Ширяева С.О. // ЖТФ. 2005.

Т. 75. Вып. 8. С. 44Ц53.

[16] Rayleigh Lord (J.V. Strett) // Phil. Mag. 1882. Vol. 14. P. 184 - 186.

[17] Tsamopolous J.A., Brown R.A. // J. Fluid Mech. 1984. Vol. 47.

P. 373Ц395.

[18] Tsamopolous J.A., Akylas T.R., Brown R.A. // Proc. R. Soc., London, 1985. Vol. A401. P. 67Ц88.

[19] Feng Z.C. // J. Fluid Mech. 1997. Vol. 333. P. 1Ц21.

[20] Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2003.

Т. 73. Вып. 12. С. 9Ц19.

[21] Ширяева С.О., Волкова М.В., Григорьев А.И. // ЖТФ.

2005. Т. 75. Вып. 3. С. 36Ц44.

[22] Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белавина Е.И. // ЖТФ.

1989. Т. 59. Вып. 6. С. 27Ц34.

Рис. 3. Зависимость Ч отношения меньшей полуоси равновесной формы капли к большей, от параметров w и W.

полях оправдано не только в линейном по величине сфероидальной деформации приближении, но и в квадратичном. Выяснилось также, что в экспериментальных исследованиях по проверке критерия Рэлея, использовавших различные варианты электростатических подвесов, форма капли заметно отличалась от сферической, что неизбежно должно было проявиться в отклонении измеряемых значений критических параметров от предсказываемых строгой теорией.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 03-01-00760.

Список литературы [1] Григорьев А.И., Ширяева С.О. // Изв. РАН. МЖГ. 1994.

№3. С. 3Ц22.

[2] Григорьев А.И. // ЖТФ. 2002. Т. 72. Вып. 7. С. 41Ц47.

[3] Zholkovskij E.K., Maslian J.H., Czarnecki J. // J. Fluid Mech.

2002. Vol. 472. P. 1Ц27.

[4] Шкадов В.Я., Шутов А.А. // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 5.

С. 54Ц66.

[5] Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2004. Т. 74.

Вып. 11. С. 22Ц28.

[6] Yarin A.L., Brenn G., Kastner O. et al. // J. Fluid Mech. 1999.

Vol. 399. P. 151Ц204.

[7] Roulleau M., Desbois M. // J. Atmosph. Sci. 1972. Vol. 29.

N 4. P. 565Ц569.

[8] Duchemin L., Lister J.R., Lange U. // J. Fluid Mech. 2005.

Vol. 533. P. 161Ц170.

[9] Duft D., Lebius H., Huber B.A. et al. // Phys. Rev. Lett. 2002.

Vol. 89. N8. P. 1Ц4.

[10] Dupac M., Beale D.G., Overflat R.A. // Nonlinear Dynamic.

2005. Vol. 42. P. 25Ц42.

[11] Doyle A., Moffet D.R., Vonnegut B. // J. Colloig Sci. 1964.

Vol. 19. P. 136Ц143.

[12] Ширяева С.О. // ЖТФ. 2006. Т. 76. Вып. 3. С. 93Ц95.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам