Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Журнал технической физики, 1997, том 67, № 6 01;03;04 Индукционная цилиндрическая МГД машина в режиме идеального источника давления й Ю.А. Половко, Е.П. Романова, Э.А. Тропп Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Поступило в Редакцию 4 апреля 1996 г.) Исследованы причины возникновения специфического режима работы индукционных МГД машин, возникающего после потери устойчивости однородного течения. В результате применения оригинального метода исследования сингулярно возмущенных динамических систем в окрестности точки бифуркации построена асимптотика характерной величины давления для различных предельных случаев.

Введение Было предложено по крайней мере три различных способа построения горизонтального участка ответвивУже в первых экспериментах [1], подтвердивших пред- шейся внешней характеристики (рис. 1): через точку сказанную в [2] потерю устойчивости течения в ин- минимума характеристики электродинамического придукционных МГД машинах, было обнаружено характерближения [6] (отрезок 1), через точку ее нулевого ное свойство возникающих вторичных течений: после расхода [7] (отрезок 2) и в соответствии с моделью потери устойчивости в широком диапазоне изменения трехскоростного течения, когда, как показано на рис. 1, расхода индукционная МГД машина работает как идеAB = BC [8]. Однако, ни один из этих способов альный источник давления. На внешних характеристиках не имел достаточно строгого обоснования, и проблема машины (зависимости развиваемого машиной напора объяснения причин данного явления и разработки метоот расхода протекающей через нее электропроводной да априорной оценки величины характерного давления жидкости) имеется характерное протяженное ФплатоФ для МГД машины с заданными параметрами оставалась p = pc = const, которому соответствует ступенчатый актуальной.

профиль скорости вторичных течений. Позднее это же Решение этой проблемы имеет как теоретическое, так явление было зафиксировано и в целом ряде других и прикладное значение, поскольку, с одной стороны, экспериментов, исследовавших цилиндрические и плособсуждаемое явление может наблюдаться в широком кие МГД машины в режимах постоянного тока электроклассе МГД течений с определенной геометрией канала, питания и постоянного напряжения сети. Этот эффект а с другой стороны, МГД машины данного типа испольотмечался и при расчетах по одномерным струйным зуются в контурах охлаждения реакторов на быстрых моделям как для насосов, так и для генераторов и МГД нейтронах, и важно знать, какие режимы течения могут дросселей [3Ц5].

возникнуть в таких, требующих высокой надежности устройствах.

В [9] впервые была предпринята попытка получения асимптотической формулы для оценки величины характерного давления при больших токах электропитания. Полученный результат основывался на решении нелинейной задачи на собственные значения, возникающей при построении внутреннего пограничного слоя вторичных течений. Использованные при этом недостаточно обоснованные дополнительные гипотезы относительно структуры погранслоя привели к выражению, не являющемуся, строго говоря, асимптотической формулой, но вполне пригодному для практических оценок.

В настоящей работе рассматривается математическая модель, учитывающая трение между струями жидкости, которая использовалась в [5] для исследования вторичных течений в МГД машинах. При этом вывод Рис. 1. Предложенные ранее способы построения отрезка носит достаточно строгий характер, а его результатом внешней характеристики p = pc вторичных течений в МГД является получение двух различных асимптотических машине, соответствующего ее работе в режиме идеального формул.

источника давления (насосный режим).

6 Ю.А. Половко, Е.П. Романова, Э.А. Тропп Математическая модель Случай бесконечно широких каналов Для описания течений в индукционных МГД машинах В первом приближении при 0 после пренев [5] использовалась следующая система нелинейных брежения членами, содержащими, и последующего дифференциальных уравнений:

выражения x1 и x2 через v, задача (2) перепишется в виде d2b()/d2 = 1 - i 1 - v() b() +i, j2(1 - v) v = p - + v|v| 2(1 - v)2 + d2v()/d2 = --1 j2Re b() = p - P(v) =F(v, p,, j), + v2() sign v() + p (1) с периодическими граничными условиями b(0) =b(2), v(0) =v(2), v (0) =v (2). (3) b (0) =b (2), v(0) =v(2), v (0) =v (2), где b Ч относительное значение комплексной амплитуды индукЗдесь за P(v) обозначена внешняя характеристика МГД ции магнитного поля B(, t) = b() exp(i(x - t)), машины, соответствующая однородному течению. Сиv Ч относительное значение скорости течения, p Чотстема (3) принадлежит к классу автономных динамиченосительная величина развиваемого машиной давления, ских систем второго порядка, подробно рассмотренных = 1/2R2, = 0h/2m Ч магнитное число в [10]. При pi < pi < pi, i = 1, 2 (рис. 2) она 1 Рейнольдса, j Ч безразмерный ток электропитания, Ч имеет три положения равновесия: vi, vi, vi, одно из 1 0 приведенная гидродинамическая вязкость, Ч длина которых vi Ч типа ФцентрФ, а два других Ч седловые полюсного деления, L Ч длина машины, h Ч ширина точки. При некотором значении pi (pi, pi ) в системе c 1 гидравлического зазора, m Ч ширина магнитного зазо(3) возникает бифуркация Ч возникновение сепаратрис, ра между центральным и внешним магнитопроводами, соединяющих две седловые точки покоя (рис. 3). Как Ч удельная проводимость рабочего тела, R Чрадиус показано в [10], в окрестности точек pi при малых c машины, i Ч мнимая единица.

решение (3) (профиль скорости) будет иметь вид, В отличие от предшествующих работ [2Ц4, 9], исблизкий к ступенчатому, а именно будет наблюдаться пользовавших так называемую одномерную струйную резкий скачок между значениями vi и vi. Положение 1 модель течения, система (1) учитывает трение между этого скачка, т. е. протяженность каждой ступени, очень отдельными струями жидкости, в результате чего уравчувствительно к отклонению величины p от pc. При нение баланса давлений преобразуется из конечного в |pi - pi | exp(-1/) соотношение между длинами c дифференциальное, а сама система повышает порядок с ступеней, а значит, и величина расхода изменяются на четвертого до шестого.

величину порядка единицы [10]. Именно этот эффект Будем исследовать поведение системы (1) для шии приводит к возникновению горизонтального участроких каналов, т. е. при малых значениях и. При ка на ответвляющихся внешних характеристиках. Само этом рассмотрим два разных пути предельного перехода бифуркационное значение pi определяется в насосном c в точку (, ) = (0, 0). В первом случае величина (i = 1) и генераторном (i = 2) режимах из системы считается пренебрежимо малой, отбрасываются члены трех нелинейных уравнений относительно переменных системы (1), содержащие в качестве множителя эту величину, а затем находится асимптотика характерного значения давления pc при 0. Во втором, напротив, изначально пренебрегается трением между струями ( = 0), а затем изучаются свойства системы при малых.

Обозначим Reb() =x1, Imb() =x2 и преобразуем исходную систему уравнений и граничные условия к виду x 1 = x1 + x2 - x2v = f1(x1, x2, v, p,, j), x 2 = x2 - x1 + x1v + 1 = f2(x1, x2, v, p,, j), v = --1 j2x1 + v|v| + p = f3(x1, x2, v, p,, j), xi(0) =xi(2), x i(0) =x i(2), i =1... 2, Рис. 2. К определению характерной величины давления pi в c насосном (i = 1) и генераторном (i = 2) режимах. Площади v(0) =v(2), v (0) =v (2). (2) одинаково заштрихованных фигур равны.

Журнал технической физики, 1997, том 67, № Индукционная цилиндрическая МГД машина в режиме идеального источника давления Рис. 3. Образование ячейки на фазовой плоскости системы (3) при p = pc (наносный режим): a Ч p < pc; б Ч p = pc;

в Ч p > pc; j2 = 40; = 4.

pi, vi и vi отдельно. Такое рассмотрение показывает, что они не c 1 реализуются. Подставляя эти пределы интегрирования vi в первое уравнение системы (4) и оставляя только члены максимального порядка по j с учетом априорной F(v, pi,, j)dv c оценки для m в (5), получим следующее уравнение для vi определения главных членов асимптотики величины pi c:

v=vi |v|v2 j2 ln( 2(1 - v)2 + 1) j2 ln |pi 2 c| = + + pi v = 0, c - |pi + O( j2) =0, c|3 2 v=vi 1 22 откуда j2(1 -vi ) k F(vi, pi,, j) =pi - +vi |vi | k c c k k 4/2(1 -vi )2 +j ln(ln j) k pi =(-1)i+1 ln2/3 j 1 + +O ;

c 3ln j ln j =pi -P(vi ) =0; k = 1, 2. (4) c k i = 1, 2. (6) Система (4) является аналитическим критерием сущеНа рис. 4 показана зависимость p1/p1 от j для рассмаc ствования ячейки (рис. 3, б) на фазовой плоскости (v, v ) c триваемого случая, иллюстрирующая выход численного системы (3), ограниченной соединяющими седловые решения системы (4) на асимптотику (5).

точки сепаратрисами. Условия (4) допускают простое В [10] построена асимптотика решений задач типа (3) геометрическое толкование. Они отражают равенство при малых значениях параметра сингулярного возмущеплощадей заштрихованных фигур (рис. 2), ограниченных ния в окрестности точки бифуркации pc. Для системы отрезком p = pc и внешней характеристикой однородно(3) она будет иметь вид го течения.

При больших значениях j можно получить асимптоти2j vij, 0, 1+j ку pi решения (4). Будем искать pi в виде ряда c c v() = 2j vi, <2, k 1+j pi = ci jm lnn j + ci jr lnl j lns(ln j) +..., r m.

c где Здесь 4/3 m 2, причем при m = 2 n 0, а при (1, 2) p pc, i = 1, 2; ( j, k) = m = 4/3 n 0, поскольку только в этом случае при (2, 1) p

j уравнение F(v, p,, j) = 0 может иметь три Конкретное значение константы j (0

vi =1-pi /j2 +O((pi )3/ j6).

2 c c 1 j2(1 -2(1 -vm)2) Заметим, что случаи m = 2, n = 0 и m = 4/3, m = 2|vm| + ; m=j, k.

n = 0, вообще говоря, должны быть рассмотрены (2(1 -vm)2 +1)Журнал технической физики, 1997, том 67, № 8 Ю.А. Половко, Е.П. Романова, Э.А. Тропп диапазонах изменения p также имеет три точки покоя (xi, xi ), k = 0, 1, 2; i = 1, 2, две из которых Ч 1k 2k гиперболические (k = 1, 2), при p = pi соединены c гетероклинической траекторией. По-прежнему будем искать асимптотику величины pc в форме (5) с теми же ограничениями на значения m и n. В общем случае здесь уже не удается записать нелинейную систему, аналогичную (4), однако при больших значениях j всетаки можно получить асимптотику для величины pi.

c Рис. 4. Выход численного решения системы (4) на асимптоСтруктура системы такова, что при j искомая тику (5), = 4.

гетероклиническая траектория в главном приближении расположена на поверхности f1(x1, x2, p,, j) =0. Это можно показать, сделав нелинейную замену переменных Тогда выражение для безразмерного расхода в точках и перейдя от переменной x1 к = f1(x1, x2, p,, j).

pi в первом приближении при 0 имеет вид c После такой замены первое уравнение системы (8) в главном приближении при j примет вид = i i везде, за исключением малой окрестности прямой x2 = 1 vi 2 +vi 1 qi(pi ) = v()d=.

c i i радиусом порядка 1/ j. Тогда гетероклиническая траек2 1 +тория при j приближенно описывается системой второго порядка Пользуясь методикой [10], можно также оценить величину производной dpi/dq на ФплатоФ внешней характеx 2 = x2 - x1(x2) +x1(x2)| j2x1(x2)/ - p|0.ристики машины sign( j2x1/ - p) +1 =F(x2, p,, j), (9) i exp dpi Ri i где = exp - + o, (7) dq x1 = x где i i 12 j2x2/2 + j4x2/4 - p - j2x2 - 1, x2 -p/ j2, i = 1, 2; 0 < 1, i =, i i 1 + - j2x2/2 + j4x2/4 + p+ j2x2+1, x2 > -p/ jRi Ч некоторая константа.

для насосного режима и Приведенная оценка полностью объясняет причины возможной работы индукционных МГД машин в режиме идеального источника давления. Действительно, согласx1 = -x2 j2x2/2 + j4x2/4 + p + j2x2 + но (7), в окрестности точки p = pc наклон внешней характеристики Ч экспоненциально малая величина в для генераторного. Эта система оказывается принадлешироком диапазоне изменения расхода q.

жащей к тому же исследованному в [10] классу, что и (3). Для нее условие существования ячейки на фазовой плоскости Ч система уравнений для определения pc, Отсутствие взаимодействия между аналогичная (4), имеет вид струями xi Будем теперь считать первым по порядку предельный F(x2, pi,, j)dx2 = 0; F(xi ) =0, c 2k переход 0. Тогда в главном приближении получаем следующую задачу: xi k =1, 2; i = 1, 2. (10) x 1 = x1 + x2 - x2| j2x1/ - p|0.5sign( j2x1/ - p) Строго говоря, поскольку в главном приближении = f1(x1, x2, v, p,, j), один из корней попадает в малую окрестность нуля (xi = -1/2p), то вместо xi на верхнем пределе 22 x 2 = x2 - x1 + x1| j2x1/ - p|0.5sign( j2x1/ - p) +интеграла в (10) нужно поставить c/ j, где c Ч некоторая = f2(x1, x2, v, p,, j), константа. Это вызвано тем, что после попадания в окрестность x2 = 0 радиуса порядка 1/ j движение по xi(0) =xi(2), x i(0) =x i(2), i =1, 2. (8) гетероклинической траектории уже не будет описыватьЗдесь Фбифуркационный сценарийФ разворачивается уже ся системой (9). Однако, это уточнение не влияет не на плоскости, а в четырехмерном фазовом простран- на окончательный результат Ч значение pi в главном c стве. Тем не менее, система (8) в соответствующих приближении.

Журнал технической физики, 1997, том 67, № Индукционная цилиндрическая МГД машина в режиме идеального источника давления Для анализа удобно переписать систему (10) в терми- [9] Polovko Yu.A., Tropp E.A. // Proc. Intern. Conf. on Energy Transfer in Magneto-Hydrodynamic Flows. Pamir. Cadarache нах скорости, используя справедливые для рассматрива(France), 1991. P. 73Ц78.

емого случая соотношения [10] Бакалейников Л.А., Половко Ю.А. // Дифференциальные (p + v|v|) p + v|v| уравнения. 1989. Т. 25. № 5. C. 903Ц906.

x1 = ; x2 =.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам