Книги по разным темам
Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | 27 | Кемеровский государственный университет Томский государственный университет Кемеровский научный центр Сибирского отделения РАН Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске Посвящается 65-летию Победы в Великой Отечественной войне НАУЧНОЕ ТВОРЧЕСТВО МОЛОДЕЖИ Материалы XIV Всероссийской научно-практической конференции 15Ц16 апреля 2010 г.Часть 1 Издательство Томского университета 2010 ББК 74+72 Н76 Научное творчество молодежи: Материалы XIV Всероссийской Н76 научно-практической конференции (15-16 апреля 2010 г.). - Томск: Издво Том. ун-та, 2010. - Ч. 1. - 240 с.
ISBN 978-5-7511-1939-3 В часть 1 вошли материалы секций Математика. Прикладная математика и математическое моделирование, Информационные технологии, Экономика и менеджмент, Биология, химия, физика.
ББК 74+72 Ред. коллегия:
д-р физ.-мат. наук, проф. Р. Т. Якупов, канд. физ.-мат. наук, доц. И. Р. Гарайшина, канд. техн. наук, доц. А. С. Шкуркин ISBN 978-5-7511-1939-3 й Кемеровский государственный университет, 2010 й Филиал КемГУ в г. Анжеро-Судженске, 2010 й Коллектив авторов, 2010 МАТЕМАТИКА. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СУММАРНОГО ПОТОКА ОБРАЩЕНИЙ В ДВУХФАЗНОЙ БЕСКОНЕЧНОЛИНЕЙНОЙ СМО С ПОВТОРНЫМИ ОБРАЩЕНИЯМИ И. А. Ананина Томский государственный университет Рассматривается система массового обслуживания (СМО) с неограниченным числом приборов, на вход которой поступает простейший с параметром поток заявок. Поступившая заявка занимает одну из свободных линий, начиная обслуживание с первой фазы. Линия считается занятой, если занята любая из её фаз. Завершив обслуживание на первой фазе, с вероятностью 1- r1 заявка покидает систему, а с вероятностью r1 обслуживается повторно: с вероятностью 1- q на той же первой фазе, а с вероятностью q на второй. Завершив обслуживание на второй фазе, заявка с вероятностью 1- r2 покидает систему, а с противоположной вероятностью r2 обслуживается на этой фазе вновь. Продолжительности фаз обслуживания стохастически независимы и определяются функциями распределения B1(x) и B2(x) для первой и второй фазы соответственно. Процессы обслуживания для различных линий одинаковы и стохастически независимы.
Таким образом, формируются потоки повторных заявок, описываемые случайными процессами n1(t), n2(t), где nk (t) - число повторных обращений к k-й фазе, реализованных за время наблюдения t (рис. 1).
Рис. 1. Двухфазная СМО с неограниченным числом линий и повторными обращениями Ставится задача исследования суммарного случайного процесса n(t) = n(t)+ n1(t)+ n2(t) в рассматриваемой системе, где n(t) - число первичных обращений к системе, и нахождение его производящей функции.
Для решения поставленной задачи предлагается метод предельной декомпозиции [1]. Суть этого метода заключается в следующем.
Входящий поток делится на N независимых простейших потоков с параметром N, заявки каждого потока направляются для обслуживания на соответствующую линию. Таким образом, получаем совокупность N независимых однолинейных СМО. Будем полагать, что эти СМО с отказами.
То есть новая заявка, поступившая в систему, занятую обслуживанием, теряется. При N вероятностью потерь заявок можно пренебречь, и тогда суммарные характеристики совокупности N однолинейных СМО сходятся к характеристикам исходной модели. Таким образом, задача нахождения распределения вероятностей числа обращений в бесконечнолинейной СМО сводится к решению задачи нахождения распределения вероятностей числа обращений в однолинейной СМО с отказами.
Введем следующие обозначения: k(t) - состояние прибора, то есть k(t) = k, когда занята k-я фаза, k = 1,2 и k(t) = 0, когда линия свободна, z(t) - длина интервала от текущего момента времени t до момента окончания текущего обслуживания, если линия занята.
Тогда P0(n,t, N) = P{k(t) = 0,n(t, N) = n} - вероятность того, что в момент времени t линия свободна и за это время к системе обратилось n заявок. Pk(n, z,t, N) = P{k(t) = k,n(t, N) = n, z(t) < z} - вероятность того, что занята k-я фаза, за время t поступило n заявок и до конца обслуживания остается времени меньше z.
Составим Dt -методом прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова [2]:
P0(n,t, N) k = (1- rk )P (n,0,t, N) l P0(n,t, N), t z N k =P1(n, z,t, N) P1(n, z,t, N) P1(n,0,t, N) P1(n -1,0,t, N) = - + (1- q)r1B1(z) + t z z z l + P0(n -1,t, N)B1(z), N P2(n, z,t, N ) P2(n, z,t, N ) P2(n,0,t, N ) P1(n -1,0,t, N) = - + qr1B2(z) + t z z z P2(n -1,0,t, N ) + r2B2(z).
z Рассмотрим функции n n x P0(n,t, N)= H0(x,t, N), x Pk (n, z,t, N)= Hk (x, z,t, N), k =1,2.
n=0 n=Перейдем к системе дифференциальных уравнений в частных производных [3] для H0(x,t, N), H1(x, z,t, N) и H2(x, z,t, N), решение которой будем искать в виде -H0(x,t, N) = 1- F0(x,t)+ o(N ), N -Hk(x, z,t, N) = Fk (x, z,t)+ o(N ), k = 1,2.
N Тогда уравнения для F0(x,t), F1(x, z,t) и F1(x, z,t) имеют вид:
F0(x,t) = l (1- rk )fk(x,t), t k =F1(x, z,t) F1(x, z,t) = + lxB1(z)+ (r1(1- q)xB1(z)-1)f1(x,t), t z F2(x, z,t) F2(x, z,t) = + r1qxB2(z)f1(x,t)+ (r2xB2(z)-1)f2(x,t), t z Fk (x,0,t), k =1,2.
где fk (x,t)= z Воспользуемся начальными условиями, которые определяются той же системой при x = 1, и получим частные решения:
t t l(r1qb2 + (1- r2)b1) F0(x,t) = + lt + (r1 -1) f1(x,s)ds + (r2 -1) f2(x,s)ds, (1- r2)(1- r1(1- q)) 0 z +t l F1(x, z,t) = (1 - B1( y))dy + 1 - r1(1 - q) t + [lxB (z + t - s) + (r1(1- q)xB1(z + t - s) -1) f1(x,s)]ds, z +t r1ql F2(x, z,t) = (1 - B2( y))dy + (1 - r2)(1 - r1(1- q)) t + qxB2(z + t - s) f1(x,s) + (r2xB2(z + t - s) -1) f2(x,s)]ds.
[r Учитывая, что N 1- 1 F0(x,t)+ 1 F1(x,,t)+ 1 F2(x,,t)+ o 1, G(x,t) = lim N оN N N N можно найти производящую функцию G(x,t) случайного процесса n(t):
t t G(x,t)= exp(x -1)lt + r1 f1(x, s)ds +r2 f2(x,s)ds.
0 Знание найденной производящей функции необходимо для определения основных числовых характеристик рассматриваемого процесса.
итература 1. Морозова А. С., Моисеева С. П., Назаров А. А. Исследование СМО с повторным обращением и неограниченным числом обслуживающих приборов методом предельной декомпозиции // Вычислительные технологии. - 2005. - Т. 13, вып. 5. - С. 88Ц92.
2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. - М. : Наука, 1969. - 448 с.
3. Эльцгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969. - 424 с.
Работа выполнена при поддержке АВЦП Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы), проект № 4761 Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи.
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ СТРАХОВОГО КАПИТАЛА ПЕНСИОННОГО ФОНДА КАК КОМПОНЕНТЫ МНОГОМЕРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА О. С. Балабойко, И. Р. Гарайшина Филиал Кемеровского государственного университет в г. Анжеро-Судженске Страховой капитал Пенсионного фонда образуется за счёт перечисляемых страховых взносов и расходуется на выплату страховой части пенсии, поэтому его изменение непосредственно связано с изменением численности работающих и пенсионеров. Для изучения процесса изменения величины страхового капитала фонда рассмотрим четырёхмерный случайный процесс {i(t), j(t),k(t),S(t)}, где i(t) - число работающих застрахованных лиц, j(t) - число пенсионеров, продолжающих работать, k(t) - число пенсионеров, не занимающихся трудовой деятельностью, S(t) - страховой капитал фонда в момент времени t.
Будем исходить из предположений: сумма страховых взносов, ежемесячно перечисляемая за застрахованное лицо в бюджет Пенсионного фонда, и размер ежемесячно выплачиваемой страховой части пенсии являются случайными величинами с функциями распределения A(x) и B(x) соответственно; продолжительность трудовой деятельности до достижения пенсионного возраста, трудовой стаж пенсионера, а также длительность пребывания человека на пенсии без занятия трудовой деятельностью есть экспоненциально распределенные случайные величины с параметрами m1, m2, m3 соответственно. Считаем, что, достигнув пенсионного возраста, человек продолжает работать с вероятностью r1 и впоследствии прекращает свою трудовую деятельность с вероятностью r2. Поток заявок на страхование полагаем простейшим с интенсивностью l.
Обозначим P(i, j,k,S,t) = P(i(t) = i, j(t) = j,k(t)= k,S S(t) S + dS).
Распределение P(i, j,k,S,t) удовлетворяет уравнению P(i, j,k,S,t) + (l + (m1 +12)i + (m2 + 24)j + (m3 +12)k)P(i, j,k, S,t) = t = lP(i -1, j,k,S,t) + m1r1(i +1)P(i +1, j -1,k,S,t) + m1 1- r1 P(i +1, j,k,S,t) + ( ) +m2r2( j +1)P(i, j +1,k -1,S,t) + m2 1- r2 ( j +1)P(i, j +1,k,S,t) + ( ) S +m3(k +1)P(i, j,k +1,S,t) +12(i + j) j,k,S - u,t)dA u + ( ) P(i, +12( j + k) j,k,S + u,t)dB u (1) ( ) P(i, и заданным начальным условиям P(i, j,k,S,t0 ) = P0 (i, j,k,S).
Исследование данной модели можно провести методом асимптотического анализа.
Рассмотрим предельный, при l о, процесс a t,b t,g t,n t { ( ) ( ) ( ) ( ) } для четырёхмерной последовательности случайных процессов 1 1 1 i(t), j(t), k(t), S(t).
l l l l Обозначим = e и выполним в (1) замену ie = x, je = y, ke = z, l Se= v, P i, j,k, S,t = p x, y, z,v,t,e, тогда уравнение (1) примет вид ( ) ( ) ep x, y, z,v,t,e ( ) + l 1+ m1 +12 x + m2 + 24 y + m3 +12 z p x, y, z,v,t,e = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t =lp x -e, y, z,v,t,e +m1r1l(x +e)p x +e, y -e, z,v,t,e + ( ) ( ) +ml 1- r1 (x +e)p x +e, y, z,v,t,e + ( ) ( ) +m2r2l(y +e)p x, y +e, z -e,v,t,e +m2 1- r2 l(y +e)p x, y +e, z,v,t,e + ( ) ( ) ( ) z e + m3l(z + e)p(x, y, z + e,v,t,e)+12l(x + y) y, z - ue,v,t,e)dA(u)+ p(x, + 12l(y + k) y, z + ue,v,t,e)dB(u).
p(x, Раскладывая функцию p(x e, y e, z e,v eu,t,e) в ряд по приращению аргумента с точностью до o(e) и выполняя предельный переход при e о 0, в результате несложных преобразований получим уравнение Фоккера-Планка для плотности p(x, y, z,v,t) распределения вероятностей значений четырёхмерного диффузионного процесса:
p(x, y, z,v,t) = - {(1- m1x)p(x, y, z,v,t)}- {(m1rx - m2 y)p(x, y, z,v,t)}t x y - (m2r2 y - m3z)p x, y, z,v,t - 12a1 x + y -12b1 y + z p x, y, z,v,t, { ( ) ( ) ( ) ( ) } ( ) } { z v где a1, b1 - первые начальные моменты случайных величин, определяемых функциями распределения A(x) и B(x). Тогда процессы a(t), b(t), g(t) и n t удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений ( ) a t =1- ma t, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b t = r1m1a t - m2b t, ( ) ( ) ( ) g t = r2m2b t - m3g t, n t = (12a1 a t +b t -12b1 b t +g t.
( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) В результате решения находим асимптотические средние процессов изменения численности застрахованных лиц и величины страхового капитала Пенсионного фонда:
1 a(t) = a0e-m (t-t0 ) + 1- e-m (t-t0 ), ( ) mr1r1 2 2 b(t) = e-m (t-t0 ) - e-m (t-t0 ) m1a0 -1 + 1- e-m (t-t0 ) +b0e-m (t-t0 ), ( ) ( ) ( ) m2 - m1 m3 e(m -m1 )(t-t0 ) -1 e(m -m2 )(t-t0 ) -g(t) = r1r2m1m2 - a0 - + (m3 -m1)(m2 -m1) (m3 -m2)(m2 -m1) mrr2 rr1 3 + em (t-t0 ) -1 - e(m -m2 )(t-t0 ) -1 + ( ) ( ) m3 m3 -mrr2mm3 +b0 1 1 e(m -m2 )(t-t0 ) -1 +g0e-m (t-t0 ), ( ) m3 -mt n(t) = (12(a(s) +b(s))a1(s) -12(b(s) -g(s))b1(s))ds +n0, (2) tгде a0 =a t0, b0 =b t0, g0 =g t0, n0 =n t0.
( ) ( ) ( ) ( ) i(t) Далее проведем исследование процесса отклонения процессов, l k t j(t) ( ) S(t),, от найденных средних a(t), b t, g(t), n t. Для этого ( ) ( ) l l l рассмотрим предельный, при lо, процесс для последовательности i(t) - la(t) j(t) - lb(t) k(t) - lg(t) S(t) - ln(t).
,,, llll Выполнив в уравнении (1) замену 2 2 e2 =, ie = a(t) + ex, je = b(t) + ey, ke = g(t) + ez, se2 =n(t) +ev, l P(i, j, k, s,t) = H (x, y, z,v,t,e), eполучим:
H (x, y, z,v,t,e) a (t) H (x, y, z,v,t,e) b (t) H (x, y, z,v,t,e) - -tx ey e g (t) H (x, y, z,v,t,e) n (t) H (x, y, z,v,t,e) - - + (l+l(a(t) +ex)(m1 +12) + ez ev +l(b(t) +ey)(m2 + 24) +l(g(t) +ez)(m3 +12))H (x, y, z,v,t,e) = =lH (x -e, y, z,v,t,e) +lr1m1(a(t) +e(x +e))H (x +e, y, z,v,t,e) + +l(1- r1)m1(a(t) +e(x +e))H (x +e, y, z,v,t,e) + +lr2m2(b(t) +e( y +e))H (x, y +e, z -e,v,t,e) + +l(1- r2)m2(b(t) +e(y +e))H (x, y +e, z,v,t,e) + n(t)+eu e+(12l(a(t) +ex) +12l(b(t) +ey)) H (x, y, z,v - ue)dA(u) + +(12l(b(t) +ey) +12l(g(t) +ez)) (x, y, z,v + ue)dB(u).
H Раскладывая функцию H (x e, y e, z e,v e,t,e) по приращениям аргументов в ряд Тейлора с точностью до o e2, после преобразований полу( ) чим:
H (x, y, z,v,t,e) = - (-m1xH (x, y, z,v,t)) - ((m1r1x - m2 y)H (x, y, z,v,t)) t x y - ((m2r2 y - m3z)H (x, y, z,v,t)) - (12((x + y)a1 - (y + z)b1)H (x, y, z,v,t)) + z v 1 2H (x, y, z,v,t) 1 2H (x, y, z,v,t) + (1+ m1a(t)) + (m1r1a(t) + m2b(t)) + 22 yx1 2H (x, y, z,v,t) + (m2r2b(t) + m3g(t)) + 2 z1 2H (x, y, z,u,t) + (12(a(t) + b(t))a2 +12(b(t) + g(t))b2) + 2 u2H (x, y, z,v,t) 2H (x, y, z,v,t) +m1r1a(t) - m2r2b(t).
xy yz Данное уравнение является уравнением Фоккера-Планка для плотности распределения вероятностей значений четырехмерного диффузионного процесса x(t), y(t), z(t),v(t) с коэффициентами переноса { } A1 = -m1x, A2 =m1r1x -m2 y, A3 =m2r2 y -m3z, A4 =12(x + y)a1 -12(y + z)bи коэффициентами диффузии B11 t =1+ma(t), B22 t =m1r1a(t) +m2b(t), B33 t = m2r2b(t) + m3g(t), ( ) ( ) ( ) B44 t =12(a(t) +b(t))a2 +12(b(t) +g(t))b2 ;
( ) B12 = -m1r1a(t), B23 t = -m2r2b(t), B13 t = B14 t = B24 t = B34 t = 0.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) В работе показано, что процессы x(t), y(t), z(t), v(t) определяются системой уравнений dx(t) =-m1xdt +s11(t)dw1(t), dy(t) = (m1r1y -m2y)dt +s21(t)dw1(t) +s22(t)dw2(t), (3) dz(t) = (m2r2y -m3z)dt +s33(t)dw3(t), dv(t) = (12xa1 +12 ya1 -12yb1 -12zb1)dt +s44(t)dw4(t), где w1(t), w2(t), w3(t), w4(t) - независимые винеровские процессы, а параметры s11 t, s21 t, s22 t,s33 t, s44 t имеют вид:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B12 t ( ) s11 t = B11 t, s22 t = B22 t -, s33 t = B33 t, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B11 t ( ) B12 t ( ) s44 t = B44 t, s21 t =.
( ) ( ) ( ) B11 t ( ) В силу выполненной замены процесс S(t) изменения страхового капитала Пенсионного фонда имеет вид S t = ln t + lv t, ( ) ( ) ( ) где детерминированная функция n t определяется формулой (2), а v(t) - ( ) гауссовский случайный процесс, определяемый системой (3) стохастических дифференциальных уравнений. Очевидно, что математическое ожидание процесса S(t) составляет ln t. Зная математическое ожидание и ( ) найдя корреляционную функцию, нетрудно получить другие характеристики изучаемого процесса.
Работа выполнена при поддержке АВЦП Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы), проект № 4761.
Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | 27 | Книги по разным темам