Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |   ...   | 46 |

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01-00614).

Гайдомак С. В. Список литературы 1. Боровских А. В. Групповая классификация уравнений эйконала для трехмерной неоднородной среды. Матем. сборник. 2004. Т. 195. № 4. С. 23Ц64.

2. Borovskikh A. V. Eikonal equations for an inhomogeneous anisotropic medium. Journal of Mathematical Sciences. 2010. V. 164. № 6. P. 859Ц880.

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С. В. Гайдомак Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск В докладе рассматривается смешанная задача для линейной дифференциально-алгебраической системы уравнений в частных производных A(x, t)tu + B(x, t)xu + C(x, t)u = f, tu u/t, xu u/x, A(x, t0)u(x, t0) = A(x, t0)(x), B1(x0, t)u(x0, t) = B1(x0, t)(t), (1) B2(X, t)u(X, t) = B2(X, t)(t), где fi = fi(x, t) и ui = ui(x, t), i = 1,..., n соответственно известная и искомая n-мерные вектор-функции, f = (f1, f2,..., fn), u = (u1, u2,..., un) ; A(x, t), B(x, t), C(x, t) заданные матрицы-функции порядка n с элементами, зависящими от переменных x R1 и t R1, (x, t) U = [x0; X] [t0; T ]; B(x, t) = B1(x, t) + B2(x, t), B1(x, t) 0, B2(x, t) 0 (x, t) U.

Предполагается, что в уравнении (1) элементы матриц A(x, t), B(x, t), C(x, t) и свободного члена f(x, t) принадлежат пространству Cp(U), где p некоторое целое положительное число, (x) Cp([x0, X], (t) Cp([t0, T ]); det(A(x, t)) 0, det(B(x, t)) 0.

Теорема. Пусть в начально-краевой задаче (1) выполнены следующие условия:

1) deg (, x, t) = p1, где (, x, t) = det (A(x, t) + B(x, t)), p1 = const, p1 = 0;

2) все корни характеристического многочлена (, x, t) вещественные и простые (x, t) U за исключением нулевых корней, кратность которых постоянна и равна p2, p2 < p1;

3) инвариантные многочлены пучка матриц-функций A(x, t) + B(x, t) не содержат делителей вида l, l, l > 1;

4) начальные и граничные данные согласованы в точке (x0, t0) со своими производными.

Тогда задача (1) имеет единственное решение u(x, t) Cp-1(U).

Доказательство теоремы выполнено методом конечных разностей [1] и основано на построении равномерно-сходящейся к решению задачи (1) последовательности функций из Cp-1(U), получающейся в результате аппроксимации равномерно-ограниченной [2] последовательности сеточных функций бикубическим сплайном. Единственность решения задачи (1) обосновывается с помощью энергетического тождества [3].

Список литературы 1. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

2. Гайдомак С. В. Об устойчивости неявной разностной схемы для линейной дифференциально-алгебраической системы уравнений в частных производных. Журн.

вычислит. математики и мат. физики. 2010. Т. 50. № 4. С. 707Ц717.

Елизаров А. М., Маклаков Д. В. 3. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩЕГО В ТЕОРИИ ВНУТРЕННИХ ВОЛН К. В. Голосов Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Рассматривается задача о нелинейных возмущениях операторного уравнения, возникающего в задаче о стационарных внутренних волнах на границе раздела однородной и экспоненциально стратифицированной жидкостей. Для данного уравнения построено семейство приближенных решений типа уединенных волн. С этой целью исследованы аналитические символы псевдодифференциальных операторов, возникающих в интегральном представлении резольвенты линеаризованного оператора, и выделена главная часть резольвенты в окрестности границы непрерывного спектра. Следует отметить, что построение приближенных решений в виде рядов возмущений непосредственно в исходной краевой задаче затруднительно ввиду сингулярного поведения границы спектра в пределе слабой стратификации [1, 2]. Полученный результат дает основу для доказательства существования точных решений уравнений Эйлера в окрестности построенных приближенных решений с помощью метода Ньютона.

Список литературы 1. Макаренко Н. И., Мальцева Ж. Л. О спектре фазовых скоростей внутренних волн в слабостратифицированной двухслойной жидкости. Изв. РАН. Механика жидкости и газа, № 2, 2009.

2. Макаренко Н. И., Мальцева Ж. Л. Уединенные волны в двухслойной слабостратифицированной жидкости. ПМТФ. 2009. Т. 50. № 2. С. 72Ц78.

КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ ВАРИАЦИОННЫХ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ А. М. Елизаров, Д. В. Маклаков НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева Казанского университета Задачи, обсуждаемые в докладе, восходят к [1] и связаны с поиском ответа на вопросы, какую максимальную подъемную силу можно получить на профиле крыла и какова форма такого профиля. Они получили название вариационных обратных краевых задач аэрогидродинамики (см. [2], [3]) и реализуют один из подходов к оптимизации аэродинамических форм.

Форма искомого контура и его аэродинамические характеристики однозначно определяются парой {P (), } (P () 2-периодическая управляющая функция, теоретический угол атаки), которая по меньшей мере должна удовлетворять условиям разрешимости задачи, а также требованию ограниченности заданным значением vmax максимального значения скорости потока. Названные ограничения определяют допустимое множество K управляющих функций, и существенным является вопрос о его непустоте. В работе в рамках модели газа Чаплыгина дозвукового обтекания получены критерий непустоты этого множества и ограничения на параметры vmax и, гарантирующие выполнение критерия.

Елизаров А. М., Маклаков Д. В. Условия разрешимости задачи характеризует аффинное множество K0 ={P () L2[0, 2] :

A0(P ) = A1(P ) = A2(P ) = 0} из пространства L2[0, 2]. Здесь 2 A0(P ) = P ()d - B0, A1(P ) + iA2(P ) = P ()eid - B1 - iB2, 0 c22 sin B0 = 2 ln, B1 + iB2 = -4i, = (), () = ;

1 + c1 + 1 + 4c = v/a, v заданная величина скорости потока на бесконечности, a критическая скорость звука, c2 = 0.296 параметр модели. Ограничение на максимум скорости задает выпуклое замкнутое множество K1 = {P () L2[0, 2] : P () H(, ) для почти всех [0, 2]}, H(, ) ln [(max)/M(, )], M() = 2 |sin + sin |.

При фиксированном значении имеем K = K0 K1.

Теорема [4]. При заданных значениях > 0, max > 0 и 0 /2 необходимое и достаточное условие непустоты K имеет вид max > (, ) при > 0; max при = 0, aA (a, ) =, A =.

A cosh(A sin ) - sinh(A sin ) 1 + 4c2aПри max = и = 0 множество K состоит из функции P () = H(, 0), которой соответствует обтекание пластины под нулевым углом атаки.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00163).

Список литературы 1. Лаврентьев М. А. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана. Труды ЦАГИ им. Н. Е. Жуковского. 1934. Вып. 155. 41 с.

2. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики: теория и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей.

М.: Физматлит, 1994. 436 с.

3. Елизаров А. М., Касимов А. Р., Маклаков Д. В. Задачи оптимизации формы в аэрогидродинамике. М.: Физматлит, 2008. 572 с.

4. Елизаров А. М., Маклаков Д. В. Об ограничениях на максимум скорости в обратных краевых задачах аэрогидродинамики. Докл. РАН. 2010. Т. 430, № 5. С. 631Ц634.

Жибер А. В., Костригина О. С. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ И КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ А. В. Жибер1, О. С. КостригинаИнститут математики с В - УН - РАН, Уфа Уфимский государственный авиационный технический университет Известно, что симметрийный подход для решения проблемы классификации интегрируемых нелинейных гиперболических систем уравнений i uxy = F (u, ux, uy) (ui = F, i = 1, 2,..., n) (1) xy даже в простейших ситуациях приводит к серьезным техническим трудностям.

В предлагаемой работе для решения классификационной задачи используется метод, связанный с характеристической алгеброй Ли. Идеи этого алгебраического подхода были предложены в классических работах Гурса, Вессио и других авторов, однако окончательное его формирование произошло в конце прошлого века (см., например, [1], [2]).

Пусть X характеристическая алгебра Ли системы уравнений (1) есть алгебра A, порожденная векторными полями i Xi =, Xn+1 = i + Dk-1(F ), i = 1, 2,..., n, i ui ui 1 k k=где u1 = ux, 1 = uy, u2 = uxx, 2 = uyy,... ; D оператор полного дифференцирования по переменной x. Аналогично определяется y характеристическая алгебра Ли. Система уравнений (1) интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда характеристические алгебры x и y конечномерны (см. [3]). В настоящей работе получен ряд систем уравнений (1), обладающих полным набором интегралов первого и второго порядка.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 08-01-00440-а, 09-01-92431-КЭ-а).

Список литературы 1. Лезнов А. Н., Смирнов В. Г., Шабат А. Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем. // Теоретическая и математическая физика. 1982. Т. 51, № 1. С. 10Ц21.

2. Жибер А. В., Мукминов Ф. Х. Квадратичные системы, симметрия, характеристичекие и полные алгебры. // Задачи математической физики и асимптотика их решений: сборник научных трудов БН - УрО АН СССР. Уфа. 1991. С. 14Ц32.

3. Жибер А. В., Костригина О. С. Точно интегрируемые модели волновых процессов. // Вестник УГАТУ. 2007. Т. 9, № 7 (25). С. 83Ц89.

Кожевникова Л. М., Каримов Р. Х. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ О. В. Капцов, И. В. Коростелев Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск Предложен метод преобразования специальных линейных дифференциальных уравнений в частных производных с произвольным числом независимых переменных. Введены понятия результанта линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами, операторов произвольного порядка, замкнутых относительно коммутирования, двумерного аналога вронскиана. Найдены достаточные условия того, что два дифференциальных оператора являются образующими левого идеала, аннулирующего конечномерное пространство функций. Доказано, что преобразования Эйлера Дарбу порождают отношение эквивалентности на некотором классе уравнений. Получена формула суперпозиции преобразований Эйлера Дарбу, доказана УобратимостьФ дифференциального отображения Эйлера. Конструктивно строятся дифференциальные операторы, переводящие решения одного дифференциального уравнения второго порядка в решения другого уравнения того же порядка.

Предложено обобщение метода на системы линейных дифференциальных уравнений. Данный подход применяется для решения начально-краевых задач гиперболических уравнений.

Представлены приложения данного подхода к модели неоднородной акустики и колебаниям неоднородных стержней переменного диаметра. Найдены общие решения для счетного набора классических уравнений Дарбу, указаны случаи эквивалентности многомерного уравнения Шредингера и уравнения Лапласа.

УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ С НЕКОМПАКТНЫМИ ГРАНИЦАМИ Л. М. Кожевникова1, Р. Х. КаримовСтерлитамакская государственная педагогическая академия им. З. Биишевой Институт прикладных исследований, Стерлитамак В цилиндрической области D = {t > 0} рассматривается задача n -ut = (|u|m-1ux )x - |u|q u, 1 m, 1 q m + 2(m + 1)/n; (1) =u(t, x) S = 0, S = {t > 0} ; u(0, x) = (x), (x) L2(). (2) Работа посвящена исследованию зависимости скорости стабилизации при t от геометрии неограниченной области решения задачи (1), (2) с финитной начальной функцией (x).

Предполагается, что неограниченная область Rn, n 2, представлена в виде объеди нения = (N) последовательности вложенных (N-1) (N) ограниченных областей N=так, что дополнения (N) = (N) \ (N-1) и пересечения ((N-1)) = S(N-1), N = 1,, (N-1) являются связными подобластями и гиперповерхностями соответственно.

У Ф У Ф Положим (N) = inf g m+1 g(x) C0 (), g m+1 = 1, Lm+1 (N) Lm+1 (N) (N-1) (N-1) t(N) = dist(S(N), S(N-1)), N = 1,. Будем предполагать, что существует число > 0 такое, что выполняются неравенства 1 (N)(t(N))m+1, N = 1,.

Крайко А. Н., Пьянков К. С., Тилляева Н. И. Определим Fm(N) = 1/ inf g Lm+1((N)) g(x) C0 (), g L2((N)) = 1, N = 0,.

Пусть Nm(t), m 1 произвольные неотрицательные функции, удовлетворяющие неравенm+1 ствам Fm (Nm(t)) exp(m(m - 1)Nm(t)) t, m > 1, t > 0; N1(t)F1 (N1(t)) t, t 0.

Теорема. Существуют положительные числа () и Mm(m,, ) такие, что для решения u(t, x) задачи (1), (2) справедливы оценки (m+1)/(m-1) при m > 1 u(t) Mmt-1/(m-1)Fm (Nm(t)), t > 0, (3) L2() при m = 1 u(t) M1 exp(-N1(t)), t 0. (4) L2() Точность оценок (3), (4) подтверждается оценками снизу из работ первого автора и статьи [1].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01-00440-a).

Список литературы 1. Тедеев А. Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений. Укр. мат. журн. 1992. Т. 44. № 10. С. 1441Ц1450.

СОПРЯЖЁННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА ПРИ ОПТИМАЛЬНОМ ПРОФИЛИРОВАНИИ СОПЛА ЛАВАЛЯ А. Н. Крайко, К. С. Пьянков, Н. И. Тилляева Центральный институт авиационного моторостроения им. П.И. Баранова, Москва Согласно [1, 2] контур сопла, реализующего максимум тяги при заданных габаритах, полной энтальпии и энтропии газа на выходе из камеры сгорания, расходе газа и внешнем давлении, содержит внезапное сужение (ВС), появляющегося из-за ограничения на полную длину сопла. Чтобы даказать, что ВС - участок краевого экстремума, привлечём метод множителей Лагранжа. В нём множители 1 и 2, вводящие в функционал Лагранжа уравнения неразрывности и безвихренности, в плоском случае определятся решением сопряжённой задачи для системы смешанного типа a2 - u2 1 uv 1 2 uv 1 a2 - v2 1 - - = 0, - - = 0. (1) a2 x a2 y y a2 x a2 y x В переменных годографа V и система (1) приводится к V 1V + 2 = 0, (M2 - 1)1 + V 2V = 0, (2) а исключение из последней множителя 1 приведёт к уравнению для - 2 2 2 2 2 (1 - V )22 + V (1 - V )(1 - V )2V V + V [1 + (1 - 2)(2 - V )V ]2V = 0, =. (3) + При V и М > 1 системы (1) или (2) решаются от сечения выхода до C--характеристики od, соединяющей центр сопла o с изломом контура в нижней точке ВС d. Слева от od для 2 получается задача, отличающаяся от задачи Трикоми тем, что согласно (2) 2V = 0 при М = 1. Поэтому уравнение (3) определяет 2 слева от od независимо от его значений справа от этой C--характеристики, и od становится линией разрыва 2 и 1.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00178) и АВЦП РНПВШ (код проекта 2.1.1/200).

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |   ...   | 46 |    Книги по разным темам