Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 |

Рассмотрим регуляризованную задачу, решение которой зависит от положительного параметра. Затем установим разрешимость этой вспомогательной задачи и получим априорные оценки, равномерные по указанному параметру.

В заключение осуществим переход к пределу при 0.

Итак, пусть положительный параметр, 0. Рассмотрим регуляризованную задачу u = (u1, u2) L2(c), w L2(c), (, m) K(c), (25) u - div = F в c, (26) w - m = f в c, (27) (C, - ) + (Dm, m - m) + (u, div - div ) c c c + (w, m - m) 0 (, m) K(c). (28) c Мы не указываем здесь зависимость решения от для упрощения записи. Из (25)Ц(28) следует, что (u, u) - (div, u) = (F, u), (w, w) - (m, w) = (f, w), c c c c c c -(u, div 0-div ) -(w, m0-m) -(C, 0-) -(Dm, m0-m) 0.

c c c c Складывая эти соотношения, получаем равномерную по оценку u 2 + w 2 + 2 + m 2 c. (29) L2(c) L2(c) L2(c) L2(c) Метод гладких областей Поскольку из (26), (27) вытекает справедливость уравнений div = u - F, m = w - f в c, в силу (29) получаем такую равномерную по оценку:

div 2 + m 2 c. (30) L2(c) L2(c) Выражая u и w из (26), (27) и подставляя в (28), придем к следующему вариационному неравенству относительно, m:

1 (, m) K(c), (F + div, div - div ) + (f + m, m - m) c c + (C, - ) + (Dm, m - m) 0 (, m) K(c). (31) c c Очевидно, решение неравенства (31) эквивалентно минимизации слабо полунепрерывного снизу и коэрцитивного на H(c) функционала 1 G(, m) = div 2 + m 2 + (C, ) L2(c) L2(c) c 2 1 1 + (Dm, m) + (F, div ) + (f, m) c c c на выпуклом слабо замкнутом множестве K(c). Это означает, что решение вариационного неравенства (31) существует при фиксированных > 0. Следовательно, существует решение задачи (25)Ц(28) при фиксированных.

Теперь осуществим предельный переход при 0. Решение задачи (25) - (28) при данном фиксированном обозначим через u, w,, m. Это решение удовлетворяет соотношениям u - div = F в c, (32) w - m = f в c, (33) (C, - ) + (Dm, m - m) + (u, div - div ) c c c + (w, m - m) 0 (, m) K(c). (34) c Из (34) заключаем, что в смысле распределений выполнены уравнения C - (u) = 0, Dm + w = 0 в c, (35) следовательно, (u) L2(c). В области c выполнено второе неравенство Корна и u L2(c), поэтому u H1(c). Так как n принимают произволь ные значения на внешней границе при (, m) K(c), из (34) легко получаем u = 0 на.

Итак, u = (u, u) H1,0(c). Воспользуемся первым неравенством Корна 1 u H1,0 + u H1,0 c (u) L2, (c) (c) (c) 1 где постоянная c зависит лишь от области c. Ввиду того, что (u) ограничены в L2(c) равномерно по, имеет место равномерная по оценка u H1,0 c, i = 1, 2. (36) (c) i 1396 А. М. Хлуднев Далее, из второго уравнения (35) заключаем, что w L2(c), следовательно, w H2(c). Поскольку m и t(m) принимают произвольные значения на при (, m) K(c), то из (34) вытекает, что w w = = 0 на.

n Поэтому w H2,0(c). Можно воспользоваться неравенством w H2,0 c w L(c) (c) с постоянной c, зависящей лишь от области c, что приведет к равномерной по оценке w H2,0 c. (37) (c) Из (29), (30) имеем также (, m) H( ) c. (38) c Оценки (36)Ц(38) дают возможность выбрать подпоследовательность u, w,, m, которую обозначаем прежним образом, такую, что при u ui слабо в H1,0(c), сильно в L2(c), i = 1, 2, i w w слабо в H2,0(c), сильно в L2(c), (, m) (, m) слабо в H(c).

Эта сходимость позволяет осуществить предельный переход в (32)Ц(34), что и приводит к (15)Ц(18). Итак, существование решения задачи (15)Ц(18) доказано.

Покажем, что решение будет единственным. Предполагая, что существуют два решения (u1, w1, 1, m1) и (u2, w2, 2, m2), из (18) получим, что 1 = 2, m1 = m2. Так как Ci - (ui) = 0, Dmi + wi = 0 в c, i = 1, 2, имеем (u1 - u2) = 0, (w1 - w2) = 0, откуда и следует, что u1 = u2, w1 = w2.

Теорема 1 полностью доказана.

3. Метод гладких областей В этом разделе предлагается новая формулировка задачи (1)Ц(8) о равновесии упругой пластины с трещиной, при которой решение ищется в гладкой области. Фактически мы продолжаем искомые функции в более широкую область из области c. Для продолженных функций будем сохранять те же обозначения. Именно, в области требуется найти функции u = (u1, u2), w, = {ij}, m = {mij}, i, j = 1, 2, такие, что - div = F в, (39) -m = f в, (40) C - (u) + p(u) = 0 в, (41) c Dm + w + P (w) = 0 в, (42) w u = w = = 0 на, (43) n Метод гладких областей w, = 0, t(m) = 0 на c, [u] (44) w |m| -, [u] - m = 0 на c. (45) Здесь p(u)ij = ([ui]j + [uj]i), P (w)ij = -([w]i ),j - [w ]j,,i c c а обобщенная функция простого слоя на поверхности c.

c Основное отличие формулировки (39)Ц(45) от (1)Ц(8) состоит в том, что условия (44), (45) являются внутренними в том смысле, что они заданы на подмножестве области определения решения, а не на его границе. В задаче (1) - (8) условия (6)Ц(8) являются граничными, так как заданы на границе области.

Уравнения (41), (42) вытекают из (3), (4) после продолжения функций u, w,, m из области c в область. Такое продолжение фактически сводится к (произвольному) доопределению указанных функций на кривой c. Очевидно, справедлив и обратный переход: из уравнений (39)Ц(42) следуют уравнения (1) - (4). Важно отметить, что решение задачи (1)Ц(8), найденное из вариационного неравенства (9), обладает свойством [] = 0, [m] = 0, [t(m)] = 0 на c. (46) Это дает возможность записать уравнения равновесия (1), (2) в том же самом виде в области, что и в области c (см. (39), (40)). Проверим это утверждение.

Из (9) вытекает, что, div, m, m L2(c), - div = F в, (47) -m = f в. (48) Скобками , будем обозначать значение обобщенной функции на элементе C0 (). Пусть, m продолженные в область функции. Тогда, учитывая граничные условия (46) и уравнения (47), (48), для C0 () получаем ij,j + Fi, = -(ij,,j) - (ij,,j) + (Fi, ) 1 = [ijj], 1 + (ij,j + Fi, ) + (ij,j + Fi, ) = 0, i = 1, 2, 1 m + f, = (m, ) + (m, ) + (f, ) 1 = (m + f, ) + (m + f, ) 1 + [t(m)], 3 - [m], = 0.

Проведенные рассуждения и доказывают справедливость уравнений (39), (40) в смысле обобщенных функций.

Для того чтобы дать слабую формулировку задачи (39)Ц(45) с указанием классов функций, в которых ищется решение, введем пространство H () = {(, m) | = {ij}, m = {mij};, div L2(), m, m L2()} с нормой (, m) 2 = 2 + div 2 + m 2 + m H () L2() L2() L2() L2() 1398 А. М. Хлуднев и рассмотрим множество допустимых напряжений и моментов K () = {(, m) H () | = 0, t(m) = 0, |m| - на c}.

Интерпретация условий, налагаемых на, m в определении множества K (), в данном случае проще, чем в предыдущем разделе. Это связано с тем, что для любой кривой, удовлетворяющей необходимым условиям, функционалы i, m, однозначно определены в пространстве H- (), а функционал t(m) однозначно определен в пространстве H- (). Таким образом, сформулированные для, m условия в определении множества K () выполнены в следующем смысле:

m, 1 0 H (), 0 п. в. на c, supp c,, 1 = 0 = (1, 2) H (), ii = 0 п. в. на c, supp c, t(m), 3 = 0 H (), supp c.

Так же, как и ранее, доказывается, что множество K () выпукло и замкнуто в H ().

Слабая формулировка задачи (39)Ц(45) состоит в следующем. Требуется найти функции u, w,, m такие, что u = (u1, u2) L2(), w L2(), (, m) K (), (49) - div = F в, (50) -m = f в, (51) (u, div - div ) + (w, m - m) + (C, - ) + (Dm, m - m) 0 (, m) K (). (52) Неравенство (52) следует из (18) с учетом включений div L2(), m L2(), дающих возможность интегрирование по c заменить интегрированием по. Это же неравенство можно получить из (41), (42), если умножить (41), (42) на -, m - m соответственно, (, m) K (), и осуществить необходимое интегрирование.

Имеет место следующая Теорема 2. Существует единственное решение задачи (49)Ц(52).

Доказательство. Общая схема рассуждений остается такой же, как и при доказательстве теоремы 1. Поэтому отметим лишь особенности данного случая. Сначала заметим, что использованные в теореме 1 функции 0, mмогут быть продолжены в область, так что - div 0 = F, -m0 = f в, (53) и при этом (0, m0) K (). Для положительного параметра рассмотрим вспомогательную задачу u = (u1, u2) L2(), w L2(), (, m) K (), (54) u - div = F в, (55) w - m = f в, (56) Метод гладких областей (C, - ) + (Dm, m - m) + (u, div - div ) + (w, m - m) 0 (, m) K (). (57) Из (54)Ц(57) следует равномерная по оценка u 2 + w 2 + (, m) 2 c. (58) L2() L2() H () Разрешимость задачи (54)Ц(57) при фиксированных значениях параметра можно доказать так же, как и разрешимость задачи (25)Ц(28). Покажем, как можно перейти к пределу при 0. Пусть решение задачи (54)Ц(57) при фиксированном обозначено через u, w,, m. Это решение удовлетворяет соотношениям u - div = F в, (59) w - m = f в, (60) (u, div - div ) + (w, m - m) + (C, - ) + (Dm, m - m) 0 (, m) K (). (61) Так же, как и в теореме 1, получим u H1,0 c, i = 1, 2, (62) (c) i w H2,0 c. (63) (c) В силу (58), (62), (63), можно предполагать, что при u ui сильно в L2(), i = 1, 2, w w сильно в L2(), i (, m) (, m) слабо в H ().

Эта сходимость позволяет осуществить предельный переход при 0 в (59) - (61), что и приводит к (49)Ц(52).

Единственность решения доказывается по той же схеме, что в теореме 1.

Теорема 2 полностью доказана.

Формулировка задачи о равновесии пластины с трещиной в виде (49) - (52) привлекательна тем, что область, в которой ищется решение, не содержит негладких компонент границы. Имеющиеся при этом ограничения на, m заданы во внутренних точках. В этом смысле формулировка задачи весьма напоминает контактные задачи для пластин с ограничениями, заданными на поверхностях меньших размерностей. Обширный класс контактных задач для пластин с ограничениями на решение и их анализ можно найти в [9].

В заключение работы отметим, что если обратиться к классической постановке краевой задачи теории трещин для пластин, то вместо краевых условий (6)Ц(8) будем иметь m = t(m) = = = 0 на . (64) c В этом случае предлагаемый в работе метод гладких областей, при котором решение ищется в области без разрезов, применим и к задаче (1)Ц(5), (64). При этом множество допустимых напряжений и моментов определяется так:

K () = {(, m) H () | m = t(m) = = = 0 на c}. (65) Вместо неравенства (52) получим тождество (u, div ) + (w, m) + (C, ) + (Dm, m) = 0 (, m) K (). (66) Таким образом, метод гладких областей в классической задаче теории трещин для пластин может быть сформулирован в виде (49)Ц(51), (66), где множество K () определено в (65).

1400 А. М. Хлуднев ЛИТЕРАТУРА 1. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. New York: Springer-Verl., 1991.

2. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.

3. Партон В. З., Морозов E. M. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1985.

4. Ohtsuka K. Mathematics of brittle fracture // Theoretical studies on fracture mechanics in Japan. Hiroshima: Hiroshima-Denki Inst. Technology, 1995. P. 99Ц172.

5. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991.

6. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

7. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.

8. Соколовский Я., Хлуднев А. М. О дифференцировании функционалов энергии в теории трещин с возможным контактом берегов // Докл. РАН. 2000. Т. 374, № 6. С. 776Ц779.

9. Khludnev A. M., Sokolowski J. Modelling and control in solid mechanics. Basel; Boston;

Berlin: Birkhuser, 1997.

10. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: МГАПИ, 1997.

11. Темам Р. Математические задачи теории пластичности. М.: Наука, 1991.

12. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. Boston; London; Melbourne: Pitman, 1985.

Статья поступила 8 февраля 2002 г.

Хлуднев Александр Михайлович Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, пр. Акад. Лаврентьева, 15, Новосибирск khlud@hydro.nsc.ru Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам