Geum.ru
   Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 |

||( ) 0|| Следовательно, учитывая (26) и то, что M, отсюда имеем w(v()) > o|| > o, || || где o > 0, 1 > 0, < 0. Поскольку w(x) = o(x) при x, из этих оценок вытекает, что < -1 -1w(v) < -1(v), (27) 1 o || где v = v(), < < 0. Последняя оценка верна, в частности, для = j (j j ). Так что, как видно из (25)Ц(27), для функции w условия (13), (14) В-устойчивость максимального члена адамаровской композиции леммы выполнены. Кроме того, из (27) следует, что w(v()) (v())w(v()) 0 < -1 ||v() v() при 0 -. Поэтому, применяя лемму, при 0- вне некоторого множества e1 [-1, 0), m(e1 [j, 0)) = o(|j|) (j 0-), получаем, что w(v) ( + h) < ()(1+o(1)), h =, v = v(). (28) v Пусть n Rv = |an|e, n>v а m 1 такое, что = Cm <.

m n n=При условии (1) такое m существует. Далее, при [o, 0)\e1 имеем n Rv ( + h) e-h Cm( + h) exp[max (t)], tv n>v где (t) = m ln t - ht. Поскольку (t) = 0 в точке t = t, m v t = = m m v < v = v(), h w(v) с учетом (24), (28) при 0- вне e1 получаем, что Rv Cm()(1+o(1)) exp[-w(v)(1 + o(1))] = ()-1(1+o(1)). (29) Значит, при [1, 0)\e1 получаем, что () v(), где = () центральный индекс ряда (2). Тогда при 0- вне e1 с учетом (23), (24) имеем () = |a|e = |ab|e |b|-1 ()ew(v) = ()()o(1).

Следовательно, при 0- вне e1 [-1, 0) верна оценка (1 + o(1)) ln () ln (). (30) n С другой стороны, так как |bn| ew( ) (n 1), то k k () = |akbk|e ()ew( ), (31) где k = k() центральный индекс ряда (3).

Пусть x = x() решение уравнения w(x) = 3 ln (), (32) n а Rx = |an||bn|e. Получим для Rx оценку типа (29).

n>x Пусть {j} последовательность, введенная выше. Из (30) при [2, 0)\eимеем ln () < ln (). (33) Если для некоторой подпоследовательности {j } последовательности {j} выn полнены оценки ln (j ) < ln (j ), то, учитывая (24), (32), получаем, что n n 2 ln (j ) = w(v(j )) < 3 ln (j ) = w(x(j )) (n 1).

n n n n Следовательно, v(j ) < x(j ) (n 1). Далее, поскольку F D (), то при n n o некоторых > 0, p > ln () p > 0, = j (n 1).

n ||( ) || 1280 А. М. Гайсин, Т. И. Белоус Пользуясь тем, что M, при некотором q (0 < q < 1) отсюда получаем, что (||-1) ln () p > p(q||-1), = j (n n0). (34) n ||-Отсюда c учетом (24) вытекает оценка < A(v(j )) (n n1). (35) n |j | n Но v(j ) < x(j ) (n 1). Следовательно, из (25), (35) имеем n n J(x(j ); w) < A(vj )J(vj ; w) = o(1) n n n |j | n при j 0 -. Учитывая это, применим лемму к функции u() = ln 3 + n ln ln (). Тогда при 0- вне некоторого множества e2 [-1, 0), m(e2 [j, 0)) = o(|j |), j 0-, n n n получаем оценку w(x) ( + h) < ()1+o(1), h =, x = x(). (36) x Отсюда тем же способом, каким была установлена оценка (29), получаем, что при 0- вне e Rx < ()-2(1+o(1)). (37) Пусть теперь (3/2) ln (j) ln (j) для любого j (j j1). Рассмотрим множество Aj = {x : x j, ln (j) < (3/2) ln (x)} (j j1). Поскольку j Aj для j j1, из непрерывности функции () следует, что ln (j) = ln (xj), где xj = inf{x : x Aj}. Следовательно, из (24), (32) получаем, что w(v(j)) = w(x(xj)), т. е. v(j) = x(xj) (j j1). Из (33) следует, что (j, xj) e1. Так как m(e1 [j, 0)) = o(|j|) при j 0-, то при этом xj - j = o(|j|), т. е. xj = (1 + o(1))j. Значит, учитывая (25) и оценку типа (35), имеем 1 J(x(xj); w) = J(vj; w) |xj| (1 + o(1))|j| при j (vj = v(j)). Видим, что функции w и u() = ln 3 + ln ln () удовлетворяют всем условиям леммы. Значит, согласно лемме оценка (36), а следовательно, и (37), справедлива при 0- вне некоторого множества e[-1, 0), m(e3 [xj, 0)) = o(|xj|), xj 0 -. Тем более m(e3 [j, 0)) = o(|j|), j 0-. Таким образом, при 0- вне множества e4 = e2e3, m(e4[j, 0)) = n o(|j |) (j 0-), имеет место оценка (37). Но это означает, что k() x(), n n если [3, 0) \ e4. Тем самым из (31) получаем, что для таких () ()ew(x()) = ()()o(1), т. e.

(1 + o(1)) ln () ln (). (38) Из оценок (30), (38) окончательно получаем, что при 0- вне множества e = e1 e4, m(e[j, 0)) = o(|j |) (j 0-), выполняется требуемое равенство n n n ln () = (1 + o(1)) ln ().

Поскольку de = 0, достаточность установлена.

Необходимость. Мы должны показать, что если последовательность {bn} W-нормальна, а для любой функции F D () максимальный член представo ляющего ее ряда (2) B(d)-устойчив, то существует функция w W такая, что n |bn| + ew( ) (n N).

|bn| В-устойчивость максимального члена адамаровской композиции Пусть это не так. Тогда для последовательности {ln |bn|} не существует n=N мажоранты w(n), w W Это означает, что.

(x) lim (t) dx > 0, (39) xt t где = (t) наименьшая неубывающая мажоранта последовательности {ln |bn|}, т. е. (t) = max{ln |bn| : n N}. Не теряя общности, можно n=N nt считать, что (t) > 0 при t N. Заметим, что (t) непрерывная справа ступенчатая функция. Пусть T = {tn} последовательность всех точек разрыва функции (t). Ясно, что T. Пусть q (0 < q < 1) произвольное, но фиксированное число, (t) = q(t), In = J(tn; ), Gn = -tnIn (n 1). Положим e-G, если k = 1, 2,..., j1;

n ak = e-G, если k = jn (n 1);

n e- (k)-1, если jn < k < jn+1 (n 1), где y = n(x) уравнение прямой, проходящей через точки Pn = (tn, Gn) и Pn+1 = (tn+1, Gn+1).

Убедимся, что Rn 0 при n, где Gn+1 - Gn Rn =.

tn+1 - tn (tn) Действительно, Rn = -In + (n 1) (мы воспользовались тем, что (t) = tn q(t), а (t) = (tn) при tn t < tn+1). Отсюда получаем, что (tn+1) - (tn) Rn+1 - Rn = q > 0 (n 1).

tn+Но так как Gn = o(tn) при n, то, действительно, Rn 0 при n.

Следовательно, совокупность всех отрезков прямых, соединяющих точки Pn и Pn+1 (n 1) является выпуклым полигоном Ньютона L(F ) для ряда Дирихле [1] k F (s) = ake s. (40) k=Поскольку точки (k, - ln |ak|) при jn < k < jn+1 (n 1) лежат выше L(F ), вершинами полигона L(F ) являются как раз точки Pn = (tn, Gn), tn = j n (n 1). Имея это в виду, оценим максимальный член () ряда (40) сверху.

n При Rn-1 < Rn максимальный член равен |an|e [1]. Следовательно, для любого n tn+ tntn+1 (x) ln () = -Gn + tn = tn(In + ) < dx = qn. (41) tn+1 - tn xtn С другой стороны, jn n () |aj bj |e, bj = e(t ), (tn) = n (n 1).

n n n Поэтому для Rn-1 < Rn получаем ln () = n + tn(In + ) = n + ln () > n (n 1). (42) Таким образом, из (41), (42) следует, что ln () < q ln (), если Rn-1 < Rn (n 1). Значит, ln () lim q < 1, 0- ln () 1282 А. М. Гайсин, Т. И. Белоус и максимальный член () не обладает свойством B(d)-устойчивости.

Убедимся, что F D (). Действительно, из представления [1] o ln () = ln (-1) + (t) dt -получаем, что / || ln (t)dt () ( < 0). (43) 2 (tn) Далее, Rn = -In +, (tn) = nq (n 1). Следовательно, с учетом (12), tn (39) имеем (tn) |Rn|(tn) = In(tn) - (tn) > 0 (n 1).

tn Пусть Rn-1 < Rn. Тогда () = tn, и () /|Rn| > /||, = ().

Тем самым из (43) выводим, что для Rn-1 < Rn (n 1) || || ln > >, n.

2 2 2 || Это означает, что ln () lim > 0, =.

||( ) 0- || Значит, F D ().

o Теорема 2 полностью доказана.

Замечание. Если B = m (m = 1, 2,... ), то из теоремы 2 вытекает, n n=что для любой функции F D () при 0- вне некоторого множества o e [-1, 0), de = 0, будет ln () = (1+o(1)) ln m(), где m() максимальный член ряда (m) m F (s) = anme s, n n=(m) а F (s) производная порядка m функции F (s).

ИТЕРАТУРА 1. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

2. Гайсин А. М. Оценка ряда Дирихле с лакунами Фейера // Докл. РАН. 2000. Т. 370, № 6.

С. 735Ц737.

3. Гайсин А. М. Поведение логарифма модуля суммы ряда Дирихле, сходящегося в полуплоскости // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т. 53, № 4. С. 173Ц185.

.

4. Цегелик Г. Г. Свойства мажоранты и диаграммы Ньютона функции, аналитической в круге // Укр. мат. журн. 1997. Т. 29, № 4. С. 560Ц562.

.

Статья поступила 3 июля 2000 г., окончательный вариант 23 февраля 2001 г.

Гайсин Ахтяр Магазович Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, ул. Чернышевского, 112, Уфа gaisin@imat.rb.ru Белоус Татьяна Ивановна Уфимский гос. авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12, корп. 8, комн. 313, Уфа belousti@yandex.ru Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам