Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Сибирский математический журнал Май июнь, 2006. Том 47, № 3 УДК 517.518 TЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА CОБОЛЕВА - МОРРИ l Sp,a,, W (G) С ДОМИНИРУЮЩИМИ СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ А. М. Наджафов Аннотация: Построены пространства типа Соболева Морри с доминирующими смешанными производными и с помощью полученного интегрального представления доказаны теоремы вложения в этих пространствах.

Ключевые слова: пространство типа Соболева Морри с доминирующей смешанной производной, гибкий рог, интегральное представление, теорема вложения, условие Г ельдера.

В связи с тем, что некоторые смешанные производные Df не могут быть l оценены через производные функции f, входящие в нормы пространств Wp l и Hp, возникла необходимость рассмотрения пространств функций другого типа, где доминирующую роль играют смешанные производные. Пространства l l SpW (l Nn) и SpH функций с доминирующей смешанной производной введены и изучены С. М. Никольским [1], а позднее А. Д. Джабраиловым [2]; проl странства SpW были распространены на случай, когда l = (l1, l2,..., ln), где lj 0 могут не быть целыми.

l В работе вводится пространство Sp,a,, W (G) (l Nn; p [1; )n; a [0, 1]n; (0, )n; [1, ]) типа Соболева Морри с доминирующими l смешанными производными. Это пространство построено на базе SpW пространства Соболева с доминирующей смешанной производной и пространства типа Морри Lp,a,, (G). В случае, когда область G Rn удовлетворяет условию гибкого рога, получены интегральные представления и с точки зрения теории вложения изучены некоторые свойства функций из рассматриваемого пространства.

Пусть G Rn некоторая = {1, 2,..., n}, e en; l = (l1, l2,..., область, en e e e e e ln), lj > 0 целые (j en); le = l1, l2,..., ln, где lj = lj при j e и lj = 0 при j en\e = e. Пусть, далее, e j b b f(x) dxe = dxjf(x), jeaj ae т. е. интегрирование идет только по переменным xj, индексы которых принадлежат множеству e.

В дальнейшем будем писать p q, где p = (p1,..., pn), q = (q1,..., qn), если pj qj (j en); в частности, запись 1 p означает, что 1 pj (j en), где 1 = (1,..., 1), = (,..., ).

й 2006 Наджафов А. М.

614 А. М. Наджафов При h (0, )n для каждого x G рассмотрим вектор-функцию (v) = (v, x) = (1(v1, x), 2(v2, x),..., n(vn, x)), 0 vj hj (j en), где j(0, x) = 0 при всех j en, функции j(vj, x) абсолютно непрерывны по uj на [0, hj] и | (vj, x)| 1 для почти всех vj [0, hj], где = j(vj, x), j en.

j j vj При (0, 1]n каждое из множеств V (x, ) = [(v, x) + vI] и x +V (x, ), 0

l Обозначим через Sp,a,, W (G) пространство локально суммируемых на G e функций f, имеющих на G обобщенные производные Dl f (e en), с конечной нормой e f Sl = Dl f p,a,,;G, W (G) p,a,, een где f p,a,,;G 1/ v01 v0n j aj - dvj pj = f L (G) = sup [vj]1 f p,G (x), p,a,, v vj xG jen jen 0 j aj -, pj f L (G) = f p,a,;G = f p,a,,;G = sup [vj]1 f p,G (x), p,a, v xG, jen vj> f p,G (x) v p2 pn p1 pn-1 pn =... |f(y)|p dy1 dy2... dyn, 2 G (xn) G (x2) G (x1) vnn v v 2 j Gv (x) = G Iv (x), Iv (x) = y : |yj - xj| < vj, j en, [vj]1 = min{1, vj}, j en, (v01,..., v0n) = v0 фиксированный положительный вектор. При = l l пространство Sp,a,, W (G) совпадает с пространством Sp,a,W (G) Соболева Морри с доминирующими смешанными производными, изученным в [4], т. е.

l l Sp,a,,W (G) Sp,a,W (G).

l Отметим ряд свойств пространств Lp,a,, (G) и Sp,a,, W (G).

1. Имеют место вложения l l l Lp,a,, (G) Lp,a,(G) Lp(G), Sp,a,, W (G) Sp,a,W (G) SpW (G), т. е.

f p,G f p,a,;G C f p,a,,;G, Tеоремы вложения в пространствах типа Cоболева Морри f Sl f Sl C f Sl.

W (G) W (G) W (G) p p,a, p,a,, l 2. Lp,a,, (G) и Sp,a,, W (G) являются полными пространствами.

3. Для любого вещественного числа c > 1 f p,a,c,;G = f p,a,,;G и f Sl = f Sl.

1 W (G) 1 W (G) p,a,c, p,a,, c c 4. Имеют место соотношения а) f p,0,,;G = f p,G; f p,1,,;G f,G;

b) f Sl = f Sl ; f Sl f Sl.

W (G) W (G) W (G) W (G) p p,0,, p,1,, 1-bj 1-aj 5. Если G ограниченная область, pj qj, (j en), 1 qj pj 2, то Lq,b,, (G) Lp,a,, (G).

1 Построим интегральное представление для исследования свойств функций l из пространства SpW (G), определенных в n-мерных областях, удовлетворяю e e e e e щих условию гибкого рога. Пусть 1e = 1, 2,..., n, j = 1 при j e, j = при j e. Будем предполагать, что f Lloc(G) имеет на G все обобщенные производные, которые потребуются. Введем усреднение функции f:

y (v, x) -fv(x) = vj f(x + y), dy, (1) v v jen Rn где (y, z) = j(yj, zj) введены О. В. Бесовым [3, с. 77], а j определена jen в [3, с. 77, формула (23)]. Усреднение (1) построено по значениям f в точках x + y x + V (x, ) G. Пусть = (1, 2,..., n), 0 < j < hj (j en). Тогда справедливо равенство he e 1e f(x) = (-1)|1 | Dv fv +he (x) dve. (2) e een e Дифференцируя по vj, j e, в силу [3, с. 77, формулы (26), (27)] получаем e 1e -2 (ke+1e) Dv fv +he (x) = fv (x) = (-1)|1 | h-1 vj Ke e e j vj +he jen je jen Rn y (ve + he, x),, (ve + he, x) f(x + y) dy, (3) ve + he ve + he где Ke(x, y, z) = j(xj, yj) j(xj, yj, zj) C0 (Rn Rn Rn), je je j определена в [3, с. 77, формула (27)] и () () () Ke (x, y, z) = Dx Ke(x, y, z), Ke (x, y, z) dx = 0 для всех y, z, при || > 0.

Rn В силу (2) из (3) получаем he -2 (ke+1e) f(x) = h-1 vj Ke j een je je e Rn y (ve + he, x),, (ve + he, x) f(x + y) dydve. (4) ve + he ve + he 616 А. М. Наджафов Тогда с учетом замечания к лемме 5.2 из [3] будем иметь: если f Lloc(G), 1 p <, j 0 (j en), то f(x) f(x); кроме того, при p > 1 на основании замечания к теореме 1.7 из [3] f(x) f(x) для почти всех x G. Тогда из (4) следует, что he e -2+lj f(x) = (-1)|l | h-1 vj j een je je 0e y (ve + he, x) e Me,, (ve + he, x) Dl f(x + y) dydve, (5) ve + he ve + he Rn ke+1e-le где Me(x, y, z) = Dx Ke(x, y, z), причем lj kj при j e, так как числа kj, входящие в ядро, мы можем выбрать сколь угодно большими. Предположим, что j(vj, x), (vj, x) как функции от (vj, x) локально суммируемы на (0, hj] j U, j en, где U G открытое множество. Пусть = (1, 2,..., n) n N0, причем lj j + kj при j e, lj j при j e. Применяя к обеим частям (4) операцию дифференцирования Dx (причем в слагаемых, стоящих справа, дифференцирование переносим на ядро), получим he e -2-j+lj () f (x) = (-1)||+|l | h-1 vj j een je je e y (ve + he, x) e () Me,, (ve + he, x) Dl f(x + y) dydve. (6) ve + he ve + he Rn Покажем теперь, что если выполнены неравенства j = lj - j > 0, j en, (7) то на G существует обобщенная производная Df Lp(G). Установим сначала, что () () f - f 0 при 0 < j < j 0, j en, (8) в Lloc(U).

Пусть F U компакт. Тогда F + T I U при некотором T > 0. Пусть () M()(x) = max max Me (x, y, z). В силу неравенства Минковского при достаeen y,zI точно малых, h = имеем j e () () f - f C j Dl f 1,F +T I.

1,F +T I een je Отсюда ввиду (7) вытекает (8). Предположим, что производная Df существует на G, т. е. имеет место () fv (x) = Df(x) при x + cvI G с некоторым c = (c1,..., cn) > 0. Перейдем в (6) к пределу при j 0 (j en), существующему в смысле Lloc(U) в силу (7) и почти всюду на U ввиду соотношения fv(x) f(x) при vj 0 (j en), примененного к Df.

Тогда для почти всех x U будем иметь равенство he e j -2-j+lj Df(x) = (-1)||+|l | h-1- vj j een je 0e je y (ve + he, x) e () Me,, (ve + he, x) Dl f(x + y) dydve. (9) ve + he ve + he Rn Tеоремы вложения в пространствах типа Cоболева Морри Напомним, что гибкий рог x + V (x, ) является носителем представления (9) () при x U. Для ядер Me и Me можно считать, что при всех, имеют место соотношения () Dx Me(x, y, z) dx = 0, DxMe (x, y, z) dx = при всех e en.

Для доказательства основных теорем нам понадобятся некоторые вспомогательные неравенства, приводимые в сформулированных ниже леммах. Выберем функцию (, y, z) C0 таким образом, чтобы S() = supp I1 = {y : |yj| < 1/2, j en}.

y Положим V = y : S() ; ясно, что V Ih = {x : |xj| < ve+he 0

в дальнейшем всегда будем считать, что U + V G. Пусть Gh (U) = Gh (x) = (U + Ih ) G.

xU Очевидно, если 0 <, h 1, то Ih Ih, и тем самым U + V Gh (U) = Q.

емма 1. Пусть 1 p q r ; 0 < 1; 0 < v, h 1;

0 < ; 1 ; = (1,..., n), j 0 целые (j en), Lp,a,, (G), 1 j = lj - j - (1 - jaj) -, pj qj e dvj j Ae(x) = h-1 j 2+j-lj vj je 0e je y (ve + he, x),, (ve + he, x) (x + y) dy, (10) ve + he ve + he Rn he dvj j Ae (x) = h-1,h j 2+j-lj vj je e je y (ve + he, x),, (ve + he, x) (x + y) dy. (11) ve + he ve + he Rn Тогда 1 -j-(1-jaj)( - ) pj qj sup Ae q,U (x) C1 p,a,,;Q hj xU je j aj qj j [j]1 j (j > 0); (12) jen je 618 А. М. Наджафов 1 -j-(1-jaj)( - ) pj qj sup Ae q,U (x) C2 p,a,,;Q hj,h xU je j h при j > 0, j je j aj hj qj [j]1 je ln при j = 0, (13) j jen j j при j < 0.

je j Здесь U (x) = x : |xj-xj| < j, j en и C1, C2 константы, не зависящие от,, и h.

Доказательство. Пусть сначала p1 = p2 = = pn = p, q1 = q2 = = qn = q и r1 = r2 = = rn = r. Применяя обобщенное неравенство Минковского, для любого x U получим e dvj j Ae C h-1- F (, ve + he ) q,U (x) 2+j-lj, (14) j q,U (x) vj je je 0e где y (ve + he, x) F (x, ve + he ) =,, (ve + he, x) (x + y) dy.

ve + he ve + he Rn Оценим норму F (, ve + he ) q,U (x). В силу неравенства Г (q r) ельдера имеем 1 ( - )j q r F (, ve + he ) q,U (x) F (, ve + he ) r,U (x) j. (15) jen Пусть характеристическая функция множества S(). Учитывая, что 1 1 p r, s r (так как = 1 - + ) и s p r 1 1 1 - p r s r | | = (| |p||s)1/r(| |p) (||s), 1 1 1 и снова применяя неравенство Г ельдера, для |F | (в силу +( - )+(1 - ) = 1) r p r s r будем иметь |F (x, ve + he )| s 1/r, y (ve + he x) (ve + he x) | (x + y)|p,,, dy ve + he ve + he Rn 1/p-1/r | (x + y)|p(y : (ve + he )) dy Rn s 1/s-1/r, y (ve + he x) (ve + he x),,, dy.

ve + he ve + he Rn Tеоремы вложения в пространствах типа Cоболева Морри Отсюда получаем 1/p-1/r y F (, ve + he ) r,U (x) sup | (x + y)|p dy ve + he xU (x) Rn 1/r sup | (x + y)|p dx yV U (x) s 1/s, y (ve + he x) (ve + he x),,, dy. (16) ve + he ve + he Rn Очевидно, если 0 < и v 1, то Qv +he (x) Q(v )e+(h)e (x). Для любого e x U имеем y | (x + y)|p dy | (y)|p dy ve + he Rn Q(v )e+(h )e (x) jaj j p,a,;Q h aj vj. (17) j je je При y V выполняется j | (x + y)|p dx | (x)|p dx p [j] aj, (18) p,a,;Q jen U (x) Q (x+y) s, y (ve + he x) (ve + he x),,, dy = hj vj s. (19) s ve + he ve + he je je Rn Из (15)Ц(19) следует, что 1 1-(1-jaj)( - ) p r F (, ve + he ) q,U (x) C p,a,;Q hj je j aj 1 1 1 1-(1-jaj)( - ) j( - ) p r q r r vj j [j]1. (20) je jen jen Учитывая неравенство p,a,;G C p,a,, ;G и последовательно применяя неравенство (20) по каждой переменной в отдельности, получаем следующее неравенство для векторов p = (p1,..., pn), q = (q1,..., qn) и r = (r1,..., rn):

1 1-(1-jaj)( - ) pj rj F (, ve + he ) q,U (x) C1 p,a,,;Q hj je j aj 1 1 1 1-(1-jaj)( - ) j( - ) pj rj qj rj rj vj j [j]1.

je jen jen Подставляя это неравенство в (14), имеем 1 -j-(1-jaj)( - ) pj rj Ae C2 p,a,,;Q hj q,U (x) je aj 1 1 1 - ) j rj lj-j-(1-j)( - ) j( qj rj pj rj j [j]1 j. (21) jen jen je Используя в неравенстве (21) rj = qj (j en), получаем неравенство (12). Аналогично доказывается неравенство (13).

620 А. М. Наджафов Следствие 1. Полагая в неравенстве (20) r = при 0 < 1 и r = q при > 1, получаем j q sup F q,U (x) C p,a,;Q [j]1, xU jen т. е.

F q,b,;U C p,a,;Q, где b [0, 1]n, откуда при 1 1 2 приходим к неравенству F q,b,, ;U C p,a,, ;Q. (22) 2 Лемма 2. Пусть 1 p q < ; 0 < 1; 0 < h 1; = (1,..., n), j 0 целые (j en); 1 1 2, j > 0 и j,0 = lj - j - (1 - jaj).

pj Тогда для любой функции Ae (x), определенной равенством (10), справедлива h оценка Ae C p,a,, ;Q, (23) h q,b,,2;U где b = (b1,..., bn), bj произвольное число, удовлетворяющее неравенствам:

0 bj 1, если j,0 > 0 при j e, 0 bj < 1, если j,0 = 0 при j e и 0 bj aj при j e ;

(24) j,0qj(1 - aj) jqj(1 - aj) 0 bj < 1 + = aj +, если j < 0 при j e, 1 - jaj 1 - jaj где C константа, не зависящая от.

Доказательство. Предположим сначала, что 0 < h. Тогда Ae Ae Ae +. (25) h h q,U (x) q,U (x) q,U (x) В силу неравенства (12) (j = j, j en, = ) выполняется aj aj j qj j+j qj Ae C1 p,a,;Q j j, (26) q,U (x) je je где C1 константа, не зависящая от и.

Далее, из (11) на основании обобщенного неравенства Минковского и неравенства (13) (j = j, j en, = ) имеем Ae C2 p,a,;Q(, h; r); (27),h q,U (x) здесь C2 константа, не зависящая от и, he j(rj) j(rj)-(, h; r) = j vj dve, jen e je j j 1 j(rj) = - (1 - aj), j(rj) = lj - j - (1 - jaj) -.

qj rj pj rj Tеоремы вложения в пространствах типа Cоболева Морри После этого выберем rj, qj rj (j en) так, чтобы показатель степени j в оценке (27) был максимальным. Для этого заметим, что j(rj) монотонно возрастает, а j(rj) монотонно убывает на [qj, ], причем j(qj) = j, j() = j,0 (j en).

Рассмотрим случаи j,0 0 и j,0 < 0. Если j,0 0, то максимальный j показатель j в оценке (27) мы получим пpи rj = и j() =. В этом qj случае j qj j, j, j j,0 ( h - j ), если j,0 > 0, j jen je je je (, h; r) = j qj hj j ln, если j,0 = 0.

j jen je Пусть j,0 < 0. Так как j(qj) = j > 0, j() < 0, то при некотором rj,0, qj < rj,0 <, выполняется j(rj,0) = 0. Вычислениями убеждаемся, что наилучшая оценка в этом случае получается, если в (, h; r) положить rj = rj,0.

Тогда hj j(rj,0) (, h; r0) = j ln, (28) j jen je где j j,0qj(1 - aj) j jqj(1 - aj) j(rj,0) = 1 + = aj + qj 1 - jaj qj 1 - jaj (здесь 1 - jaj > 0, поскольку j > 0, j,0 < 0).

Заметив, что jaj 1 jaj j + j при j,0 0, j + j(j,0) при j,0 < 0, qj qj qj на основании (25)Ц(28) получаем aj j qj j qj j, j j h при j,0 > 0, j je je je aj j qj j qj hj Ae C3 p,a,;Q j j ln при j,0 = 0, h j q,U (x) je je je aj j qj j(rj,0) hj j j ln при j,0 < 0.

j je je je (29) Пусть теперь j hj (j en). Применяя снова оценку (12), имеем aj aj j qj j+j qj j j при hj j < 1, Ae C4 p,a,;Q je je (30) h q,U (x) j h при j > 1.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам