Книги по разным темам
Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | () Доказательство. Из (1.8) и нормированности 0 очевидным образом вытекает равномерная по и оценка |1| C(| ln | +1). (3.19) Следовательно, согласно общей теории эллиптических краевых задач и вложению H2() C() ввиду ортогональности 1 и 0 имеет место неравенство 1 C() C 0 H2 C |1| 1 L () + ln sin g C () C(| ln | +1).
() 2 Используя полученную оценку C()-нормы 1 и неравенства Шаудера [24, гл. III, з 1, формула (1.11)], выводим, что 1 C2+ C |1| 0 C + 1 C() + ln sin g C (), () () 0 2+ откуда и из (3.19) вытекает утверждение леммы. Лемма доказана.
Пусть (t) бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная единице при t <1/4 и нулю при t >3/4, c0 достаточно малое фиксированное положительное число такое, что в области {x : || < c0} переменные (s, ) определены однозначно. Обозначим bl(x, + ) =2 v2 (, s,, ) cos Mx3 + v2 (, s,, ) sin(Mx3) (/c0).
Из определения функций v2 и лемм 3.1, 3.3, 3.4 вытекает bl Лемма 3.5. Функция H1( ) C( \( )) удовлетворяет гра ничным условиям bl bl bl =0, x 1, =0, x 2, =0, x.
В условиях леммы 3.4 справедливы равномерные по и оценки bl bl C3/2(| ln |1/2 +1), C1/2(| ln |1/2 +1), H1( ) H1( ) bl (/c0) C3/2.
s L2( ) Лемма 3.6. Пусть выполнены условия леммы 3.4. Тогда существует решение 2 H1( ) C( \( )) краевой задачи bl (/c0) ( - 1)2 = -211 -, x, H s H s (3.20) bl 2 =0, x 1, 2 = -, x, =0, x 2.
Для этого решения справедлива равномерная по и оценка 2 H1 C3/2(1/2| ln |2 + | ln |1/2 +1).
( ) Асимптотики и оценки скорости сходимости Доказательство. Решение задачи (3.20), следуя [24], понимаем как решение интегрального уравнения:
bl (/c0) 1 v -(2, v)H1 = -21(1, v)L ( ) +,, ( ) H s H s L2( ) bl имеющее на 1 след, равный 0, и на след, равный, где v H1( ;
1) {v : v H1( ), v = 0 на 1}. Правая часть этого интегрального уравнения, очевидно, оценивается сверху величиной bl (/c0) C 2|1| 1 L () + v H1, ( ) s L2( ) где константа C не зависит от,, 1, 1, иv. Из данной оценки, следуя методике [24], легко выводятся существование решения (3.20) из H1( ) и неравенство bl (/c0) 2 H1 C 2|1| 1 L () +.
( ) s L2( ) Полученное неравенство с помощью (3.19) и лемм 3.4, 3.5 дает утверждаемую оценку 2 H1. Принадлежность 2 C( \( )) устанавливается на ( ) основе теорем о повышении гладкости решений эллиптических краевых задач.
емма доказана.
Обозначим ex bl = 0 + 1(, ), (x) = (x, ) +(/c0) (, s, x3, ) +2(x,, ).
Следующая лемма утверждает, что формально построенные асимптотики собственных элементов формальное асимптотическое решение возмущенной задачи.
Лемма 3.7. Пусть выполнены условия теоремы 1.2. Тогда функции и H1( ) C( \( )) удовлетворяют краевой задаче (2.1) с u =, =, f = f, где для f верна равномерная по и оценка f L ( ) C3/2(| ln |3/2 +1).
При 0 справедливы равенства = 0 + o(1), - 0 H1 = o(1).
( ) Доказательство. Сходимость к 0 вытекает из оценки (3.19), а ра венство - 0 H1 = o(1) из лемм 3.4Ц3.6. Граничные условия для ( ) следуют из (3.5), (3.8), (3.10), (3.11), (3.13) и лемм 3.1, 3.6. В силу (1.5), (3.4), (3.6) и (3.20) функция f = -( + ) имеет следующий вид:
(i) (1) f = - f, f =( +1), i= 1 (2) bl f = (/c0) H + +, H x (3) bl bl f =2 (/c0), R3 + (/c0).
Из леммы 3.6 и (1.3), (3.19) выводим, что (1) f C3/2(| ln |3/2 +1), L2( ) 290 Д. И. Борисов где C не зависит от и. Используя леммы 3.3, 3.4, равенство (1.3), уравнения (3.7), (3.12), формулы (3.9), (3.15), условия Коши Римана (3.14) и оценку 2
В случае кратного собственного значения формальное построение практически ничем не отличается от приведенного выше. Здесь одновременно строятся асимптотики нескольких собственных значений и собственных функций возмущенной задачи. Условие дополнительной ортогональности в L2() собственных функций задачи (1.5), соответствующих кратному собственному значению, описанное в з 1, является условием разрешимости задачи (3.4), (3.10).
Все остальные рассуждения приведенного выше построения не требуют никаких изменений и не зависят от кратности. Таким образом, в случае p-кратного собственного значения = q = = q+p-1 в результате построения имеем 2p k функций k и, соответствующих k, k и определяемых так же, как и и k. Функции k и удовлетворяют лемме 3.7, соответствующую им функцию k f из этой леммы обозначим через f.
Переходим к обоснованию асимптотик. Пусть 0 = q = = q+p-0 p-кратное предельное собственное значение, p 1. В силу лемм 2.2 и 3.7 для k функций верны представления (k = q,..., q + p - 1) q+p- i k = b + k, (3.21) ki i=q i k b = f dx, (3.22) ki i - k i где функция k ортогональна в L2( ) собственным функциям, i = q,..., q + p - 1, и удовлетворяет равномерной по и оценке:
k C3/2(| ln |3/2 +1). (3.23) H1( ) i Умножим теперь представление (3.21) на скалярно в L2( ) и учтем ортонорk i мированность и ортогональность и k, тогда получим k i b =, L2( ). (3.24) ki Докажем теперь справедливость асимптотик (1.7), доказательство проведем от противного. Допустим, что на какой-то последовательности j 0 некоторые из собственных значений k, k = q,..., q + p - 1, не удовлетворяют асимптоти кам (1.7), т. е. выполнены равенства i k - j 3/2(| ln (j)|3/2 +1), i I0, k = q,..., q + p - 1, j Асимптотики и оценки скорости сходимости где I0 {q,..., q+p-1} подмножество индексов собственных значений возмущенной задачи, не удовлетворяющих утверждаемым асимптотикам. Из данных k оценок, (3.22) и оценки для f из леммы 3.7 выводим j b C/j - 0, i I0, k = q,..., q + p - 1.
ki j Из (3.24) и леммы 3.7 следует ограниченность величин b, поэтому, выделяя при ki j необходимости из j подпоследовательность, считаем, что b b0 при j, ki ki k, i = q,..., q + p - 1, причем, как уже установлено, b0 =0, k = q,..., q + p - 1, ki i I0. Из чисел b составим p векторов b по следующему правилу: вектор b ki k k состоит из чисел b, где индекс i последовательно принимает значения из мноki жества {q,..., q+ p - 1}\I0. Аналогичным образом составим векторы b0. Ясно, k что размерности этих векторов равны (p -|I0|)
Теорема 1.2 полностью доказана.
Выясним теперь асимптотическое поведение собственных функций возмущенной задачи в условиях теоремы 1.2. Пусть 0 = k простое предельное собственное значение. Из (3.24) и лемм 3.5, 3.6 следует, что k k b = 0 + k cos Mx3, L2( ) + O(3/2(| ln |3/2 + 1)).
kk Значит, в силу (3.21), (3.23) и лемм 3.5, 3.6 собственная функция возмущенной задачи k k k k = 0 + k cos Mx3, L2( ), (3.25) соответствующая k, имеет асимптотику в H1( ) k(x) k =0 (x) +k(x,, ) cos Mxk, + (/c0)0 (s)X(, g(s)) + O(3/2(| ln |3/2 + 1)), (3.26) где k, значение нормальной производной функции k на границе. Из по0 k k лученной асимптотики и лемм 3.4Ц3.6 вытекает, что - 0 H1 = o(1).
( ) Пусть теперь 0 = q = = q+p-1 p-кратное предельное собственное 0 значение. Ввиду (3.24) и лемм 3.5, 3.6, как и ранее, выводим, что k i b = 0 + k cos Mx3, L2( ) + O(3/2(| ln |3/2 + 1)).
ki Отсюда и из (3.21), (3.23) и лемм 3.5, 3.6 следует, что линейная комбинация собственных функций возмущенной задачи q+p- k i i k = 0 + k cos Mx3, L2( ) (3.27) i=q k имеет в H1( ) асимптотику (3.26), где под понимается функция из (3.27).
k Отсюда, в частности, следует, что функция из (3.27) удовлетворяет равен k k ству - 0 H1( ) = o(1). Таким образом, доказана 292 Д. И. Борисов Теорема 3.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.2. Тогда для каждой k собственной функции 0 предельной задачи существуют собственная функция k возмущенной задачи из (3.25) в случае простого собственного значения k и i линейная комбинация собственных функций, i = q,..., q + p - 1, возмущенk ной задачи из (3.27) в случае кратного p-предельного собственного значения k k 0 = q = = q+p-1, удовлетворяющая равенству - 0 H1( ) = o(1) и 0 имеющая в норме H1( ) асимптотику (3.26).
з 4. Доказательства теорем 1.3, 1.Доказательство теоремы 1.3. Всюду в доказательстве, если не оговорено особо, придерживаемся обозначений предыдущего параграфа. Так как k двукратное собственное значение, в результате упорядочивания (1.6) в последо вательности j оно встречается два раза; будем считать, что k = k+1.
0 0 j=Тогда k = k+1, Mk = Mk+1. Соответствующие собственные функции предельной задачи с учетом всех описанных в з 1 нормировок и ортогонализаций имеют вид k(x ) = Jm( r) cos(m + ), (Jm( )) k+1(x ) = Jm( r) sin(m + ), (Jm( ))k k+0 (x) =k(x ) cos Mx3, 0 (x) =k+1(x ) cos Mx3.
0 Уравнение (1.9) на, как легко проверить, имеет решение и является в точности условием ортогональности нормальных производных функций k и k+1 в 0 L2() с весом (- ln sin g). Первые члены асимптотик собственных значений k и k+1 согласно теореме 1.2 выглядят так:
k(, ) = sin2(m + ) ln sin g() d, k+1(, ) = cos2(m + ) ln sin g() d.
Данные величины равны, что легко проверить, сделав замену t = - /(2m) в одной из этих формул и использовав затем /(2m)-периодичность g. Докажем теперь, что k = k+1. Пусть это неверно, тогда k, k+1 простые собственные k+k значения. Согласно теореме 3.1 для функций 0, 0 существуют линейные k+k k+1 k комбинации собственных функций,, сходящиеся к 0, 0 в H1( ):
k k+1 k k k+1 k+c +c 0, c +c 0. (4.1) 1 2 3 k k+Из условий теоремы следует, что (r, +/(2m), x3) и (r, +/(2m), x3) собственные функции возмущенной задачи, соответствующие k и k+1, и тем самым k k k+1 k+ (r, + /(2m), x3) =c (r,, x3), (r, + /(2m), x3) =c (r,, x3).
5 Из полученных равенств и (4.1) вытекает, что k k+1 k+1 k k+1 k cc +cc -0, cc +cc 0. (4.2) 1 5 2 6 3 1 4 Асимптотики и оценки скорости сходимости Умножим теперь в L2( ) первую сходимость из (4.1) на вторую из (4.2) и вторую из (4.1) на первую из (4.2). Тогда ccc +ccc H/2, ccc +ccc -H/2;
1 3 5 2 4 6 1 3 5 2 4 противоречие, т. е. = k = k+1 двукратное собственное значение. Асимп тотики соответствующих собственных функций легко получить из теоремы 3.1, k+k при этом линейные комбинации, сходящиеся к 0 и 0, в силу двукратности будут соответствующими собственными функциями. Асимптотики из теоремы 3.1 в главном члене зависят от, что связано с дополнительной ортогонализацией в L2(). Вместе с тем от этой зависимости легко избавиться, k k+ взяв подходящие линейные комбинации функций и из теоремы 3.1 так, чтобы в главном члене появились Jm( r) cos m и Jm( r) sin m. В результате таких несложных вычислений заключаем, что собственные функции, соответствующие, можно выбрать сходящимися к Jm( r) cos m cos Mx и Jm( r) sin m cos Mx3 в H1( ) и эти собственные функции в H1( )-норме имеют асимптотики k(x) k(x = cos Mx3 Jm( r) cos m + 1,, ) + (/c0) Jm( )X(, g(s)) cos m + O(3/2(| ln |3/2 + 1)), k+1(x) k+1(x = cos Mx3 Jm( r) sin m + 1,, ) + Jm( )(/c0)X(, g(s)) sin m + O(3/2(| ln |3/2 + 1)), (4.3) где k и k+1 решения задачи (3.4), (3.10) с 1 = k = k+1, 0(x ) = 1 Jm( r) cos m и 0(x ) =Jm( r) sin m соответственно. Теорема доказана.
Доказательство теоремы 1.4. Обозначим, = {x : x, |x3 - (j +1/2)| < c, j =0,..., N - 1}, k собственные значения задачи (1.1), (1.2) с и, замененными соответ, ственно на, и \ Для множества, выполнены условия теоремы 1.2 с,.
функцией g 1, а потому для k верны асимптотики (1.7). Из определения, следует, что, ; ясно также, что. Используя данные вложения и минимаксное свойство собственных значений эллиптических задач, нетрудно показать, что k k k.
, Отсюда и из асимптотик (1.7) для k и неравенств (3.19) вытекают утвержда, емые оценки скорости сходимости. Теорема доказана.
В заключение автор выражает благодарность Гадыльшину Р. Р. за постоянное внимание к работе и ценные замечания.
ИТЕРАТУРА 1. Damlamian A., Li Ta-Tsien (Li Daqian). Boundary homogenization for elliptic problems // J. Math. Pure Appl. 1987. V. 66, N 4. P. 351Ц361.
.
2. Чечкин Г. А. О краевых задачах для эллиптического уравнения второго порядка с осциллирующими граничными условиями // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1988. С. 95Ц104.
3. Lobo M., Prez E. Asymptotic behaviour of an elastic body with a surface having small stuck regions // Math. Modelling Numerical Anal. 1988. V. 22, N 4. P. 609Ц624.
.
294 Д. И. Борисов 4. Lobo M., Prez E. Boundary homogenization of certain elliptic problems for cylindrical bodies // Bull. Soc. Math. Ser. 2. 1992. V. 116. P. 399Ц426.
5. Чечкин Г. А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Мат. сб. 1993. Т. 79, № 6. С. 99Ц150.
.
6. Беляев А. Ю., Чечкин Г. А. Усреднение операторов с мелкомасштабной структурой // Мат. заметки. 1999. Т. 65, № 4. С. 496Ц510.
.
7. Гадыльшин Р. Р., Чечкин Г. А. Краевая задача для Лапласиана с быстро меняющимся типом граничных условий в многомерной области // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 2.
.
С. 271Ц287.
8. Dvila J. A nonlinear elliptic equation with rapidly oscillating boundary conditions // Asymptotic Anal. 2001. V. 28, N 3Ц4. P. 279Ц307.
.
9. Олейник О. А., Чечкин Г. А. О краевых задачах для эллиптических уравнений с быстро меняющимся типом граничных условий // Успехи мат. наук. 1993. Т. 48, № 6. С. 163Ц165.
10. Chechkin G. A., Doronina E. I. On asymptotics of spectrum of boundary value problem with nonperiodic rapidly alternating boundary conditions // Functional Differential Equations.
.
2001. V. 8, N 1Ц2. P. 111Ц122.
11. Гадыльшин Р. Р. Об асимптотике собственных значений для периодически закрепленной мембраны // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10, № 1. С. 3Ц19.
.
12. Гадыльшин Р. Р. Асимптотики собственных значений краевой задачи с быстро осциллирующими граничными условиями // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 4. С. 540Ц551.
.
13. Борисов Д. И. О двупараметрической асимптотике в одной краевой задаче для Лапласиана // Мат. заметки. 2001. Т. 70, № 4. С. 520Ц534.
Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | Книги по разным темам