Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ 1862 Взаимодействие частиц на анизотропной поверхности Si(001) Гайдуков Г.Н. (gaid@gf.miee.ru), Ланцова О.Ю., Подрезов А.А.

Московский Государственный Институт Электронной Техники (Технический Университет) Введение Экспериментальные данные по упорядоченному расположению структур пониженной размерности (так называемых квантовых точек и нитей) на подложках [1,2,3] позволяют говорить о комплексном взаимодействии в системе подложка - поверхностная структура. Одной из сторон этого взаимодействия является упругое взаимодействие между частицами, являющимися элементами структуры (в том числе и дефектами структуры) из-за перекрытия упругих полей, наведенных ими в подложке. Силовые характеристики такого взаимодействия в рамках простой одномерной модели получены в работе Ступа и Ван дер Мерве [4], где было показано, что силы взаимодействия частиц носят характер отталкивания. Такой же характер сил взаимодействия получается в рамках континуальной изотропной теории упругости.

Представление о силах упругого взаимодействия частиц, как силах отталкивания, широко используется даже в случаях, когда материал подложки обладает значительной степенью анизотропии [5]. Однако, когда вклад упругого взаимодействия частиц в общую энергию достаточно велик, изотропное приближение является некорректным и может привести к ошибкам, поскольку анизотропия материала подложки приводит к ориентационной зависимости упругих полей поверхностных частиц, и, следовательно, энергии взаимодействия, т.е. к существованию преимущественных направлений взаимного их расположения.

Другим случаем, когда изотропное приближение является некорректным, является взаимодействие частиц на реконструированной поверхности [6]. Как известно, в этом случае поверхность Si(100) претерпевает поверхностный структурный переход 11 21 и свойства поверхности становятся существенно анизотропными. Одним из экспериментальных наблюдений этих анизотропных взаимодействий является упорядочение димерных вакансий.

Рис. 1. а) STM изображение поверхности Si(001), покрытой пленкой Ge, б) схема расположения димерных вакансий Слева на рис.1 представлено STM изображение поверхности Si(001), покрытой пленкой Ge, толщиной 1,5ML. Темные линии представляют собой линии димерных Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ 1863 вакансий, которые перпендикулярны димерным рядам. В результате образуется новый элемент периодичности, который представляет собой реконструкцию поверхности 2n.

Справа показана схема расположения димерных вакансий в вакансионные линии.

Анализ упорядочения димерных вакансий на начальных стадиях псевдоморфного роста Ge на Si(100), представленного на рис. 1 со всей очевидностью свидетельствует о дальнодействующем взаимодействии димерных вакансий, которое проявляет как отталкивание, так и притяжение частиц. Таким образом, анизотропия упругого дальнодействующего взаимодействия является ключевым фактором в начальной стадии формирования структур пониженной размерности при псевдоморфном росте.

Современное состояние континуальной теории упругости позволяет решить задачу об упругом взаимодействии частиц на поверхности с учетом как анизотропии материала подложки, так и анизотропных свойств поверхности. При этом упругие поля частицы в плоскости границы конструируются из двумерных упругих полей прямолинейной дислокации в объеме кристалла, а эти поля сравнительно легко получить даже в самом общем случае с помощью численных методов на ЭВМ, причем учет симметрии задачи значительно упрощает соответствующие выражения. Хотя необходимые начальные данные для решения такой задачи содержатся в статье Барнетта и Лоте 1974 года [7], обнаружить работы по анизотропному взаимодействию на поверхности не удалось.

Однако имеются публикации, подтверждающие необходимость именно анизотропного подхода к упругому взаимодействию частиц на поверхности. Это, например, работы по анизотропному взаимодействию точечных дефектов в объеме кристалла ([8] и другие).

Изучение влияния поверхности на упругое взаимодействие частиц обычно проводилось в изотропном приближении, но уже использование приближения слабой анизотропии выявило радикальные отличия характеристик взаимодействия в изотропной и анизотропной средах.

В первой части данной работы рассматривается влияние анизотропии объемных свойств подложки на взаимодействие частиц на ее поверхности и показано, что в отличии от изотропного случая при достаточно большом коэффициенте анизотропии возможно не только отталкивание, но и притяжение частиц. Анизотропия свойств поверхности, порождаемая поверхностной реконструкцией, рассматривается во второй части работы, где показано, что как и в случае объемной анизотропии существуют значения поверхностных натяжений реконструированной поверхности, при которых возникает взаимодействия притяжения частиц. В третьей части работы исследуется влияние двух упомянутых выше вкладов анизотропного взаимодействия на протекание процесса формирования микроструктуры при субмонослойном росте.

1.Анизотропная среда Поверхностная функция Грина Gkm(x), т.е. смещение в xk направлении в точке плоской поверхности, описываемой радиус-вектором x, порождаемое единичной точечной силы, приложенной в начале координат в направлении xm, записывается в следующем виде [9]:

Fkm() -1 -8 xGkm(x) = Bkm(0) + v. p. d (1) sin( - 0) где v.p. означает главное значение несобственного интеграла; - полярный угол в плоскости поверхности, отсчитываемый от некоторого направления, 0 - угол для радиус-вектора x, Fkm-1=Bkj-1Smj. Матрицы B (обратная к B-1) и S Bij = -(4i)-1 Li Lj = Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ 1864 Sij = i AiLj =выражаются через матрицы Ak, Lk, определенные в задаче о прямолинейной дислокации в объеме анизотропного кристалла [7]:

cijkm(mi + pni )(mm + pnm )Ak = 0, cijkm(mi + p ni )(mm + pnm) = 0, (2) Lk = -nicijkm(mm + pnm)Ak, причем единичные вектора правой тройки (m,n,t) направлены следующим образом : nвнутренняя нормаль к границе тела, m и t лежат в плоскости границы и направление t соответствует углу. Шесть корней уравнения (2) организованы в пары комплексносопряженных чисел и нумеруются так, что при =1,2,3 они имели положительную мнимую часть. Знаки плюс и минус в выражениях для Bij и Sij ставятся тогда, когда мнимая часть p, соответственно, положительна или отрицательна.

x [010] x [001] x x [100] Рис.2 Расчетная система координат Для исследуемой <100> поверхности в качестве расчетной выбрана кристаллографическая система координат, и угол отсчитывается от оси x2 (Рис.2). Тогда (2) редуцирует до бикубического уравнения. Анализ показывает, что для кристаллов с отношением анизотропии A, A=2cТ44/(cТ11-cТ12), где cТ11, cТ12 и cТ44 - справочные упругие константы, большим единицы (такими величинами А характеризуются, например, все кубические кристаллы с ГЦК решетками), это кубическое относительно p2 уравнение имеет один действительный и два мнимых комплексно-сопряженных корня.

Ограничиваясь случаем таких корней, после преобразований вместо (1) получаем 8 xGkm(x) = Dkm(0) (3) где B111 I12 I -1 -1 -Dkm = I12 B22 B23 (4) -1 -- I13 B23 B Fkm() Ikm = v. p. (5) sin( - 0 )d Используя для описания частицы обычное представление в виде суперпозиции ортогональных пар сил с нулевым моментом т(упругий диполь) [10], для поля смещений частицы, расположенной в начале координат, получаем выражение Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ 1865 Gk 2 GkUk =- M + (6) x2 xПри выводе (6) предполагалось, что дефект описывается тензором дипольного момента вида 0 0 Mij = M 0 (7) 0 0 M (плоский упругий диполь). Подставляя (3) в (6), получаем смещения в точке с координатами 0 и x:

8 x dDk 2 dDkUk =+ Dk3 sin 0 -- Dk cos0 (8) M d0 d0 Для определения компонент D12 и D13 необходимо раскрыть значение интеграла (5) - Fkm() Fkm() Ikm = lim d + d (9) sin( - 0 ) sin( - 0) 0 + Функция Fkm - периодическая с периодом 2, кроме того, Fkm(+)=-Fkm().

Fkm() Следовательно, - периодическая функция с периодом. Используя этот sin( - 0 ) факт, после несложных преобразований получаем, что Fkm(0 + ) - Fkm(0 - ) Ikm = lim d (10) sin Подынтегральная функция в (10) непрерывна в полуоткрытом интервале (0,/2]. В точке =0 пределы справа и слева от подынтегральной функции равны и составляют ckm=2FkmТ(0). Доопределяя эту функцию в =0 величиной ckm сделаем ее непрерывной в интервале [0,/2] и вместо (5) получаем собственный интеграл, который можно рассчитать с использованием численных методов.

Энергия взаимодействия второй частицы на поверхности с первой, записывается как E=-Mijij, где ij - тензор деформации первого частицы в точке расположения второй 1 Ui U j частицы, ij =+. Описывая обе частицы тензором дипольного момента 2 x xi j (7) и подставляя (8) в это выражение, получаем 8 x d2D22 d2DE =- 3D22 sin2 0 -- 3D33 cos2 0 + M d2 d0 dD22 dD33 d2D+ (11) 2 d0 - d0 - d2 - 3D23 sin 20 dD- 4 cos20 + 2(D22 + D33) d Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ 1866 Результаты расчетов для нескольких материалов подложки с различными отношениями анизотропии приведены на Рис. 3-Рис.5. На рисунках показаны по существу лишь ориентационные зависимости исследуемых величин. U1 представлено на Рис.3. U2 и U3, нормированные на Ur - на рисунке 4, величина E/Eisotropic - на рисунке 5. В соответствии с (12), (14) изотропные эквиваленты соответствующих величин на этих рисунках имеют вид: косинусоиды и синусоиды на рисунке 4 и прямых линий f(0)=0 и f(0)=1 на рисунке 3 и рисунке 5 соответственно. В соответствии с(12), (14) изотропные эквиваленты соответствующих величин на этих рисунках имеют вид: косинусоиды и синусоиды на рисунке 4 и прямых линий f(0)=0 и f(0)=При дальнейшем увеличении анизотропии вокруг направлений <100> возникают области углов 0, в которых знак силы взаимодействия меняется. 0 с увеличением А сначала быстро растет, а затем при А4...5 выходит на насыщение. E/Eизотроп. в точках 0, равных 0 и /4, и 0/2 как функции отношения анизотропии показаны на рисунках 5 и 6.

2. Анизотропия поверхности, обусловленная ее реконструкцией Изотропные эквиваленты выражений (1) приводятся в [11]. Повторяя преобразования из предыдущего раздела, для смещений Ui и энергии взаимодействия Eisotropic получим следующие выражения :

U1 = 0, (12) 8 x 4(1- ) Eisotropic = (13) M где и - соответственно модуль сдвига и коэффициент Пуассона. Из этих выражений следует, что все точки поверхности испытывают только радиальное смещение Ur :

8 r 4 (1- ) Ur = (14) M а сила взаимодействия двух частиц 3M (1- ) F = (15) 2 rТаким образом, в изотропном приближении взаимодействие двух одинаковых частиц всегда носит характер отталкивания.

Для анизотропной реконструированной поверхности Si(100) типа 21 тензор дипольного момента Mij имеет вид 0 0 Mij = M 0 (16) 0 0 M При этом выражение (12) для компонент вектора смещения представится примет вид 3 3 x2 3x2 x2 x + 2M 33 x2 - 3x2 x - + 3(1 - 2 ) 5 4u2 = M 3 5 3 3 x x x x x x (17) 2 3 x3 3x3x2 x3 3x3 x3 x 4u3 = 2M - + M - + 3(1 - 2 ) 5 22 3 5 3 5 x x x x x x Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ 1867 а выражение (13) для энергии взаимодействия представится в виде:

4 x Eanisotropic = = M [1 - 12 cos2 + 15 cos4 + 3(1 - 2 )(6 cos2 - 5 cos4 - 1)]+ (18) + 2M M [30sin cos2 - 4]+ 22 2 2 4 2 + M [1 - 12sin + 15sin + 3(1 - 2 )(6sin - 5sin - 1)] Из приведенных формул следует, что в случае изотропных силовых диполей М22=М33=М выражения (16), (17) переходят в выражения (12), (13). Для существенно анизотропных диполей М22=-М33=М выражение для энергии приобретает вид:

4 x Eanisotropic. = (19) = M [2 - 30sin2 2 +14] Из выражения (19) видно, что как и в случае объемной анизотропии для анизотропной поверхностной реконструкции существуют направления, для которых энергия упругого взаимодействия соответствует притяжению. На рисунке 8 представлены зависимости E/Eизотроп при различных значениях параметра В=М22/М33.

3. Результаты Для выявления роли анизотропии взаимодействия в поведении системы частиц на поверхности подложки (кристалла) было проведено компьютерное моделирования процесса роста структуры упруго взаимодействующих частиц методом Монте - Карло [12]. Эволюция формирующейся структуры поверхности для двух рассмотренных случаев анизотропии объема и поверхности по мере увеличения покрытия С поверхности представлены на рисунках 9 а), б), а на рисунке 9 в) представлен рост при совместном влиянии этих факторов.

Проведенный анализ позволяет заключить, что:

учет анизотропии материала подложки и свойств поверхности приводит к ориентационной зависимости энергии взаимодействия частиц на поверхности;

силы упругого взаимодействия двух частиц (например, двух островков на расстояниях, много больших их характерного размера) на поверхности кристаллов с отношениями 1;

влияние факторов анизотропии как поверхности, так и объема стимулирует рост нитевидных структур, ориентированных для Si(001) вдоль <110> для анизотропии поверхности и <100> объема;

1. совместное влияние этих факторов, как видно из рисунка 9 в), приводит к формированию компактных островков.

Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ 1868 M мU1, 10-8 x2 Н A=2.A=1.A=1.-0 0.5 1 1.0, рад.

Рис. 3 U1 как функция полярного угла в плоскости поверхности Ui/Ur 2 0.0.0.4 i=i=0.0 0.5 1 1.5 2 2.5 0, рад.

Рис. 4 U2, U3 как функции полярного угла в плоскости поверхности.1-A=4.14, 2-A=2.19, 3A=1.57, 4-A=1.10, 5-изотропный кристалл(А=1.0).

Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ 1869 Е/Еизотр. А=4. A=2.2 A=1. A=1.1 A=1.--0 0.2 0.4 0.6 И0, рад.

Рис. 5 Энергия взаимодействия двух одинаковых точечных частиц Е в зависимости от полярного угла в плоскости поверхности для различных значений отношения анизотропии А.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам