Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | 1701 Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ Методика анализа алгоритмов управления валютным портфелем Котенко А.Е. (kotenko@zuzino.net.ru) Институт системного анализа РАН з1. Модель оптимальных валютных обменов (по [1]) На валютном рынке дилер ведет торговлю валютами iI. В момент времени t=0, у дилера имеется в наличии Vi0 единиц валюты i, iI. Торговля проводится на протяжении промежутка времени от t=1 до t=T-1. В последний день t=T происходит оценка результатов t cii торговли. Курс обмена валюты i на валюту i' в день t обозначим. Считаем курсы обмена всех валют априорно известными на протяжении всего рассматриваемого промежутка времени.

В процессе торгов валюта i может обмениваться на другие валюты; в свою очередь, другие валюты могут обмениваться на валюту i. Количество валюты i, конвертированной на t vii валюту i' в течение торгового дня t, будем обозначать ; данная величина измеряется в единицах валюты i. Объем же валюты i, полученный от обмена на нее валюты i', тогда равен citiviti. Помимо этого, могут быть сторонние поступления валюты fi t, не связанные с проводимыми конверсионными операциями.

Количество валюты i в конце дня t будет равно:

t t Vit = Vit -1 - + viti + fit, i I, t =1,...,T -1 (1.1), v c ii i i iI i I где Vit -1 - количество валюты i в предыдущий день t-1.

В качестве критерия оценки эффективности работы дилера берется капитал валютного портфеля в последний день T, который вычисляется следующим образом:

T K = ViT -1 (1.2), c i0 iI ciT где - курс обмена валюты i на выбранную базовую валюту 0 в день T. Выбор базовой 0 валюты произволен. В [1] показано, что величина капитала валютного портфеля не зависит от выбора базовой валюты (с точностью до спрэда - разницы между курсами покупки и продажи валюты).

Стремясь максимизировать капитал портфеля, можно сформулировать следующую оптимизационную задачу:

T T - ma x c V, i 0 i t V, viti i i I t t - 1 t t t t V = V - v + c v + f, i i ii i i i i i (1.3) i I i I t0 V = V, i I, t = 1,..., T - 1.

ii Задача решается при условии выполнения аксиомы цен: цена покупки валюты у дилера не может превышать цены продажи валюты дилеры. Термин цена используется вместо термина курс обмена потому, что конверсия валют может происходить как непосредственно, так и опосредовано, через одну или несколько промежуточных валют.

Если аксиома цен нарушается, то можно организовать такую цепочку валютных обменов, Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ что оптимальным поведением было бы ее прохождение столь много раз, сколько это возможно.

Для решения задачи (1.3) используется метод агранжа. На каждом временном шаге t pit, i I, t =1,...,T -для каждой валюты i вводятся двойственные переменные и вспомогательные переменные:

t piT = ciT, = pit +1 - pit, it = - pit + cit pit, (1.4) 0 i i i В [1] показано, что тогда функцию агранжа можно записать в виде T -1 T -1 T -t t LVit,vit, pit ) = vit + piVi0 + pit fit ( (1.5) i Vit + i ii i iI iI t =1 iI i I t =1 iI t = Рассматривая вместо задачи условной максимизации (1.3) задачу безусловной максимизации (1.5), получаем условия оптимальности:

t t если < 0, то Vit = 0; если = 0, то Vit 0, i i tt tt если ii < 0, то vii = 0; если ii = 0, то vii 0, (1.6) i,i I, t = 1,...,T - 1.

При выполнении этих условий капитал валютного портфеля совпадает со значением функции агранжа:

T - ma x ma x 1 0 t t K = L = p V + p f (1.7) i i i i i I i I t = Соответственно, экономический смысл двойственных переменных: pi - это коэффициент перевода единицы валюты i в базовую валюту 0 за T-2 шагов процесса оптимальных конверсий.

Используя (1.4) и (1.6), можно записать двойственную задачу:

pit + 1 - pit 0, - pit + cit pit 0, piT = ciT ;

i (1.8) i, i I, t = 1,...,T - Решение задачи (1.8) можно выписать в виде системы уравнений:

T T pit = max pit+1;cit pit i I, pi = ci0, iI, t =1,...,T -( ) (1.9) { } i pit Опираясь на аксиому цен, из (1.9) выразим двойственные переменные на шаге t в pit +виде рекуррентной зависимости от двойственных переменных на последующем шаге t+1. Для случая трех валют (обозначенных символами d, s и e) они будут иметь вид:

tt t t t t t t t t t t pd = max pd+1;cde pe +1;cds ps +1;cdscse pe +1;cdeces ps +1 ;

{ } tt t t t t t t t t t t pe = max pe+1;ced pd+1;ces ps +1;cescsd pd+1;ced cds ps +1 ;

{} (1.10) tt t t t t t t t t t t ps = max ps +1;csd pd+1;cse pe+1;cseced pd+1;csd cde pe+1.

{} Из (1.10) видно, что, двигаясь от конца рассматриваемого промежутка времени к его t началу (обратным ходом), можно рассчитать двойственные переменные p для всех i валют.

Подставляя (1.10) в (1.4) и (1.6), и зная начальный валютный портфель Vi0, i I и fit, i I, t =1,...,T -экзогенные переменные, прямым ходом находятся значения t t прямых переменных V и v для всех валют на протяжении всего рассматриваемого i ii промежутка времени.

Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ з2. Оптимальные обмены основных мировых валют на международном рынке FOREX в 2001-2003г 2.1. Начальные условия Используя методику, предложенную в з1, был проведен анализ международного валютного рынка FOREX за период с 3 января 2001г. по 22 апреля 2003г. Выбор именно этого промежутка времени объясняется тем, что с 01.01.2001г. была введена в наличное обращение единая денежная единица европейского союза - евро, и прекратили своё существование многие старые национальные европейские валюты.

Общее количество календарных дней - 840, торговых - 592 дня (из рассмотрения исключались выходные и праздничные дни, когда торги на FOREX не проводятся) плюс последний день, в который ведется подсчет капитала портфеля.

Для расчетов использовались валютные котировки, предоставленные компанией Forexite [4].

Исследования проводились на 5 валютах: долларе США (USD, 1), евро (EUR, 2), британском фунте (GBP, 3), швейцарском франке (CHF, 4) и японской йене (JPY, 5). В качестве базовой валюты был выбран USD (индекс-1).

Предварительно было проверено соблюдение аксиомы цен для каждого торгового дня для всех возможных циклических обменов валюты: прямых, через одну, две, три, четыре валюты. В случае необходимости были проведены коррекции валютных курсов (изменения составили не более 0,0005 для отдельных валют).

Начальный портфель валют был взят следующий:

0 0 V1 0 = U S D 10, 000, V = E U R 10, 574, V = G B P 6, 647, V = C H F 16, 056, 23 V50 = JPY 1,149,452. Капитал портфеля в пересчете на день t=1 равен USD 50,000. Сторонних fi t поступлений на протяжении всего рассматриваемого промежутка времени нет.

Доходность портфеля рассчитывалась исходя из календарных, а не торговых дней, поскольку проценты по банковским ставкам - основному ориентиру для сравнения - начисляются именно по календарным дням.

Для сравнений значений двойственных переменных для различных валют pit pit / piT используются не абсолютные их значения, а относительные. Это необходимо, поскольку масштабы курсов различных валют могут отличаться на порядки: так, если соотношение между USD и EUR, или между USD и GBP порядка 1:1, то соотношение между USD и JPY порядка 1:100.

Всю совокупность оптимальных обменов по всем валютам будем называть оптимальной траекторией обменов.

2.2. Оптимальные значения двойственных переменных Сначала по формулам (1.9) решается обратным ходом двойственная задача.

(Экономный численный метод решения описан в [1].) Найденные значения двойственных переменных для шага t=1 - то есть те, которые 1 T согласно (1.2) участвуют в расчете капитал в конце, - и отношения pi / pi, iI - выше мы pit условились сравнивать их, а не непосредственно сами, - на оптимальной траектории таковы:

11 T USD : p1 = 10, 0736, p1 / p1 = 10, 0736;

11 T EUR : p = 9, 5 2 7 5, p / p = 8, 6 9 7 7;

22 11 T GBP : p3 = 15,1563, p3 / p3 = 9, 6127;

11 T CHF : p = 6, 2 7 3 9, p / p = 8, 6 0 9 6;

44 11 T JPY : p5 = 0, 0879, p5 / p5 = 10, 5911.

Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ Графики зависимости оптимальных значений двойственных переменных от времени 1 T 1 T pi / pi, iI lg(pi / pi ), iI построим, отложив по оси ординат не, а :

Рис.1. Графики зависимости lg(pit/piT) от времени Такое представление потребуется для целей дальнейшего исследования (см. п. и).

2.3. Свойства оптимальных обменов В результате проведенных расчётов были получены следующие результаты:

а) если дилер будет придерживаться оптимальной стратегии, то капитал портфеля будет равен К = USD 453,999, то есть доходность конверсионных операций на оптимальной траектории равна 395% годовых! Это очень большая доходность для международного финансового рынка.

б) отношения двойственных переменных в начале торговли к значениям в конце торговли 1 T pi / pi, i I - суть коэффициенты умножения начальных объемов валют за рассматриваемый промежуток времени от 03.01.01 по 22.04.03. Их значения известны (см. п.2.2), и значит можно проранжировать валюты по выгодности формирования в них первоначального портфеля: JPY, USD, GBP, EUR, CHF. Выгоднее всего первоначальный портфель формировать в японских йенах; в этом случае умножение первоначального количества йен происходит в 10,5911 раза. Тем не менее, такая стратегия не всегда выгодна; если начало торговли приходится не на 03.01.01, а, например, на 30.03.01, то коэффициент умножения 30.03.01 T 30.03.01 T для йен равен p5 / p5 = 7, 5208, а для долларов США - p1 / p1 = 7,8428, то есть если дилер выходит на рынок 30.03.01, то выгоднее, если первоначальный портфель будет сформирован в USD (см. рис.1).

Кроме того, необходимо отметить, что в евро формировать начальный портфель не выгодно практически никогда. Почти тоже самое верно и для швейцарского франка. Для получения максимальной прибыли формировать портфель в CHF можно только ближе к самому концу рассматриваемого промежутка времени, а именно если начало торговли t=осуществляется не ранее 04.03.03.

Остальные валюты в этом разрезе ведут себя по-разному: в зависимости от момента начала торговли когда-то бывает выгодно формировать портфель в долларах США, когда-то - в йенах, значительно реже - в британских фунтах стерлингов GBP.

в) зависимость двойственных переменных от времени на оптимальной траектории обменов обладает свойством магистрали.

Если начинать торговлю не 03.01.03, а позже, то, очевидно, что при решении соответствующей оптимизационной задачи с новыми начальными условиями на промежутке от выбранной начальной даты до 22.04.03 оптимальные значения двойственных переменных Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ будут совпадать со значениями двойственных переменных для нашего случая, когда начальная дата t=1=03.01.01. Так происходит потому, что двойственная задача (1.8) решается обратным ходом, от конца рассматриваемого промежутка времени, а поскольку и в том и в другом случае они совпадают, то будут совпадать и значения двойственных переменных на каждом временном шаге.

Если же торговля заканчивается не 21.04.03, а раньше то и в этом случае свойство магистральности будет выполняться. Абсолютного совпадения оптимальных значений двойственных переменных с нашим случаем наблюдаться не будет, поскольку решения двойственных задач начинается в разных временных точках, но расчёты показали, что по прошествии достаточно малого промежутка времени они совпадут г) на протяжении большей части рассматриваемого промежутка времени финальной оптимальной является какая-либо одна валюта (в нашем случае из 592 торговых дней финальной оптимальной одна валюта была 496 раз, две валюты - 92 раза, три валюты - раза, 4 валюты - 1 раз).

д) соответственно, при отсутствии экзогенных поступлений на всем рассматриваемом промежутке времени, то есть когда fi t = 0, i I, t = 1,...,T - 1, за достаточно малое число шагов все валюты портфеля конвертируются в одну валюту (в нашем случае сразу же на 1-м же шаге все валюты конвертируются в USD). После того, как это произошло, можно считать, что оптимальная траектория обменов вышла на магистраль.

е) ниже в таблице представлены данные, сколько раз та или иная валюта является финальной оптимальной для выбранной валюты:

сколько раз i' является i USD EUR GBP CHF JPY фин.опт. для i i' USD 160 154 152 154 133 EUR 103 109 107 102 87 GBP 104 99 107 99 87 CHF 107 110 106 119 87 JPY 118 120 120 118 198 Табл.1. Финальные оптимальные валюты Можно расположить валюты в порядке убывания по количеству раз, которые она является финальной оптимальной для других валют (в том числе и для себя): USD, JPY, CHF, EUR, GBP. Доллар США и йена являются наиболее притягивающими для всех остальных валют.

Соответственно, USD и JPY являются и наиболее стабильными валютами: для каждой из них количество раз, когда валюта остается неподвижной, превышает количество обменов в юбую другую валюту. При этом эти две валюты являются наиболее притягивающими друг для друга: доллар США переходит в йену 118 раз, а йена в доллар - 133 раза, и это максимальные количества переходов для них по сравнению с другими валютами.

Что касается других оптимальных обменов, то их количества примерно равны, и нельзя сказать, насколько та или иная валюта доминирует остальные. Единственным исключением является йена: если другие валюты являются финальными оптимальными примерно по 100 раз, то JPY переходит в EUR, GBP и CHF по 87 раз.

ж) при этом следует отметить, что ситуация, когда валюта остается финальной оптимальной на протяжении нескольких дней подряд, практически уникальна:

>2 дней 4 дня >4 дней USD 7 1 EUR 1 0 GBP 3 2 CHF 7 1 JPY 15 5 Табл.2. Количество раз, когда валюта остается финальной оптимальной несколько дней подряд Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ Больше 4 дней ни одна валюта не остается финальной оптимальной; исключением являются только CHF - 1 раз, 5 дней и JPY - 1 раз, 6 дней и 1 раз, 7 дней. Это означает, что пропуск дилером хотя бы одного торгового дня практически с вероятностью = 1 уводит последовательность валютных обменов с оптимальной траектории. Но потери скорее всего будут невелики, поскольку, как отмечалось в п. в), возврат на оптимальную траекторию происходит достаточно быстро.

з) зависимость доходности от торгуемых валют:

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги по разным темам