Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 |

kW2 ( ) Поэтому -a2(x) J(uk2) - a(x)|uk2(x)| dx Cu2 (x) - a(x)|uk2(x)| dx dx k4C (в последнем неравенстве воспользовались ограниченностью снизу квадратичной функции с положительным старшим коэффициентом). Так как a Lq( ), где q > n 2, последний интеграл конечен.

146 М. Г. Лепчинский, В. Н. Павленко Теперь обратимся к слагаемому uk1(x) - dx gk(x, s) ds в оценке для Jk(uk). Это слагаемое отличается от uk1(x) Ik = - dx g0(x, s) ds на величину, стремящуюся к 0 при k +. Это следует из оценки (11).

Установим, что Ik +.

Действительно, норма uk1 W 1 стремится к + с ростом k. В против( ) ном случае для некоторой подпоследовательности uk норма uk 1 в пространстве l l 1 W2 ( ) была бы ограничена. Вспомним, что vk v в Wq ( ), но так как по тео2 реме вложения Соболева пространство Wq ( ) компактно вложено в W2 ( ), то vk v в W2 ( ). В силу ограниченности uk1 получаем, что l uk l v(x) в W2 ( ), uk Cl как и uk uk 1 + uk l l l vk = = l uk C1 uk Cl l (пользуемся тем, что uk C1 +). Последнее означает, что последовательuklность элементов ортогонального дополнения N(L) сходится к ненуле ukl Cвому элементу v ядра N(L), чего не может быть, значит, uk1 W 1 +.

( ) Этот вывод вместе с включением uk1 N(L) немедленно влечет за собой то, что Ik + в силу условия (9). Окончательно получаем uk1(x) - dx gk(x, s) ds +.

Таким образом, члены числовой последовательности {Jk(uk)} могут быть представлены суммой двух слагаемых, одно из которых ограничено снизу, а другое не ограничено сверху, поэтому сама {Jk(uk)} не может быть ограничена сверху, что противоречит ранее установленному неравенству Jk(uk) 0.

Значит, исходное предположение о том, что последовательность uk(x) не ограничена в C1( ), неверно.

Для последовательности uk как последовательности решений краевой задачи (5), (6) выполняются равенства n - (aij(x)ukx )x = -c(x)uk(x) + gk(x, uk(x)), Buk| = 0.

i j i,j=Правая часть предпоследнего равенства ограничена в Lq( ) в силу того, что uk(x) ограничена в C1( ) и |g(x, s)| < a(x) s R (a Lq( )). Это влечет 2 ограниченность в Wq ( ) последовательности {uk} [13]. Пространство Wq ( ) рефлексивное, поэтому из ограниченной последовательности {uk} можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность, которую мы будем по-прежнему Аппроксимация резонансных краевых задач обозначать через uk. Пусть uk. Как и раньше, мы пользуемся компактностью вложения пространства Wq ( ) в пространство C1( ) и получаем, что uk в C1( ), а так как Buk| = 0, это нам дает B| = 0.

Теперь покажем, что J0() = inf J0(w) = d0.

wX Выберем произвольное u0 из множества M0. Обозначим k = dx |gk(x, s) - g0(x, s)| ds.

R Для любого u W2 ( ) в силу оценки (11) имеем u(x) |J0(u) - Jk(u)| = dx (gk(x, s) - g0(x, s)) ds k.

Теперь, используя последнее неравенство и определение uk и u0 как функций, доставляющих минимум соответствующим функционалам, получаем следующую цепочку неравенств:

d0 - k = J0(u0) - k J0(uk) - k Jk(uk) Jk(u0) J0(u0) + k = d0 + k.

Поэтому Jk(uk) d0, так как k 0 при k + по условию. Заметим также, что Jk(uk) J0() в силу соотношений J0(uk) J0() (так как функционал J0 непрерывен на C1( )) и |Jk(uk) - J0(uk)| k 0. В итоге J0() = d0 = inf J0(w). Как отмечалось выше, последнее влечет, что является сильным wX решением краевой задачи (1), (2) из Wq ( ). Если же решение исходной задачи, доставляющее минимум функционалу J0, единственно, то это влечет сходимость в C1( ) первоначальной последовательности {uk} к этому решению.

ИТЕРАТУРА 1. Гольдштик М. А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1962. Т. 147, № 6. С. 1310Ц1313..

2. Chang K. C. Free boundary problems and the set-valued mappings // J. Differential Equations. 1983. V. 49, N 1. P. 1Ц28.

3. Красносельский М. А., Покровский А. В. Уравнениях с разрывными нелинейностями // Докл. АН СССР. 1979. Т. 248, № 5. С. 1056Ц1059.

4. Павленко В. Н., Искаков Р. С. Непрерывные аппроксимации разрывных нелинейностей полулинейных уравнений эллиптического типа // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51, № 2.

.

С. 224Ц233.

5. Красносельский М. А., Покровский А. В. Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226, № 3. С. 506Ц509.

6. Красносельский М. А., Покровский А. В. Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями // Тр. Всесоюзн. конф. по уравнениям с частными производными, посвященной 75-летию со дня рождения академика И. Г. Петровского. М.: Изд-во Моск.

ун-та, 1978. С. 346Ц347.

7. Павленко В. Н., Винокур В. В. Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Изв. вузов. Математика. 2001. № 5. С. 45Ц58.

.

8. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

9. Красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983.

10. Landesman E., Lazer A. Nonlinear perturbations of linear elliptic boundary value problems at resonance // J. Math. Mech. 1970. V. 19, N 7. P. 609Ц623.

.

148 М. Г. Лепчинский, В. Н. Павленко 11. Потапов Д. К. Задачи на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностям: Дис. канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург, 2003. 101 с.

12. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели.

М.: Наука, 1973.

13. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

Статья поступила 20 августа 2003 г.

епчинский Михаил Германович, Павленко Вячеслав Николаевич ул. Братьев Кашириных, 129, Челябинск 454021 Челябинский гос. университет, кафедра вычислительной математики mmyth@mail.ru, pavlenko@csu.ru Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам