Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | 65 | кривая 3 - модифицированный ПН с РКЭ (см. рис. 3, а) Анализ этих кривых показал, что модифицирован- Библиографические ссылки ная топология ПН имеет наиболее высокий КПД из 1. Characterization and Comparison of Noise Generaвсех рассмотренных топологий при входном напряtion for Quasi-Resonant and Pulsedwidth-Modulated жении 65 В.
Converters / L. Hsiu, M. Goldman, R. Carlsten, et al. // При понижении входного напряжения КПД этого IEEE Trans. Power Electronics. 1994. Vol. 9, № 4.
P. 425Ц432.
ПН падает относительно других ПН, что связано с увеличением вклада потерь на диодах VD1 и VD2 2. Erickson R. W. Fundamentals of Power Electronics.
1st Ed. New York : Chapman and Hall, 1997.
в общие потери преобразователя.
Таким образом, преобразователь напряжения 3. Abu-Qahouq J., Batarseh I. Unified Steady-State Analysis of Soft-Switching DC-DC Converters // IEEE с ШИМ и резонансным переключателем целесообразTrans. Power Electronics. 2002. Vol. 17, № 5. P. 684Ц691.
но использовать совместно с аккумуляторной батаре4. Abu-Qahouq J. Generalized Analysis of Softей (АБ) в качестве зарядно-разрядного устройства Switching DCЦDC Converter Families // Tech. Rep. / СЭС КА в таком режиме, при котором минимальное Univ. Central Florida. Orlando, 2000.
напряжение на АБ выше 40 В, по крайней мере при 5. Bodur H. A., Bakan F. New ZVT-PWM DC-DC использовании силовых полупроводниковых компоConverter // IEEE Trans. Power Electronics. 2002.
нентов, представленных в данной статье. Vol. 17, № 1. P. 40Ц47.
N. N. Goryashin, A. Yu. Khoroshko UPON EFFICIENCY OF INCREASE OF A POWER-TIME CONVERTER WITH A RESONANCE SWITCHING UNIT The authors consider problems of increase of efficiency of a converter with pulse-width modulation and zero-voltage key switching for a satellite self-contained power-supply system.
Keywords: converter with a resonance switching unit.
й Горяшин Н. Н., Хорошко А. Ю., Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева УДК 534.121.П. О. Деев ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ, ЗАКРЕПЛЕННОЙ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТОЧКЕ Представлено решение задачи определения основной частоты колебаний трехслойной пластины, жестко закрепленной в центральной точке. Для решения динамической задачи применен обобщенный метод Галеркина.
Получена формула для определения основной частоты колебаний трехслойной пластины, закрепленной в центральной точке.
Ключевые слова: трехслойная пластина, частота колебаний, обобщенный метод Галеркина.
Важным критерием эффективности конструкции метр. Функции w, x и y определяют форму трехтрехслойной пластины является основная частота слойной пластины при изгибных колебаниях.
ее колебаний. Ниже будет представлено решение заПодставляя (2) в (1), получим дачи определения основной частоты колебаний для трехслойной пластины, закрепленной в центральной ab x y x x y y точке.
D x + D12 y x +D12 x + D22 y y + Рассмотрим прямоугольную трехслойную пласти ну, в центре которой расположим начало декартовой x y x x y y системы координат xy. Размеры пластины по осям и +D33 + + + D33 + y x y y x x обозначим а и b соответственно. В центральной w w w точке отсутствуют прогиб и углы поворота касатель- +Kx x + + Kx x + + (3) x ных к координатным линиям x и y.
x x x Получим вариационное уравнение изгибных коле w w w баний пластины в предположении, что линии x = 0 + Ky y + + Ky y + - 2Bwwdxdy.
y y y y и y = 0 являются линиями симметрии. В этом случае можно исследовать движение только четверти пла- Варьируя функционал (3), будем иметь стины.
a b b a b a Воспользуемся для получения уравнения колебаxy Lwdxdy - w dy - w0 dx = 0, [Q ] Q ний принципом Гамильтона:
0 0 0 a b b a tb a S = (T -U )dt, (1) x xy Lxxdxdy - x 0 dy - x 0 dx = 0, (4) [M ] M 0 0 0 t a b b a ab где S - интеграл действия Гамильтона; t - время;
xy y Lyydxdy - y 0 dy - y 0 dx = 0, M M (t2 - t1) - интервал времени, в течение которого про0 0 0 исходит движение четверти пластины; Т - кинетиче- где ская энергия движения четверти пластины; U - по2w 2w x y L = Kx + Ky + Kx + Ky + B2w ;
тенциальная энергия изгиба четверти пластины: здесь x y x2 yT и U определяются следующим образом [1]:
w 2x 2x a b Lx = -Kx + D11 + D33 T = 2B 2dxdy, x x2 yw (5) 0 2y a b -Kxx + D12 + D33 ;
x x y y () U = xy D x + 2D12 x y + D22 y + 0 (2) w 2x 2 Ly = -Ky + D12 + D33 + () x y w w y xy +D33 + + Kx x + + Ky y + dxdy, y x x y 2y 2y + D33 + D22 - Kyy;
где w = w x, y - прогиб пластины; x = x x, y, ( ) ( ) x2 yy = y x, y - углы поворота нормали; D11, D12, ( ) w D21, D22, D33 - изгибные жесткости трехслойной Qx = Kx x + ;
x пластины D12 = D21 ; Kx, Ky - сдвиговые жестко() w Qy = Ky y + ;
сти трехслойной пластины; B - инерциальный пара y Математика, механика, информатика Подставив (10) в (4), после группировки получим x y M = D33 + ;
xy a b b a y x b a x y LUxAdxdy - UxA dy - UxA0 dx + [Q ] Q x y 0 0 0 M = D11 + D12 ;
x a b b a x y a b + LU Bdxdy - U B0dy - B0 dx + yx y y y Q QU x y 0 0 0 M = D12 + D22. (6) y x y a b b a + LUxU Cdxdy - UxU C0dy Уравнения (4) являются основными вариационны- y x y Q 0 0 ми уравнениями, которым должны удовлетворять a b собственные функции w(x, y), x (x, y) и y (x, y), y x y QUU C0 dx = 0, от которых зависит форма действительных изгибных колебаний трехслойной пластины. a b b a Определение основной частоты колебаний трехx x LVxDdxdy - VxD dy [M ] слойной пластины, закрепленной в центральной точ- 0 0 a a b ке, может быть выполнено и с помощью эффективных b - VxD0 dx + LxVxU Pdxdy - (11) приближенных методов, одним из которых является xy y M 0 0 обобщенный метод Галеркина. В рамках этого метода ba прогиб w(x, y) и углы поворота x (x, y) и y (x, y) ab - VxU P0dy - VxU P0 dx = 0, x y xy y M M заменяются аналитическими выражениями, аппроксимирующими первую форму колебаний пластины a b b a ab вдоль осей x и y. В качестве выражений, задающих xy y LyVyFdxdy - VyF - VyF dx + M M 0dy 0 0 0 возможную первую форму пластины, закрепленной в a b b центральной точке вдоль осей x и y, можно принять a + LyUxVyTdxdy - UxVyT xy M 0dy функции, полученные из решения задачи изгиба кон0 0 сольно закрепленной балки под действием постоянноa b го давления.
- UxVyT dx = 0.
y M Представим прогиб и углы поворота в следующем виде:
Учитывая произвольность вариаций A, B, C, w = AUx + BU +CUxU, y y D, P, F, T, получим систему из семи разреx = DVx + PVxU, (7) y шающих уравнений обобщенного метода Галеркина с естественными граничными условиями:
y = FVy + TUxVy, a b b a где A, B, C, D, P, F, T - неизвестные числа;
b a x y LUxdxdy - Ux 0dy - Ux 0 dx = 0, [Q ] Q Ux (x), Vx (x), U (y), Vy (y) - аппроксимирующие y 0 0 0 функции, которые задаются выражениями a b b a ab x x3 x2 x x yx yy y LU dxdy - U - U dx = 0, Q Q 0dy Ux x = - 4 + 6 -12x - 2, ( ) 0 0 0 aa a a3 a2 b a b a b a x x2 x x xy LxVxdxdy - Vx 0dy - Vx 0 dx = 0, [M ] M Vx x = - +1, (8) ( ) 0 0 0 a a 3a a b b a ab y y3 y2 y y xy y LyVydxdy - Vy 0dy - Vy 0 dx = 0, M M U y = - 4 + 6 -12 - 2, ( ) yy 0 0 0 bb b b3 b a b b a ab y y2 y x x y LU Uydxdy -Q UxUy -Q UxUy dx = 0, (12) 0dy Vy y = - +( ) 0 0 0 b b 3b a b b a ab здесь x x y x x y xy x y LVU dxdy - VU - VU dx = 0, M M 0dy D11 D22 0 0 0 x =, =. (9) y a b b a ab Kxa2 Kybx xy x y x LyUVydxdy - UVy 0dy - UVy 0 dx = 0, M M Вариации функций прогиба и углов поворота бу0 0 0 дут иметь вид где d U w = UxA +U B +UxU C, d Ux d Ux y y L = Kx A + Kx U C + Ky y B + y dx2 dx2 dyx = VxD +VxU P, (10) y y = VyF +UxVyT.
Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева d U d U dVx dVx 2 dVy dVx dVx +Ky y UxU C + Kx U D Kx U P + Ky U F + + + Ky y UxC + Kx D + Kx U P + y y y y y dx dx dy dydx dx dydVy dVy dVy 2 + K U U T + B2 AU U + BU + CU U dxdy () y x y x y y x y +Ky F + Ky UxT + B2 AUx + BUy + CUxUy ;
() dy dy dy b dUx dUx 2 a dUx dUxd Vx - dy - KxDVxU y + KxPVxU y + Kx A dx U y + KxC dx U y Lx =-Kx A - Kx U C + D11 D + y dx dx dx (13) a dU d U d Vx y - FVyU + KyTUxVyU + Ky B U + + D11 U P + D33 y VxP - KxVxD - y y y y y K dy dx2 dyb dVy dUx dU y -KxU VxP + D12 + D33 T ;
() y + KyC UxU dx = 0;
y dy dx dy dU dU a b d U Ly =-Ky y B - Ky y UxC + D12 + D33 d Ux d Ux () y dy dy x y y y K dx2 U Ux A +Kx dx2 U UxC + Ky dy2 U UxB + 0 dU d Vy dVx d Ux y d U P + D33 VyT + D22 F + dVx dVx +Ky y UxU C + Kx U UxD + Kx U UxP + dy dx dx2 dyy y y dx dx dyd Vy dVy dVy +D22 UxT - KyVyF - KyVyUxT ;
+Ky U UxF + Ky UxU T + By y dydy dy 22 2 AUxU + BUxU + CUxU dxdy ( ) y y y dUx dUx Qx = Kx DVx + PVxU + A + C U ;
y y b dx dx dUx - DVxUxU + KxPVxUxU + Kx A x y y K dx dU dU y y Qy = Ky FVy + TUxVy + B + C Ux ;
dy dy dUx 2 a UxU + KxC UxU dy y y dx dU dUx y M = D33 P Vx + T Vy ; (14) xy a dy dx dU y - FVyUxU + KyTUxVyU + KyB y y y K dy dVx dVx dVy dVy Mx = D11D + D11P Uy + D12F + D12T Ux ;
b dx dx dy dy dU y y y dVx dVx dVy dVy UxU + KyC UxU dx = 0;
dy M = D12D + D12P Uy + D22F + D22T Ux.
y dx dx dy dy a b dUx dUx d Vx x y -K dx Vx A -Kx dx VxU C + D11 dx2 VxD + С учетом (14) разрешающая система уравнений 0 примет вид d U d Vx a b 22 + D11 U VxP + D33 y Vx2P - KxVx2D - d U y d U d U y xx dyx x x y x y x K U A +K U U C + K U B +dxdx2 dx2 dy 0 dVy dUx -KxU Vx2P + D12 + D33 VxT dxdy () d U dVy dVx dVx y + + dy dx +Ky y Ux C + Kx UxD Kx U UxP + Ky UxF y dx dx dy dya b dVx dVx dVy dVy dVy 2 2 2 - D Vx + D11P UyVx + D12F Vx + D12T UxVx dy + K U T + B2 AU + BU U + CU U dxdy - D dx () y x x x y x y dx dy dy dy b a b dU dUx y dUx dUx a - P Vx2 + D33T VyVx dx = 0 ;
- dy - D dy KxDVxUx + KxPVxU yVx + Kx A dx Ux + KxC dx UxU y dx 0 b a a b dU dU yy dU dU d Vx xx - FVyUx + KyTUxVy + KyB Ux + KyC Ux dx = 0, y K x y x y y -K dx VxU A -K dx VxU C + D11 dx2 VxU D + dy dy 0 2 a b 22 d U d Ux d Ux 2 d U y d Vx y x y y y y y y K dx2 U A +Kx dx2 U C + Ky dy2 U B + +D11 dx2 U VxP +D33 dy2 Vx2U P - KxVx2U D 0 Математика, механика, информатика dVy dUx тое и седьмое - на величину 315a D11D22. Тогда - KxU Vx2P + D12 + D33 VxU T dxdy () y y dy dx однородная СЛАУ в матричном виде запишется как b HZ = O, (16) dVx dVx - D VxU + D11P U Vx + 11 y y D dx dx где Z - матрица неизвестных; H - матрица, элемен ты которой имеют следующий вид:
a dVy dVy + D12F VxU + D12T UxVxU dy y y 108 dy dy h11 = - 2x + 35 + 81x, h12 = 0x0 y, () 0 px x b a dU h16 = 0, h17 = 0, dUx y - P Vx2U + D33T VyVxU dx = 0 ;
33 y y D dy dx 0 0 y h13 = - 2x +1512 + 0 y1x, px a b x dU dU yy y -K dy Vy B -Ky dy UxVyC +(D12 + D33 ) 0 h14 = -315 3x, h15 =-126 0 y 3x, 2 x x dU d Vy dVx d Ux y VyP + D33 Vy2T + D22 Vy F + 252 dy dx dx2 dyh21 = 0x0 y, h22 = - 2 y + 35 + 81y, () py 5 y d Vy +D22 UxVyT - KyVy2F - KyVy2UxT dxdy h24 = 0, h25 = 0, dy 0x h23 = -2 +1512 + 0x1y, a y py b dU dUx y y - P VxVy + D33T Vy2 dy D dy dx 0 315 h26 = - 3y, h27 =- 0x 3y, a y y dVx dVx - D Vy + D12P U Vy + 12 y D dx 0 y dx h31 = -2x +1512 + 0 y1x, px (15) b x dVy dVy + D22F Vy + D22T UxVy dx = 0;
0x dy dy 0 h32 = - 2 y +1512 + 0x1y, py y a b dU dU yy y -K dy VyUxB -Ky dy UxVyC +(D12 + D33)1y 2x 1x 2 y h33 = -96 + - 96 + + 1x1y, px py 0 x 35 y dU d2Vy dVx d2Ux y VUxP + D33 Vy2UxT + D22 VyUxF + 3x 3x y dy dx h34 = -126 0 y, h35 =-8 1y, dx2 dyx x d Vy 3y 3y +D22 UxVyT - KyVy2UxF - KyVy2UxT dxdy h36 = -126 0x, h37 =-8 1x, dy y y a b dU dUx y 3x 3x - P VxVyUx + D33T Vy2Ux dy - h41 =-315, h42 = 0, h43 =-126 0 y, D dy dx x x a dVx dVx h44 = -15 7x + 3, ( ) - D VyUx + D12P U VyUx + 12 y D dx x dx 0 y dVy dVy 2 b h45 =-63 2x +, h46 =-3512, + D22F VyUx + D22T UxVy dx = 0.
x dy dy 0 y h47 = -105123x, h51 = -126 3x, h52 = 0, x Выполнив в уравнениях (15) интегрирование, после некоторых преобразований получим однородную 1y 0 y h53 = -8 3x, h54 =- x + 9, систему линейных алгебранческих уравнений x x (СЛАУ), которую приведем в удобный для анализа безразмерный вид, для чего умножим первые три 1y 8 4 h55 =- x + - 33 2 y + 270, py уравнения на величину 315ab D11D22, четвертое и x 5 7 пятое уравнения - на величину 315b D11D22, а шес- h56 = -105123 y, Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева определяются только жесткостными и геометричеh57 =-315 123x3 y + 33 3x 3y, h61 = 0, () скими характеристиками материалов несущих слоев и заполнителя трехслойной пластины.
3y 3y0x h62 =-315, h63 =-126, Таким образом, задача определения основной часy y тоты изгибных колебаний трехслойной пластины, h64 =-3512, h65 = -105123y, закрепленной в центре, сведена к нахождению безразмерного частотного параметра, который вычис1 63 + h66 =-, ляется как наименьший вещественный корень кубичеy y ского уравнения det X = 0, полученного из условия ( ) 0x 3y 0x существования нетривиального решения однородной h67 =- y + 9, h71 = 0, h72 =-126, y 5 y СЛАУ (16).
Когда частотный параметр найден, то основная 1x 3y h73 =-8, (17) частота колебаний может быть получена из формулы y (19) с учетом равенств a = a 2 и b = b 2 :
h74 =-105123x, h75 =-315 123x3y + 33 3x 3y, () D11D0x =. (20) h76 =- + 9, B y ab y В качестве примера определим основную частоту 54 1x 8 h77 =-33 2x + 270 - +.
px y колебаний для нескольких трехслойных пластин, за y 5 крепленных в центральной точке и отличающихся размерами в плане, толщинами несущих слоев и заБезразмерные комплексы полнителя. Несущие слои выполнены из материала со ( ( 0x = 3 + 20x, 0 y = 3 + 20y, следующими параметрами: Ext) = 54,55 ГПа, Eyt) = t t t ( ( ( 1x = 91+ 999x + 30242, = 3+12x, x px = 54,55 ГПа, Gxy) = 20,67 ГПа, Gxz) = 3,78 ГПа, Gyz) = t 1y = 91+ 999y + 30242, 2x =-5 + 28x + 5602, y x = 3,78 ГПа, (t) = 0,32, (yx) = 0,32, t = 1 500 кг/м.
xy 2 y =-5 + 28y + 5602, Материал заполнителя характеризуется модулями y h h ( ( сдвига Gxz ) = 440 МПа, Gyz ) = 220 МПа и плотно1 8 1 8 6 3x = + x, 3y = +, 3x = + x, y 7 5 7 5 7 стью h = 83 кг/м. Пластины имеют размеры в пла6 не: b = 1 м, a = 1 и 2 м. Суммарная толщина несу3y = + y, = 3 +12, (18) py y 7 5 щих слоев t равна 0,001 и 0,002 м, а толщина заполнителя будет 0,01; 0,05; 0,1 м.
D11 D22 b2 Dx =, y =, =, Частоты колебаний трехслойных пластин, вычисDKxa2 Kyb2 aленные по формуле (20) для указанных выше размеD12 D33 ров, приведены в табл. 1.
Pages: | 1 | ... | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | 65 | Книги по разным темам