Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... | 42 | Если мы имеем дело с ориентированной фигурой: вектор, прямая, треугольник, то мы будем использовать жирный шрифт при написании точек, идентифицирующих данную фигуру. Для неориентированных фигур при написании точек применяется нормальный шрифт.
Координатный метод в современном его виде изобретен сравнительно недавно: прямоугольные и косоугольные координататы Рене Декартом в 1637 г., полярные координаты - Яковом Бернулли в 1691 г., криволинейные координаты Габриэлем Ламе в 1859 г. Слово координата введено Лейбницем в 1692 г. С другой стороны, древние греки, пусть и не столь формально, но также пользовались координатным методом. Элементами косоугольных координат активно пользовался Аполлоний, элементами полярных координат (при расчете спиралей) - Архимед.
Термины, соглашения, сокращения, структура работы Под коникой1 подразумевается эллипс, парабола, или гипербола.
Заметим, что термин Уконическое сечениеФ предполагает 3-х мерную обработку данных, т.к. конус - 3-х мерная фигура. А т.к. в данной работе мы рассматриваем только преобразования на плоскости, то в силу этого термин Уконическое сечениеФ мы не используем (по той же причине мы не доказываем теорему Данделена).
С другой стороны, мы, также, не применяем термин Укривая 2-го порядкаФ, поскольку этот термин существенно шире, чем коника (см. раздел 3.8.Инварианты).
Под дугой мы будем подразумевать часть коники (дугу эллипса, параболы или гиперболы).
В данной работе мы оставим термин УполюсФ только за точкой пересечения двух касательных2. Начало полярной системы координат, во избежание двусмысленности, мы будем называть Уначало координатФ. Находясь в начале координат, мы выбираем УглавноеФ или УположительноеФ направление оси координат, которое, также, называем Уполярная осьФ (на рис.1 - FT0 ).
Треугольник T1PT2 (см. рис.1 ), состоящий из отрезков двух касательных T1P и PT2, проведенных из двух различных точек дуги T1 иT2 до точки их пересечения P (полюс) и хорды (поляры) T1T2, соединяющей точки касания, назовем полярным.
Мы считаем, что термин УхордаФ (отрезок прямой, соединяющий 2 точки кривой), удобнее, чем термин УполяраФ (бесконечная прямая линия, расположенная определенным образом по отношению к полюсу), по следующим причинам:
- термин УхордаФ звучит привычнее для бывших школьников, чем термин УполяраФ;
Термин Менехма, хотя это мы не можем утверждать определенно. Термин прижился - его употреблял Аполлоний, Архимед и др. [21,стр.32]. В 8 книгах Аполлония ключевое слово УконикаФ присутствовало в названиях книг [21,стр.19]. Термин УконикаФ как компактный синоним термину Уконические сеченияФ активно применяется в современной английской, немецкой и французской математической литературе. Надо сказать, что слово УконикаФ постепенно входит и в современную русскую математическую терминологию, и мы относимся к этому процессу положительно.
Заметим, что среди основных западноевропейских языков такой неопределенности, какая к настоящему времени сложилась в русском языке, нет. Полюс (точка пересечения касательных) в английском языке называется pole, в немецком - Pol, во французском - pole. Начало координат в английском языке носит название origin
Термины, соглашения, сокращения, структура работы - содержит информацию о конечных точках хорды;
- хорда, совпадающая с полярой на своем конечном участке, также соответственно расположена по отношению и к полюсу, и к фокусу, как и поляра;
меньше нагрузки падает на слова с корнем УпоФ, что способствует лучшему пониманию и запоминанию.
Угол, образованный двумя радиус-векторами из начала координат, между некоторым направлением и полярной осью, называется полярным (например T1FT0 ).
Мы будем измерять длину радиус-векторов в тех же единицах длины, которые приняты для осей наложенной декартовой системы координат. Иными словами, во всех метрических измерениях мы применяем один и тот же масштаб.
Треугольник, одна из вершин которого находится в фокусе, а две других находятся на кривой второго порядка, назовем фокальным (на рис.это FT1T2 ).
Угол T2FT1, вершина которого находится в фокусе и образованный 2мя радиус-векторами из фокуса до кривой 2-го порядка, также назовем фокальным. Если, одно из направлений фокального угла совпадает с направлением полярной оси, то, очевидно, что в данном случае фокальный и полярный углы совпадают. Например, T2FT0 или T1FT0.
Угол T1PT2, образованный двумя касательными с вершиной в полюсе, назовем Ууглом при полюсеФ.
При доказательстве мы пользуемся непрерывностью рассматриваемых дуг и их первых производных на области определения дуги.
Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 1. Общие вопросы, функции и методы Мы рекомендуем программировать алгоритмы и выполнять упражнения не только на бумаге, но и с помощью компьютера.
1.1. Функция длины Расстояние между двумя точками A, B будем вычислять по теореме Пифагора с помощью функции dist dist(A, B) = (Ax - Bx )2 + (Ay - By )2. (1) 1.2. Функция направления ang() Мы хотим подчеркнуть, что эта функция является базовой для этой работы и применяется, практически, в каждом разделе. Если отвлечься от некоторых особенностей формата предлагаемой ниже функции, то у нее есть свойства, похожие на свойства функции = Arg z, называемой аргументом комплексного числа. Однако в настоящее время мы не готовы обсуждать степень подобия этих двух функций.
1.2.1. Определение и свойства функции направления 1.Определение функции направления Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости заданы две не совпадающие друг с другом точки: P1 :{x1, y1} и P2 :{x2,y2}.
Проведем два луча из P1 как из центра: один луч пусть будет оси абсцисс, а второй направлен от P1 к P2 (см.рис.1). Мы ищем угол, который, для краткости, будем называть как Уугол, под которым 2-я точка видна из 1-ойФ.
Для этого найдем координаты вектора разности {X, Y} = {x2 - x1, y2 - y1}. (1) Если X = 0 или Y = 0, то это означает, что вектор {X, Y} расположен или оси абсцисс или ординат.
Поместим для этих случаев результаты в таблицу.
Глава 1. Общие вопросы, функции и методы X > 0,Y = 0 X = 0, Y > 0 X < 0,Y = 0 X = 0, Y < 1 2 3 2 Табл.1.
Если X 0 и Y 0, то вычислим значения вспомогательной функции Y = arctg (2) X и с ее помощью дополним первую таблицу X > 0,Y > 0 X < 0,Y > 0 X < 0,Y < 0 X > 0, Y < 1 2 3 + - 2 - = - Табл.2.
Если же, по каким то причинам P1 и P2 совпадут, то функция не определена.
На рис.1 P1{60,40}, P2{-40,-60}. Следовательно, y2 - y1 - 60 - = arctg = arctg1 =. Из столбца 3 табл. = arctg x2 - x1 - 40 - 60 получим = или 225.
Обозначим введенную функцию как = ang(P1 :{x1, y1}, P2 :{x2, y2}).
Заметим, что справедливо = ang(P1 :{x1, y1}, P2 :{x2, y2}) = ang({0,0},{x2 - x1, y2 - y1}) = ang({0,0},{x, y}) Если одна из точек P1 или P2 совпадает с началом координат, то такую разновидность функции ang() назовем неполной ang({0,0},{x,y}) или ang({x,y},{0,0}). В этом случае, параметры x, y можно записать, не используя знак разности.
Корректными являются также следующие варианты записи неполной r r функции ang(0,{x,y}), ang(0,{x,y}) и ang({x,y},0), ang({x,y},0).
Чтобы не зависеть от формы представления функции ang() при подсчете параметров, в представлении ang(0,{x,y}) мы будем всегда считать x третьим параметром, а y - четвертым.
Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Если мы имеем дело с цепочкой векторов и хотим узнать угол направления от начала 1-го на конец последнего вектора, то справедливо = ang(0,{ x, y}) i i Данная формула легко доказывается методом математической индукции.
Предоставляем это читателю.
2. Отрицательные углы В связи с тем, что мы приняли правостороннюю систему координат, где положительный угол откладывается против часовой стрелки, то направление - получается из нулевого направления, направленного вдоль оси X (см.
рис.2,3), откладыванием угла по часовой стрелке. Сравнивая проекции некоторого вектора отложенного из центра декартовой системы координат по направлению углов и - на оси координат, заметим, что абсциссы у них всегда совпадают, а ординаты имеют противоположные знаки. У вектора, отложенного из произвольной точки на плоскости под углом, при переходе к углу - из равенства соответствующих треугольников происходит преобразование {X,Y} {X,-Y}.
Запишем отрицательный угол в виде следующей формальной записи - = -ang({x,y}) = - ang({x1,y1},{x2, y2}) = ang({x1,- y1},{x2,- y2}). (3) Также для неполной функции - ang(0,{x, y}) = ang(0,{x,-y}). (3a) Это свойство можно интерпретировать как нечетность одновременно по 2-му и 4-му параметру.
Из (3а) следует = ang(0,{x,y}) = ang(0,{x, y}). (4) 2 2 2 Упражнение 1. Убедиться, что ang(0,{, }) =, ang(0,{,- }) = -.
2 2 4 2 2 Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Упражнение 2. Доказать, что при x > 0 (правая полуплоскость единичной y окружности), выполняется arctg( ) = ang(0,{x, y}).
x Доказательство. При y > 0 равенство функций следует из (2). Рассмотрим y y < 0. Функция arctg(x) - нечетная arctg(-x) = -arctg(x). С учетом (3) arctg( ) = x - y y = arctg( ) = - arctg( ) = - ang(0,{x, y}) = ang(0,{x, y}).
x x Упражнение 3. Доказать, что при y 0 ( верхняя полуплоскость единичной окружности), справедливо 0 ang(0,{x, y}).
3.Нормализация углов и интервалов углов 3.1. Нормализация углов В теоретических вопросах, например при изучении симметрии угла относительно некоторой оси и др., удобно использовать отрицательные углы на первом этапе исследований. Но корректно сравнивать такие углы нельзя. Так, углу - (-30o) соответствует положительный угол (330o). Для положительных углов, 6 выходящих за интервал 0 < 2, мы имеем такую же картину угол (390o) = (30o) < (45o).
6 6 Поэтому при программировании и в задачах, связанных со сравнением углов, мы настоятельно рекомендуем их нормализовать после каждого расчета.
Кратко рассмотрим, что это означает.
Нормализованными называются углы в полуинтервале 0 < 2.
Алгоритм нормализации углов 1) Если угол > 2 (3600), то нужно вычитать из столько раз 2 (3600), пока угол не станет нормализованным.
2) Если угол < -2 (3600), то нужно прибавлять к столько раз 2 (3600), пока угол не станет нормализованным. На современных компьютерах приведенный алгоритм реализован аппаратно на машинно-ориентированных языках (Assembler) и программно на языках высокого уровня.
Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Упражнение 4. Доказать, что слагаемое - перед нормализацией углов можно заменить на слагаемое.
Доказательство. - = - + 2 =.
Таким же образом можно нормализовать все отрицательные слагаемые.
3.2. Нормализация интервалов углов Сначала приведем примеры таких интервалов. Любой из углов треугольника или многоугольника можно рассматривать как разность между двумя лучами, каждый из которых имеет свое направление. При поворотах треугольника, может случиться так, что ось абсцисс будет проходить между двумя лучами (т.е.
направление 1-го луча будет положительным, а 2-го - отрицательным). В этом случае новая разность углов будет не совпадать с ранее вычисленной разностью (проверьте!).
Т.к. значения углов ни треугольника, ни многоугольника при обычных поворотах не изменяются (существуют еще параболические повороты, гиперболические и т.д.), то для избежания конфликтов с реальностью, мы должны ввести некоторую коррекцию нашего подхода.
Итак, пусть нам даны два угла 1 и 2. Мы считаем, что 1 < 2 (это, кстати, первоначально может быть и волевое, субъективное решение). Выполним следующий 4-х шаговый алгоритм.
Алгоритм нормализации интервалов углов 1) нормализуем 1, 2) нормализуем 2, 3) сравниваем 1 и 2, 4) если 1 > 2, то 2 := 2 + 2. Таким образом, мы создали нормализованный интервал углов, но число на правой границе при этом может оказаться уже ненормализованным.
После поворотов опять применяем данный алгоритм, обеспечивая, тем самым, сохранение значения первоначального интервала углов.
Пример. Найдем середину интервала углов, если 1 = -, а 2 =.
6 Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Этап 1. Нормализация интервала углов 11 1) 1 =, 2) не изменяем 2, 3) 1 > 2, т.к. >, 4) 2 := 2 + 2, 6 6 2 = + 2 =.
3 Этап 2. Вычисление середины нормализованного интервала углов 1 + 2 1 11 7 0 = = ( + ) =.
2 2 6 3 Упражнение 5. Постройте чертеж и проследите шаги алгоритма из предыдущего упражнения.
Работая с нормализованным интервалом, мы можем создавать, например, линейные угловые интерполяционные алгоритмы в полярных координатах i(2 -1) i = 1 +, i = 0,..n n 4. Дополнительные углы Введем понятие дополнительных углов.
Дополнительными углами до 2 (3600) назовем два или большее число углов, сумма нормализованных значений которых равна 2 (3600).
Примеры. Четыре внутренних угла выпуклого четырехугольника (например, прямоугольника), сумма секторов круга.
Дополнительными углами до (1800) назовем два или большее число углов, сумма нормализованных значений которых равна (1800). В том случае, если мы рассматриваем только два угла и эти углы имеют общую границу, то такие углы называют смежными.
Примеры. Три внутренних угла треугольника, сумма секторов круга, сумма двух смежных углов, составляющих развернутый угол.
Дополнительными углами до (900) назовем два или большее число углов, сумма нормализованных значений которых равна (900).
Пример. Сумма острых углов прямоугольного треугольника.
Продолжим изучение свойств функции ang().
Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 5. Обмен точек местами При этом обмене выбранное нами направление между двумя точками меняется на противоположное, т.е. на. Действительно, первоначально из двух точек мы одну выбрали первой, а другую - второй. Меняя последовательность выбора точек, видим, что координаты результирующего вектора разности {X2,Y2} = {(x1 - x2),( y1 - y2)} = {-(x2 - x1),-( y2 - y1)} = {-X1,-Y1} по отношению к координатам исходного вектора разности меняют знак. Т.к.
функция ang() определена таблично, то, рассматривая все 8 вариантов таблиц 1,2, получаем ang({x1, y1},{x2, y2}) = ang({x2, y2},{x1, y1}) +. (5) Например, значение столбца 2 табл.1 при изменении знаков X, Y переходит в столбец 4 той же таблицы = +. Читатель может 2 2 проверить остальные 7 вариантов.
Pages: | 1 | ... | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... | 42 | Книги по разным темам