Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 |   ...   | 42 |

Вычислим синусы, в которые не входит угол sin(2 -1) = sin(0B + B - ) = sin((0B - ) + ), (4) 0 A 0 A B sin(1 -4) = sin(0 A - + ) = - sin((0B -0 A) - ). (5) 0B B B Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла отклонение Вычислим угол 3, используя (5.11.-5) - формулу для точки пересечения x y двух хорд. При этом 3 = ang(F, N ) = ang(0,{, }). Докажем, что делитель в последней формуле в рассматриваемом случае можно отбросить.

Действительно, если > 0, то, в соответствии с (1.2.1.-9) x y 3 = ang(0,{, }) = ang(0,{x, y}).

Если же < 0, то, используя (1.2.1.-9а) 3 = ang(0,{x,y}) +. Т.к.

sin( + ) = -sin, то слагаемое изменит знак (см. (3)) и в числителе у sin(3 -4), и в знаменателе у sin(2 -3). Поэтому знак частного останется прежний.

Таким образом, с точностью до получаем 3 = ang(0,{x, }) = ang(0,{ sin0B cos - sin0 A cos, cos0 A cos - cos0B cos }).

y A B B A (6) Обратим внимание, что параметры 3 и 4 не нормированы. Поэтому, при вычислении выражения sin(3 +), где - некоторый угол, в соответствии с (1.2.3.-2а), (1.2.3.-3а) появляется нормирующий множитель 2 + 2y x y cos + x sin sin(3 +) = sin3 cos + cos3 sin =. (7) 2 + 2y x Т.к. угол 3 входит и в числитель и в знаменатель (3), то этот множитель войдет и в числитель, и в знаменатель (3). Поэтому его мы учитывать не будем.

При вычислении синусов, куда входит 3, мы будем использовать (5.10.-2а) - условие сопряжения двух хорд cos( -0A ) = cos cos.

0B A B Теперь, после всех предварительных упрощений, вычислим sin(2 -3) = sin2 cos3 - sin3 cos2 = (sin0B cos + sin cos0B ) B B (cos sin0B - sin0 A cos ) - (cos0 A cosB - cos0B cos ) A B A (cos0B cos - sin0B sinB ) = sin2 0B cos cos - sin0 A sin0B cos2 + B A B B + cos0B sin0B cos sin - sin0 A cos0B cos sin - cos0 A cos0B cos2 + A B B B B + cos0 A sin0B cos sin + cos2 0B cos cos - cos0B sin0B cos sin = B B A B A B = cosA cos - cos(0B -0 A)cos2 B + sin(0B -0 A)cos sin = cos(0B -0 A) B B B Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла отклонение cos(0B -0 A) + cos(0B -0 A + 2 ) B - cos(0B -0 A + )cosB = cos(0B -0 A) - = B 2(0B -0 A) + 2B sin B 2sin - cos(0B -0 A) - cos(0B -0 A + 2 ) 2 B = = - = 2 = sin(0B -0 A + )sin. (8) B B Т.к. sin(3 -4) вычисляется аналогично, то запишем преобразования с некоторыми сокращениями sin(3 -4) = cos(0B -0 A - )cos - cos cos = B B A B cos(0B -0 A - 2 ) - cos(0B -0 A) B = = sin(0B -0 A - )sin. (9) B B Подставив в (3) все вычисленные синусы (4), (5), (8) и (9) и, произведя сокращения, получим окончательно sin(2 -1) sin(3 -4) sin((0B -0 A) + B ) sin(0B -0 A -B ) sin B = = -1. (10) sin(1 -4) sin(2 -3) - sin((0B - ) - ) sin(0B -0 A + ) sin 0 A B B B Замечание. При стремлении N к одной из точек на дуге, отношение (1) сохраняется (докажите!).

l21 lУпражнение 1. Докажите, что =. (11) l14 lУпражнение 2. Докажите, что sin(2 -3)sin(3 -4) sin(1 -2)sin(1 -4) = (2 + 2y ). (12) x sinГлава 5. Направление биссектрисы фокального угла отклонение 5.17. Произведение частей секущих. Теорема Эйлера Читатель знаком из школьного курса геометрии с замечательной теоремой о свойствах отрезков секущей и окружности (см.рис.1): произведение длины секущей на длину ее внешней части равно квадрату длины касательной.

В данном разделе мы собираемся рассмотреть обобщение данной теоремы на любой тип коники, а затем докажем данную теорему как частный случай общей.

Теорема [26,стр.55-57]. Пусть из некоторой точки на плоскости (взятой внутри или вне коники) через данную кривую проведены две секущие.

Возьмем произведение длин отрезков между этой точкой и двумя точками пересечения первой секущей и кривой и разделим на аналогичное произведение длин двух других отрезков к соответствующим точкам пересечения второй секущей и кривой. Пусть, далее, из некоторой другой точки на плоскости через данную конику проведена другая пара секущих, но так, что секущие второй пары ||, соответственно, секущим первой пары.

Тогда отношение произведения длин отрезков первой пары секущих будет равно отношению произведения длин отрезков второй пары секущих.

Доказательство. Сохраним обозначения (5.16) с той лишь разницей, что в данном разделе рассматриваются неориентированные отрезки и площади треугольников. Кроме того, на (рис.2) изобразим только 1 секущую. Этого достаточно для доказательства.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла отклонение Итак, как и ранее, для упрощения записи перенумеруем точки PA 1, B2 2, B1 4. Нам понадобятся также следующие векторы B2PA = r2 - r1 = l21 ;

PAB1 = r1 - r4 = l14.

Рассмотрим произведение длин отрезков одной из секущих, например PaB2B1. Свяжем, как и в (5.16), длины отрезков с соответствующими площадями треугольников S12, S14. Тогда S12 S14 r1r2 sin(1 -2) r1r4 sin(1 -4) r12r2rl12 l14 = = = sin(1 -2)sin(1 -4), (1) h2 h2 hгде h - высота треугольников F12 и F14 (одинаковая для двух треугольников), опущенная из F (фокус) на прямую PaB2B1 (124), - разности углов 1 -2 - 1F2, 1 -4 - 1F4.

Вычисляем p p r2r4 = = 1+ ecos(0B + B ) 1+ ecos(0B -B ) p= = 1+ e(cos(0B + B ) + cos(0B -B )) + e2 cos(0B + B )cos(0B -B ) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла отклонение p2 p= =. (2) (cos(20B ) + cos(2B )) (cos0B + ecosB )2 + (1- e2)sin2 0B 1+ 2ecos0B cosB + eРасстояние от фокуса до прямой PaB2B1 (5.6.3.-1) p2 cos2 B h2 =.

(cos0B + ecosB )2 + sin2 0B При вычислении синусов мы будем использовать (5.10.-2а) - условие сопряжения двух хорд cos( -0A ) = cos cos. Напомним, что это условие 0B A B эквивалентно тому, что три точки Pa, B2, B1 (1, 2, 4) находятся на одной прямой PaB2B1. Итак sin(1 -2) = - sin((0B -0 A) + B ) = -sin(0B -0 A) cosB - cos(0B -0 A)sinB = = -sin(0B -0 A)cosB - cos cos2 B, A sin(1 -4) = - sin((0B -0 A) -B ) = -sin(0B -0 A)cosB + cos(0B -0 A)sinB = = -sin(0B -0 A) cosB + cos cos2 B, A sin(1 -2) sin(1 -4) = - (cos2 cos4 B - sin2(0B -0 A)cos2 B ) = A = -(cos2 cos4 B - (1- cos2(0B -0 A))cos2 B ) = A - (cos2 cos4 B - (1- cos2 cos2 B )cos2 B ) = sin2 cos2 B. (3) A A A Собираем все части формулы произведения длин отрезков секущих r12r2rl12 l14 = sin(1 -2)sin(1 -4) = hr12 p2((cos0B + ecosB )2 + sin2 0B)sin2 A cos2 B = cos2 B((cos0B + ecosB )2 + (1- e2)sin2 0B)pr12 sin2 ((cos0B + ecosB )2 + sin2 0B).

A = (4) ((cos0B + ecosB)2 + (1- e2)sin2 0B) Исследуем (4). Сомножители r12 sin2, зависящие от выбора PA на A плоскости, сократятся при делении на аналогичное произведение длин отрезков второй секущей. Возьмем новую секущую - третью, но так, чтобы она была || первой секущей. Тогда для этих секущих выполняется равенство тангенсов углов наклона (5.6.1.-8) (cos0B + ecosB ) (ki )(Si ) =, (5) sin0B (ki )(Ci ) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла отклонение где нижний индекс i - номер секущей.

(Заметим, что появление (ki ) вызвано тем, что мы можем не сокращать на общие множители (Si ) и (Ci ) - это дает нам дополнительную свободу действий.) Отсюда и из (4) имеем отношение длин отрезков 2-х секущих, проведенных из одной точки, (l1)12 (l1)14 (S1)2 + (C1)2 (S2)2 + (1- e2)(C2) =. (6) (l1)12 (l1)14 (S1)2 + (1- e2)(C1)2 (S2)2 + (C2)Если мы возьмем вторую пару длин отрезков секущих, проведенных из другой точки, но так, что каждый из новых отрезков секущих второй пары будет ||, соответственно, одному из отрезков первой пары секущих, то, у новой пары секущих будут соответствующие тангенсы углов наклона равны тангенсам углов (Si ) (ki )(Si ) наклона первой пары =.

(Ci ) (ki )(Ci ) i=1, Очевидно, что отношение (6) у второй пары будет таким же, как и у первой пары отрезков секущих, т.к. (6) относительно коэффициента ki однородно и данный коэффициент сокращается. (Можно было и числитель, и знаменатель (6) разделить на (S1)2 (S2)2 (выразить (6) через тангенсы углов наклона). Но тогда нужно отдельно разобрать случаи, когда соответствующие тангенсы бесконечны.) Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла отклонение Отсюда следует, что отношение длин отрезков второй пары секущих (см.рис.3), ||, соответственно, отрезкам первой пары секущих, не зависит от PAB2 PAB1 ND2 NDвыбора точки PA на плоскости и сохраняется =.

PAC2 PAC1 NE2 NEПрименяя (4), найдем длину касательной коники (ср.5.8.-2). Нам известно:

1) произведение длин отрезков секущих равно квадрату длины касательной (отрезки секущих в данном случае равны между собой);

2) у касательной B = 0 и, следовательно, cosB = 1;

3) точка касания видна из фокуса под углом 0B = 0 m ;

p 4) расстояние от фокуса до полюса r1 = ;

cos + ecos5) ((cos0B + ecosB )2 + sin2 0B) = (1+ 2ecos(0 m ) + e2) 6) ((cos0B + ecosB )2 + (1- e2)sin2 0B) = (1+ ecos(0 m ))2 ;

Собираем все вместе, извлекаем корень и получаем длину касательной p sin 1+ 2ecos(0 m ) + eконики. (7) (cos + ecos0)(1+ ecos(0 m )) Докажем с помощью выведенных формул приведенную в этом разделе выше теорему о свойствах отрезков секущей и окружности (см.рис.1).

Доказательство. Заметим, что в системе координат Кеплера совмещен фокус (в данном случае центр окружности) и центр координат. Кроме того, для окружности ( e = 0 ).

1-й вариант В силу этого (4) преобразуется в r12 sin2 (проверьте!), т.е. зависит только A от положения выбранной PA на плоскости. Это означает, что отношение произведения длин 2-х отрезков различных секущих окружности, проведенных из одной точки под любым углом (лишь бы они пересекали окружность в двух или одной точках) равны 1. Отсюда следует (транзитивность равенства), что Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла отклонение произведение длин отрезков любой секущей равно, также, и квадрату длины касательной, проведенной из той же точки, что и секущие.

Напомним, что касательная является предельным положением секущих, а квадрат длины касательной для окружности равен r12 sin2 (докажите!).

A 2-й вариант Подставляем в (6) и (7) e = 0. Дальнейшее очевидно.

5.18. Разные задачи В этом разделе мы укажем еще 2 способа расчета координат точки пересечения диагоналей четырехугольника фокус-полюс (см. 5.6.4.) 4 способ Т.к. N (см. рис.1) гармонически сопряжена с P (полюс) относительно точек пересечения P0 и Q, то эти точки образуют гармоническую четверку (P0QPN) = -1.

P0P P0 N P0 P NQ Раскроем скобки : = = -1. (1) PQ NQ PQ P0 N Введем неизвестное S - расстояние от F до N. Тогда p p p P0 P = -, NQ = - (S + ), cos + ecos0 1+ ecos0 1- ecosГлава 5. Направление биссектрисы фокального угла отклонение p p PQ = -(QF + FP) = -( + ) ( в первом слагаемом 1- ecos0 cos + ecosp полярный угол = 0 +, тогда cos = cos(0 + ) = - cos0 ), P0 N = - + S.

1+ ecosПодставим эти выражения в (5) p p p ( - )(-1)(S + ) cos + ecos0 1+ ecos0 1- ecos0 (1- cos )(S(1- ecos0) + p) = -1, = -1, p p p (1+ cos )(S(1+ ecos0) - p) - ( + )(- + S) 1- ecos0 cos + ecos0 1+ ecosS(1- ecos0 - cos + ecos cos0) + p(1- cos ) = - S(1+ ecos0 + cos + ecos cos0) + p + p(1+ cos ), S(2 + 2ecos0 cos ) = 2 p cos, S =. Заметим, что 1+ ecos0 cos окончательный результат совпадает с (5.6.4.-4).

5 способ Воспользуемся (5.11.-5) для нахождения точки пересечения двух хорд p{sin02 cos1 - sin01 cos2, cos01 cos2 - cos02 cos1} (общий случай). Т.к. 2-я sin(02 -01) + e(sin02 cos1 - sin01 cos2) хорда проходит через фокус, то cos2 = 0 (см.5.1.-4). Кроме того, cos1 = cos, 02 -01 = (см.5.18. описание рис.1), sin(02 -01) = sin =1, 2 sin02 = cos0, cos02 = -sin0. Собираем все в одну формулу, получаем снова так, p cos как и в (5.6.4.-3) {cos0,sin0}. 1+ ecos0 cos 1 1 Упражнение 1. Доказать соотношение - =, (6) y x sL h 4sin2 ((cos0 + ecos )2 + sin2 0) где (см.5.6.2.-1а) L2 = p2, h ((cos0 + ecos )2 + (1- e2)sin2 0)а s = 1 для эллипса и параболы. Если хорда соединяет две точки какой-нибудь одной ветви гиперболы, то s = 1, если соединяются разные ветви гиперболы, то s = -1.

Глава 5. Направление биссектрисы фокального угла отклонение Доказательство. Выберем положительное направление секущей вдоль QP.

- x sLh - y Тогда = -1, sLhx - xy = sLh y + xy, sLh(x-y) = 2xy. (7) sLh + x y Делим обе части равенства на sLhxy, откуда получаем (6). Значение знака s предлагаем читателю разобрать самостоятельно.

Упражнение 2. Примените теорему для окружности: квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть для доказательства (6) или (7).

Упражнение 3. Проверьте равенство (6) для эллипса и гиперболы, если обе хорды являются фокальными, но одна фокальной оси, а 2-я || фокальной оси.

Упражнение 4. Сравните x и y.

Решение.

1 вариант ( s = 1) 1 2 Из (6) получаем, что = +. Исследуем это выражение.

y L x 1 1) Пусть 0 < L < и x, y > 0 Тогда > и x > y. (8) y x L Частный случай этого неравенства, когда полюс и вместе с ним x, а y.

1 2) Рассмотрим случаи равенства =, откуда следует равенство x = y : (9) y x а) при L = (асимптотическое направление параболы), б) при стремлении x, y 0 (полюс находится на кривой).

2 вариант ( s = -1) 1 1 Из (6) следует, что = -. Откуда x < y. (10) y x Lh Глава 6. Диаметр 6. Диаметр 6.1. Различные формулы 1-й модели диаметра Продолжим исследования свойств диаметра эллипса и гиперболы, начатые в (3.2.8.).

Из (3.2.8.-4) найдем расстояние от фокуса F:{0,0} до диаметра pesin dFD =. (1) cos2 + (1- e2)2 sin С помощью (3.2.8.-2) найдем квадрат длины диаметра 2 2 p cos 2 p sin L2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 = B2 + A2 = + = D 1 2 Lt (1- e2) Lt 4 p2 cos2 4 p2(cos2 + (1- e2)2 sin2 ) = + sin2 =, (2) L (1- e2)2 (1- e2)2(1- e2 sin2 )2) 4 p2(cos2 + (1- e2)2 sin2 ) или L2 =. (2а) D (1- e2)2(cos2 + (1- e2)sin2 ) Уравнение диаметра в общем виде - (1- e2)sin x + cos y - pesin = 0. (3) Нормальное уравнение диаметра s = +1, sin > - (1- e2)sin x + cos y - pesin = 0. (4) s = -1, sin < 0. s cos2 + (1- e2)2 sin(1- e2)sin Тангенс угла наклона диаметра kD =. (5) cos Найдем направляющие нормального вектора диаметра - (1- e2)sin cos cos =, sin =, s cos2 + (1- e2)2 sin2 s cos2 + (1- e2)2 sins = +1, sin где (6) s = -1, sin < 0.

Отсюда получим угол наклона диаметра к оси абсцисс = + = ang(0,{-s(1- e2)sin, s cos}) + = ang(0,{-s cos,-s(1- e2)sin}). (7) 2 s = +1, sin где s = -1, sin < 0. (Мы использовали (1.2.1.-15)) Глава 6. Диаметр Упражнение 1. Найти длины большой и малой оси эллипса (расчеты вести в 1-й модели).

Решение.

Большая ось. Возьмем в качестве сопряженной любую прямую, оси абсцисс. Пусть = 0 (вариант = дает тот же результат). Тогда данная сопряженная прямая будет || касательным, расположенным на концах большой 2 p оси. Из (2) LD = (ср.3.5.1.-2, 5.6.2.-7).

1- e Малая ось. Возьмем для сопряженной прямой =. Эта прямая || оси 2 p абсцисс (вариант = - дает тот же результат - проверьте!). Тогда LD = 1- e(ср.3.5.1.-8).

Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 |   ...   | 42 |    Книги по разным темам