Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |   ...   | 42 |

Теперь докажем, что при инверсии окружности преобразуются в окружности.

С целью упрощения вывода, возьмем центр окружности инверсии в начале координат {0,0} и пусть ось абсцисс и полярная ось совпадают. Далее, пусть x = r1 cos координаты некоторой точки до преобразования будут. Отсюда y = r1 sin x y r1 = x2 + y2, cos =, sin =. После преобразования инверсии x2 + y2 x2 + yx2 = r2 cos (угол не изменяется, т.к. преобразование идет по лучу, = r2 sin yпроходящему через центр инверсии (в данном случае через начало координат)).

Используем (1) r2x x = x2 + y. (4) y2 = r2 y x2 + y Учитывая симметричное положение исходной и отображаемой точек, r2xx = x2 + y2. (5) y = r2 y2 x2 + y Подставим найденные координаты в уравнение исходной окружности (2) Ar2 r2x2 r2 yA(x2 + y2) + Bx + Cy + D = + B + C y + D = 0. Приводим к 2 2 2 2 2 x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2 общему знаменателю Ar2 + Brx2 + Cry2 + D(x2 + y2 ) = 0. (6) Мы снова получили уравнение окружности. Для того чтобы не повторять вывод положения центра и нового радиуса, достаточно подставить в (3) A2 = D, B2 = Br, C2 = Cr, D2 = Ar2. Как и ранее, если A2 = 0, то окружность вырождается в прямую, а если D2 = 0, то окружность/прямая проходят через центр окружности инверсии.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Рассмотрим некоторые задачи. Совместим, как и ранее центр инверсии и начало координат, ось абсцисс и полярную ось. Пусть некоторая точка A1, лежащая на оси абсцисс, преобразуется в B1, а другая точка A2, лежащая на том же луче, преобразуется в B2. Через точки A1, A2 и B1, B2 проведем окружности, у Ax1 + Axкоторых центры лежат, соответственно, на расстояниях O1 = и Bx1 + BxO2 =.

Ax2 - Ax Имеем радиусы полученных окружностей R1 = и Bx1 - Bx2 r2 1 1 R R2 = = - = r2.

2 2 O1 - R1 O1 + R1 O12 - R RВведем коэффициент подобия окружностей k =. Отсюда R k = r2. (7) O12 - R Очевидно, что если O1 = R1, то окружность, лежащая внутри окружности инверсии проходит через центр инверсии, а внешняя окружность по отношению к окружности инверсии имеет бесконечный радиус и вырождается в прямую.

Центр внешней окружности находится от центра координат на расстоянии Bx1 + Bx2 r2 1 1 OO2 = = + = r2 = kO1.

2 2 O1 - R1 O1 + R1 O12 - R r r 16 Пример. Пусть O1 =, R1 =. Тогда k =, O2 = r.

2 4 3 Докажем, что при инверсии сохраняется значение угла (интервала углов) (свойство конформности), но при этом угол (интервал углов) меняет ориентацию на противоположную.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 1. Геометрический метод Доказательство. Нам нужно доказать, что OA1A2 = OB2B1, OA2 A1 = OB1B2 (см.рис.4а). Рассмотрим OA1A2 = OB2B1. Они подобны, т.к.

имеют общий O и пропорциональные стороны. Действительно, из OA1 OBOA1 OB1 = OA2 OB2 = r2 следует, что =. В подобных треугольниках OA2 OBнапротив пропорциональных сторон лежат равные углы. 2. Аналитический метод Доказательство. Не нарушая общности и в целях упрощения изложения, поворачиваем систему координат таким образом, что рассматриваемые A1, Bрасположены на луче, совпадающем с осью абсцисс (полярной осью) (см.рис.4б).

Пусть второй луч A2B2 выходит из центра инверсии O (центр координат) под rуглом. Тогда координаты точек будут следующими: A1 :{r1,0}, B1 :{,0}, rrA2 : r2{cos,sin}, B2 : {cos,sin}.

rДокажем, что OA1A2 = OB2B1. Таким же образом доказывается, что OA2 A1 = OB1B2. (Чтобы не зависеть от порядка расположения лучей, мы будем использовать понятие наименьший угол = ang(0,{x, y }) (см.1.4.6.-5). Но эта формула пригодна только для острых/прямых углов. Т.к. мы можем встречать при исследовании углы произвольной величины (0,2 ) (в частности тупые), то в Глава 1. Общие вопросы, функции и методы этом случае разбиваем их на два или более острых угла. Если мы докажем, что при инверсии сохраняются острые углы, то тем самым докажем всю теорему.) Действительно, OA1A2 = min(ang(A1,O) - ang(A1, A2 ))= = min( - ang({r1,0}, r2{cos,sin}))= min( + ang(0,{r2 cos - r1,-r2 sin}))= = ang(0,{r1 - r2 cos, r2 sin }), OB2B1 = min(ang(B2,O) - ang(B2, B1))= min(ang(O,B2) + - ang(B2, B1))= r2 r2 r = minang(0, {cos,sin}) + - ang( {cos,sin},{,0}) = r2 r2 r = min( + ang(0,{cos,sin}) - ang(0,{r1 cos - r2, r1 sin}))= = min( + ang(0,{r1 cos2 - r2 cos + r1 sin2, r1 cos sin - r2 sin - r1 cos sin}))= = min( + ang(0,{r1 - r2 cos,-r2 sin})) = ang(0,{r1 - r2 cos, r2 sin }).

Проведем под произвольным углом луч OB в окружности O радиуса R (см.рис.1). Отобразим C вдоль этого луча в B следующим образом. Проведем радиус-вектор из центра окружности O в точку касания A. Из вершины A опустим AC на OB. Рассмотрим прямоугольные OAC и ABC. Они подобны, т.к. имеют по равному острому углу (найдите эти углы!). Из подобия треугольников x h следует =.

h m + n Из этого равенства следует h2 = x(m + n) (1) или среднее геометрическое h = x(m + n). (2) Из теоремы Пифагора получаем h2 = R2 - x2. (3) Глава 1. Общие вопросы, функции и методы С другой стороны, x = R - m. (4) Делаем эти подстановки в (1) R2 - (R - m)2 = (R - m)(m + n). (5) После приведения подобных членов, получаем Rm = Rn - mn. (6) Делим все члены (6) на произведение Rmn и получаем основное соотношение инверсии 1 1 1 1 1 = - или - =. (7) n m R m n R (Мы предпочитаем хранить и исследовать уравнение инверсии в виде (7). Другие варианты см. в [21,стр.112-115]. Аполлоний дал свое определение инверсии I37 [21,113], эквивалентное нашему, но оно слишком велико для цитирования.) Упражнение 1. Объясните рис. 6, 7 [4, стр.21].

Упражнение 2. Доказать, что m n. Определить, когда m = n.

Упражнение 3. Доказать, что если R, то m n.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы 1.6. Отклонения точек от прямой 1.6.1. Отклонение точки от пассивно ориентированной прямой И в теоретических задачах, и, в особенности, на практике, важна информация, с какой стороны от прямой, с учетом ее направления, и как далеко находится некоторая точка. В данном разделе мы подробно рассмотрим классический вариант [16,з64].

Прежде всего, заметим, что абсолютное значение расстояния от точки до прямой задается с помощью формулы (1.5.-14). Далее, для того, чтобы определить значение отклонения от прямой и знак, который приписывают этому отклонению), необходимо иметь ориентацию (направление) этой прямой.

Классический метод дает направление прямой на основе направления нормального вектора pL{cos,sin } к этой прямой, в зависимости от положения прямой линии от центра координат. Если наблюдатель стоит лицом по направлению нормального вектора, то в правоориентированной системе координат вытянутая влево левая рука будет указывать направление указываемой прямой. При этом радиус-вектор pL всегда 0 по условию нормализации. Отклонение неориентированной (скалярной) прямой определяется формулой qH = xr cos + yr sin - pL (1) (ср. 1.5.2.-15), анализ которой сразу дает ответы на поставленные вопросы.

Так, qH говорит о расстоянии точки от прямой, а знак qH - об ее расположении.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы При qH > 0 исследуемая точка находится справа от прямой (при этом наблюдатель смотрит вдоль направления прямой), при qH < 0 - соответственно слева, а qH = говорит о том, что точка принадлежит прямой.

В том случае, если прямая проходит через начало координат, то pL = 0. В остальном же, методика расчета qH остается неизменной. Так, задаем на этой прямой две точки P1, P2, затем вычисляем A = P2 y - P1y, B = P1x - P2x, A B cos =, sin =. Выбор, какая из этих двух точек является первой, A2 + B2 A2 + Bа какая второй - произволен. Поэтому для прямой, проходящей через центр координат, угол вычисляется с точностью до, а знак перед qH произволен. В связи с такой неопределенностью, исследуемая точка может рассматриваться как стоящая справа от прямой, так и слева.

При || перемещении прямой линии, если она не пересекает начало координат, знак отклонения не изменяется. С другой стороны, если прямая при своем движении пересекает начало координат и останавливается по другую сторону от его начала, то знак отклонения меняется на противоположный.

Рассмотрим конкретные примеры (см. рис.1.) От всех 4-х линий, образованных продолжением векторов AB, BC, CD, DA, O отклоняется на qH = -2, т.е. находится слева, если наблюдатель смотрит по направлению данного вектора. Действительно, pL = 2 для всех сторон квадрата. Поэтому, подставляя координатыO :{0,0} в (1.5.1.-15), получим qH = 0cos + 0sin - 2 = -2.

Теперь найдем отклонение другой точки - R1 :{0,3} от линий, образованных продолжением векторов AB, BC, CD, DA. Результаты расчетов поместим в табл.

1.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Линия cos sin xr cos + yr sin - pL qH -0 0 (-1) + 3 0 - AB - 00 + 3(-1) - 2 - BC 3 0 -CD 0 0 0 1+ 3 0 - 1 - DA 0 00 + 31- 1 Табл.Рассмотрим теперь расстояние от R2 до прямой BC. Эта точка расположена выше на 1 ед. от BC, как и R1 от прямой DA. Но угол направления нормального вектора у нее другой - =, поэтому qH = xr cos + yr sin - pL = 0 0 + (-1) (-1) - 2 = -1.

(Ср. с табл.1, строка DA, где qH = 1).

Еще раз подчеркнем, что ориентация скалярной прямой и знак qH отклонения точки от прямой зависит от положения скалярной прямой от начала координат.

Упражнение 1. Докажите, что если центр окружности радиуса R совпадает с центром координат, то отклонение qH точки центра окружности от каждой из касательных к этой окружности равно - R (см. рис.2 ).

1.6.2. Отклонение точки от активно ориентированной (векторной прямой). Площадь ориентированного параллелограмма, построенного на 3-х точках Назовем активно ориентированной или векторной прямую, у которой направление единичного нормального вектора остается неизменным при любых параллельных переносах осей координат.

Известна формула площади параллелограмма, у которого три вершины из четырех заданы тремя точками [16,з14]. Назовем первую и вторую точки Глава 1. Общие вопросы, функции и методы P1, P2 и проведем через них прямую линию, а третью точку - внешнюю по отношению к прямой - R :{xr, yr} (см. рис.1). Тогда формула площади параллелограмма будет следующей xr yr 1 xr - x1 yr - y1 xr - x1 yr - ySVr = x2 y2 1 = x2 - x1 y2 - y1 0 =. (1) x2 - x1 y2 - yx1 y1 1 x1 y1 (Мы расположили в определителе точки в том порядке, который, как мы увидим дальше, обеспечит нам нужный знак у площади).

Из уравнения прямой в общем виде Ax + By + C = 0 запишем коэффициенты A = y2 - y1, B = x1 - x2, C = -x1y2 + x2 y1, (2) xr - x1 yr - y1 xr - x1 yr - yОтсюда SVr = = = x2 - x1 y2 - y1 - B A A(xr - x1) + B(yr - y1) = = Axr - Ax1 + Byr - By1 - C + C = = Axr + Byr + C - (Ax1 + By1 + C) = = Axr + Byr + C. (3) (Мы использовали, что x1 принадлежит прямой, поэтому Ax1 + By1 + C = 0 ) Таким образом, SVr можно интерпретировать как площадь параллелограмма со знаком, построенного на двух точках прямой и одной внешней точке. Знак SVr определяется как последовательностью 1-й и 2-й точек, так и расположением точки R по ту, или другую сторону от прямой P1P2.

Axr + Byr + C Продолжим исследовать (3) SVr = Axr + Byr + C = A2 + B2 ( ) = A2 + B= A2 + B2 (xr cos + yr sin - pVL) = LqVr. (4) Раскроем смысл (4) - нижний индекс у переменных в (4) обозначает обработку активно Vr R ориентированной прямой вместе с точкой - такую прямую для краткости будем называть векторной;

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы - L = A2 + B2 = (y2 - y1)2 + (x1 - x2)2 - расстояние между двумя точками или длина основания параллелограмма (на рис.1 - P1P2 );

- qVr = xr cos + yr sin - pVL - отклонение от активно ориентированной (векторной) прямой, причем qV = dr - расстояние от точки до прямой (от R до прямой P1P2 );

A B - C cos =,sin = pVL =. (5) A2 + B2 A2 + B2 A2 + BМы хотим подчеркнуть, что в случае векторной прямой знак у свободного члена pVL не меняется за счет знака у корня.

Заметим, что если внешняя точка R построена на продолжении перпендикуляра из одной из конечных точек P1 или P2 основания параллелограмма, то параллелограмм переходит в прямоугольник (см. рис.2).

Необходимое условие для этого получаем из (1), если скалярное произведение строк в определителе (xr - x1)(x2 - x1) + ( yr - y1)(y2 - y1) = 0 или - B(xr - x1) + A(yr - y1) = 0. (6) При использовании функции ang() это условие выглядит так ang(P1, P2) - ang(P1, R) =. (7) Свойство 1. Ортогональные преобразования с определителем равным 1 оставляют отклонение qVr от векторной прямой без изменения.

Напомним, что эти преобразования определяются в правоориентированной системе координат следующей системой уравнений (1.5.1.-9), [11,стр.50,2.1-10] x = (x-x0)cos + ( y - y0)sin,, (*) y = -(x-x0)sin + (y - y0)cos.

где вектор {x0,y0}- смещение начала новой системы координат, а ее угол поворота относительно старой системы координат.

Т.к. любая функция от инвариантов есть инвариант, и из (4) следует, что SVr qVr =, то нам достаточно доказать, что преобразования (*) оставляют L значения SVr и L без изменения.

Глава 1. Общие вопросы, функции и методы Упростим задачу: в формулы SVr и L выражения от координат x, y входят в виде разностей xi - xj, yk - yl, в которых происходит сокращение на компоненты вектора {x0,y0} (см.*). Поэтому эти слагаемые мы учитывать не будем. Далее, если мы докажем, что если L2 инвариант, то отсюда следует, что и L также инвариант. В промежуточных формулах будем использовать следующие сокращения x2 - x1 = X21; y2 - y1 = Y21. Тогда, следуя [16,з181, стр. 523], получаем 2 L12 = A2 + B = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 = (x2 cos + y2 sin - x1 cos - y1 sin )2 + + (-x2 sin + y2 cos + x1 sin - y1 cos )2 = (X cos + Y21 sin )2 + (-X21 sin + Y21 cos )2 = 2 2 2 = X21 cos2 + 2X Y21 cos sin + Y21 sin2 + X sin2 - 2X Y21 cos sin + Y21 cos2 = 21 21 2 2 2 = X21 + Y21 = A2 + B = L12, SVr = (xr - x1)(y2 - y1) - (x2 - x1)(yr - y1) = (xr cos + yr sin - x1 cos - y1 sin ) (-x2 sin + y2 cos + x1 sin - y1 cos ) - (x2 cos + y2 sin - x1 cos - y1 sin ) (-xr sin + yr cos + x1 sin - y1 cos ) = (Xr1 cos + Yr1 sin ) (-X sin + Y21 cos ) - (X cos + Y21 sin ) (-X sin + Yr1 cos ) = - X X21 cos sin + Xr1Y21 cos2 21 r1 r- X21Yr1 sin2 + Yr1Y21 cos sin + Xr1X21 cos sin - X Yr1 cos2 + Xr1Y21 sin2 -Yr1Y21 cos sin = X Y21 - X Yr1 = (xr - x1)(y2 - y1) - (x2 - x1)(yr - y1) = SVr. r1 Свойство 2. Докажем, что знак у величин A, B,C изменится на противоположный, при обмене точек P1 и P2 местами. Действительно A = y2 - y1 = -( y1 - y2), B = x1 - x2 = -(x2 - x1), x2 y2 x1 yC = -x1y2 + x2 y1 = = -.

x1 y1 x2 yОтсюда следует (5), что изменится знак у cos, sin, pVL и у qV. Таким образом, мы доказали, что при изменении направления у векторной прямой, абсолютная величина отклонения не меняется, а знак отклонения меняется на противоположный.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |   ...   | 42 |    Книги по разным темам