Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | ... | 17 | В этом случае, точное разложение относительного приращения показателя можно найти с использованием теоремы о промежуточном значении. Отнесение абсолютных приращений факторов и результирующего показателя к их значениям xmi (xi ; xi + xi ) и ym = f (xm ) в промежуточной точке позволяет записать точное разложение n y xmk f (xm ) xk y = = fk (xm ) = y f (xm ) f (x) xmk (2.33) k =n = fk
Формула (2.33) может трактоваться как формула конечных относительных приращений для эластичностей.
-99Применяя полученный результат, выражение для эластичности результирующего показателя можно представить в виде n fi
В качестве базовой модели для приложения теоремы о среднем значении для случая индексных показателей рассмотрим производственную функцию [53, 94, 95], которая математически может быть представлена в виде факторной системы y = f (x,a), где f - ожидаемый производственный результат;
x - вектор ресурсов;
a - вектор структурных параметров производственной функции.
Производственная функция выражает технологическую связь между выпуском продукции и ресурсами (затратами) [49, 134], то есть она представляет собой отображение, ставящее в соответствие любому вектору затрат единственное неотрицательное действительное число, а именно - величину максимального выпуска продукции, которая может быть достигнута при использовании данного вектора ресурсов.
Оценки параметров производственных функций рассчитывают на основе статистической информации. Эта информация представляет собой результаты единовременного наблюдения за множеством однородных объектов или результаты наблюдения за одним и тем же объектом в разные периоды времени.
Производственные функции чаще всего строят на базе степенных многофакторных зависимостей, то есть зависимостей вида:
n 1 у = а (2.35) xi = а x1 x2... xmm, i < 1 i.
i i=Функции такого вида называются степенными производственными функциями.
-100Степенную производственную функцию часто представляют в более удобном логарифмическом виде n ln y = ln a + ln xi, i i=эквивалентном (2.35) при xi > 0, i = 1,...,n. То есть операция логарифмирования позволяет осуществить переход от мультипликативной производственной функции к аддитивной.
В настоящее время степенные производственные функции используются для моделирования широкого класса экономических систем.
На практике для определения объёмов производства при различной комбинации факторов часто используют производственную функцию Кобба-Дугласа [30, 38, 135], предложенную К.У. Коббом и П.Х. Дугласом для описания связи между объемом общественного продукта и двумя важнейшими ресурсами - трудовыми ресурсами и основными производственными фондами:
i у = а xi = а x11 x22 = а L1 C, i=где L - фактор труда;
C - объём производственных фондов;
a - параметр степенной функции (фактор шкалы), определяемый на основе статистических данных;
i - эластичность выпуска продукции по отношению к i -му виду ресурсов (затрат) (на сколько процентов изменится выпуск при изменении расхода ресурса на единицу).
В более общем случае функцией Кобба-Дугласа называют типовую степенную производственную функцию (2.35).
При естественном предположении о положительности экономических величин выполним в производственной функции y = F(x) замену переменных i = ln xi, = ln y, xi = exp i, y = exp, так что функция преобразуется к виду = ln y = ln F(exp 1,...,exp n ) = (1,...,n ) = ().
Очевидна связь между индексами фактора x, показателя y и абсолютными приращениями величин и :
-101x + x ln ix = ln = ln(x + x) - ln x =, x F(x + x) ln iy = ln = ln F(x + x) - ln F(x) = () =.
F(x) Применение теоремы Лагранжа для разложения приращения показателя даёт точное факторное разложение n = (m ) i.
i i=Возврат к исходным величинам приводит к соотношению n iy =exp = exp i (m ) i = (2.36) i=n n
i Полученная формула (2.36) может трактоваться как теорема Лагранжа для эластичностей и индексов [25].
Для двухфакторной мультипликативной модели - производственной функции Кобба-Дугласа частные эластичности постоянны и совпадают с параметрами i, так что следствием (2.36) является очевидное соотношение:
iy = iL1 iC, или, в более общем виде, индекс степенной производственной функции вычисляется по формуле n iy = (ix )i.
i i=Таким образом, применение теоремы о промежуточном значении позволило найти точные выражения для представления зависимости относительного изменения (индекса) результирующего показателя от относительных приращений (индексов) факторов модели (производственной функции).
-1022.4.3. ИНДЕКСЫ ДИВИЗИА В ЭКОНОМИЧЕСКОМ ФАКТОРНОМ АНАЛИЗЕ В экономическом анализе одним из базовых инструментов является вычислительный аппарат теории индексов, что объясняет интерес специалистов к его приложениям (в том числе, в экономическом факторном анализе).
В преподавании экономического факторного, в том числе индексного, анализа [2, 7], объединяющего разнообразные методы исследования количественного влияния изменений факторов на изменение результирующего показателя, также представляется целесообразным уделить внимание индексам Дивизиа и тесно связанным с ними индексам Монтгомери, Фогта и др., детально обсуждаемым в специальной литературе [44, 45, 52], где подчёркиваются их серьезные методические достоинства: они обладают рядом полезных и естественных свойств, в частности удовлетворяют критериям транзитивности и агрегирования, дают один из возможных и эффективных путей сближения алгоритмического, статистического, экономического и аксиоматического подходов к конструированию индексов.
В то же время отмечается, что вычислительные трудности создают серьёзные препятствия для практического применения индексов Дивизиа, так как их вычисление, в соответствии с исходным определением, путём непосредственного интегрирования является очень трудоёмкой процедурой;
поэтому значение хорошей аппроксимационной формулы, поиск заменителей индексов Дивизиа, невозможно переоценить. Эти же проблемы заслуживают внимания и в плане преподавания данного материала [17, 105].
Истоки указанных трудностей коренятся в определяющей идее непрерывного взвешивания, в соответствии с которой индексы Дивизиа вводятся в контексте интегрального метода экономического факторного анализа, опирающегося для произвольной функции нескольких переменных f = f (x) = f ( x1, x2,..., xm ) на точное представление её приращения f = f (x1) - f (x0 ), при пути интегрирования x = x(t), 0 t 1, в следующем виде:
m xi (t) f (x(t)) dt.
f = (2.37) xi dt i=При этом, если -103m v =, vi = qi pi, v = v1 - v0, v i i=то 1 m m dqi (t) dpi (t) v = pi (t) dt + (2.38) i q (t) dt dt.
dt i=10 i=Для введения индексов Дивизиа, в соответствии с логарифмическим методом экономического факторного анализа, рассматривается функция f = ln(v) и её приращение в двух представлениях vf = ln(v1) - ln(v0 ) = ln ;
v тогда точные индексы Дивизиа Dq, Dp определяются на основе формулы 1 m m pi (t) dqi (t) qi (t) dpi (t) f = ln(v1) - ln(v0 ) = dt + dt = v(t) dt v(t) dt i =10 i =1 m m dqi (t) dpi (t) = lnexp q i [v(t)]-1 pi (t) dt dt + lnexp[v(t)]-1 (t) dt dt = i=1 i= 0 = ln Dq + ln D, p ~ ~ а приближённые Dq, D - на основе формулы p v1 v0 + (v1 - v0 ) v1 - v0 v1 - v0 v f = ln = ln = ln1+ = = v0 v0 v0 v0 v 1 m m pi (t) dqi (t) qi (t) dpi (t) = lnexp dt + lnexp dt = v0 dt i=10 v0 dt i= ~ ~ = ln Dq + ln D.
p В случае линейного пути интегрирования qi (t) = qi0 + t(q1 - qi0 ), pi (t) = pi0 + t( p1 - pi0 ), 0 t 1;
i i 1 pi (t) dqi (t) q1 - qii dt = [pi0 + t( p1 - pi0)] dt = i v0 dt v0 q1 - qi0 1 t q1 - qi0 pi0 + pi i i = pi0 t | + ( p1 - pi0 ) | =, i 2 v0 v0 -104индексы m m q1 - qi0 pi0 + p1 p1 - pi0 qi0 + q~ ~ L i i i i Dq = exp, DL = exp.
p 2 v0 vi=1 i=А в случае экспоненциального пути интегрирования q1, p1, i i qi (t) = qi0 expt pi (t) = pi0 expt 0 t 1;
qi0 pi 1 pi (t) dqi (t) 1 p1 q1 q0 i i i dt = pi expt qi0 expt ln dt = v0 dt v0 pi0 qi0 qi 0 v1 vi i expt ln | -vi0 vi0 q1 1 v1 vi0 q1 vi0 q1 vii i = ln expt i dt = ln i v1 = v0 ln qi0 v1 = v0 qi0 0 vi0 v0 qi i i ln ln vi0 viv1 - vi q1 vi i i = ln : ln ;
v0 qi0 vi для вычисления индексов получаем выражения:
m m v1 - vi0 q1 v1 v1 - vi0 p1 v~ ~ E i i i i i i Dq = exp ln : ln, DE = exp ln : ln.
p v0 qi0 vi0 v0 pi0 vii=1 i =Как с методической, так и с практической точки зрения ценность исходно используемого точного представления (2.37) в значительной степени теряется при переходе к приближённым индексам Дивизиа, хотя и более простым для вычисления, но связанным с приближённым равенством v1 - v0 v1 - v ln1+, v0 v справедливость которого к тому же не соответствует современным экономическим условиям, когда приращения факторов и показателей зачастую не являются малыми.
Использование в экономическом факторном анализе формулы конечных приращений Лагранжа даёт вместо (2.37) представление, тоже точное и не предполагающее малости приращений участвующих в нём величин, чем снимается последнее замечание:
0 n f (x1 + x1,..., xi0 + xi,..., xm + xm ) f = xi, (2.39) xi i =-105где параметр 0 < 1, несмотря на неконструктивный характер теоремы Лагранжа в общем случае, допускает эффективное вычисление для специальных структур функций. Так, для функции v указанного выше вида = 0,5, что приводит к имеющему экономический смысл точному и не связанному с реальными величинами приращений (независимо от того, малы они или нет) представлению m v q1 - qi0 pi0 + p1 m p1 - pi0 qi0 + qi i i i = +, 2 v0 i=1 v0 vi =~ ~ L которое хотя и может быть получено с использованием Dq, DL, но предp ложенный здесь его вывод существенно проще.
Кроме того, для функции f = ln(v) из уравнения v0 + v f = ln = ln(v0 + v) v v нетрудно найти v0 + v v - vvln =, v что даёт точное и не связанное с реальными величинами приращений (независимого то того, малы они или нет) представление f = ln(v0 + ln v) v, впрочем, совпадающее с f = ln(v0 + v) - ln(v0 ).
Таким образом, вышеприведённые расчёты позволяют проследить эволюцию методов Дивизиа и показать пользователю данного аппарата выкладки для расчёта основных показателей исследованного подхода к оценке хозяйственной деятельности.
Также представляется полезным при изложении данного материала подчеркнуть взаимосвязи между различными системами индексов. Точные индексы Дивизиа, полученные при линейном пути интегрирования и совпадающие при этом с натуральными индексами Фогта, определяются сложными, не имеющими ясной интерпретации формулами; для экспоненциального пути ситуация оказывается ещё менее приемлемой.
С другой стороны, индексы Монтгомери представляют собой скорректированные приближённые индексы Дивизиа, порождаемые экспонен-106циальным путём и факторным разложением (2.38). Наконец, точные индексы Дивизиа, порождаемые степенным путём, совпадают с приближёнными индексами Монтгомери. В этом случае, имея аксиоматическое обоснование и представляя собой точные индексы Дивизиа для степенного пути, индексы Монтгомери оправдывают использование близких к ним по значениям других, возможно более просто вычисляемых и эвристически вводимых индексов.
2.5. ОЦЕНКИ ВЫПУКЛЫХ КОМБИНАЦИЙ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ 2.5.1. НЕРАВЕНСТВА НА ВЫПУКЛЫХ КОМБИНАЦИЯХ В данном разделе рассматривается постановка и решение производственной задачи, лежащей в плоскости математического подхода к анализу специфических числовых комбинаций, допускающих экономическую интерпретацию.
Общеизвестным и тривиальным является тот факт, что, пользуясь стандартными математическими инструментами можно решать многочисленные прикладные задачи из различных областей человеческой деятельности. В этом разделе монографии приводится задача, которая в контексте этого высказывания не является исключением, а её прикладная интерпретация представляет интерес как с позиций результативного использования несложного математического аппарата, так и значимости полученных результатов для специалиста в области экономического анализа и для лица, принимающего управленческие решения.
Рассмотрим задачу на примере уже знакомой нам двухфакторной мультипликативной модели, например, выручка = цена объём или v = p q.
Пусть анализируются два ряда данных, содержащих информацию по двум видам продукции или для двух отчётных периодов. То есть мы располагаем двойным набором значений цены и объёмов продаж продукции.
Предполагаем, что производится некоторая обработка исходной информации, а именно: формируется новое множество, состоящее из показателей относительного отклонения значения цены для второго набора данных от соответствующего значения в первом наборе. Таким образом, получаем -107ряд относительных величин локальных отклонений по ценам для двух исходных наборов данных.
Далее производим расчёт значения средней цены для каждого из наборов, усредняя цены по суммарному объёму продаж при известной валовой выручке. После этого находим относительное отклонение вычисленных глобальных значений средних цен.
В рамках работы экономических подразделений предприятия вполне обоснованной является формулировка задачи о том, может ли при заданных условиях значение глобального относительного отклонения для средних цен лежать в границах интервала между минимальным и максимальным значением из сформированной последовательности локальных относительных отклонений первичных (неусреднённых) цен.
Данная постановка проблемы не предполагает использование сложного математического аппарата, но представляет собой пример результативного применения классического математического подхода для решения тривиальной по постановке, но оригинальной по содержанию задачи.
Pages: | 1 | ... | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | ... | 17 | Книги по разным темам