Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 |   ...   | 82 |

Обозначим максимальное значение функции правдоподобия, полученное в предположении, что ранг равен r, через Lr. Тогда статистика отношения правдоподобия равна (см. раздел 18.3.3):

LR(r0, ra) =2(ln Lra - ln Lr0).

Подставив в функцию правдоподобия полученные оценки, можно вывести следующее выражение для максимального значения логарифма функции правдоподобия (с точностью до константы):

r T ln Lr = - ln(1 - i) +const.

i=Поэтому ra LR(r0, ra) =-T ln(1 - i).

i=r0+Особенно полезны с точки зрения поиска коинтеграционного ранга два частных случая статистики отношения правдоподобия.

Статистика следа используется для проверки нулевой гипотезы о том, что ранг коинтеграции равен r, против альтернативной гипотезы о том, что ранг равен k (количеству переменных). Статистика имеет вид:

k LRtrace = LR(r, k) =-T ln(1 - i).

i=r+674 Глава 23. Векторные авторегрессии Проверка гипотез проводится последовательно для r = k - 1,..., 0 и заканчивается, когда в первый раз не удается отклонить нулевую гипотезу. Можно проводить проверку гипотез и в обратном порядке r =0,..., k- 1. В этом случае она заканчивается, когда нулевая гипотеза будет отвергнута в первый раз.

Можно также использовать статистику максимального собственного значения, которая используется для проверки нулевой гипотезы о том, что ранг равен r, против альтернативной гипотезы о том, что ранг равен r +1. Эта статистика равна:

LR-max = LR(r, r +1) =- ln(1 - r+1).

Обе статистики имеют нестандартные асимптотические распределения. Эти асимптотические распределения не зависят от мешающих параметров, а зависят только от k-r, и от того, как входят в модель константа и тренд (см. перечисленные на стр. 668 пять основных случаев).

Методом Монте-Карло получены таблицы LRtrace и LR-max для всех пяти случаев и нескольких значений k - r (на данный момент имеются таблицы для k - r = 1,..., 12). Также в последние годы разрабатываются различного рода аппроксимации для этих нестандартных распределений.

Как и в случае критерия ADF (см. п. 17.4), очень важным вопросом является выбор длины лага p (порядка авторегрессии). Способы, по сути дела, являются теми же самыми. Для проверки гипотез о длине лага можно использовать критерий отношения правдоподобия, который в данном случае имеет обычное распределение 2. Если процесс состоит из k компонент, и проверяется гипотеза о том, что следует увеличить p на единицу, то количество степеней свободы соответствующей статистики равно k. Важно также, чтобы в выбранной модели отсутствовала автокорреляция остатков, поскольку это одно из предположений модели.

Метод Йохансена можно использовать также для оценивания моделей с линейными ограничениями на матрицу коинтегрирующих векторов или на матрицу корректирующих коэффициентов. Для проверки таких ограничений удобно использовать все тот же тест отношения правдоподобия, который здесь имеет обычное асимптотическое распределение 2.

23.8. Коинтеграция и общие тренды Рассмотрим модель VAR(1) с интегрированными переменными и ее представление в виде модели исправления ошибок:

xt = xt-1 + vt. (23.7) Поскольку матрица состоит из коинтегрирующих векторов, то отклонения от равновесия xt являются I(0), и для них существует разложение Вольда. Выведем 23.8. Коинтеграция и общие тренды его. Для этого сначала умножим уравнение модели на :

xt = xt-1 + vt, откуда:

xt = xt-1( + I) +vt.

Имеем для стационарного вектора xt авторегрессию, из которой можем представить xt в виде бесконечного скользящего среднего (разложение Вольда):

xt = vt-i( + I)i.

i=Подставив это выражение в исходную модель (23.7), получим также разложение Вольда для приростов xt:

xt = vt-i( + I)i-1 + vt, i=или xt = vt-iCi = vtC(L), i=где мы ввели обозначения Ci для матричных коэффициентов скользящего среднего. Несложно подсчитать, пользуясь формулой бесконечной геометрической прогрессии, что соответствующий долгосрочный мультипликатор равен C(1) = I - ( )-1. (23.8) Обозначим Ci = - Ci и C(L) = Ci Li. При этом выполнено следующее j=i+1 i=разложение для C(L):

C(L) =C(L) +C(1).

Кроме того, можно показать, что C(L) соответствует стационарному процессу.

Все это позволяет разделить процесс xt на сумму двух составляющих:

xt =vtC(L) +vtC(1).

Следовательно, xt можно представить следующим образом:

xt = vtC(L) +vt C(1), (23.9) 676 Глава 23. Векторные авторегрессии где vt Ч это векторный процесс случайного блуждания, построенный на основе vt (проинтегрированный vt): vt =vt.

Первое слагаемое в разложении xt (23.9) стационарно, а второе представляет собой линейную комбинацию процессов I(1).

Если воспользоваться тождеством I = ( )-1 + ( )-1, где и Чэто (k - r) k матрицы полного ранга, такие что = и =0, то матрицу C(1), опираясь на (23.8), можно представить как C(1) = ( )-1.

Таким образом, процесс xt можно представить в виде6:

xt = vtC(L) +vt ( )-1.

Элементы вектора vt являются общими стохастическими трендами. Отсюда видно, что k-мерный VAR-процесс с рангом коинтеграции r можно выразить через k - r линейно независимых общих трендов. Матрица ( )-1 содержит коэффициенты (лнагрузки) этих общих трендов.

Представление через общие тренды служит основой для еще одного метода оценивания коинтеграционных регрессий Ч метода СтокаЧУотсона.

23.9. Упражнения и задачи Упражнение В таблице 23.2 приведены данные о потребительских расходах C и доходах Y в США в млрд. долл., очищенные от сезонности.

1.1. Нарисуйте график потребления и доходов. Что можно сказать об этих рядах по графикам 1.2. Создайте первые разности логарифмов для обоих рядов. Нарисуйте график и сделайте выводы.

1.3. Предположим, что существует структурная зависимость между потреблением и доходами. А именно, потребление C зависит от текущих доходов и, вследствие привычек, от лагов потребления:

Ct = 1 + 2Yt + 3Ct-1 + C.

t Это так называемое разбиение на цикл и тренд БевериджаЧНельсона (см. п. 17.2).

23.9. Упражнения и задачи Таблица 23.2. (Источник: Temple University Department of Economics Econometrics II Multivariate Time Series;

) Квартал C Y Квартал C Y Квартал C 1947.1 192.5 202.3 1952.1 220 231.1 1957.1 268.9 291.1947.2 196.1 197.1 1952.2 227.7 240.9 1957.2 270.4 294.1947.3 196.9 202.9 1952.3 223.8 245.8 1957.3 273.4 296.1947.4 197 202.2 1952.4 230.2 248.8 1957.4 272.1 293.1948.1 198.1 203.5 1953.1 234 253.3 1958.1 268.9 291.1948.2 199 211.7 1953.2 236.2 256.1 1958.2 270.9 292.1948.3 199.4 215.3 1953.3 236 255.9 1958.3 274.4 299.1948.4 200.6 215.1 1953.4 234.1 255.9 1958.4 278.7 302.1949.1 199.9 212.9 1954.1 233.4 254.4 1959.1 283.8 305.1949.2 203.6 213.9 1954.2 236.4 254.8 1959.2 289.7 312.1949.3 204.8 214 1954.3 239 257 1959.3 290.8 311.1949.4 209 214.9 1954.4 243.2 260.9 1959.4 292.8 313.1950.1 210.7 228 1955.1 248.7 263 1960.1 295.4 315.1950.2 214.2 227.3 1955.2 253.7 271.5 1960.2 299.5 320.1950.3 225.6 232 1955.3 259.9 276.5 1960.3 298.6 1950.4 217 236.1 1955.4 261.8 281.4 1960.4 299.6 320.1951.1 223.3 230.9 1956.1 263.2 1951.2 214.5 236.3 1956.2 263.7 286.1951.3 217.5 239.1 1956.3 263.4 287.1951.4 219.8 240.8 1956.4 266.9 В свою очередь, текущие доходы зависят от лагов доходов (из-за инерции) и от лагов потребления (по принципу мультипликатора):

Yt = 1 + 2Yt-1 + 3Ct-1 + Y.

t Оцените параметры структурной формы модели при помощи МНК по исходным данным. Затем проделайте то же самое, используя преобразованные данные из пункта 1.2 (разности логарифмов). Объясните, имеют ли два полученных набора оценок одинаковый смысл. Какие оценки предпочтительнее ипочему 1.4. Перепишите модель в приведенной форме. Укажите взаимосвязь между коэффициентами структурной и приведенной форм. Оцените приведенную форму модели по исходным данным и по преобразованным данным. Какие оценки предпочтительнее и почему 678 Глава 23. Векторные авторегрессии 1.5. Добавьте еще по одному лагу в оба уравнения приведенной формы. Оцените коэффициенты по исходным данным и по преобразованным данным и проведите тесты причинности по Грейнджеру. Что можно сказать о направлении причинности по полученным результатам 1.6. Проверьте ряды на наличие единичных корней, используя тест ДикиЧ Фуллера.

1.7. Примените к исходным данным и к логарифмам исходных данных метод Йохансена, используя в модели 4 лага разностей.

Упражнение В таблице 23.3 даны макроэкономические показатели по США (поквартальные данные получены на основе помесячных данных): Infl Ч темп инфляции, рассчитанный по формуле: 400(ln(CPIt) - ln(CPIt-1)), где CPI Ч индекс потребительских цен, т.е. логарифмический темп прироста цен в процентах из расчета за год;

UnRate Ч уровень безработицы (процент населения); FedFunds Ч эффективная процентная ставка по межбанковским краткосрочным кредитам овернайт (в процентах годовых).

2.1. Оцените параметры векторной авторегрессии 4-го порядка, предполагая, что текущая инфляция влияет на текущую безработицу и процентную ставку, а текущая безработица влияет на текущую процентную ставку (рекурсивная система).

2.2. Оцените модель в приведенной форме, пропуская последнее наблюдение, и получите точечный прогноз на один период. Сравните прогнозы с фактическими значениями.

Упражнение В таблице 23.4 приведены данные из статьи Турмана и Фишера, посвященной вопросу о том, что первично Ч куры или яйца. Это годовые данные по США за 1930Ц1983 гг. о производстве яиц в миллионах дюжин и о поголовье кур (исключая бройлерные).

3.1. Проведите тест причинности по Грейнджеру между двумя рядами. Сделайте выводы относительно направления причинности.

3.2. Для каждого ряда проведите тест ДикиЧФуллера на наличие единичных корней, используя лаги от 0 до 12. Выберите нужную длину лага, используя 23.9. Упражнения и задачи Таблица 23.3. (Источник: The Federal Reserve Bank of St. Louis, database FRED II, ) Квартал Infl UnRate FedFunds Квартал Infl UnRate FedFunds 1954Ц3 Ц1.490 5.967 1.027 1962Ц4 0.000 5.533 2.1954Ц4 0.000 5.333 0.987 1963Ц1 1.314 5.767 2.1955Ц1 0.000 4.733 1.343 1963Ц2 1.309 5.733 2.1955Ц2 Ц1.495 4.400 1.500 1963Ц3 1.305 5.500 3.1955Ц3 2.985 4.100 1.940 1963Ц4 2.597 5.567 3.1955Ц4 0.000 4.233 2.357 1964Ц1 0.000 5.467 3.1956Ц1 0.000 4.033 2.483 1964Ц2 1.292 5.200 3.1956Ц2 4.436 4.200 2.693 1964Ц3 1.288 5.000 3.1956Ц3 2.930 4.133 2.810 1964Ц4 2.564 4.967 3.1956Ц4 2.909 4.133 2.927 1965Ц1 0.000 4.900 3.1957Ц1 4.324 3.933 2.933 1965Ц2 3.816 4.667 4.1957Ц2 2.857 4.100 3.000 1965Ц3 0.000 4.367 4.1957Ц3 2.837 4.233 3.233 1965Ц4 3.780 4.100 4.1957Ц4 2.817 4.933 3.253 1966Ц1 3.744 3.867 4.1958Ц1 5.575 6.300 1.863 1966Ц2 2.477 3.833 4.1958Ц2 0.000 7.367 0.940 1966Ц3 4.908 3.767 5.1958Ц3 0.000 7.333 1.323 1966Ц4 1.218 3.700 5.1958Ц4 1.382 6.367 2.163 1967Ц1 1.214 3.833 4.1959Ц1 0.000 5.833 2.570 1967Ц2 3.620 3.833 3.1959Ц2 1.377 5.100 3.083 1967Ц3 3.587 3.800 3.1959Ц3 2.740 5.267 3.577 1967Ц4 4.734 3.900 4.1959Ц4 1.363 5.600 3.990 1968Ц1 3.514 3.733 4.1960Ц1 0.000 5.133 3.933 1968Ц2 4.638 3.567 5.1960Ц2 2.712 5.233 3.697 1968Ц3 4.585 3.533 5.1960Ц3 0.000 5.533 2.937 1968Ц4 5.658 3.400 5.1960Ц4 2.694 6.267 2.297 1969Ц1 5.579 3.400 6.1961Ц1 0.000 6.800 2.003 1969Ц2 5.502 3.433 8.1961Ц2 0.000 7.000 1.733 1969Ц3 5.427 3.567 8.1961Ц3 2.676 6.767 1.683 1969Ц4 6.417 3.567 8.1961Ц4 0.000 6.200 2.400 1970Ц1 6.316 4.167 8.1962Ц1 2.658 5.633 2.457 1970Ц2 5.188 4.767 7.1962Ц2 0.000 5.533 2.607 1970Ц3 4.103 5.167 6.1962Ц3 2.640 5.567 2.847 1970Ц4 6.076 5.833 5.680 Глава 23. Векторные авторегрессии Таблица 23.3. (продолжение) Квартал Infl UnRate FedFunds Квартал Infl UnRate FedFunds 1971Ц1 2.005 5.933 3.857 1979Ц2 12.950 5.700 10.1971Ц2 4.969 5.900 4.563 1979Ц3 12.006 5.867 10.1971Ц3 2.952 6.033 5.473 1979Ц4 13.220 5.967 13.1971Ц4 2.930 5.933 4.750 1980Ц1 16.308 6.300 15.1972Ц1 2.909 5.767 3.540 1980Ц2 11.809 7.333 12.1972Ц2 2.888 5.700 4.300 1980Ц3 6.731 7.667 9.1972Ц3 3.819 5.567 4.740 1980Ц4 11.745 7.400 15.1972Ц4 3.783 5.367 5.143 1981Ц1 10.058 7.433 16.1973Ц1 8.382 4.933 6.537 1981Ц2 8.487 7.400 17.1973Ц2 7.306 4.933 7.817 1981Ц3 11.330 7.400 17.1973Ц3 8.949 4.800 10.560 1981Ц4 4.274 8.233 13.1973Ц4 9.618 4.767 9.997 1982Ц1 2.542 8.833 14.1974Ц1 12.753 5.133 9.323 1982Ц2 9.599 9.433 14.1974Ц2 9.918 5.200 11.250 1982Ц3 2.876 9.900 11.1974Ц3 12.853 5.633 12.090 1982Ц4 0.000 10.667 9.1974Ц4 10.147 6.600 9.347 1983Ц1 1.634 10.367 8.1975Ц1 6.877 8.267 6.303 1983Ц2 5.266 10.133 8.1975Ц2 5.268 8.867 5.420 1983Ц3 4.004 9.367 9.1975Ц3 8.141 8.467 6.160 1983Ц4 3.964 8.533 9.1975Ц4 7.260 8.300 5.413 1984Ц1 5.874 7.867 9.1976Ц1 2.867 7.733 4.827 1984Ц2 3.098 7.433 10.1976Ц2 4.969 7.567 5.197 1984Ц3 3.839 7.433 11.1976Ц3 6.299 7.733 5.283 1984Ц4 3.045 7.300 9.1976Ц4 5.517 7.767 4.873 1985Ц1 4.899 7.233 8.1977Ц1 8.136 7.500 4.660 1985Ц2 2.613 7.300 7.1977Ц2 5.995 7.133 5.157 1985Ц3 2.226 7.200 7.1977Ц3 5.255 6.900 5.820 1985Ц4 5.147 7.033 8.1977Ц4 6.473 6.667 6.513 1986Ц1 Ц1.464 7.033 7.1978Ц1 7.001 6.333 6.757 1986Ц2 1.098 7.167 6.1978Ц2 9.969 6.000 7.283 1986Ц3 2.188 6.967 6.1978Ц3 9.126 6.033 8.100 1986Ц4 2.899 6.833 6.1978Ц4 8.334 5.900 9.583 1987Ц1 5.022 6.600 6.1979Ц1 11.612 5.867 10.073 1987Ц2 4.608 6.267 6.23.9. Упражнения и задачи Таблица 23.3. (продолжение) Квартал Infl UnRate FedFunds Квартал Infl UnRate FedFunds 1987Ц3 4.207 6.000 6.843 1995Ц4 2.085 5.567 5.1987Ц4 3.126 5.833 6.917 1996Ц1 4.137 5.533 5.1988Ц1 3.102 5.700 6.663 1996Ц2 3.075 5.500 5.1988Ц2 5.117 5.467 7.157 1996Ц3 2.545 5.267 5.1988Ц3 5.053 5.467 7.983 1996Ц4 3.535 5.333 5.1988Ц4 3.997 5.333 8.470 1997Ц1 1.756 5.233 5.1989Ц1 4.940 5.200 9.443 1997Ц2 1.000 5.000 5.1989Ц2 6.171 5.233 9.727 1997Ц3 2.489 4.867 5.1989Ц3 2.250 5.233 9.083 1997Ц4 1.486 4.667 5.1989Ц4 4.779 5.367 8.613 1998Ц1 0.494 4.633 5.1990Ц1 7.219 5.300 8.250 1998Ц2 1.970 4.400 5.1990Ц2 4.023 5.333 8.243 1998Ц3 1.716 4.533 5.1990Ц3 7.927 5.700 8.160 1998Ц4 2.196 4.433 4.1990Ц4 5.099 6.133 7.743 1999Ц1 0.972 4.300 4.1991Ц1 1.784 6.600 6.427 1999Ц2 3.143 4.267 4.1991Ц2 3.545 6.833 5.863 1999Ц3 4.073 4.233 5.1991Ц3 2.930 6.867 5.643 1999Ц4 2.377 4.067 5.1991Ц4 3.488 7.100 4.817 2000Ц1 5.180 4.033 5.1992Ц1 2.596 7.367 4.023 2000Ц2 3.029 3.967 6.1992Ц2 2.865 7.600 3.770 2000Ц3 3.007 4.067 6.1992Ц3 2.845 7.633 3.257 2000Ц4 2.298 3.933 6.1992Ц4 3.387 7.367 3.037 2001Ц1 3.195 4.167 5.1993Ц1 2.801 7.133 3.040 2001Ц2 4.295 4.467 4.1993Ц2 2.782 7.067 3.000 2001Ц3 0.449 4.833 3.1993Ц3 1.936 6.800 3.060 2001Ц4 Ц1.801 5.600 2.1993Ц4 3.570 6.633 2.990 2002Ц1 2.698 5.633 1.1994Ц1 2.181 6.567 3.213 2002Ц2 2.903 5.833 1.1994Ц2 2.169 6.200 3.940 2002Ц3 2.440 5.767 1.1994Ц3 3.769 6.000 4.487 2002Ц4 1.545 5.900 1.1994Ц4 2.138 5.633 5.167 2003Ц1 5.034 5.767 1.1995Ц1 2.921 5.467 5.810 2003Ц2 Ц0.653 6.167 1.1995Ц2 3.162 5.667 6.020 2003Ц3 3.039 6.133 1.1995Ц3 1.833 5.667 5.682 Глава 23. Векторные авторегрессии Таблица 23.4. (Источник: Thurman, Walter N. and Mark E. Pages:     | 1 |   ...   | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 |   ...   | 82 |    Книги по разным темам