Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |   ...   | 35 |

n = 50 n = DF = - 2.298 > tкрит10% = Ц2.60, DF = - 3.238 < tкрит5% = Ц2.89, ST_PP(3) = - 2.394 > tкрит10% = Ц2.60, PP(4) = - 3.399 < tкрит5% = Ц2.89, гипотеза единичного корня гипотеза единичного корня не отвергается на 10% уровне отвергается на 5% уровне DF = - 2.387 > tкрит10% = Ц2.60, DF = - 3.217 < tкрит5% = Ц2.89, ST_PP(3) = - 2.322 > tкрит10% = Ц2.60, PP(4) = - 3.364 < tкрит5% = Ц2.89, гипотеза единичного корня гипотеза единичного корня не отвергается на 10% уровне отвергается на 5% уровне DF = - 3.207 < tкрит10% = Ц3.15, ST_3 DF = - 2.687 > tкрит10% = - 3.18, PP(4) = - 3.368 < tкрит10% = Ц3.15, PP(3) = - 2.755 > tкрит10% = - 3.18, гипотеза единичного корня гипотеза единичного корня отвергается на 10% уровне не отвергается на 10% уровне Статистические выводы, полученные с применением статистик DF и PP, здесь совпадают и указывают на возрастание мощности критериев при увеличении количества наблюдений.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 6.8.2. Критерий Лейбурна В работе [Leybourne (1995)] предлагается вычислять значения статистики критерия Дики - Фуллера DF для исходного ряда xt и для ряда, получаемого из исходного обращением времени, и затем взять максимум DFmax из двух полученных значений.

ейбурн изучил асимптотическое распределение статистики DFmax и построил таблицы критических значений при T = 25, 50, 100, 200, 400 для моделей с (линейным) трендом и без тренда. Таблицы получены моделированием в предположении независимости и одинаковой распределенности ошибок (инноваций). Однако автор утверждает, что ими можно пользоваться и в рамках расширенного варианта критерия Дики - Фуллера.

Критерий Лейбурна обладает несколько большей мощностью по сравнению с критерием Дики - Фуллера.

Пример При анализе стационарного ряда ST_3 по 100 наблюдениям мы получили значение статистики Дики - Фуллера DF = - 3.207. Для обращенного ряда значение статистики Дики - Фуллера равно - 3.352. Максимум из этих двух значений, равный - 3.207, остается выше 5% критического уровня Ц3.45, рассчитываемого по таблицам Фуллера.

Однако 5% критический уровень для максимума приблизительно равен (по Лейбурну) - 3.15, и это дает возможность отвергнуть гипотезу единичного корня для ряда ST_уже на 5% уровне.

6.8.3. Критерий Шмидта - Филлипса.

В работе [Schmidt, Phillips (1992)] авторы строят критерий для проверки гипотезы DS (в форме гипотезы единичного корня) в рамках модели xt = + t + wt, где wt = wt-1 +, t = 2,...,T.

t Это удобно тем, что здесь в любом случае ( = 1 или 1) параметр представляет уровень, а параметр представляет тренд. При этом распределения статистик критерия и при нулевой (DS) и при альтернативной (TS) гипотезах не зависят от мешающих параметров, и. Асимптотические распределения выводятся при тех же условиях, что и в критерии Филлипса - Перрона, и при ширине окна l порядка T1/2.

Вместо линейного тренда в модели можно использовать и полиномиальный тренд.

Более полное описание этого критерия и таблицу критических значений можно найти в [Maddala, Kim (1998), стр.85]. Здесь мы ограничимся только рассмотрением примера его применения.

Пример Опять обращаясь к анализу ряда ST_3 по 100 наблюдениям, находим значение статистики критерия Шмидта - Филлипса: - 3.12. В то же время, 5% критическое значение равно - 3.06. Это дает возможность отвергнуть гипотезу единичного корня на 5% уровне.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 6.8.4. Критерий DF-GLS Этот критерий, асимптотически более мощный, чем критерий Дики - Фуллера, был предложен в работе [Elliott, Rothenberg, Stock (1996)]. Критерий DF-GLS проверяет (см.

[Maddala, Kim (1998)]) нулевую гипотезу a0 = 0 в модели ydt= a0 ydtЦ1+a1ydtЦ1++ apydtЦp+error, где ydt - Улокально детрендированныйФ ряд (подробности см. в цитированной работе).

Пример Продолжая предыдущий пример, вычисляем статистику критерия DF-GLS. Ее значение равно - 3.246, что меньше 5% критического уровня - 2.89. Гипотеза единичного корня отвергается на 5% уровне, причем более уверенно, чем в случаях критериев Лейбурна и Шмидта-Филлипса.

6.8.5. Критерий Квятковского - Филлипса - Шмидта - Шина (KPSS) Этот критерий, предложенный в работе [Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin (1992)], в качестве нулевой берет гипотезу TS. Рассмотрение ведется в рамках модели Ряд = Детерминированный тренд + Стохастический тренд + Стационарная ошибка.

Стохастический тренд представляется случайным блужданием, и нулевая гипотеза предполагает, что дисперсия инноваций, порождающих это случайное блуждание, равна нулю. Альтернативная гипотеза соответствует предположению о том, что эта дисперсия отлична от нуля, так что анализируемый ряд принадлежит классу DS рядов.

В такой формулировке предложенный критерий является LM критерием для проверки указанной нулевой гипотезы.

Как и в критерии Филлипса-Перрона, требования на ошибки здесь менее строгие, чем в критерии Дики - Фуллера. Однако при применении данного критерия возникает проблема выбора ширины окна l в оценке Newey-West, поскольку значения статистики критерия довольно чувствительны к значению l. Сами авторы в цитируемой статье рассматривают варианты выбора ширины окна, следующие рекомендациям Шверта (см. [Schwert (1989)]).

Подробное описание критерия KPSS можно найти вместе с таблицей критических значений в [Maddala, Kim (1998), стр.120-122].

Пример При анализе ряда ST_3 по 100 наблюдениям значение статистики критерия KPSS с l = 3 равно 0.157. В рамках этого критерия нулевая гипотеза о том, что мы имеем дело с TS рядом, отвергается, если наблюдаемое значение статистики критерия превышает критический уровень. По таблицам, предусматривающим наличие линейного тренда, находим: 5% критический уровень равен 0.146, так что TS гипотеза отвергается в пользу DS гипотезы. Такой вывод противоречит статистическим выводам, полученным при применении критериев Лейбурна, Шмидта-Филлипса и DF-GLS, и иллюстрирует трудности с различением TS и DS рядов, имеющих похожие реализации.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 6.8.6. Процедура Кохрейна (отношение дисперсий) Эта процедура, предложенная в работе [Cochrane (1998)], основывается на изучении характера поведения отношения дисперсий Vk VRk = V(VR - variance ratio), где Vk = D(xt - xt-k ).

k Если xt - случайное блуждание, то тогда VRk = 1, а если xt - процесс, стационарный относительно линейного тренда (или просто стационарный), то тогда VRk 0 при k.

При работе с реальными данными дисперсии заменяются их состоятельными оценками и полученное отношение умножается еще на T / (T - k + 1) для достижения несмещенности полученной оценки для VRk. Затем строится график значений полученных оценок для VRk при различных k = 1,Е, K и по поведению этого графика делаются выводы о принадлежности ряда классу TS или DS, имея в виду различия в поведении этого графика для этих двух классов временных рядов.

Другой вариант работы с реальными данными состоит в использовании равносильного представления статистики отношения дисперсий VRk :

k VRk =1+ 2, 1- j rj k + j=где rj - значение на лаге j автокорреляционной функции ряда разностей xt = xt - xtЦ.

Пример Обратимся опять к реализации ST_3 ряда, стационарного относительно линейного тренда, по которой оказалось затруднительным вынести определенное решение относительно принадлежности к классу TS или к классу DS модели, порождающей эту реализацию. Привлечем к решению этого вопроса процедуру Кохрейна.

1.1.0.0.0.0.5 10 15 20 25 30 35 VARRATIO Поведение отношения дисперсий говорит в пользу TS гипотезы.

Для сравнения приведем аналогичный график отношения дисперсий для реализации WALK_2 случайного блуждания со сносом:

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 1.1.1.1.0.0.5 10 15 20 25 30 35 VARRATIO Поведение отношения дисперсий указывает на то, что WALK_2 порождается DS моделью.

6.9. Некоторые проблемы, возникающие при различении TS и DS гипотез 6.9.1. Коррекция сезонности В рассмотренных выше процедурах никак не затрагивался вопрос о коррекции сезонного поведения ряда, не снимаемого ни введением в модель линейного тренда ни путем дифференцирования ряда. Разумеется, данные, поступающие в распоряжение исследователя, уже могли быть подвергнуты сезонной коррекции соответствующими статистическими агенствами. Более того, во многих странах сырые (не скорректированные на сезонность) данные просто недоступны. В то же время, при анализе данных, подвергшихся сезонному сглаживанию с использованием фильтров или с использованием специфических методик правительственных агентств, существенно больше шансов классифицировать исследуемый ряд как DS (см., например, [Ghysels, Perron (1993)]), чем при анализе сырых данных. Поэтому некоторые авторы рекомендуют по возможности вообще избегать использования сезонно-сглаженных данных ([Davidson, MacKinnon (1993)]). Более предпочтительным является использование сырых данных и устранение из них сезонности путем оценивания регрессии сырого ряда на сезонные фиктивные (dummy) переменные D1,Е, D12 (если данные месячные) или D1,Е, D4 (если данные квартальные). Остатки от оцененной регрессии образуют очищенный ряд, к которому можно применять изложенные выше методы. Теоретическое оправдание такого подхода при применении критерия Дики - Фуллера дано в работе [Dickey, Bell, Miller (1986)], где показано, что асимптотическое распределение статистики t не изменяется при исключении из ряда детерминированных сезонных компонент.

6.9.2. Протяженность ряда и мощность критерия Следует иметь в виду, что мощность критериев единичного корня зависит, в первую очередь, от фактической протяженности ряда во времени, а не от частоты, с которой производятся наблюдения. Соответственно, имея значения ряда за десятилетний период, мы не получаем выигрыша в мощности, анализируя месячные данные, а не квартальные или годовые. Результаты исследований в этом направлении можно найти, например, в статьях [Shiller, Perron (1985)] и [Perron (1989b)].

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 6.9.3. Проблема согласованности статистических выводов при различении TS и DS гипотез При решении задачи отнесения рассматриваемого ряда к классу TS или к классу DS рядов двумя статистическими критериями, один из которых берет в качестве нулевой гипотезу TS, а другой - гипотезу DS, возможны следующие ситуации:

H0: TS - не отвергается H0: TS - отвергается H0: DS - не отвергается Исход 1 Исход H0: DS - отвергается Исход 3 Исход Эти ситуации интерпретируются следующим образом:

Х Исход 2 - в пользу DS модели.

Х Исход 3 - в пользу TS модели.

Х Исход 1 - невозможность принять решение из-за низкой мощности обоих критериев.

Х Исход 4 - процесс порождения данных (DGP) не сводится к допускаемым используемыми критериями TS и DS моделям.

6.9.4. Наличие нескольких единичных корней После появления работ [Fuller (1976)] и [Dickey, Fuller (1981)] было проведено довольно много практических исследований экономических временных рядов с целью решения вопроса о наличии или отсутствии единичных корней в моделях процессов, порождающих эти ряды.

При этом обычно сначала рассматривался сам временной ряд, и проводилась проверка его на нестационарность с использованием критериев Дики - Фуллера.

Если гипотеза единичного корня не отвергалась, то после этого переходили к рассмотрению ряда разностей и проверяли гипотезу единичного корня для этого ряда, применяя к ряду разностей процедуру Дики - Фуллера.

Если при анализе ряда разностей гипотеза единичного корня отвергалась, то принималось решение о том, что исходный ряд - интегрированный порядка 1. В противном случае переходили к рассмотрению ряда вторых разностей и проверяли гипотезу единичного корня для этого ряда. Обычно на этом шаге гипотеза единичного корня отвергалась и исходный ряд определялся как интегрированный порядка 2.

Более поздние исследования показали, что такого рода последовательные процедуры не обладают заявленными уровнями значимости, имея тенденцию к занижению www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru действительного количества единичных корней. И в таком несоответствии нет ничего удивительного: критерии Дики - Фуллера основаны на предположении, что если единичный корень и имеется, то тогда он единственный. Положение здесь похоже на другие ситуации, когда последовательная проверка гипотез идет не от общего к частному, а от частного к общему.

В связи с этим, для ситуаций, когда предполагаемая модель авторегрессии для анализируемого ряда может иметь порядок р выше первого, р > 1, в работе [Dickey, Pantula (1987)] была предложена процедура последовательной проверки гипотез о количестве единичных корней характеристического уравнения, построенная по принципу Уот общего к частномуФ. Сначала проверяется гипотеза о том, что все р корней характеристического многочлена единичные; при ее отвержении проверяется гипотеза о наличии р - 1 единичных корней и.т.д.

Поясним смысл этой процедуры на примере процесса авторегрессии AR(2) a(L) xt = t, т.е.

(1 - a1L - a2L2) xt = t, или (1 - aL)( 1 - bL) xt = t, где a = 1/z1, b = 1/z2, а z1, z2 - корни уравнения a(z) = 0.

При этом мы предполагаем, что процесс не носит взрывного характера, так что | z1|, |z2| 1, а значит, | a|, |b| 1.

Раскрывая скобки и перенося все составляющие, кроме xt, в правую часть уравнения, получаем:

xt = (a + b) xt - 1 - abxt - 2 + t.

Вычтем из обеих частей xt - 1 :

xt = (a + b - 1) xt - 1 - abxt - 2 + t.

Из обеих частей полученного равенства вычтем xt - 1 :

2xt = xt - xt - 1 = - xt - 1 + (a + b - 1) xt - 1 - abxt - 2 + t = = (a + b - 2) xt - 1 + (1 - ab) xt - 2 + t.

Выделим в правой части первую разность:

2xt = (a + b - 2) xt - 1 + [ - (ab - 1) xt - 2 + (ab - 1) xt - 1] - (ab - 1) xt - 1 + t = (a + b - ab - 1) xt - 1 + (ab - 1) xt - 1+ t, так что 2xt = (a - 1)(1 - b) xt - 1 + (ab - 1) xt - 1+ t.

Это базовое соотношение позволяет идентифицировать ситуации, когда имеется единичных корня, когда имеется 1 единичный корень и когда единичных корней нет.

Именно, Х Если a = b = 1 (два единичных корня), то 2xt = t.

Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |   ...   | 35 |    Книги по разным темам