Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 | 3 Туманов М.П. Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ:

Учебное пособие. - МГИЭМ. М., 2005, 63 с.

Часть 2 курса "ТАУ" Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ.

екция 1. Квантование непрерывных сигналов.

Как правило, в системе автоматического управления имеется квантование сигналов (особенно при цифровых технологиях).

Квантование может быть: по уровню сигнала и по времени.

Как только в состав САУ включается цифровой вычислитель, т.е.

специализированная управляющая ЭВМ, или ЭВМ общего назначения (ПК со специальными цифро-аналоговыми контроллерами ввода/вывода), или микропроцессорное устройство автоматики, немедленно возникают два квантования - по уровню и по времени.

Рис. 1.1 Квантование непрерывного сигнала по времени и по уровню.

В результате квантования мы переходим от непрерывного сигнала к множеству значений в моменты квантования кТ.

x(t) квант x {~(kT)}, где T - шаг квантования по времени, ~(kT) x(kt) x - есть квантованное по уровню значение.

Квантование по времени КПВ и по уровню КПУ сказываются совершенно по-разному. В частности, если в системе имеется только квантование по времени - то она остаётся линейной, т.к.

x(kT) + Y(kT) = {x(kT)}} + {Y(kT)}} А квантование по уровню - нелинейная операция, поэтому системы, в которых учитывается эффект квантования по уровню должны рассматриваться как нелинейные.

Система с квантованием только по времени - импульсная.

Система с квантованием и по времени и по уровню - дискретная.

Основные источники появления таких систем:

4 КПВ - следствие неизбежной дискретности работы ЭВМ.

КПУ - наличие АЦП/ЦАП.

5 Сейчас в промышленных применениях в основном используются 14- 16-разрядные квантователи. Значительно реже 8 и 10- разрядные.

1. Квантование по уровню - это преобразование сигнала с помощью АЦП/ЦАП, когда диапазон изменения сигнала делится на ступени в зависимости от разрядности АЦП/ЦАП.

Квантование по уровню в АЦП.

Рис. 1.Ступенчатая линия описывает преобразование непрерывной ~ величины х(t) в квантованную по уровню величину X (kT ).

xmax - xmin =, где n - разрядность кода 2n Оценим ошибку квантования при 8- и 16-разрядном АЦП/ЦАП:

при 8-разрядном кодировании: 8 0,4 10-2 (xmax - xmin ) при 16-разрядном кодировании:16 0,15 10-4 (xmax - xmin ) Важен также вопрос, связанный с представлением полученного кода.

Для эффективности использования 16-разрядного кода надо использовать минимум 16-разрядную машину.

Для использования 20-разрядного кода надо использовать либо 32разрядную машину, либо считывать за 2 такта 16-разрядные данные.

Разрядность микропроцессорного контроллера, быстродействие и погрешность преобразования связаны. Необходимо тщательно выбирать платформу реализации контроллера и увязывать её с выбираемыми типами цифровых преобразователей.

Видно, что погрешность при 16-разрядном кодировании достаточно низка, по крайней мере, обычно существенно ниже погрешности других элементов системы, например, датчиков.

Напрашивается вывод, что погрешностью 16 и более разрядного АЦП/ЦАП можно пренебречь, однако, это не всегда верно! Покажем, что и при достаточно малой погрешности АЦП/ЦАП ошибка может с течением времени накапливаться. Для примера рассмотрим некоторый блок, в котором обрабатывается сигнал с ПФ W(p).

Рис.1.t y(t) = - )u( )d, h(t h(t) - весовая функция, соответствующая W(p).

Пусть в результате А - преобразования, а также ошибок арифметики вычисления получаем:

y(t) = y0 (t) + y(t), h(t) = h0 (t) + h(y), u(t) = u0 (t) + u(t), где y0,h0,u0 - истинные значения сигналов, h, u - ошибки квантования по уровню, причем h(t - ) < h не зависят от времени (оценки погрешности);

u(t) < u y - ошибка вычисления сигнала, тогда Можно пренебречь, tt так как имеет t t t y(t) = + h)(u0 + u)d = u0d + u d + d + 0 0 0 (h h h hu htd, порядок малости 00 0 t где u0d = y0 (t).

h t t y(t) = u d + d 0 h hu 0 Чтобы оценить абсолютное значение погрешности можно учесть оценки h0 и u0 :

h0 M h u0 M u y u M t + M t h h u Очевидно далее, что в простейшем случае, когда h0=const, u=const, h=const и u0=const, накопленная погрешность может неограниченно возрастать с течением времени. На самом деле, погрешность частично компенсируется, т.к. меняется ее знак.

Замечание 1. Повышение разрядности АЦП/ЦАП позволяет добиться требуемой точности, если не происходит недопустимого накопления погрешности.

Замечание 2. Заметим, что в замкнутой САУ накопление погрешностей обычно бывает гораздо меньше, так как работает принцип ОС, для которого погрешность квантования - просто помеха.

Рис. 1.5 Компенсация погрешности в замкнутой системе.

В самом деле, в соответствии с принципом управления по отклонению, с помощью обратной связи происходит уменьшение любых отклонений выходной величины Y от задающего воздействия, вне зависимости от причины их возникновения (в том числе, из-за ошибок квантования по уровню).

2. Квантование по времени возникает в системе из-за того, что ввод и вывод информации в ЭВМ происходит с некоторой периодичностью и не чаще. Пусть T - период квантования по времени.

При правильном проектирование САУ (с достаточной разрядностью по АЦП/ЦАП) КПУ чаще всего можно пренебречь, если учесть накопление погрешности, а КПВ необходимо учитывать.

Как правило, не удается сделать скорость ввод/вывод информации до такой степени высокой, чтобы полностью пренебречь квантованием по времени. Поэтому важно иметь теорию расчёта САУ с учётом КПВ.

Системы, в которых имеется только квантование по времени (КПВ), а квантованием по уровню (КПУ) можно пренебречь, называются импульсными в отличие от дискретных систем.

Дискретные системы - нелинейные, их изучение представляет сложную задачу, ее лучше избегать, повышая разрядность квантования.

Для импульсных систем имеется удобный математический аппарат.

Импульсные системы.

Описание процесса квантования по времени. Реальный и идеальный квантователи.

Квантование как умножение на импульсную последовательность Рис. 1. Рассмотрим процесс квантования по p(t) = (1(t - Tk) -1(t - Tk - S)) времени, как результат умножения k=исходной непрерывной функции на * f (t) = f (t) - Tk) -1(t - Tk - S)) специальную импульсную последова1(t k=тельность р(t) очень узких импульсов.

Фактически мы рассматриваем квантование, как импульсную амплитудную модуляцию - АИМ.

Замечание: если просто уменьшать ширину импульса, то в пределе энергия импульсов f *(t) будет уменьшаться, стремясь к 0.

Чтобы не потерять энергию импульса дополнительно умножаем результат на 1/s.

Обратим внимание на вершину импульса, она должна повторть форму функции, именно тогда такое квантование - линейная операция.

При очень узком импульсе вершину можно взять плоской, как показано на рисунке, чем уже иимпульс, тем меньше ошибка при использовании импульсов с плоской вершиной.

Х Лекция 2. Спектр квантованного сигнала.

Вершина импульсов считается плоской, а сами импульсы достаточно узкими, в противном случае учет неплоской вершины импульса приводит к большим сложностям, хотя такой учёт возможен.

Вычислим теперь спектр квантованного сигнала, т.е. выясним, что происходит со спектром при квантовании.

Для этого вначале разложим p(t) в ряд Фурье:

jk t p p(t) = e (*) Ck S k= = p T T p 1 1- e-ik S p Ck = p(t)e- jk tdt = T jk T p Выразив экспоненту по формуле Эйлера и через половинные углы, получаем такую формулу:

S k S sin(k ) p p - j S Ck = e S T k p Подставим последнее выражение в (*) и получим:

S S sin(k ) p - jk + jk t p p S p(t) = e S T S k=- k p (S/T - скважность импульсов р(t)) jk t * p f (t) = f (t)e Ck S k =Теперь можно найти спектр квантованного сигнала.

* * * Спектр f (t) : F ( j) = ( f (t)) (преобразование Фурье) Теорема о преобразовании Фурье:

jk t p (x(t) e ) = F( j - jk ), p Эта простая теорема называется ещё теоремой о сдвиге изображения в частотной области. Она показывает, что умножение оригинала на мнимую экспоненту приводит к сдвигу преобразования Фурье в комплексной области на этот же самый показатель. В силу этой теоремы можем записать:

* F ( j) = Ck F( j - jk ) (**) p S k =Таким образом, вместо исходного спектра непрерывного сигнала получается спектр квантованного сигнала, состоящий из бесконечного числа компонентов. Рассмотрим характерные случаи.

Пусть исходный сигнал f(t) есть гармонический с частотой 0 :

f (t) = sin0t Линейчатый спектр Рис. 2.Некоторые коэффициенты Ск могут быть обращены в ноль выбором скважности импульсов квантования.

S Ck = 0;sin(k ) = p S k = n p т.е. при некоторых соотношениях между частотой квантования и шириной импульсов квантования соответствующая гармоника может отсутствовать. Этим часто пользуются, если к спектру квантованного сигнала предъявляются дополнительные требования.

Пусть теперь исходный сигнал имеет конечную ширину спектра (0 - c), или, в терминах обычной частоты:

fmax < c / 2. (2.1) Такой спектр должен встречаться чаще всего, и обычно известно, какова ширина спектра полезного сигнала. Однако, реально, спектр всё-таки не бывает жёстко ограниченным. Этому может мешать, например, наличие помех (шумов), в том числе, и от квантования.

Ограниченный спектр исходного сигнала Рис. 2. Возможны два случая:

1. р > 2c частота квантования больше максимальной ширины спектра сигнала.

Бесконечный спектр Исходный спектр квантованного сигнала Компоненты спектра не перекрываются Рис. 2.Очевидно, что в этом случае отдельные составляющие спектра квантованного сигнала не пересекаются и явно отделены.

2. р < 2c частота квантования меньше максимальной ширины спектра сигнал.

Компоненты спектра квантованного сигнала перекрываются Рис. 2.Очевидно, что в этом случае отдельные составляющие спектра квантованного сигнала пересекаются и не отделены друг от друга.

Несмотря на то, что после квантования полезный сигнал рассматривается лишь в полосе частотой (-c Е c ), именно в этой полосе частот появляются дополнительные составляющие, которые к тому же сдвинуты на величину никак не связанную с гармониками исходного сигнала, а зависящую от разности частотой квантования и частоты соответствующей гармоники.

Для того чтобы заведомо можно было бы восстановить исходный сигнал из квантованного должно выполняться условие (1), которое называется теоремой Котельникова-Шеннона или импульсной теоремой. Иногда также эта теорема называется теоремой отсчётов.

Теорема Котельникова - Шеннона:

При выполнении условия (1), что возможно в условиях ограниченного спектра сигнала и достаточно высокой частоты квантования р > 2c (Т < 1/(2fmax), потери информации не происходит и она может быть полностью восстановлена.

То есть из квантованного сигнала можно без потерь восстановить исходный непрерывный сигнал.

Эта важнейшая теорема является теоретической основой всей цифровой обработки, хранения и передачи сигналов.

Заметим также что невыполнение условия Котельникова (1) ещё не означает, что восстановление исходного сигнала заведомо невозможно! Теорема Котельникова - Шеннона не является необходимым условием. Например, если форма исходного сигнала заранее известна, то он обычно может быть восстановлен и из сложного спектра квантованного сигнала при невыполнении (1). Но это будет уже, скорее, задача обнаружения известного сигнала, а не восстановление абсолютно неизвестного сигнала с конечной шириной спектра.

Снова отметим, что практически не бывает сигналов с конечной шириной спектра. Инженерное решение, применяемое в цифровой обработке сигналов, заключается в том, что ещё до квантования сигнала нужно ограничить полосу сигнала необходимой шириной, применяя фильтр предварительной обработки. Следует иметь ввиду, что такая фильтрация гораздо эффективнее фильтрации после квантования.

Х Лекция 3. Идеальный квантователь.

Спектр квантуемого сигнала должен быть ограничен.

Идеальным квантователем называется квантователь с бесконечно S малой шириной импульса квантования:.

S < T В этом случае можно обоснованно пренебречь шириной квантованного импульса и считать, что f (kT) ;kT t kT + S * f (t) = S После этого квантованный сигнал можно записать так:

* f (t) = f (kT ) [1(t - kT ) -1(t - kT - S)] S k =Вычислим преобразования Лапласа:

1- e- pS * F ( p) = f (kT ) e-kTp p S k = Идеальный квантователь 1-1+ pS +... * lim F ( p) f (kT ) e-kTp = f (kT )e-kTp S p S k=0 k=Сделав обратное преобразование Лапласа, обнаружим, что:

Идеальный квантователь * f (t) f (kT ) (t - kT ) k=Таким образом, действие идеального квантователя сводится к умножению отсчётов квантуемой функции на дельта- функцию (t-кТ).

Действие идеального квантователя Ширина импульса стремится к 0, амплитуда к Рис. 3. -функция характерна тем, что площадь под её графиком равна 1.

Вместо значения квантуемой функции в момент времени kT образуется бесконечно узкий прямоугольный импульс площадью равной значению этой функции, при этом высота импульса устремляется в бесконечность.

Выясним какой вид будет иметь спектр на выходе идеального квантователя. В формуле (**) перейдем к пределу при S0 и окажется, что спектр квантованного сигнала равен:

* F ( j) = ) (3.1) F( j + jn p T n=Идеальный квантователь создает бесконечное количество одинаковых копий спектра исходного сигнала с амплитудой 1/Т.

Эти копии сдвинуты относительно друг друга на частоту квантования р = 2/Т.

Бесконечный спектр Спектр исходного сигнала идеального квантователя Рис. 3.Понятно, что операция идеального квантования физически не реализуема. Однако, на определенном интервале частот можно приблизиться к идеальному квантованию сколь угодно точно.

Восстановление и обработка квантованного сигнала.

I способ восстановления полезного сигнала заключается в фильтрации. Применяется фильтр нижних частот с П-образной характеристикой. С помощью такого фильтра 1T, c W ( j) = просто вырезаем основную компоненту спектра из 0, > c спектра квантованного сигнала. Эта компонента с точностью до множителя 1/Т совпадает с исходным спектром.

Однако, никакой реальный фильтр не может иметь такую П-образную частотную характеристику, мгновенно обращаюшуюся в ноль.

Pages:     | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |    Книги по разным темам