Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |   ...   | 43 |

Раздел II. Фундаментальное содержание тензорной тригонометрии В начале главы 5 дана проективная версия евклидовой тензорной тригонометрии, развиваемая с применением собственных проекторов.

Определяются проективные сферические функции и рефлекторы для тензорного угла между линеорами A1 и A2 или их образами - планарами ранга r1и r2. В иной, альтернативной интерпретации тензорный угол определяется между образами нуль-простых nn-матриц B и B - планарами ранга r. Далее рассматривается каноническая структура тензорных тригонометрических функций и собственных рефлекторов.

Определяется (с установлением его существенной роли в тензорной тригонометрии) понятие срединного рефлектора. Самостоятельным образом последний вводится как фундаментальный рефлектор-тензор пространства, задающий бинарную структуру тензорных тригонометрий, базирующихся на квадратичных метриках. В частности, он задаёт бинарную структуру квазиевклидовой тригонометрии. На основе этого понятия осуществляется развитие ротационной (синуснокосинусной) и деформационной (тангенсно-секансной) формы квазиевклидовой тензорной тригонометрии, то есть её моторной версии.

В главе 6 с применением сферическо-гиперболической аналогии абстрактного и конкретного типов осуществлено построение сходной по форме псевдоевклидовой тензорной тригонометрии с тем же рефлектортензором. В главе 7 отдельно рассмотрена тригонометрическая природа коммутативности и антикоммутативности простых матриц.

В главах 8 и 9 введены алгебраическим способом общие геометрические и тригонометрические квадратичные нормы матричных объектов, обоснованные через соответствующие тригонометрические спектры и генеральные неравенства. В заключительных главах 10, 11 и 12 рассматривается тензорная тригонометрия в комплексных пространствах. Особое внимание уделено изучению движений в псевдоевклидовых пространствах, в том числе отдельно в пространстве Минковского.

Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия з 5.1. Объекты тензорной тригонометрии и их пространственные взаимоотношения Согласно аксиоме о континууме Кантора - Дедекинда [27, с. 99], аффинные геометрическое и арифметическое пространства одной и той же размерности находятся в отношении изоморфизма, что распространяется и на их метрические формы. Это является основанием для геометрической трактовки результатов, получаемых алгебраическим путём. Исходные элементы n-мерного аффинного пространства, по известному определению Вейля, есть точки и свободные векторы [11, с. 26Ц33; 1, с.358]. Их координаты задаются в каком-либо базисе в виде наборов n чисел. Точки и векторы образуют геометрические объекты.

Последние подразделяются на централизованные и нецентрализованные. Централизованные объекты имеют точку приложения в центре координат. Сопоставим в алгебраической и геометрической форме простейшие линейные объекты аффинного пространства:

вектор a - отрезок прямой, образ im aЫ - прямая, ядро ker aЫ - гиперплоскость, nr-линеор A (rang A = r) - r-симплекс, образ im AЫ - планар ранга r, ядро ker AЫ - планар ранга (n - r).

Указанные объекты изучаемой тензорной тригонометрии имеют валентность 1. Валентность функций объектов может отличаться. Например, для внутренней и внешней мультипликации пары векторов соответствующие валентности равны 0 и 2:

a a2 = c = a a1; a1a = B = {a2a }. (151), (152) 1 2 2 з 5.1. Объекты тензорной тригонометрии и их взаимоотношения Аффинные отношения планаров, включая параллельность, выражаются в виде:

im A1Ы im A2Ы A1A1 = A2A2 (153) A1A1 = A2A2 kerA1Ы ker A2Ы, im A2Ы im A1Ы A1A1A2 = A2 (154) A1A1A2 = Z = A2A1A1 ker A1Ы ker A2Ы, im А2Ы ker A1Ы A1A2 = Z = A2A1 (155) im A1Ы ker A2Ы im A1Ы im A2Ы = 0, (r1 + r2 n), так как im AЫ ker AЫ A nЫ;

ker А1Ы im A2Ы A2A2A1A1 = A1A1 (156) A2A2A1A1 = Z = A1A1A2A2 ker A2Ы im A1Ы ker A1Ы ker A2Ы = 0, (r1 + r2 n).

n С другой стороны, в евклидовом пространстве E Ы отношения (155) и (156) определяют взаимную ортогональность соответствующих планаров (отдельно образов и ядер A1, A2). Если линейные подпространства задаются нуль-простыми матрицами (см. з 1.6), то можно также использовать характеристические аффинные проекторы.

Например, im Bp1Ы im Bp2Ы Bp1 = Bp2, (157) ker Bp1Ы ker Bp2Ы im Bp2Ы im Bp1Ы Bp1Bp2 = Bp2 (158) Bp1Bp2 = Z = Bp2 Bp1 ker Bp1Ы ker Bp2Ы.

(В формулах с обнулением вместо проекторов могут использоваться матричные характеристические коэффициенты.) Дальнейшее естественное развитие отношений типа (155), (156) состоит в нижеследующих формулировках (159) и (160). В первом случае имеем:

im A1Ы im A2Ы = 0 rang (A2A2 - A1A1) = r1 + r2 = (159) = rang (A1A1 - A2A2) n, так как ядро матрицы ( A2A2 - A1A1 ) есть ортогональное дополнение к прямой сумме образов im A1 im А2Ы размерности s1 = n - (r1 + r2).

72 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия Во втором случае - в иной трактовке этой матрицы (а именно через дополнительные ортопроекторы) ядро ( A1A1 - А2А2 ) есть пересечение ядер A1 и А2 размерности s1 = (n - r1) + (n - r2) - n :

ker A1Ы ker A2Ы = 0 rang (A2A2 - A1A1) = = 2n - (r1 + r2) = rang (A1A1 - А2А2) n, (160) так как ядро той же матрицы имеет размерность s2 = (r1 + r2) - n.

Соотношения ( 159) и (160) совместны тогда и только тогда, когда im A1Ы im A2Ы A nЫ ker A1Ы ker A2Ы.

При этом вышеуказанная матрица в круглых скобках - несингулярная.

Аналогичным образом имеем:

im A1Ы im A2Ы 0 rang (A2A2 - A1A1) < r1 + r2, (161) ker A1Ы ker A2Ы 0 rang (A2A2 - A1A1) < 2n - (r1 + r2). (162) з 5.2. Проективные тензорные синус, косинус и сферически ортогональные рефлекторы Матричная характеристика sin Ф = (А2А2 - А1А1) = (А1А1 - А2А2) = sin Ф = - sin Ф (163) 12 12 определяется как проективный тензорный синус угла Ф между планарами im A1Ы и im А2Ы или линеорами A1 и А2. Проективный характер угла и соответственно функции отмечается специальным знаком тильды сверху:

Ф = (Ф ) = - Ф (164) 12 12 21.

Согласно (163), угол между im А1Ы и im A2Ы аддитивно противоположен углу между ker A1Ы и ker A2Ы. Вместе они образуют единую бинарную структуру угла Ф. Например, тензорный синус для пары векторов или прямых выражается как a2a2 a1asin Ф = (a2a2 - a1a1) = -. (165) a2a2 a1aВ частности, на евклидовой плоскости он имеет структуру:

0 sin Ф = sin 12 I22, I22 = R R, 1 з 5.2. Проективные тензорные синус, косинус и рефлекторы где 12 отсчитывается против часовой стрелки (для правой системы декартовых координат), |12| /2; R - ортогональная модальная матрица.

Условие sin = Ф = Z тождественно отношению параллель12 ности (153), в том числе для нецентрализованных планаров:

a1 + im A1Ы, Ла2 + im A2Ы.

Отношения типа (154) также имеют тождественные тригонометрические аналоги:

im A1Ы im A2Ы sin2 Ф = + sin Ф, (166) 12 im A2Ы im A1Ы sin2 Ф = - sin Ф. (167) 12 Действительно, sin2 Ф = A1A1A2A2 + A2A2A1A1 = A1A1A2A2 + A2A2A1A1. (168) Далее, например, [Лim A2Ы im A1Ы] [A1A1A2 = A2] [A1A1A2A2 = = A2A2 = A2A2A1A1 = A2A2A1A1A2A2] [sin2 Ф = - sin Ф ].

12 В частном случае (166) тензорный синус есть симметричный проектор (собственные значения 0 и +1); в случае (167) он же - антипроектор (собственные значения 0 и -1).

В свою очередь, эквиранговые планары могут также задаваться сингулярной квадратной матрицей. При этом тензорный угол между im ВЫ и im BЫ аддитивно противоположен углу между ker BЫ и ker BЫ. Вместе они образуют единую бинарную структуру проективного тензорного угла Ф. Аналогично (163) и (164) имеем:

B sin ФВ = (BB - BB) = (BB - BB) = sin Ф = - sin Ф, (169) В В Ф = (Ф ) = - Ф ; (170) В В В sin Ф = Z Ф = Ф = Z B BmЫ.

В В В Это условие тригонометрически определяет нуль-нормальные матрицы, которые были введены в з 2.4.

Аналогично, тригонометрические отношения между образом и ядром матрицы характеризует проективный тензорный косинус того же угла:

сos Ф = (А2А2 - A1A1) = (A1A1 - A2A2) = (A1A1 + A2A2 - I) = = (I - A1A1 - А2А2) = cos Ф = cos Ф = cos (- Ф ), (171) 12 21 74 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия cos Ф = (ВВ - ВВ) = (ВВ - ВВ) = (ВВ + ВВ - I) = В = (I - ВВ - ВВ) = cos Ф = cos Ф = cos (- Ф ). (172) В В В В частности, для пары векторов и прямых на евклидовой плоскости имеем:

+1 cos Ф = cos 12 I22, I22 = R R (cos 12 0).

12 0 ЦТригонометрические аналоги условий (155), (156) вытекают из формулы cos2 Ф = A1A1A2A2 + A2A2A1A1 = A1A1A2A2 + A2A2A1A1. (173) Схема вывода аналогична (168).

cos2 Ф = + cos Ф (156), (174) 12 cos2 Ф = - cos Ф (155). (175) 12 Тензорные тригонометрические функции проективного угла в метрической форме характеризуют пространственные угловые отношения между линеорами или между планарами. В тензорном варианте косинус и синус основного и дополнительного (до согласованного с ним прямого угла) также равны между собой:

cos Ф = sin ( 2 - Ф), sin Ф = cos ( 2 - Ф).

/ / В аффинном пространстве угол не имеет количественного смысла за исключением, когда он нулевой или открытый. В евклидовом просn транстве E Ы прямые тензорные углы образуются, например, парами планаров im АЫ и ker АЫ, im ВЫ и ker BЫ:

(A1A1 - A1A1) = Ref{A1A1} = cos Ф - sin Ф = cos Z, (176) 12 12 (A2A2 - A2A2) = Ref{A2A2} = cos Ф + sin Ф = cos Z ; (177) 12 12 (BB - BB) = Ref{BB} = cos Ф - sin Ф = cos Z, (178) В В В (BB - BB) = Ref{BB} = cos Ф + sin Ф = cos Z. (179) В В В С одной стороны, это - синусы вышеуказанных прямых углов; с другой стороны, это - косинусы нулевых тензорных углов, соответствующих планарам im A1Ы, im А2Ы и im BЫ, im BЫ. Характеристические симметричные квадратные корни (176)Ц(179) типа I = ( I ) опре деляются как сферически ортогональные рефлекторы. В общем случае они обозначаются как Ref Вm, где Вm есть нуль-нормальная матрица.

з 5.2. Проективные тензорные синус, косинус и рефлекторы Тензорные рефлекторы осуществляют операцию линейного отражения (рефлексии). При этом планар im BmЫ есть линейное зеркало, от которого происходит ортогональное отражение. Некоторые частные случаи:

sin Ф = Z cos Ф = I, cos Ф = Z sin Ф = I, cos Ф = + I rang A = n, rang В = n;

cos Ф = - I rang A = 0, rang В = 0;

при этом sin Ф I.

Очевидны тождества: I I = I = I I, или (A1A1 + A1A1)(A2A2 + A2A2) = I = (A2A2 + A2A2)(A1A1 + A1A1), (180) (BB + BB)(BB + BB) = I = (BB + BB) (BB + BB). (181) Отсюда следуют тригонометрические формулы:

cos2 Ф + sin2 Ф = I, (182) cos Фsin Ф = - sin Фcos Ф, cos2 Фsin2 Ф = sin2 Фcos2 Ф, (183), (184) cos2k Фsint Ф = sint Фcos2k Ф, cost Фsin2k Ф = sin2k Фсоst Ф. (185) Далее при выводе тригонометрических формул можно также использовать таблицу умножения разнородных характеристических проекторов:

ВВВ = ВB = ВBВ, В ВВ = ВB = ВBВ, ВВВ = ВB = ВBВ, ВВВ = ВB = ВBВ, ВВВ = В = ВBВ, В ВВ = В = ВBВ, ВВВ = В = ВBВ, ВВВ = В = ВBВ.

Проективный характер определённых выше тригонометрических функций показывают формулы:

ВВ = + Bcos Ф = + cos ФВ, (186) ВВ = + Bcos Ф= + cos ФВ, (187) ВВ = - Bcos Ф = - cos ФВ, (188) ВВ = - Bcos Ф = - cos ФВ, (189) 76 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия В - ВВ = ( Z )1 = + Bsin Ф = + ВВВ = - ВВВ, (190) В - ВВ = ( Z )2 = + Bsin Ф = - ВВВ = + ВВВ, (191) В - ВВ = - ( Z )2 = - Bsin Ф = - ВВВ = + ВВВ, (192) В - ВВ = - ( Z )1 = - Bsin Ф = + ВВВ = - ВВВ, (193) ВВ = ВBcos2 Ф = Bcos2 ФВ = cos2 ФВВ, (194) ВВ = ВBcos2 Ф = Bcos2 ФВ = cos2 ФВВ, (195) ВВВВ = cos2 ФВ = Bcos2 Ф, (196) ВBВВ = cos2 ФВ = Bcos2 Ф. (197) Проективные тригонометрические формулы и тензорные углы наглядно иллюстрирует символический тензорный октаэдр, образуемый восемью характеристическими проекторами в 2-х валентном евклидовом пространстве (рис.1). Для нуль-нормальной матрицы этот октаэдр вырождается в символический тензорный прямоугольный треугольник.

Q BB I / B R B BB BB B / P BB Z B S Рис. 1. Символический тензорный октаэдр из характеристических проекторов, иллюстрирующий тензорные углы.

з 5.3. Проективные тензорные секанс, тангенс и рефлекторы з 5.3. Проективные тензорные секанс, тангенс и аффинные рефлекторы В свою очередь, тензорные функции секанса и тангенса от того же проективного угла определяются через аффинные или косогональные характеристические проекторы - з 1.2. Складывая (187) и (188), получаем (В - В)cos Ф = I = cos Ф(В - В).

На основании этого соотношения матричная характеристика sec Ф = (В - В) = (В - В) = (В + В -I) = (I - В - В) = В (198) = sec Ф = sec Ф = sec (- Ф ) = [( B ) - В] = [В - ( В )] В В В определяется как проективный тензорный секанс угла Ф между В планарами im ВЫ и im BЫ. Согласно (172), тензорный косинус - несингулярная матрица тогда и только тогда, когда im ВЫ ker BЫ = 0, то есть когда В - нуль-простая матрица. Поэтому имеем:

sec Ф = cos-1 Ф = I = cos Фsec Ф; (199) Вp Bp, sec Фcos Ф sec Ф = cos+ Ф = cos Ф = cos Фsec Ф. (200) В В, sec Фcos Ф В последнем случае подразумевается, что исходная матрица может быть нуль-дефектной, а характеристические аффинные проекторы при этом же могут не существовать. Тогда на подпространстве im ВЫ ker BЫ косинус и квазисеканс - оба вместе нулевые. Зато для нуль-дефектной матрицы косинус угла между подпространства0 ми im Bs Ы и im B s Ы всегда несингулярный. В свою очередь, синус несингулярный тогда и только тогда, когда det sin Ф 0 im ВЫ im ВЫ A nЫ (rB = n/2). (201) В В случае задания тензорного проективного угла линеорами A1 и Аэто же соответствует объединению условий (159) и (160). Ввиду этого квазикосеканс в общем случае определяется через квазиобратную матрицу cosec Ф = sin+ Ф = cosec Ф = - cosec Ф = - cosec (-Ф ). (202) В В В В В Вычитая (186) из (187), получаем sin ФВ = - cos Ф (В - В) = + (В - B)cos Ф.

В В 78 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия На основании этого соотношения матричная характеристика ( ) ( ) itg Ф = (В - B) = (B - B) = [ B - B] = [B - B ] = В = - itg ФВ = - itg Ф = - itg (- Ф ) (203) B В определяется как проективный тензорный тангенс угла Ф. ПринимаВ емая форма проективного тангенса обусловлена тем, что это кососимметричная матрица; её ненулевые собственные значения j = itg j.

Кроме того, тот же тангенс выражается тригонометрической формулой itg Ф = + sin Фsec Ф = - sec Фsin Ф. (204) В частности, для пары векторов и прямых с учётом (151), (152) имеем:

a2a1 - a1aB - B itg Ф = =. (205) В tr B a1a2 = itg Ф Квазикотангенс определяется для общего случая матрицей ictg Ф = itg+ Ф = - ictg Ф = - ictg Ф = - ictg (-Ф ). (206) В B B B B Очевидно тождество (В + B)(B + В) = I = (В + В)(В + В). (207) Отсюда следуют тригонометрические формулы:

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |   ...   | 43 |    Книги по разным темам