Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |   ...   | 43 |

/ / Здесь и далее Вр и Вр обозначают собственные характеристические аффинные проекторы для Bp и вместе с тем - идемпотентные матрицы. В случае пространства с евклидовой метрикой это также суть собственные характеристические косогональные проекторы. В аффинном пространстве Вр проецирует на ядро ker BpЫ параллельно образу im ВрЫ, а Вр проецирует на образ im ВрЫ параллельно ядру ker BpЫ. Действительно, K2(Bp,r) = BpK1(Bp,r - 1) = K1(Bp,r - 1)Bp ;

Bp + Bp = I, Bp Bp = Bp Bp = Z ;

2 ( Bp) = Bp(I - Bp) = Bp, ( Bp) = Bp(I - Bp) = Bp ;

ker BpЫ Л im BpЫ Л A nЫ, x = Bpx + Bpx = x + x.

Отсюда видно, что произвольный элемент х однозначно разлагается на проекции х (на ker ВрЫ параллельно im ВрЫ) и х (на im BpЫ параллельно ker BpЫ). Итак, Bp = K1(Bp,r) k(Bp,r), (61) / Bp = K2(Bp,r) k(Bp,r) = BpK1(Bp,r - 1) k(Bp,r) = K1(Bp,r - 1)Bp k(Bp,r). (62) / / / з 2.1. Аффинные проекторы и квазиобразная матрица Для некоторых частных случаев имеем: a = 0, a = 1 (где a - скаляр);

Z = I, I = Z ;

im K1(Bp,r)Ы ker K2(Bp,r)Ы ker BpЫ, (63) ker K1(Bp,r)Ы im K2(Bp,r)Ы im BpЫ;

rang K1(Bp,r) = sing Bp, (64) rang K2(Bp,r) = rang Bp;

(Bp) = (Bp), (Bp) = (Bp), (Bp) = (Bp) = Bp, (Bp) = (Bp) = Bp; (65) t k(B,t) = C, k(B,t) = Crt. (66) n - r Для степени сингулярной матрицы получаем обобщения:

k(Bh,r) = kh(B,r), (67) K1,2(Bph,r) = Kh (Bp,r) = kh - 1(Bp,r)K1,2(Bp,r). (68) 1,В аффинном пространстве определяется собственная аффинная квазиобратная матрица, коммутирующая с исходной матрицей:

Bp = Bp[K1(Bp,r - 1) k(Bp,r)] = [K1(Bp,r - 1) k(Bp,r)]Bp = / / (69) = Bp[K1(Bp,r - 1) k(Bp,r)]2 = [K1(Bp,r - 1) k(Bp,r)]2Bp.

/ / Она играет роль обратной матрицы на im ВрЫ и нулевой - на ker BpЫ и определяется уравнениями:

BpBp = BpBp = Bp, (70) Bp = BpBp = BpBp.

Для неё же справедливы соотношения: rang Bp - = rang Bp;

im BpЫ im BpЫ, ker BpЫ ker BpЫ; B = B1 det B 0;

BpBpBp = Bp, BpBpBp = Bp;

(Bp) = Bp, (Bph) = (Bp)h, (Bp) = (Bp).

44 Глава 2. Собственные афинные проекторы Согласно (1), (61), (62) и (69), аффинные проекторы и квазиобратная матрица представляются пределами:

Bp = lim [(Bp + I)Ц1] = lim (NBp + I)Ц1, (71) 0 N Bp = lim [Bp(Bp + I)Ц1] = lim [NBp (NBp + I)Ц1], (72) 0 N Bp-= lim [Bp(Bp + I)Ц2] = lim [N2Bp (NBp + I)Ц2] (73) 0 N (Bp + Bp = I, BpBp = BpBp = Bp; N = 1/).

Тривиальными частными случаями нуль-простых матриц Bp являются собственные простые матрицы Pi = P - iI, P1 = P (1 = 0), в том числе собственные нормальные и симметричные матрицы, степен0 ные матрицы вида Bh s, Bih si.

з 2.2. Применение результатов в спектральном представлении матрицы и для её приведения к основной канонической форме Характеристические аффинные проекторы для собственных ультраинвариантных подпространств, образующих всегда прямую сумму, можно вычислить исходя из (57) для простой матрицы P [30, с. 156] и исходя из (58)Ц(60) для дефектной матрицы B [10] :

q Pi = (jI - P) (j - i), (74) / j = q q 0 = ) Bp(i) = (jI - B)sj j - i)sj (jhI - Bh (jh - ih) = (Bh)i, (75) /( / j = 1 j = где ( j i), h max si0; Вр(i) = Bisi. Спектральное представление матрицы B с точностью до ультраинвариантных подпространств даёт одновременно её разложение на характеристические простую и нильпотентную матрицы. Такое разложение, согласно (23), интерпретируется жордановой формой и выражается формулой:

з 2.2. Применение результатов в спектральном представлении q q q q q B = B Вр(i) = iВр(i) + BiВр(i) = Pi + Oi = PB + OВ (76) i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = (PBh = Bh, OBh = Z ).

Для составления модальной матрицы преобразования B к основной (диагонально-клеточной) канонической форме могут использоваться коэффициенты вида:

q K1(Bi,ri ) = (jI - B)sj, согласно (33), j = q Q1(Bi,ri0) = (jI - B)sj, согласно (56), j = q Q1[(Bh )i,q - 1] = (jhI - Bh)sj, согласно (58)-(69), ( j i).

j = im K1(Bi,ri)Ы im Q1(Bi,ri0)Ы im Q1[(Bh)i,q - 1]Ы ker Bisi Ы, (77) ker K1(Bi,ri)Ы ker Q1(Bi,ri0)Ы ker Q1[(Bh)i,q - 1]Ы im Bisi Ы.

Все эти коэффициенты являются нуль-простыми матрицами. Но высшие скалярные коэффициенты последних - ненулевые. Поэтому такие матрицы обязательно имеют базисный диагональный минор, на перекрёстке которого расположены базисная rin-субматрица строк и базисная nri-субматрица столбцов. Соответственно из субматриц столбцов составляется ковариантная, а из субматриц строк - контравариантная модальные матрицы:

Vcol-1BVcol = C, E = VcolE, (78) VligBVlig- 1 = C, E = Vlig- 1E, (79) V -1BV = C E = V E, (80) lig lig, 3 lig V* -1B*V* = C*, 4 = V* E, (81) lig lig lig где С обозначает каноническую клеточную форму матрицы В в последовательности собственных значений 1,..., q; и k - матрицы вектор-столбцов исходного базиса и базиса канонической формы.

Кроме того, каждое ультраинвариантное подпространство содержит, как известно, неинвариантные подпространства:

46 Глава 2. Собственные афинные проекторы 0 0 - ker Bisi Ы im Oi1Ы Е im Oisi 1Ы, (82) 0 0 - ker Bisi Ы ker Oisi 1Ы Е ker Oi1Ы;

im OitЫ im K1(Bi, ri )BitЫ im Q1(Bi, ri0 )BitЫ, (83) ker OitЫ im BitЫ (t = 1, Е, si0 - 1).

Если из проекции в ультраинвариантной клетке вычесть простую диагональную часть, то остаётся нильпотентная клетка, которая может далее подвергаться модальному преобразованию вплоть до нильпотентной жордановой формы.

Модальная матрица, составленная в (78) - (81), получена, в принципе, q для простой матрицы PB = Pi. Поэтому общая форма ковариантной j = модальной матрицы имеет вид:

VcolЫ Vcol CqЫ (Vlig-1 VcolЫ), (84) где Сq - клеточная произвольная несингулярная матрица, состоящая из несингулярных блоков c1, Е, cq. Количество нильпотентных жордановых субклеток размера tt в i-й клетке основной формы с учётом известной формулы [например, 28, ч.2, с.95] определится как [(rang Oit - rang Oit + 1) - (rang Оit +1 - rang Оit +2 )].

Для генерального спектрального представления матрицы В и её аналитических функций используют интерполяционный многочлен Лагранжа, который даёт компонентные матрицы [30, с. 158]:

B(ik) = [Bik - 1 (k - 1)!] Bp(i) (Лim B(ik)Ы im Oik - 1Ы) (85) / (k = 1, Е, si0 ).

Подставим сюда ранее полученное выражение (75) для фигурирующего здесь аффинного проектора. В результате итоговая формула для интерполяционного многочлена Лагранжа приобретает вполне завершённый вид, определяемый только самой исходной квадратной матрицей.

з 2.3. Приведение нуль-простой матрицы к нуль-клеточной форме з 2.3. Приведение нуль-простой матрицы к нуль-клеточной форме Нуль-простая матрица приводится модальным преобразованием к нижеуказанной нуль-клеточной форме Bc:

Z Z Bp (det B1 0).

Z BОбратим внимание на то, что высшие матричные коэффициенты K1(Bp,r) и K2(Bp,r) как нуль-простые матрицы обязательно содержат базисные диагональные миноры. Они определяют две базисные ns- и nr-субматрицы столбцов. Из последних составляется ковариантная модальная матрица для преобразования базиса:

Vcol-1BpVcol = Bc (86) (E = VcolE, Л VcolЫ Vcol Л C2Ы).

Заметим, что вместо вышеуказанного коэффициента 2-го рода может использоваться непосредственно исходная матрица Bp, так как их образы тождественные. Пусть дана пара нуль-простых матриц Bp одинакового размера, для которых выполняется одновременно два условия:

im Bp1Ы im Bp2Ы, im Bp1Ы im Bp2Ы (Bp1 = Bp2, Bp1 = Bp2).

Тогда с учётом (86) для них следуют соотношения:

K1,2(Bp1Bp2,r) = K1,2(Bp2Bp1,r) = K1,2(Bp1,r)K1,2(Bp2,r), (87) k(Bp1Bp2,r) = k(Bp2Bp1,r) = k(Bp1,r)k(Bp2,r).

В частности, последнее из них обобщает классическую формулу для детерминанта произведения матриц: det (B1B2) = det (B2B1) = det B1det B2.

48 Глава 2. Собственные афинные проекторы з 2.4. Нуль-нормальные сингулярные матрицы Рассмотренные выше проекторы Bp и Bp взаимно-однозначно связаны с парой линейных подпространств im BpЫ и ker BpЫ в n аффинном пространстве A Ы с некоторым линейным базисом.

Пусть это есть вещественное пространство. Выделим множество вещественных нуль-простых матриц BmЫ, для которых имеют место соотношения:

Bm = Bm = (Bm) Bm = Bm = (Bm). (88) Геометрически данное условие выражается так ker BmЫ ker BmЫ im BmЫ im BmЫ. (89) n При этом im BmЫ и ker BmЫ образуют в A Ы прямую сумму, n так как k(Bm,r) 0. В евклидовом пространстве E Ы проявляется геометрическая исключительность этих матриц, причём при использовании ортонормированного базиса:

ker BmЫ im BmЫ ker BmЫ, (90) im BmЫ ker BmЫ im BmЫ.

То есть матрица, заданная в ортонормированном базисе в E nЫ, имеет симметричные характеристические проекторы тогда и только тогда, когда подпространства im BmЫ и ker BmЫ образуют прямую ортогональную сумму.

Матрица Bm обладает свойствами нормальной матрицы на собственном подпространстве, соответствующем нулевому собственному значению. Поэтому она определяется как нуль-нормальная, а её проекторы - как ортогональные. В частности, это суть сингулярные нормальные, в том числе симметричные и кососимметричные матрицы, а также несингулярные матрицы. Имеют место соотношения:

Bm = Bm = K1(Bm,r) k(Bm,r) K1(Bm,r) = K1 (Bm,r) (91) / Bm = Bm = K2(Bm,r) k(Bm,r) K2(Bm,r) = K2 (Bm,r). (92) / n Проектор Bm проецирует в E Ы ортогонально на ядро матрицы Bm, а проектор Bm проецирует ортогонально на её образ: Bm Bm.

з 2.4. Нуль-нормальные сингулярные матрицы Очевидно, что все собственные матрицы Bi нуль-простые и вещественные, или все они имеют вещественные аффинные проекторы Bi и Bi тогда и только тогда, когда B простая вещественная матрица с вещественной диагональной формой (собственными значениями).

В свою очередь, для нормальной вещественной матрицы B = M существует ортогональная вещественная модальная матрица R её приведения к вещественной диагональной форме тогда и только тогда, когда она симметрична: M = S. Образ и ядро всех собственных матриц Si ортогонально дополняют друг друга в E nЫ.

Следовательно, некоторая вещественная матрица имеет все нульнормальные вещественные собственные матрицы тогда и только тогда, когда она симметрична.

В частном же случае собственные матрицы Bi и Bi ранга (n - 1) имеют один и тот же i-й собственный вектор тогда и только тогда, когда Biv = (Biv). При этом ортонормирование столбцов по Граму - Шмидту отдельно в 2-х блоках модальной матрицы Vcol = Vlig в (86) даёт ортогональную модальную матрицу приведения к канонической нуль-клеточной форме:

Rcol Bm Rcol = Bc (93) (ЛRcolЫ RcolЛ R2Ы, Л VcolЫ RcolЛ C2Ы).

Если исходный базис был декартов, например {I}, то новый ортонормированный базис будет выражаться в нём вектор-столбцами модальной матрицы {Rcol} = {Rlig}. Ориентация базиса сохраняется или выбирается путём умножения Rcol справа на знакопеременную единичную матрицу. В частности, к нуль-нормальным матрицам принадлежат сингулярные M и S.

Аналогично (78), для симметричной матрицы S можно полностью сформировать ортогональную модальную матрицу Rcol её приведения к диагональной форме. Если собственные значения матрицы S различны, то находимые через ker SiЫ все n её единичных собственных векторов сразу же дают искомую Rcol. Если же некоторые из них вырождены (при si > 1), то прибегают к ортонормированию по Граму - Шмидту.

Приведём встречаемый во втором разделе основной части монографии характерный пример нуль-нормальных матриц, образуемых из прямоугольной nm-матрицы A:

Bm1 = A1A2, Bm1 = A2A1 (94) (Лim A1Ы im A2Ы, rang A1 = rang A2 = m < n), 50 Глава 2. Собственные афинные проекторы Bm2 = A1A2, Bm2 = A2A1 (95) (Лker A1Ы ker A2Ы, rang A1 = rang A2 = n < m).

Укажем некоторые другие свойства изучаемых нуль-нормальных матриц:

(BmBm) = (BmBm) = Bm, (BmBm) = (BmBm) = Bm ;

(96) ker BmBmЫ ker BmBmЫ ker BmЫ, im BmBmЫ im BmBmЫ im BmЫ.

Нуль-нормальные матрицы Bm и Bm удовлетворяют двум условиям формулы (87). Поэтому для них также справедливы формулы расщепления:

K1,2(BmBm,r) = K1,2(BmBm,r) = K1,22(Bm,r), (97) k(BmBm,r) = k(BmBm,r) = k2(Bm,r).

В частности, последняя из них обобщает классическую формулу для детерминанта гомомультипликации матрицы:

det (BB) = det (BB) = det2 B.

з 2.5. Сферически ортогональные проекторы и квазиобратная матрица Пусть A - nm-матрица, r = rang A. Tогда AA и AA BmЫ.

Согласно (91) и (92), AA = K1(AA, r) (AA, r), AA = K1(AA, r) (AA, r). (98) / k / k AA = K2(AA, r) (AA, r) = AA+, / k {k(AA,t) = k(AA,t)} (99) AA = K2(AA, r) (AA, r) = A+A, / k где AA проецирует ортогонально на ker AЫ, aa = I - aa aa;

/ AA проецирует ортогонально на im AЫ, aa = aa aa;

/ з 2.5. Сферически ортогональные проекторы и квазиобратная матрица A+ - квазиобратная mn-матрица Мура - Пенроуза [18, 59, 60], для которой rang A+= rang A. Согласно (99), она удовлетворяет условию:

AA A+ = A+ = A+ AA. (100) Отсюда следует формула Диселла A+ = AK1(AA, r - 1) (AA, r) = [K1(AA, r - 1) (AA, r)]A, (101) / k / k полученная им ранее через алгоритм Сурьё - Фаддеева [52]. Если матричный коэффициент развернуть в многочлен (27), то непосредственно видна тождественность обеих частей этой формулы. В частности, {a}+ = a aa. Квазиобратная матрица Мура - Пенроуза играет роль / обратной матрицы на im АЫ и нулевой на ker AЫ при умножении слева:

А+С = А+[(АА +АА)С] = А+(ААС). (102) При умножения справа она играет роль обратной матрицы на im AЫ и нулевой на ker AЫ:

СА+= [С(АА + АА)]А+ = (САА)А+. (103) В частности, В+ коммутирует с В только на пересечении подпространств: im ВЫЛim BЫ. Отсюда следует, что В- = В+ В ЛВmЫ В+В = ВВ+. (104) В любом случае, согласно (102) и (103), В+ представляется прямой ортогональной суммой обратной и нулевой матриц. Ортогональная квазиобратная матрица имеет исключительное геометрическое значение в евклидовом пространстве с ортонормированным базисом.

Среди всех квазиобратных матриц, задаваемых уравнением Пенроуза АХА = А, она, как известно, имеет минимальную норму Фробениуса, то есть матричную норму 1-го порядка (см. з 9.1). При этом, что тождественно, она является его нормальным решением как слева, так и справа [18]. Указанное обстоятельство обусловлено требованием (100).

Кроме того, она сама даёт те же нормальные решения с минимумом нормы Фробениуса для правого, левого и смешанного линейного матричного уравнения:

52 Глава 2. Собственные афинные проекторы Х А1Х = А X = А1+А, (105) nm nt mt Х YA2 = A Y = AA2+, (106) nm tm tn Х A1 X A2 = A X = A1+AA2+. (107) n1m1 n2m2 n1m2 m1nПри этом невязка вышеуказанных линейных уравнений также имеет минимальную норму:

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |   ...   | 43 |    Книги по разным темам