Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |   ...   | 43 |

Вышеизложенное иллюстрирует хорошо известный факт (теорему) сферической геометрии: любые две неполярные точки сферы можно соединить на ней кратчайшим евклидовым расстоянием по однозначной дуге некоторой большой окружности (геодезической). Это же даёт указанный матричный способ решения такой задачи в исходном централизованном декартовом базисе 1. Причём в базисе 2 = rot Ф12 угол (/2 - 23 ) есть широта элемента e3 в глобусных координатах.

В этом базисе движение e2 e3 реализуется по меридиану, а долгота не меняется. Элементы соединяются кратчайшей дугой с расстоянием a23 = R 23. Как видно из (202А), при движении точечного элемента ортосферический сдвиг 13 фактически аннигилирует. Но этот сдвиг проявлял бы себя обязательно при двухступенчатом движении неточечного объекта, например, задаваемого линеором (см. з 5.1).

Отметим, что в двумерной сферической геометрии угол есть эксцесс сферического треугольника или более сложной - составной фигуры. Он направлен именно в сторону суммирования отрезков.

* * * Используя квазиполярное представление (177А), (178А), находим в общем виде закон и формулы для суммирования многоступенчатых движений в сферической геометрии как внешней, так и внутренней n+в Q Ы - аналоги соотношений (153А)Ц(155А). При этом скалярные формулы имеют место и в эллиптической геометрии Римана. Имеем:

T = rot Ф rot = rot rot Ф = (1 - cos ) ee + rot nn - sin e =. (203A) + sin e cos Здесь rot выражается канонической формой типа (497). Далее, cos 2 = snn ; cos = + (1 + snn)/2, sin = + (1 - snn)/2, tg = + (1 - snn)/(1 + snn) = sin /cos ;

(204А) cos k = snk 1 - snn2, tg k = cos k tg = snk (1 + snn);

/ / cos = (tr rot - 2)/(n - 1) = e e.

Глава 8А. Модели неколлинеарных сферических движений Здесь же укажем структуру специфической матрицы T* типа (185 А) для обратного порядка последовательности частных движений:

T* = rot Ф rot (- ) = rot (- ) rot Ф (1 - cos ) ee + rot nn - sin e .

+ sin e cos Таким образом, тензорная тригонометрия содержит достаточно общий и эффективный инструментарий для изучения и описаний в едином ключе движений в псевдоевклидовых и в (квази)евклидовых пространствах. В частности, описанные в гл. 5А - 8А закономерности этих движений являются существенной частью неевклидовых геометрий в малом, реализуемых в подпространствах постоянной кривизны.

Как известно [21, 24], исторически изначально Ламберт и Тауринус сделали первые шаги в направлении создания неевклидовой геометрии гиперболического типа, выдвинув её аналогию с геометрией сферы.

Они же определили таковую как геометрию на сфере мнимого радиуса.

Впоследствии благодаря исследованиям Клейна [25] стало ясно, что этот ранее гипотетический геометрический объект есть гиперболоид II Минковского. В данной главе был сделан шаг в обратном направлении.

А именно установленные ранее в гл. 7А закономерности движений в гиперболической геометрии на основе сферическо-гиперболической аналогии трансформированы далее в соответствующие закономерности движений в сферической геометрии. С применением общих методов тензорной тригонометрии между движениями в обеих геометриях постоянного радиуса продемонстрирована определённая взаимосвязь.

На наш взгляд, представляет особый интерес предпринять когданибудь совместное изложение обеих неевклидовых геометрий постоянного радиуса с их неискажаемой интерпретацией на собственных n+1 n+гиперповерхностях - гиперсфероиде в Q Ы и гиперболоидах в P Ы.

В рамках геометрий в малом их объединяют общие методы тензорной тригонометрии, в рамках геометрий в целом - тригонометрические модели, отображаемые на проективной двухсторонней (замкнутой) гиперплоскости и на проективном одностороннем (замкнутом) гиперцилиндре (гл. 5, 6, 11 и 12).

Глава 9А. Необходимо ли искривление пространствавремени в поле тяготения (*) Специальная теория относительности (СТО) формулирует законы движения материи при абстрактно предполагаемом отсутствии именно поля тяготения, причём как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчёта [8, 32]. Тензорно-тригонометрические возможности для этого были продемонстрированы в гл. 2А - 7А. Исходя из преобразований Лоренца для координат пространства и времени Пуанкаре в 1905г.

выдвинул революционную (но оставшуюся практически незамеченной современниками) идею единого комплексного пространства-времени с псевдоевклидовой метрической формой [39; 37, с. 107; 66]. Пуанкаре ввёл мнимую координату времени и для неё особый масштабный коэффициент однородности - константу с. (Существенно то, что реальная скорость света не всегда совпадает с этим коэффициентом, но не превышает его.) Впоследствии Минковский в 1907 - 1908 гг.

предложил развёрнутую овеществлённую модель псевдоевклидова пространства-времени [36; 37, c. 41]. Минковский также ввёл в релятивистскую теорию понятия о времени- и пространствуподобных интервалах, изотропном конусе и т. д. Изложенные им идеи быстро получили всеобщее признание, так как почва для этого уже созрела.

Ещё ранее в рамках динамики и теории тяготения Ньютона неизбежно встали вопросы о происхождении силы инерции и силы тяготения материи. Сам Ньютон для объяснения инерции постулировал некое абсолютное пространство наряду с абсолютным временем и таким образом он придал инерции и ускорению абсолютный смысл.

Мах (1883 г.), хотя и подверг известной критике эти взгляды Ньютона, но по существу он конкретизировал абсолютное пространство, связав его со звёздной системой Вселенной [37, с. 249 - 250]. В теории Маха, имеющей качественный и более философский характер, инерция и ускорение определяются по отношению к некоторой выделенной системе отсчёта 0, связанной с неподвижной в ней массой Вселенной в целом (принцип Маха). При этом их абсолютный смысл сохраняется.

Система отсчёта Маха, в свою очередь, задаёт бесконечное множество галилеевски инерциальных систем отсчёта jЫ (псевдодекартовых базисов). По определению, такие системы совершают равномерное ( *) Заключительные главы 9А и 10А имеют дискуссионный характер.

Глава 9А. Необходимо ли искривление пространства-времени поступательное и прямолинейное движение по отношению к 0.

Например, с довольно высокой точностью они могут быть связаны с центрами масс каких-либо звёздных объектов, в том числе Солнца.

В связи с разработкой общей теории относительности (ОТО) Эйнштейн обратил особое внимание на эмпириокритические высказывания Маха по вопросам механики и философии познания.

Эйнштейн впервые чётко и явно сформулировал закон о тождестве инерционной и тяготеющей масс для любого материального объекта.

Этот закон использовался в неявном виде уже изначально в классической динамике, теории тяготения и в объединяющей их небесной механике.

Как фундаментальный закон Природы он действует и в классических и в релятивистских формах. Независимость гравитационного ускорения от природы вещества экспериметально установил Ньютон и с высокой точностью подтвердил Этвёш в 1909 г. [19]. Возникла идея об одной и той же - гравитационной природе сил инерции и тяготения. Ввиду этого Эйнштейн выдвинул принцип эквивалентности, в котором он полностью математически и физически отождествил инерцию и тяготение как дублирующие друг друга тензорные понятия [49].

С другой стороны, исходя из принципа Маха закон о тождестве масс можно объяснить тем, что для данного материального тела сила тяготения вызывается активным гравитационным воздействием на него со стороны других материальных объектов, а сила инерции вызывается пассивным гравитационным воздействием на него со стороны материи Вселенной в целом. Активное гравитационное воздействие вызывает ньютонову силу притяжения, а пассивное вызывает силу сопротивления ускорению. В собственном базисе, связанном с центром массы тела (материальной точкой), обе силы точь-в-точь прямо пропорциональны его массе как некоторому вещественному Угравитационному зарядуФ.

Поэтому в такой трактовке второй закон механики Ньютона становится естественным дополнением к его же закону всемирного тяготения. Для придания второму закону аналогичного всемирного характера, но в P 3+1Ы, необходимо с учётом СТО перейти от внутреннего ускорения к его же абсолютному, прямо пропорциональному геометрическому аналогу - гиперболической кривизне мировой линии:

- F(i) = F = m0 g(i) = m0 с2/ R(i) = E0 / R(i), (205А) где F - активная собственная сила любого происхождения, вызывающая отклонение абсолютного движения материальной точки в P 3+1Ы от прямолинейности;

F(i) - противодействующая ей пассивная собственная сила инерции (именно она всегда прямо пропорциональна нулевой массе m0);

284 Приложение. Тригонометрические модели движений m0 и E0 - масса и эйнштейнова энергия покоя материальной точки как её инерционно-тяготеющие характеристики в собственном псевдодекартовом базисе m;

R(i) = 1/K(i) = Е0 / F - радиус мгновенной абсолютной гиперболической кривизны мировой линии, вычисляемый в соприкасающейся псевдоплоскости P 1+1Ы P 3+1Ы в мировой точке местоположения массы m0 (гл. 5А); в ином виде Е0 = F R(i) выступает как модуль главного момента активной силы F, вызывающей гиперболическую ротацию;

c - постоянная скалярная псевдоскорость абсолютного движения любой материальной точки вдоль её мировой линии в P 3+1Ы - характеристика, впервые введённая Пуанкаре [39] и равная его же масштабному коэффициенту (гл. 1А). В векторной форме она обычно именуется, согласно Пуанкаре, как 4-скорость.

В такой, как в формуле (205А), небесной гравитационной трактовке инерции F(i) есть центростремительная сила, направленная всегда в P 3+1Ы к мгновенному центру касательной к мировой линии гиперболы (псевдоокружности). Как тут не вспомнить знаменитое изречение средневекового мыслителя Николая Кузанского: УВселенная есть сфера, центр которой повсюдуФ.

Небесная форма (205А) для второго закона механики Ньютона, как и должно быть, согласуется с первым и третьим законами:

F = 0 g(i) = 0 K(i) = 0, - F(i) = F.

При действии на одну и ту же материальную точку одновременно нескольких разнонаправленных и даже разнородных активных собственных сил они и соответствующие им внутренние ускорения суммируются подобно векторам в мгновенном собственном евклидовом подпространстве E 3Ы(m) в P 3+1Ы:

t t - F(i) = F = Fj = m0 g = m0 g, (206А) j j = 1 j = t g = g (207А) j.

j = Здесь принципиально то, что какие-либо Fj могут являться силой тяготения (в собственном подпространстве E 3Ы(m)).

Аналогичным геометрическим образом суммируются частные векторные абсолютные гиперболические кривизны, задаваемые в одной и той же мировой точке:

t k = k (208А) j.

j = Глава 9А. Необходимо ли искривление пространства-времени В любой точке мировой линии движения материального тела абсолютные кривизны суммируются ковариантно собственным силам и внутренним ускорениям. Как следствие этого, при тригонометрической согласованности частных кривизн, то есть при их тождественных собственных псевдоплоскостях, они как и углы (см. з 5.6 и з 6.2 - Правило №2) имеют свойство алгебраической аддитивности.

Заметим, что для сферической кривизны аналогия этому проявляется, например, в оптической формуле Ньютона, которую можно применять последовательно, но каждый раз в какой-то определённой точке линии хода луча света:

1/ R1 + 1/ RF = 1/ R2, где RF - фокусное расстояние линзы или зеркала либо положительное, либо отрицательное. (При акте отражения светового потока плоским зеркалом, для которого RF = (KF = 0), направление и знак кривизны меняются на противоположные, а её модуль не изменяется.) Согласно (207А), в конкретной точке мировой линии массы m0 коллинеарные внутренние ускорения (как и собственные силы) подлежат алгебраическому суммированию, а неколлинеарные - геометрическому евклидову суммированию как абсолютизированные понятия. В этом состоит принципиальное отличие характера суммирования (нерелятивистского) внутренних ускорений от характера суммирования (релятивистского) физических скоростей.

В абсолютном пространстве-времени Минковского P 3+1Ы, согласно его структуре (см. гл. 1А), системе отсчёта Маха 0 формально соответствуют собственные подпространства E Ы(0) и ct(0). Последние уже с вполне материальным объяснением могут в некотором смысле трактоваться как Уабсолютное пространствоФ и Уабсолютное времяФ Ньютона. Хотя истинно абсолютным пространством в такой трактовке является только P 3+1Ы в целом. Оно понимается как пространство, само по себе, с теми или иными свойствами и в отличие от относительных пространств никуда не вложено.

Особо отметим, что в СТО с точки зрения любого галилеевски инерциального наблюдателя Nj непрямолинейно (или ускоренно) абсолютно движущаяся в P 3+1Ы псевдодекартова система отсчёта как мгновенный базис остаётся в том же инерциальном качестве m Л jЫ.

(Этот факт, в частности, использовался в гл. 5А и 7А.) Однако с точки зрения произвольно движущегося вместе с ней наблюдателя Nm эта система отсчёта m галилеевски неинерциальная. С математической позиции она есть гауссова криволинейная система координат. На этом основан релятивистский дуализм (терминология автора) в двояком описании ускоренных движений в P 3+1Ы [8, c. 24 - 31].

286 Приложение. Тригонометрические модели движений Отображение m : m есть изоморфизм. В базисе m = {x,ct} координатная сетка имеет криволинейный характер, причём частично или полностью. Например, для гиперболического движения системы m в целом её собственную двумерную координатную сетку составляют декартовы прямолинейные оси x(m) и гауссовы криволинейные оси - гиперболы c с их общим центром в точке О (рис. 2А).

Ввиду гладкости функциональной связи между координатами в базисах m и m первые дифференциалы гауссовых криволинейных координат dx и dct в m суть однородные линейные функции от первых k дифференциалов dxk(m) и dc в m, или d = V(i)Ц1du(m). Скалярный элемент дуги мировой линии в P 3+1Ы в какой-либо точке М вычисляется через его квадратичную форму двояко - либо в m, либо в m:

dc2 = du(m) I du(m) = d {V(i) I V(i)} d = d G(i) d.

В обратном порядке матрица конгруэнтного преобразования V(i) получается однозначно из метрического тензора путём его общего конгруэнтного представления:

G = R D R = (D R) I (D R)= V I V.

Pages:     | 1 |   ...   | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |   ...   | 43 |    Книги по разным темам