Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 |   ...   | 43 |

= ch 12 ch 23 - cos ( - ) sh 12 sh В неевклидовой геометрии ( - ) = A123 - внутренний угол треугольника между сторонами л12 и л23; в СТО - соответствующий внешний угол. При реальном физическом движении материи все > (на верхней и нижней частях гиперболоида Минковского), что в СТО соответствует ct > 0 (движение в будущее). С учётом этого из (122A) для положительных углов движения (и расстояний по метрике Ламберта) следует правило УпараллелограммаФ, как в евклидовой геометрии:

|12 - 23| 13 12 + 23. (123A) При этом направляющие косинусы углов движения или их тригонометрических проекций в евклидовых подпространствах изменяются в пределах от - 1 до + 1. Неравенства (123A) и > 0 относят расстояние в гиперболической геометрии в категорию норм.

Соответствующая формула для скалярного синуса получается из (122A) тригонометрическим способом в виде суммы двух квадратов:

sh2 13 = (sh 12 ch 23 + cos sh 23 ch 12 )2 + (sin sh 23 )2. (124A) Из (122A) и (124A) находим формулу для скалярного тангенса в том же виде:

th2 13 = [(th 12 + cos th 23 ) (1 + cos th 23 th 12 )]2 + / (125A) + [(sin th 23 sch 12 ) (1 + cos th 23 th 12 )]2.

/ Последняя приводится к классическому варианту (здесь также в тригонометрической форме):

th 13 = v13 c = th2 12 + th2 23 + 2 cos th 23 th 12 - sin2 th2 23 th2 / / /(1 + cos th 12 th 23 ). (126А) В (122A) и (126A) непосредственно видна независимость суммарной скалярной скорости и угла движения от порядка последовательности двух складываемых скоростей или движений. Это тригонометрическая формулировка в скалярной форме классического закона сложения двух координатных скоростей Пуанкаре - Эйнштейна [37, с. 34-35]. Но, как следует из ранее изложенного, закон сложения скоростей или движений 250 Приложение. Тригонометрические модели движений в полном виде должен содержать ещё информацию об ортосферическом сдвиге применительно к неточечным объектам. C другой стороны, из (124А) непосредственно следует родственный закон сложения двух собственных скоростей в скалярной синусной форме.

Ещё в одном варианте закон сложения двух скоростей выражается через релятивистские факторы (которым здесь отвечают секансы углов движения). Непосредственно из (122А) вытекает секансное соотношение [11, с. 222]:

sсh 13 = 1 - th2 13 = sch 12 sch 23 (1 + cos th 23 th 12 ). (127А) / Кроме того, формулы (122А), (124А), (126А), (127А) позволяют трактовать тригонометрическим образом правило сложения двух гиперболических отрезков или углов гиперболического движения в скалярной форме со стороны различных гиперболических функций.

Если cos = 1, то из них следует простейшее аддитивное правило (69А). Если cos = 0, то для суммы двух условно ортогональных друг другу гиперболических отрезков или движений следуют частные тригонометрические формулы:

th2 13 = th2 12 + th2 23 - th2 12 th2 23, (128А) ch 13 = ch 12 ch 23 (sch 13 = sch 12 sch 23), (129А) sh2 13 = sh2 12 + sh2 23 + sh2 12 sh2 23. (130А) Но в трёхмерном евклидовом пространстве взаимно ортогональными могут быть максимально три вектора. Выполнив последовательно два акта суммирования трёх условно ортогональных отрезков или движений, выводим соответствующие трёхступенчатые скалярные тригонометрические формулы. (В данном частном случае суммарный скалярный угол также не зависит от порядка последовательности частных движений.) Для суммы трёх ортогональных отрезков имеем:

th2 14 = th2 12 + th2 23 + th2 34 - (th2 12 th2 23 + th2 12 th2 34 + + th2 23 th2 34) + th2 12 th2 23 th2 34, (131A) сh 14 = ch 12 ch 23 ch 34 (sch 14 = sch 12 sch 23 sch 34), (132A) sh2 14 = sh2 12 + sh2 23 + sh2 34 + (sh2 12 sh2 23 + sh2 12 sh2 34 + + sh2 23 sh2 34) + sh2 12 sh2 23 sh2 34. (133A) Если здесь хотя бы один из частных углов бесконечен (то есть =, th = 1, v = c), то аналогичное имеет место и для общего Глава 7А. Модели неколлинеарных гиперболических движений угла. Это соответствует скоростному постулату Эйнштейна (15 А).

Условно ортогональное суммирование движений (например, в виде проекций в ортогональных криволинейных координатах Гаусса) естественным образом обобщается для n-мерной геометрии Лобачевского - Больяи, что весьма просто выражается в мультипликативной коммутативной косинусной интерпретации:

ch 1t = ch ij (ij = /2), 3 t n.

i = 1, t -j = 2, t Итоговый скалярный угол 1t (и соответственно расстояние a1t = R 1t) не зависит от порядка последовательности частных условно ортогональных движений. Например, протяжённость суммарного n+условно ортогонального движения по гиперболоиду в P Ы или в пространстве Лобачевского - Больяи определяется в виде:

a1t = R Arch ch aij / R.

i = 1, t - j = 2, t Далее с точки зрения тензорной тригонометрии вычисляем направляющие косинусы итоговой двухступенчатой ротации Г13 и соответственно векторов th 13, sh 13 и v13 в декартовом суббазисе 1(3).

Воспользуемся тем фактом, что они тождественны для матриц roth Г и roth 2Г. Вслед за элементом s44 матрицы roth2 Г13 = roth 2Г13 в (114А) вычисляем её остающиеся нижние элементы, перемножая четвёртую строку В на k-й столбец roth Г12 (k = 1 3):

s4k = sk4 = sh 213 cos k = 2 ch 13 sh 13 cos k = 2 ch 13 [(sh 12 ch 23 + + cos sh 23 ch 12 ) cos k + sh 23 (cos k - cos cos k)]. (134A) Отсюда выводятся тригонометрические формулы двухступенчатого движения в векторной трактовке. Например, векторный синус в трёх тождественных вариантах записи имеет вид:

sh 13 cos k = (sh 12 ch 23 + cos sh 23 ch 12) cos k + + sh 23 (cos k - cos cos k), sh 13 = sh 13 е = (sh 12 ch 23 + cos sh 23 ch 12) е + sin sh 23 е = (135А) = [sh 12 ch 23 + cos sh 23 (ch 12 - 1)] е + sh 23 е, где e = {cos k} - единичный вектор направляющих косинусов суммарного гиперболического движения;

252 Приложение. Тригонометрические модели движений е = {(cos k - cos cos k) sin } = (е - cos е ) sin = ее е е е|| (136А) / / /||е - единичный вектор направляющих косинусов условно ортогонального приращения общего движения по отношению к е, то есть к вектору первого движения. Имеем соотношение ортогональности:

е е = 0 (е е). (137А) Единичный вектор е в дальнейшем широко используется при биортогональных разложениях приращений движения, в том числе дифференциальных или связанных с физическим ускорением (общим, тангенциальным и нормальным). Естественным образом он выводится из биортогонального представления второго вектора в сумме:

е = cos е + sin е.

Соответственно вектор е применяется для обратного порядка суммирования движений (см. далее). Из векторных формул (135А) и скалярной формулы (122А) получаем родственные векторные соотношения для тангенсов (координатных скоростей):

th 12 + cos th 23 sin th 23sch th 13 = th 13 е = 1 + cos th 23th 12е + 1 + cos th 23th 12 е = (138А) sh 13 th 12 + cos th 23(1 - sch 12) th 23sch = = ch 13 1 + cos th 23th 12 е + 1 + cos th 23th 12е.

Геометрическая интерпретация синусных формул (135А), (124А) сводится к следующему. Второй гиперболический отрезок 23 совместно с его синусной ортопроекцией на Л 3Ы(2) разлагается на две проекции - параллельно и перпендикулярно 12(sh 12 ). Эти проекции, в свою очередь, проецируются на Л 3Ы(1) параллельно ct(1), а именно:

= = 23 = 23 + 23 13 = (12 + 23) + = sh 13 = sh (12 + 23) + sh 23 (135A) = sh2 13 = sh2 (12 + 23) + sh2 23 (124A), = где sh 23 = cos sh 23, sh 23 = sin sh 23.

Тангенсные формулы (138А), (125А) получаются в результате того же разложения 23 совместно с его тангенсной проекцией на Л 3Ы(2) с последующим перекрёстным проецированием указанных проекций на Л 3Ы(1) параллельно ct(2) с учётом поправки на изменение знаменателя - косинуса (или релятивистской поправки ко времени). В итоге исходные гиперболические отрезки 12 и 23 отображаются в однородных координатах 1(3). Это будет рассмотрено далее на модели Клейна.

Глава 7А. Модели неколлинеарных гиперболических движений Итак, векторы синуса и тангенса итогового двухступенчатого гиперболического движения в 1(3) разлагаются биортогонально на проекции - параллельные и условно перпендикулярные е. В связи с этим ортопроекции, согласно (124А) и (125А), подчиняются теореме Пифагора. Это важное свойство векторов общего движения sh 13, th 13 и v13 объединяет в определённой степени евклидову и неевклидовы гиперболическую и сферическую геометрии. Различие здесь состоит лишь в том, что в евклидовой геометрии (где частные векторы суммируются коммутативно) теореме Пифагора подчиняются ортопроекции векторов синуса и тангенса общего движения как на е и е, так и на е и е, а в неевклидовой геометрии - только на е и е (при прямом порядке последовательности частных движений) и наоборот - на е и е (при обратном их порядке). Таким образом, установлена теорема о приведении произвольной суммы двух движений к биортогональной (квадратичной) форме - коммутативной для евклидовой геометрии и некоммутативной для неевклидовой геометрии.

Кроме того, в неевклидовой геометрии указанная специальная теорема (для ортопроекций и модулей векторов синуса и тангенса) действует именно в Л 3Ы(1), то есть в универсальном базисе.

Отмеченное геометрическое свойство формально позволило Пуанкаре и Эйнштейну вывести известным способом релятивистский закон суммирования двух неколлинеарных скоростей в векторной и скалярной формах, не нарушая общности выводов, при исходных cos 1 = 1, cos 2 = cos 3 = 0 cos = cos 1. Ортогональные проекции векторов двух скоростей (по оси x1 и по осям x2, x3) были приняты ими независимыми и просуммированы (что позволяет вышеуказанная теорема). Положим в векторной формуле (138А) значения параметров:

th 12 = v/c 10-4, cos 1 = 1 cos = cos 1;

th 23 = c/c = 1 th 13 = 1;

где v 30 км/сек - орбитальная скорость движения Земли. Имеем:

[th 12 cos 1(1 - sch 12)]е + sch 12е th 13 = е = = 1 cos 1th th 12 + cos 1 cos = 1 cos 1th 12 sch 12 cos 2 = cos 2, sch 12 cos 3 cos где 1, 2, 3 и 1, 2, 3 - истинные и кажущиеся углы наблюдения какого-либо светила на небесной сфере.

254 Приложение. Тригонометрические модели движений Отсюда следуют общие релятивистские формулы для аберрации:

cos 2 sch 12cos tg A12 = = cos 1 th 12 + cos 1, cos = (е+ ) е- = cos 3 sch 12cos 3 sch2 12 - sin2 1th2 tg A13 = cos 1= th 12 + cos 1 = 1 - cos2 1th2 12.

В частности, при 3 = /2 cos 2 = sin 1 отсюда следует формула Эйнштейна для аберрации [37, c. 36]. Данное планетарное явление, согласно СТО, тождественно трактуется с точек зрения крайних мгновенных инерциальных систем, связанных либо с Землёй, либо со светилом, так как результат сложения двух скоростей в них одинаков.

Классическая трактовка Эйнштейна сводит суть аберрации к изменению направления вектора суммарной скорости при движении Земли в противоположных направлениях в Солнечной системе. Это отвечает вышеуказанным общим формулам. Однако в ряде последующих работ (например [46, 43, 31]) аберрация стала трактоваться, на наш взгляд, неверно - исходя из сферического дефекта в гиперболическом треугольнике скоростей, то есть аналогично прецессии Томаса.

В данном случае ортосферический сдвиг выражает соответствующую прецессию звёздного диска, которая может только иногда совпадать по величине с аберрацией (то есть имеет иной смысл).

Из формул (135А), (136А) следует, что е и е - линейные комбинации е и е. Поэтому все 4 вектора условно лежат в одной и той же евклидовой плоскости Л Ы Ле, еЫ. Повторяя эти рассуждения для обратного порядка последовательности движений, получаем аналогичные соотношения и выводы, но уже с первым исходным вектором е и со вторым исходным вектором е. Вектор ортогонального приращения общего движения определяется в форме, аналогичной (136А):

е = {(cos k - cos cos k) sin } = (е - cos е) sin, (139А) / / е е = 0 (е е). (140А) Новые векторы th 13, sh 13 и v13 направлены в декартовом суб базисе 1(3) по е, но их модули остались прежними. Векторы е и е - также линейные комбинации е и е, и лежат в той же Л Ы. С другой стороны, ротация (113А) осуществляется в тригонометрической плоскости матрицы rot 13. Следовательно, последняя тождественна Л Ы.

Матрицу rot 13 можно вычислить сразу же в канонической форме (497). Нормальная ось сферической ротации rN находится через векторное (синусное) произведение (499) применительно к любой паре из набора характеристических единичных векторов; например, Глава 7А. Модели неколлинеарных гиперболических движений для двухступенчатого движения - через е и е. При изменении порядка последовательности движений на обратный каждый характеристический единичный вектор заменяется на свой спарринг вектор. Все шесть характеристических векторов е, е, е, е, е и е расположены в Л 2Ы в пределах угла.

Из (136A) и (139A) следует, что е е = - cos = cos ( - ), (141A) е е = е е = sin = cos (/2 - ). (142А) Кроме того, векторы е, е и rN должны образовывать правую тройку в Л 3Ы, чтобы соответствовать принятому направлению отсчёта угла против часовой стрелки. В свою очередь, значение cos 13 в структуре (497) вычисляется через соотношения (113A), (135A) и реверсивный аналог последнего. В итоге (релятивистский) сферический сдвиг относительно исходного 1 в косинусном варианте составляет:

cos 13 = е е = (A + cos cos2 cos3 sh2 13 > 0, (143A) B + C + D)/ A = sh2 12 ch 23 + sh2 23 ch 12 > 0, B = sh 12 sh 23 (ch 12 ch 23 + ch 12 + ch 23 - 1) > 0, C = sh2 12 ch 23 (ch 23 - 1) + sh2 23 ch 12 (ch 12 - 1) > 0, D = sh 12 sh 23 (ch 12 - 1) (ch 23 - 1) > 0, sh2 13 = sh2 12 + sh2 23 + sh2 12 sh2 23 (1 + cos2 ) + + 2 sh 12 ch 12 sh 23 ch 23 cos > 0.

Для (143A) как функции от cos имеют место три экстремума:

cos 13 = + 1 при cos = 1 (максимумы) и cos 13 = A / sh2 13 при cos = 0 (минимум).

При cos = + 1 имеем: A + B + C + D = sh2 13 = sh2 (12 + 23).

При cos = - 1 имеем: A - B + C - D = sh2 13 = sh2 (12 - 23).

Эти два случая тривиальны и отображают условно коллинеарные движения - однонаправленные и разнонаправленные. Минимум cos и соответственно максимум по абсолютной величине угла сферического сдвига 13 достигается при условной ортогональности е и е. Тогда для суммы ортогональных движений (скоростей) имеем:

cos 13 = A /sh2 13 = (th2 12 sch 23 + th2 23 sch 12 ) (th2 12 + th2 23 / - th2 12 th2 23 ) > 0, sin 13 = th 12 th 23 (1+ sch 12 sch 23 ) = sh 12 sh 23 (1+ ch 12 ch 23 ).

Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 |   ...   | 43 |    Книги по разным темам