Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | 4 |   ...   | 43 |

Тензорная тригонометрия, в принципе, применима в решении разнообразных задач геометрий с квадратичными инвариантами, реализуемых в многомерных арифметических пространствах и во вложенных в них подпространствах постоянной кривизны. В качестве отдельных примеров специфического применения новых методов тензорной тригонометрии в линейной алгебре дано спектральное представление собственных проекторов, тригонометрическая теория простых квадратных корней из единичной матрицы, а также показана тригонометрическая природа коммутативности и антикоммутативности простых матриц.

Основная часть монографии состоит из двух разделов. В первом из них (главы 1 - 4) рассматривается ряд аспектов теории точных матриц, необходимых для обоснования вновь вводимых геометрических и тригонометрических характеристик матричных объектов в многомерных арифметических пространствах с квадратичной метрикой.

Второй раздел (главы 5 - 12) посвящён тензорной тригонометрии.

В качестве весьма важного частного и простейшего случая дано представление тензорных тригонометрических ротаций и деформаций в элементарных формах (то есть с одним собственным углом движения и с реперной осью для его отсчёта). Показано, что при этом открываются новые интересные возможности для изучения движений в неевклидовых геометриях постоянной кривизны и в теории относительности. Эти вопросы освещаются в монографии достаточно подробно в отдельном приложении (главы 1А - 10А).

Отметим также то особое обстоятельство, что монография с данным приложением выходит в свет в преддверии отмечаемых научным миром в 2004 - 2005г г. двух знаменательных Юбилеев: 175-летия со времени первой и основополагающей публикации по неевклидовой геометрии - О началах геометрии Н. И. Лобачевского, а затем Аппендикса Я. Больяи, и 100-летия со времени открытия Г. Лоренцем, А. Пуанкаре и А. Эйнштейном изначальных законов теории относительности.

Именно этим историческим событиям в фундаментальной науке и их великим творцам она посвящается.

В заключение автор считает своим долгом почтить светлую память известного российского математика Михаила Михайловича Постникова, просмотревшего незадолго до своей безвременной кончины рукопись монографии и давшего на неё положительный отзыв.

Используемые обозначения 1. Обозначения матриц (матричный алфавит) А - прямоугольная матрица или nr-линеор, {lig (t)A} - субматрица строк А порядка t, {col (t)A} - субматрица столбцов А порядка t, A+ - (сферически ортогонально) квазиобратная матрица Мура - Пенроуза, В - квадратная матрица или внешняя мультипликация линеоров А1 и А2, B - - аффинно (гиперболически ортогонально) квазиобратная матрица, Bi = (B - iI) - i-я собственная матрица для В, Bp - нуль-простая матрица, B или Bp - аффинный проектор на im BЫ параллельно ker BЫ или гиперболически ортогональный проектор на im ВЫ, B или Bp - аффинный проектор на ker BЫ параллельно im ВЫ или гиперболически ортогональный проектор на ker BЫ, Bm и Bn - (адекватно и эрмитово)нуль-нормальные матрицы, BB или Bm ( Bn ) - сферически ортогональный проектор на im ВЫ, BB или Bm ( Bn ) - сферически ортогональный проектор на ker BЫ, {D-minor (t)B} - диагональный минор В порядка t, {Dh-minor (t)B} - гиподиагональный минор В порядка t, C - внутренняя мультипликация линеоров А1 и А2 или свободный матричный множитель, в том числе клеточный, C - матрица клеточной формы, D - диагональная матрица, D{P} - диагональная форма простой матрицы Р, 10 Используемые обозначения E - матрица единичного полирёберного угла, - матрица единичного базиса, F - матрица-функция, G - метрический тензор, G и G - метрические тензоры риманова и псевдориманова прос транства, H - (эрмитово симметричная) эрмитова комплексная матрица, I - единичная матрица, { I }S и I - фундаментальный рефлектор-тензор квази- или псевдоевклидова пространства, ориентированного и нет, J - матрица жордановой формы, K - матричный характеристический коэффициент для сингулярной матрицы В порядка t либо 1-го рода K1(B,t), либо 2-го рода K2(B,t), KB() - матричный характеристический многочлен от параметра для матрицы В, L - треугольная матрица, L - матрица клеточной треугольной формы, M - (адекватно) нормальная вещественная или комплексная матрица, N - (эрмитово) нормальная комплексная матрица, O - нильпотентная матрица, P - простая матрица, Q - редуцированный матричный характеристический коэффициент для сингулярной матрицы В порядка t либо 1-го рода Q1(B,t), либо 2-го рода Q2(B,t), QB() - редуцированный матричный характеристический многочлен от параметра матрицы В, R - (адекватно) ортогональная вещественная или комплексная матрица, Rq - квазиортогональная матрица, S - симметричная матрица, S - положительно определённая симметричная матрица, T - матрица ротационного тригонометрического преобразования, U - (эрмитово ортогональная) унитарная комплексная матрица, V - матрица общего линейного преобразования (активного и пассивного), W - моно-бинарная клеточная форма простой матрицы, X и Y - матрица-аргумент, Z - нулевая матрица.

Используемые обозначения 2. Обозначение тензорных углов и их функций Ф = Ф и Ф = - Ф - основной сферический угол, проективный и моторный, Rot Ф (rot Ф) - матрица ротации на угол Ф, в том числе элементарной, Def Ф (def Ф) - матрица деформации на угол Ф, = (/2 - Ф) - дополнительный к Ф (до прямого угла /2) сфериче ский угол (все три угла отвечают рефлектор-тензору), Г = - Г и Г = Г - основной гиперболический угол, проективный и моторный, Roth Г (roth Г) - матрица ротации на угол Г, в том числе элементарной, Defh Г (defh Г) - матрица деформации на угол Г, - дополнительный к Г (до бесконечного прямого угла ) гиперболи ческий угол (все три угла отвечают рефлектор-тензору), - ортосферический угол ортогональной ротации по отношению к Ф или Г, = Ф + iГ и = Ф + iГ - комплексные сферические углы, проектив ный и моторный, = * и = - * - эрмитов сферический угол, проективный и моторный.

3. Обозначения пространств n A Ы - арифметическое (аффинное) пространство размерности n, E nЫ - евклидово пространство размерности n, n + q E Ы - комплексное бинарное евклидово (псевдоевклидово) пространство индекса q и размерности (n + q), P kЫ - подпространства пересечений собственных пространств, P n + qЫ - вещественное псевдоевклидово пространство индекса q и размерности (n + q ), n + q Q Ы - вещественное квазиевклидово пространство индекса q и размерности (n + q).

12 Используемые обозначения 4. Прочие обозначения Cnt - биномиальные коэффициенты Ньютона, ||A||F - норма Фробениуса матрицы A, ||A||th - определённая геометрическая норма матрицы или линеора А порядка t и степени h, |{B}|th - полуопределённая геометрическая норма квадратной матри цы В порядка t и степени h, det B - детерминант (определитель) матрицы B, dim Е - размерность пространства Е, Dl (r)B - дианаль квадратной матрицы B, численно равная сумме детерминантов всех её базисных диагональных миноров, im BЫ - образ матрицы B, im AЫ - образ матрицы A, ker BЫ - ядро матрицы B, ker AЫ - ядро матрицы A, k (B,t) - скалярный характеристический коэффициент для сингулярной матрицы B порядка t, kB () - скалярный характеристический многочлен от параметра для матрицы B, l и l - евклидова и псевдоевклидова протяжённость, mt и M - средние алгебраические и средние степенные порядка t и, Mt (r)A - минорант матрицы А, численно равный квадратному корню из суммы квадратов детерминантов всех её базисных миноров, n - размерность аффинного или евклидова пространств, q (B,t) - редуцированный скалярный характеристический коэффици- ент для сингулярной матрицы B порядка t, qB () - редуцированный скалярный характеристический многочлен от параметра для матрицы B, r = rang B или rang A - ранг матрицы, r - 1-й рок сингулярной матрицы B, то есть максимальный порядок ненулевого коэффициента k (B,t), r - 2-й рок сингулярной матрицы B, то есть максимальный порядок ненулевых коэффициентов K1,2 (B,t), si = (n - ri ), si = (n - ri) и si = (ri - ri + 1) - геометрическая, алгебраическая и аннулирующая кратность собственного значения i, t (или ) - порядок характеристик (либо размер выборки из совокупности чисел, либо размер миноров матрицы), tr B - след B, vt и V - реверсивные средние алгебраические и средние степенные порядка t и.

Используемые обозначения Используемые обозначения - скалярный основной гиперболический угол, - скалярный сферический эрмитов угол, - скалярный угол ортосферической ротации, ортогональной по от- ношению к или, - дополнительный к (до бесконечного прямого угла ) гиперболи ческий угол, i - i-е собственное значение матрицы B, - размерность пространства пересечения im A1 и im A2, - размерность пространства пересечения im A1 и ker A (или im A2 и ker A ), - дополнительный к (до прямого угла /2) сферический угол, - открытый сферический угол, i - i-е собственное значение матрицы AA или AA, - скалярный основной сферический угол, = Arsh 1 - особый гиперболический угол, отвечающий фокусу гиперболы.

5. Используемые символы - знак простого транспонирования, * - знак эрмитового транспонирования, - множествоЕ принадлежит множествуЕ, - множествоЕ принадлежит или тождественно множествуЕ, - элементЕ принадлежит множествуЕ, - элементЕ не принадлежит множествуЕ, U - знак объединения множеств, - знак пересечения множеств, - знак тождества множеств, - знак прямого суммирования, - знак сферически ортогональной прямой суммы, - знак гиперболически ортогональной прямой суммы, ~ - обозначение для тензорных углов (сверху) проективного типа, - обозначение для тензорных углов (сверху) в случае многоступен чатых ротаций с обратным порядком частных движений.

Раздел I. Ряд общих вопросов теории точных матриц Тензорная тригонометрия базируется на монобинарном тригонометрическом спектре всех собственных проекторов так называемой нуль-простой nn-матрицы, у которой её образ и ядро образуют прямую сумму. Полный тригонометрический спектр имеют простые матрицы. Существенную роль в выводе и строгом обосновании тригонометрического спектра для нуль-простой nn-матрицы играют коэффициенты её характеристических многочленов - скалярного и матричного. Соответственно структура и свойства скалярных и матричных коэффициентов детально изучаются в главе 1. Здесь формулируется и доказывается в целом генеральное неравенство для средних величин, включающее цепь частных неравенств Маклорена для средних алгебраических - основы вводимых впоследствии иерархических норм.

Показаны также его дополнительные возможности в теории решения алгебраических уравнений. Исходя из найденной структуры матричных характеристических коэффициентов высшего порядка nn-матрицы идентифицирован её минимальный аннулирующий многочлен. В главе 2 устанавливаются явные формулы для собственных проекторов нуль-простой матрицы через её характеристические коэффициенты высшего порядка. Как весьма важный частный случай, дополнительно вводятся и изучаются нуль-нормальные матрицы, у которых образ и ядро образуют прямую ортогональную сумму. В главе 3 определяются скалярные характеристики матриц, имеющие косинусную и синусную природу и обобщающие известные алгебраические нормы для косинуса и синуса угла между векторами в евклидовом арифметическом пространстве. При этом здесь вводятся в рассмотрение в качестве общих линейных геометрических объектов - линеоры A и планары im AЫ, задаваемые nm-матрицами, где 1 m n (в частности, при m = 1 это векторы и прямые). В главе 4 рассматриваются альтернативные варианты комплексификации характеристик - адекватный и эрмитов при переходе от вещественного арифметического пространства к комплексному. Дан ряд конкретных примеров обоих подходов.

Глава 1. Коэффициенты характеристических многочленов з 1.1. Совместное определение скалярных и матричных коэффициентов В теории точных матриц особое место занимает раздел, относящийся к характеристическим многочленам. Он включает алгебраические и геометрические аспекты. Их детальная проработка необходима нам для последующего построения фундамента тензорной тригонометрии.

Как известно, каждая nn-матрица имеет своё вековое алгебраическое уравнение. Его задаёт скалярный характеристический многочлен от параметра, то есть многочлен со скалярными коэффициентами. Решения векового уравнения суть собственные значения матрицы i. С другой стороны, та же nn-матрица имеет матричный характеристический многочлен от параметра, то есть многочлен с матричными коэффициентами. В данной работе указанные характеристические многочлены квадратной матрицы применяются, как правило, в знакопостоянной форме от противоположного скалярного параметра = Ц. Введём в рассмотрение сразу же оба типа характеристических многочленов и их коэффициентов, например, по методу Д. К. Фаддеева [45].

Пусть В есть ненулевая nn-матрица ранга r, I - единичная матрица.

Обратимся к следующему преобразованию (резольвенте матрицы):

K () (B + I)V B (B + I) - 1 = =. (1) k () det (B + I) B По существу это есть обычная формула обращения квадратной матрицы (B + I) в виде дроби, в числителе которой находится присоединённая к ней матрица, а в знаменателе детерминант; где - произвольный скалярный параметр. При указанной операции обращения получаются сразу оба характеристических многочлена от, а именно скалярный порядка n в знаменателе дроби и матричный порядка (n - 1) в её числителе:

16 Глава 1. Коэффициенты характеристических многочленов n n - t kB() = k (B,t) = n + tr B n - 1 + Е + det B, t = n - KB() = K1(B,t) n - t - 1.

t = В данных многочленах присутствуют скалярные k(B,t) и матричные K1(B,t) характеристические коэффициенты для исходной матрицы B.

Причём последние - пока 1-го рода, а матричные коэффициенты 2-го рода K2(B,t) будут определены позднее. Последовательно увеличивающееся число t есть порядок этих скалярных и матричных коэффициентов. Противоположный параметр = - относится к собственным значениям матрицы B. Аналогичный скалярный многочлен от параметра для матрицы B и её вековое уравнение используются в знакопеременной форме:

kB(- ) = (- )n + tr B (- )n - 1 + Е + det B = 0.

Поэтому определённые выше скалярные коэффициенты порядка t представляют собой суммы Виета или суммы детерминантов всевозможных диагональных миноров размера tt, но без изменения алгебраического знака перед ними. Согласно методу Леверье [45], для матрицы B они вычисляются по рекуррентной формуле Варинга, где осуществляется замена сумм Виета на её характеристические скалярные коэффициенты, а сумм Варинга на её характеристические следы одного и того же порядка t:

t k(B,t) = (Ц1) - 1k(B,t - ) tr B. (2) t = Это есть рекуррентная формула Варинга - Леверье прямого типа.

Pages:     | 1 | 2 | 3 | 4 |   ...   | 43 |    Книги по разным темам