Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |   ...   | 43 |

n + q n q A Ы A Ы iA Ы CONST. (441) Здесь постоянны, во-первых, суммарное пространство и, во-вторых, n + q размерности слагаемых подпространств. В A Ы допускаются такие линейные преобразования V, которые сохраняют бинарную структуру:

V V11 iV12 nn nq V11 V I Z =. (442) iV21 V22 qn qq iV21 iV Z iI n Первые n столбцов матрицы базиса задают A Ы, остальные q столбq -цов задают i A Ы. Соответственно модальная матрица V (с такой же матричной структурой) приводит какой-либо бинарный базис к простейшей диагональной (псевдоединичной) форме. Кроме того, она осуществляет пассивное модальное преобразование координат -линейного элемента: z{} = V z{0}.

Бинарный комплексный базис в тригонометрических формах представляется псевдоединичными матрицами двух типов:

1 0 1 0 -0 = = I, 0 = = I. (443), (444) 0 i 0 - i В любом бинарном комплексном базисе линейный элемент пространства представляется прямой суммой, состоящей из вещественной и мнимой аффинных проекций:

154 Глава 10. Варианты комплексификации тензорной тригонометрии x z = x iy =. (445) iy Ввиду аффинности пространства в целом подпространства-слагаемые и базисы могут подвергаться операции параллельного переноса на элемент (445). Применение базиса (443) целесообразно для представления канонических форм в псевдогиперболическом варианте тригонометрических функций (з 5.9) с собственными углами ij. Он тождествен (271).

Применение базиса (444) целесообразно для представления канонических форм в псевдосферическом варианте тригонометрических функций (з 6.1) с собственными углами ij. Он тождествен базису, обратному (271).

Вместе с тем, оба базиса эрмитово сопряжены по отношению друг к другу. Имеем соответствующие модальные преобразования:

- I I cos j - sin j ch (- ij) sh (- ij) 1 0 1, sin j cos j = sh (- ij) ch (- ij) 0 - i 0 i что отвечает преобразованию (322);

- I I ch j sh j cos ij - sin ij 1 0 1 sh j ch j 0 - i = sin ij cos ij, 0 i что отвечает преобразованию (323). Кроме того, базис (444) целесообразен как исходный для изложения псевдоевклидовой геометрии в форме комплексного квазиевклидова изоморфизма.

А именно введём для комплексных линейных элементов бинарного n+q аффинного пространства A Ы, выраженных в базисе (444), скалярное произведение с единичным метрическим тензором:

z1z2 = x1x2 - y1y2.

При этом пространство трансформируется в комплексное квазиевклидово пространство с индексом q. Оно представляется прямой сферически ортогональной суммой, состоящей из вещественного и мнимого евклидовых подпространств:

n + q n q E Ы E Ы iE Ы CONST. (446) Здесь знак, как и ранее (з 8.1), обозначает сферически ортогональное суммирование. По существу это есть комплексное бинарное квазиевклидово пространство, задаваемое рефлектор-тензором I.

Глава 11. Тригонометрия общих псевдоевклидовых пространств з 11.1. Овеществление бинарного евклидова пространства Далее применим к бинарному комплексному квазиевклидову пространству, в том числе к исходному комплексному базису в нём, овеществляющее модальное преобразование:

1 = I 0 = {I}. (447) Последнее выходит за пределы множества допустимых ортогональных модальных преобразований данного квазиевклидова пространства, так как I I I. Ввиду этого пространство становится иным.

Теперь оно есть вещественное псевдоевклидово пространство с рефлектор-тензором и, вместе с тем, - метрическим тензором I и с индексом q:

z z = const = ( I u) ( I u) = u I u. (448) Здесь тот же самый линейный элемент z выражен в базисе 1 = {I} и обозначается как u. В скобках осуществляется пассивное преобразование координат. Базис 0 в (447) выражен в единичном базисе 1. Но, если другой исходный координатный базис связан с вышеуказанным универсальным (декартовым) базисом 1 (з 6.3) каким-либо вещественным линейным преобразованием V, то в нём базисы 1 и 0 выражаются в виде:

1 = {V}-1 (449) , -1 -1 - -1 -1 -0 = { I }1 1 = { V I V} {V } = {V I }. (450) -Здесь матрица преобразования I переводится из координат базиса в координаты базиса, как это осуществляется при последовательных модальных преобразованиях [27, с. 428Ц429]. Скалярное произведение в новом единичном базисе по-прежнему то же, поскольку оно определяет исконную метрическую величину элемента:

z z = const = ( I V a)( I V a) = a{V I V} a. (451) 156 Глава 11. Тригонометрия общих псевдоевклидовых пространств Здесь тот же самый линейный элемент z выражен в базисе и обозначается как a. В скобках осуществляется пассивное преобразование координат. Ввиду несогласованности преобразования V с метрическим рефлектор-тензором I последний претерпевает общее конгруэнтное преобразование G = V I V. (452) Например, такой метрический тензор формально действует в гауссовых криволинейных координатах псевдоевклидова пространства (с искажённой метрикой) как функция от его точечного элемента.

Взаимный метрический тензор выражается в виде:

= {G }Ц1.

-1 -G = V I V (453) В свою очередь, геометрия с постоянным метрическим тензором (452) изоморфна псевдоевклидовой геометрии с теми же параметрами размерностей n и q. Она по сути есть линейное отображение последней во множестве допустимых аффинных базисов:

af Ы Taf Ы, (454) где формально действует метрический тензор G.

T V I VTaf = T G Taf = G. (455) af af Из (455) следует, что det Taf = 1. Чтобы Taf входило в группу непрерывных преобразований, примем det Taf = + 1. Исходя из этого зададим группу аффинных тригонометрических преобразований TafЫ, соответствующую тензору G, в виде условий:

T G Taf = G = Const, af (456) det Taf = + 1.

з 11.2. Группа псевдоевклидовых ротаций Положим в (452) V = R. Тогда имеем метрический тензор пространства как симметричный рефлектор-тензор (см. з 6.3):

G = RI R = { I }S. (457) Напомним, что { I}S обозначает некоторый симметричный квадратный корень из I. Метрический тензор (457) действует в ориентированном псевдоевклидовом пространстве. Группа ротационных тригонометрических преобразований TЫ в нём задаётся с учётом (456) в виде условий:

з 11.2. Группа псевдоевклидовых ротаций T { I}S T = { I}S = Const, (458) det T = + 1.

В частности, метрический тензор (457) формально действует в ориентированном псевдоевклидовом пространстве, задаваемом срединным рефлектором тензорного угла Г, если R = RW, = RW 1 = {RW}1. В этом пространстве осуществляется гиперболическая интерпретация собственных косогональных проекторов из з 2.1. Отметим также, что допустимые тригонометрические преобразования в псевдоевклидовом пространстве определяются равнозначно как внутренней, так и внешней мультипликацией:

T { I}S T = { I}S, T { I}S T { I}S = I, T { I}S T { I}ST = T, (459) { I}S T { I}S T = I, T { I}S T = { I}S.

(Соответствующий аналог в евклидовом пространстве: RR = RR = I.) Положив в (452) V = I, возвращаемся в неориентированное псевдоевклидово пространство с метрическим рефлектор-тензором I. Группа ротационных тригонометрических преобразований TЫ в нём задаётся с учётом (458), (459) в виде условий:

T I T = I = T I T = Const, (460) det T = + 1.

Она известна как группа однородных непрерывных преобразований Лоренца. Установим изоморфную связь между группами аффинных TafЫ и ротационных TЫ тригонометрических преобразований:

-1 - (V TV) {VI V}(V TV) = {VI V}, -Taf = V TV. (461) Эта формула показывает, что обе группы подобны. Группа TЫ является трансляцией группы TafЫ из аффинных базисов {Taf} в псевдодекартовы базисы {T}. Заметим, что евклидовым аналогом TafЫ является группа:

-ЛTafЫ V Rot ФЫV в евклидовой версии тригонометрии - см. з 5.12.

(Тригонометрические функции в ней выражаются в аффинной форме.) 158 Глава 11. Тригонометрия общих псевдоевклидовых пространств Псевдоевклидово пространство в каком-либо псевдодекартовом базисе представляется гиперболически ортогональной суммой, состоящей из двух вещественных евклидовых подпространств:

n + q n q P Ы E Ы E Ы CONST. (462) Здесь и далее знак обозначает гиперболически ортогональное суммирование по отношению к метрическому рефлектор-тензору.

Например, Л im Bp ker BpЫ P r + (n - r)Ы по отношению к тензору Ref {cos Ф } = Ref {ch Г }. Согласно (462), псевдоевклидово Bp Bp пространство имеет бинарную структуру, задаваемую I и конкретным псевдодекартовым базисом. Одновалентный тензор в этом пространстве расщепляется на две гиперболически ортогональные проекции n q - на E Ы и на E Ы. Двухвалентные тензоры расщепляются на пару n однородных проекций nn (бипроекция на E Ы) и qq (бипроекция q на E Ы) и пару смешанных проекций nq и qn. В частности, при q = это суть nn-тензор, скаляр и пара векторов. Для одновалентных тензоров определяются внутренняя и внешняя мультипликации:

a1 I a2 = c12, (463) A1 I A2 = C12.

I T{a1a2}T I = B12, (464) I T {A1A2} T I = B12.

Как видно, указанные мультипликации транслируются именно в исходное бинарное комплексное евклидово пространство (446).

Вследствие этого они применимы в формулах евклидовой геометрии, включая тензорную тригонометрию. В частности, применяя к этим мультипликациям соотношения (120), (121), получаем псевдоаналоги данных формул:

с12 = tr B12, a I a = tr { I T{aa}T I }, (465) k (C12,t) = k (B12,t), k [(A I A),t] = k{( I TAA T I ),t}.

Для векторных и линеорных объектов в псевдоевклидовом пространстве эти скалярные характеристики являются по сути соответствующими псевдонормами.

При t = r определяются псевдоминорант и дианаль:

Mp 2(r) A = k{( I TAA T I ), r} = det (A I A), (466).

Dl (r) B12 = k (B12,r) = det Cз 11.2. Группа псевдоевклидовых ротаций Одновалентные тензорные объекты псевдоортогональны, если C12 = Z (c12 = 0), - по аналогии с (155) - и хотя бы частично псевдоортогональны, если det C12 = 0, - по аналогии с (229). Сферическая ортогональность может иметь место между объектами, находящимися оба в n q E Ы или оба в E Ы. Гиперболическая ортогональность может иметь n q место между объектами, находящимися порознь в E Ы и в E Ы.

Множество универсальных базисов (352) тождественно множеству согласованных с тензором I ортосферических ротационных матриц:

1uЫ Л Rot Ы{I} Л{Rot }Ы, (467) Rot I Rot = I = Rot I Rot.

Согласованные с метрическим тензором общие ротационные матрицы и рефлекторы не изменяют ни внутренние мультипликации (463), ни собственные углы между линейными объектами (векторами, линеорами, планарами). Заметим, что рефлекторы в P n + qЫ могут быть сферически, гиперболически и псевдоевклидово ортогональными.

инейное (централизованное) псевдоевклидово пространство по отношению к метрике распадается на 3 характеристических подпространства. Первое из них - разделительная плоская (коническая) гиперповерхность, или вещественный изотропный конус второго порядка:

n q 2 = xk2 - yt2 = 0 (для тензора I ), k = 1 t = 2 = x G x = 0 (для тензора G = Const).

Здесь 2 обозначает квадратичный метрический инвариант. Как отсюда видно, на конусе метрика везде нулевая. Вершина изотропного конуса находится в начале координат. Его образующие - центральные прямые лучи. В свою очередь, изотропный конус как гиперповерхность разделяет пространство на две части ( n q ). Это внешняя полость конуса, где 2 > 0. (Внешняя полость - объединённое множество всех n E Ы.) И это внутренняя полость конуса, где 2 < 0. (Внутренняя полость q - объединённое множество всех E Ы.) При q = 1, а именно в пространстве Минковского, последняя как геометрический объект распадается ещё на 2 части. Как принято в СТО, это верхняя внутренняя полость, или конус будущего - с положительным направлением оси y и это нижняя внутренняя полость, или конус прошлого - с отрицательным направлением оси y. В данном q случае линейное подпространство E Ы вырождается в направленную ось y (в СТО - стрела времени). Кроме того, внешняя и внутренняя 160 Глава 11. Тригонометрия общих псевдоевклидовых пространств полости содержат одно- и двухсвязный гиперболоиды Минковского - гиперповерхности с инвариантами 2 > 0 и 2 < 0.

В псевдоевклидовом пространстве метрические инварианты первой степени (гл. 9), как и метрика, - либо вещественные (вне конуса), либо мнимые (внутри конуса), либо нулевые (на конусе). Вещественные инварианты определяются также как пространствуподобные; мнимые инварианты определяются также как времениподобные (как принято в СТО). В случае же n < q понятия УвещественныйФ и УмнимыйФ меняются местами, если пространство мнимонизируют. (Изоморфизм между псевдоевклидовым и псевдоантиевклидовым пространствами.) Собственные углы в ротациях (460), в формах W или аналогичные углы между линейными объектами - вещественные величины, но либо сферические ( или ), либо гиперболические ( ). Покажем k t j это исходя из ротационных матриц (460) самой простой структуры, согласованной с знакопостоянными и знакопеременными фрагментами тензора I. В диагональных формах таких нетривиальных структур нет.

Однако в формах W таковыми структурами являются только два чистых ротационных тригонометрических типа, изученные ранее в гл. 5 и 6:

T = {Rot ( )}can {I } cos sin 1 k k, (468) sin cos k k T = {Roth ( Г)}can ch j sh j 1. (469) sh j ch j Из этих прародительских структур путём допустимого модального преобразования RW порождаются два чистых типа ротационных матриц T, выражаемых в каком-либо универсальном базисе как базисе своего действия, а именно:

RW(1){Rot }сanR = Rot = T(1), W(1) (470) T(1)T(1) = I = T(1)T(1), det T(1) = + 1;

RW(2){Roth Г}сanR = Roth Г = T(2), W(2) (471) T(2) = T(2), det T(2) = + 1.

Заметим, что применение модальных матриц, несогласованных с тензором I, привело бы к изменению последнего, то есть к нарушению з 11.3. Полярное представление псевдоевклидовых ротаций условия (460). Следовательно, группа TЫ включает как чистые типы две существующие разновидности вещественных ротационных матриц бинарной тригонометрической структуры: Rot и Roth Г (гл. 6).

В самом общем случае эти матрицы в преобразовании T могут образовывать какую-либо последовательность частных сферических и гиперболических ротаций, выраженных в универсальном базисе:

T = Е Rot (t -1)t Roth Г(t -1)t Е. (472) Однако все частные ротации должны быть тригонометрически согласованы с тензором I. Данное согласование, имея ввиду структуры ротационных матриц и тензора, означает следующее. Сферические ротации, согласно (468), должны отвечать либо положительной, либо отрицательной единичным частям тензора, либо быть их произведением, необходимо коммутативным:

Rot I nn nq nn nq Rot Z I Z (473).

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |   ...   | 43 |    Книги по разным темам