Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | ... | 32 | - использование предложенного метода наряду с получением конечного практически значимого результата - выбора минимаксно-оптимального управления - позволяет получить обширную информацию о структуре множества Парето; ценность этой информации заключается в том, что сопоставление минимаксно-оптимального управления с другими элементами множества Парето является инструментом оценки качества этого управления с позиций всего комплекса критериев эффективности и служит для обоснования адекватности многокритериального выбора.
3.3. Метод многокритериальной оптимизации механизма корпоративного управления на основе теории графов Рассмотрим метод, позволяющий осуществить многокритериальный выбор путем сопоставления значений критериев эффективности различных Парето-оптимальных управлений и определения среди них управления, наиболее близкого к максиминно-оптимальному с позиций всего комплекса критериев. В основе предлагаемого метода лежат результаты теории графов.
Граф Парето-оптимальных управлений. Управление, оптимальное по критерию (3.10), может быть выбрано путем сопоставления Паретооптимальных управлений u*, сформированных по критерию (3.8).
k Введем в рассмотрение параметр Rk[u* ]- Rk[u*] nm m n hk =, n,m K, (3.21) R* k отражающий долю прироста (потерь) k-го критерия относительно его максимального значения при переходе управляемой системы от управления nm u* к управлению u* (рис. 3.2). В случае hk > 0 управление u* является n m m более предпочтительным по критерию Rk по сравнению с управлением u*, в n противном случае более предпочтительным является управление u*.
n Сформируем граф управлений [101], вершинам которого поставим в соответствие Парето-оптимальные управления u*,k K, а дугам - процессы k переходов от одного оптимального управления к другому в рамках процедуры сравнения управлений (рис. 3.3). Поскольку при этом сравнению подлежат все Парето-оптимальные управления, то граф управлений является связным (из любой вершины по его дугам можно перейти к другой) и полным (каждая пара вершин соединена с другой).
Определим веса дуг графа как алгебраическую сумму относительных приростов (потерь) критериев системы при переходе от управления u* к n управлению u* :
m K nm nm S = hk, n,m K. (3.23) k =Вес Snm представляет собой векторную характеристику дуги (перехода) от управления u* к управлению u* : при Snm>0 управление u* является более n m m предпочтительным по векторному критерию (3.3), чем управление u*.
n nm Выражение для параметров S через нормализованные значения критериев получим, подставив (3.22) в (3.23):
K K K Rk[u* ]- Rk[u*] nm nm m n S = = (Rk[u* ]- Rk[u*]), n,m K. (3.24) h = k m n * Rk k =1 k=1 k= Выделим на графе управлений цикл - цепь неповторяющихся вершин, * в которой первая и последняя вершины совпадают, например, u1,u*,...,u*,u*.
2 K Можно показать, что при последовательном сравнении всех Паретооптимальных управлений алгебраическая сумма приростов (потерь) критериев равна нулю:
12 23 K S + S +...+ S( K -1 )K + S = 0.
В самом деле, K K 12 23 K S + S +...+ S( K -1 )K + S = (Ri[u*]- Ri[u*])+ (Ri[u*]- Ri[u*])+...+ 2 1 3 i=1 i=K K K K * + (Ri[u* ]- Ri[u* -1])+ (Ri[u1]- Ri[u* ])= - Ri[u*]+ (Ri[u*]- Ri[u*])+ K K K 1 2 i=1 i=1 i=1 i=K K * +...+ (Ri[u* ]- Ri[u* ])+ [u1]= 0.
R K K i i=1 i=Следовательно, сумма приростов (потерь) критериев при переходе от управления u* к управлению u* равна взятой с противоположным знаком n m сумме приростов (потерь) критериев при последовательном сравнении всех Парето-оптимальных управлений, кроме u* и u* :
n m nm 23 m( m+1 ) K S = -[S12 + S +...+ S( n-1 )n + S +...+ S( K -1 )K + S ]. (3.25) Вершины графа управлений u*,k K характеризуются значениями k параметров K jm m = (3.26) S, m K, j=jm которые представляют собой сумму относительных приростов (потерь) критериев системы при переходе к управлению u* от других Паретоm оптимальных управлений.
nm Рис. 3.2 - Геометрический смысл параметров hk Выделим в графе управлений (рис. 3.3а) с К вершинами (К-2) подграфа с тремя вершинами - m-й, n-й и поочередно остальными - образующих циклы (рис. 3.3б). Поскольку для каждого подграфа выполняется свойство (3.25), то km nk nm S = -S + S, k,m,n K.
Следовательно, K nm nj m = (K - 1)S -, n,m K. (3.27) S j=jm K nj В этом выражении S = nK n,m K представляет собой параметр ( -1) j=jm для n-й вершины подграфа, полученного из исходного графа исключением m-й вершины.
Рис. 3.3 - Граф управлений Методика (алгоритм) упорядочения векторов управления. На основе критерия (3.27) формирование упорядоченной по критерию последовательности управлений (вершин графа) можно организовать следующим образом:
1) задается номер шага t=1;
nm 2) выбирается опорная m-я вершина из условия min S, то есть n,mK определена дуга n1m, связывающая m-ю вершину с n1-й в этом случае;
3) среди остальных дуг, связанных с m-й вершиной, выбирается другая nm дуга из условия min S, то есть определена дуга n2m, связывающая m-ю n,m(K -1), nnвершину с n2-й в этом случае;
4) управлению u* присваивается индекс t;
m 5) из графа исключается m-я вершина вместе с дугами n1m, n2m; получен подграф размерности (К-1);
6) проверяется условие t Если условие окончания работы алгоритма выполнено, то сформирована максимизирующая параметр последовательность управлений. Получим выражение для параметров m через нормализованные значения критериев, подставив (3.24) в (3.27): K K K m = (K - 1)(R [u* ]- Ri[u*])- (R [u*]- R [u*])= j m n j n j i j=1 i=1 j=im (3.28) K K K K = (K - 1)R [u* ]- [u*]- Ri[u*]. R j m m j j j=1 j=1 j=1 i=jm jmim Параметр m является количественной характеристикой относительной предпочтительности управления u* по сравнению с другими m Парето-оптимальными управлениями u*, k m, k K. Поэтому параметр m k может использоваться в качестве интегрального критерия выбора компромиссного управления из множества Парето: uopt = arg maxm[u]. (3.29) mK Управление uopt является компромиссным в том смысле, что при переходе к нему от других управлений (из вершин графа управлений) относительные приросты критериев максимально превышают относительные потери критериев. Это следует из анализа выражения (3.28): - увеличение параметра m обусловлено более высокими для рассматриваемого управления u* относительными значения критериев m Rk, k m, k K, оптимальных при других управлениях; - уменьшение параметра m связано с высокими значениями критерия Rm при управлениях, оптимизирующих другие критерии u*, k m, k K, а также критериев Rk, k m, k K при управлениях, k оптимизирующих критерии Ri, i k,i K. Теоретическое обоснование критерия m. Покажем для случая двух критериев (К=2), что управление, выбранное по критерию (3.29) из множества Парето (3.5), соответствует управлению, сформированному по принципу максимина (3.6). Теорема 3.2. Вектор управления, принадлежащий множеству Парето, удовлетворяет условию максимина (3.6) тогда и только тогда, когда максимизируется критерий (3.29). Доказательство. Докажем достаточность соблюдения условия (3.29) для выполнения (3.6). Пусть существует управление u0, удовлетворяющее условию максимина (3.6). Покажем, что в этом случае выполняется условие (3.29). Управление, сформированное на основе принципа максимина, обладает следующими свойствами (рис. 3.4): Rk [u0 ]= R, k K. (3.30) Rk [u*] Rk [u0] Rk [u*], i k, i,k K. (3.31) k i Поскольку управление u0 максимизирует минимальный из критериев Rk, k K, то оно соответствует максимуму некоторого лфиктивного критерия R0, то есть, наряду с (3.30), (3.31), должно выполняться свойство R0 [u0] R0 [u*], k K. (3.32) k Параметр m при К=2 с учетом дополнительно введенного в рассмотрения критерия с индексом л0определяется выражением 2 2 2 m = 2 [u* ]- [u*]- [u*]. (3.33) R R R j m m j i j j=0 j=0 j=0 i=jm jmim В частности, для управлений u0, u1 выражения параметра m имеют вид * 0 = 2(R0[u0 ]+ R1[u0]+ R2[u0]) -(R0[u1]+ R0[u*])(3.34) * -(R1[u1]+ R1[u*]+ R2[u*]+ R2[u*]), 2 1 1 = 2(R0[u1]+ R1[u1]+ R2[u1 ]) -(R1[u*]+ R1[u*])0 (3.35) -(R0[u*]+ R0[u*]+ R2[u*]+ R2[u*]). 0 2 0 Поэтому * * 0 - 1 = 3{(R1[u0 ]- R1[u1]) +(R2[u0 ]- R2[u1])+(R0[u0 ]- R0[u*])} С учетом свойства нормализованных критериев (3.9) и свойства максимина (3.30) имеем 0 - 1 = 3{(R0 -1)+(R0 -0)+(R0[u0]- R0)}= 3{(2R0 -1)+(R0[u0]- R0)} (3.36) В выражении (3.35) первое слагаемое (2R - 1) 0, так как в силу выпуклости множества Парето (рис. 3.4) R 0,5 ; второе слагаемое (R0[u0 ]- R ) 0 исходя из свойства (3.32). Следовательно 0 - 1 0, то есть управление u1 удовлетворяет условию максимума параметра m (3.29). Аналогично проводится доказательство для управления u2. Докажем необходимость условия (3.29) для выполнения принципа максимина. Предположим, что при некотором управлении u0 выполняется условие (3.29); покажем, что в этом случае управление u0 отвечает условию максимина (3.6). Преобразуем выражение (3.35): 0 ={2R0[u0]-(R0[u*]+ R0[u*])}+{2R1[u0]-(R1[u*]+ R1[u*])} + 1 2 1 (3.37) +{2R2[u0 ]-(R2[u*]+ R2[u*])}. 1 Для максимизации (3.37) необходимо обеспечить max R1[u0 ] max R2[u0]. ~ ~ uU uU Однако в силу противоречивости критериев увеличение R1 приводит к уменьшению R2, и наоборот. Поэтому параметр 0 достигает наибольшего значения при R1 [u0 ]= R2 [u0]= R, то есть выполняется свойство (3.28). Свойство (3.31) вытекает из условий нормализации критериев (3.9). Кроме того, с учетом нормализации из (3.37) следует: 0 ={2R0[u0]-(R0[u*]+ R0[u*])}+{2R1[u0]-(1 + 0)} +{2R2[u0 ]- (1 + 0)}. 1 Максимизация параметра 0 предполагает выбор такого u0, при котором увеличивается значение критерия R0[u0 ] и уменьшаются значения критериев R0[u*],R0[u*], то есть выполняется свойство (3.32). 1 Таким образом, для управления, выбранного из условия максимума параметра m (3.29), выполняются свойства управления, соответствующего принципу максимина (3.6), то есть условие (3.29) является необходимым условием максимина. Доказательство необходимости и достаточности условия максимума параметра m (3.29) для соблюдения принципа максимина (3.6) для случая К>2 проводится аналогично. Теорема доказана. Рис. 3.4 - Множество Парето и принцип максимина Если среди Парето-оптимальных управлений существует управление, удовлетворяющее принципу максимина, то критерий достигает максимума при этом управлении; если ни одно из Парето-оптимальных управлений не является компромиссно-оптимальным с точки зрения принципа максимина, то критерий позволяет определить управление, наиболее близкое к u0, то есть минимизируется отклонение: maxm - max min Rk[u]. ~ mK uU kK Общие результаты предложенного метода заключаются в следующем: - метод многокритериального выбора по критерию по сравнению с непосредственным применением принципа максимина позволяет избежать, во-первых, дифференцирования функции максимина для выбора компромиссно-оптимального управления и, во-вторых, процедур численного определения максимина; эти процедуры являются трудоемкими, кроме того, функция максимума (минимума) непрерывно дифференцируема не на всей области определения; в результате проблема многокритериального выбора сводится к процедуре алгебраического сравнения скалярных величин, вычисленных для различных Паретооптимальных управлений; - результат многокритериального выбора по критерию имеет определенную экономическую интерпретацию; этот критерий является комплексной количественной характеристикой относительной предпочтительности (эффективности) компромиссно-оптимального управления по сравнению с другими Парето-оптимальными управлениями; интегральный критерий представляет собой сумму относительных приростов (потерь) критериев системы при переходе к компромисснооптимальному управлению от других Парето-оптимальных управлений; - многокритериальный выбор по критерию нацелен на решение практически важных экономических задач, в которых могут возникать случаи, когда ни одно из найденных Парето-оптимальных управлений не является компромиссно-оптимальным с точки зрения принципа максимина; при этом практически значимым будет управление, наиболее близкое к компромиссно-оптимальному по принципу максимина, и критерий является действенным инструментом выбора такого управления. 3.4. Метод многокритериальной оптимизации корпоративных структур Рассмотрим подходы к формированию оптимальных организационных структур корпораций и организаций, исходя из комплекса критериев эффективности организационных структур. В основе предлагаемого метода многокритериальной оптимизации организационных структур также лежат результаты теории графов. Принципы формирования организационных структур. В условиях развития рыночных механизмов хозяйствования в современной российской экономике проявляется тенденция к усложнению организационных структур корпораций и организаций. Распространенные сейчас матричные организационные структуры состоят из сотен крупных элементов, что несопоставимо со сложностью типичных ранее линейных структур, содержащих до одного десятка крупных узлов. К основным методам формирования организационных структур относят: - метод аналогий, основанный на формировании типовых структур организаций и определении условий их применения [196]; - экспертно-аналитический метод, предусматривающий проведение опросов руководителей и специалистов организации для выявления особенностей функционирования системы управления и обработку полученных экспертных оценок статистическими методами [146,168]; - метод структуризации целей, основанный на формировании дерева целей организации и предполагающий экспертный анализ вариантов организационной структуры с точки зрения организационной обеспеченности достижения каждой из целей, определения отношений руководства, подчинения, кооперации подразделений исходя из взаимосвязей их целей [64,88,171,172]; - метод организационного моделирования на основе математических и графических отображений распределения полномочий и ответственности в организации, анализа и оценки различных вариантов организационных структур [28,30,36,41]. Сложность современных форм организационных структур порождает многообразие критериев их эффективности, обнаруживая несоответствие существующих методов формирования организационных структур реальным проблемам практики. Современные исследователи выделяют следующие основные свойства организационных структур: устойчивость, управляемость, экономичность, равномерность распределения связей [54,55,84,165,174]. Книги по разным темам