Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 | 11 | 12 |

a1a2 - a0a3 >, Ka0 = T1 T2 ; a1 = T1 + T2 ; a2 = 1; a3 = где Tu Откуда получается условие устойчивости для системы с И-регулятором и объектом второго порядка.

1 1 K+ > (5.17) T1 T2 Tu.

Tu Чем не больше будет величина параметра настройки интегрального регулятора, тем больше будет запас устойчивости. Однако, увеличение Ти приводит к снижению быстродействия системы.

Пропорционально-интегральный закон регулирования Увеличить быстродействие системы при нулевой статической ошибке позволяет пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор), задаваемый следующими соотношениями:

t u = Ke + edt;

Tu (5.18) KTu p +WP(p) = K + =.

Tu p Tu p Введение ПИ-регулятора позволяет при правильной его настройке скомTпенсировать самую большую постоянную объекта, например, и тем самым значительно увеличить быстродействие системы, а наличие интегральной составляющей в законе регулирования устраняет статическую ошибку.

Для получения условия компенсации постоянной времени объекта запишем выражение для передаточной функции разомкнутой системы:

K0 KTu p +( ) W p = ( ) (5.19) Tu p T1p +1 T2 p +() ().

Tи K Если подобрать параметры настройки регулятор и таким образом, KTи = T1, то порядок системы понизится и (5.19) преобразуется к виду:

чтобы KW p = ( ). (5.20) TU p T2 + ( ) Откуда передаточная функция замкнутой системы будет равна KW3 p = ( ), (5.21) Tu p T2 p + 1 + K() а корни характеристического уравнения могут быть найдены по формуле:

1 1- K0TP12 = (5.22) 2T2 Tи.

Сравнивая (5.12) с (5.22) можно заключить, что запас устойчивости в системе с ПИ- и П-регуляторами соизмеримы, следовательно соизмеримо и быстродействие систем. Однако, ПИ-регулятор устраняет статическую ошибку.

Пропорционально-дифференциальный закон регулирования Еще большее быстродействие системы обеспечивает пропорциональнодифференциальный закон, реализуемый ПД-регулятором de u = Ke + Td ;

dt (5.23) W(p)= K + Td p.

При правильной настройке ПД-регулятор также компенсирует наибольшую постоянную времени объекта. Условие компенсации найдем из передаточной функции разомкнутой системы Td K0K p + K W p = ( ). (5.24) T1p + 1 T2 p + () () Tд T1 = Если принять, то передаточная функция значительно упростится.

K K0K. (5.25) W p = ( ) T2p + ПД-регулятор обеспечивает высокое быстродействие системы и увеличение запаса устойчивости, как по амплитуде, так и по фазе, однако он не устраняет статической ошибки.

Пропорционально-интегрально-дифференциальный закон регулирования Этот закон сочетает достоинства всех вышеперечисленных законов.

t 1 de u = Ke + edt + Td dt ;

Tu (5.26) TuTd p2 + KTu p +W(p) = K + + Td p =.

Tu p Tu p ПИД-регулятор позволяет скомпенсировать сразу две постоянные времени, что следует из передаточной функции разомкнутой системы K0 TuTd p2 + KTu p + ( ) W p = ( ) (5.27) Tu p T1p + 1 T2 p + () () TuTd = T1T2; KTu = T1 + TЕсли выполнить соотношения:, то передаточная функция замкнутой системы примет вид:

K0 W3(P)= = (5.28) Tи p + K0 Tи p +1.

KЭта передаточная функция соответствует апериодическому звену первого порядка и обладает высокими показателями качества.

Компенсация большего количества постоянных времени требует введения в состав регулятора двукратно дифференцирующих звеньев, что практически не реализуемо.

Для подтверждения этих утверждений запишем передаточную функцию регулятора компенсирующего три постоянных времени (T1 p +1)(T2 p +1)(T3 p +1) WP(P) =. (5.29) Tи p Раскрывая скобки и проводя по членное деление, получим:

T1T2T3 T1T2 + T2T3 + T1T3 T1 + T2 + TWp ( p) = p2 + p + + (5.30) Tи Tи Tи Tи p Одно из слагаемых в законе регулирования содержит дифференцирующее звено второго порядка.

При подаче на вход такого звена с передаточной функцией W(p) = kp t высокочастотной помехи z=ASin на выходе после двукратного дифференцирования получим:

Y = -K A sin t Амплитуда выходного сигнала возрастает пропорционально квадрату его частоты. Если на вход системы действует помеха с частотой 10 кГц, то она усилится после прохождения такого звена в 100000000 раз и подавит полезную информацию.

5.3. Синтез систем методом последовательной коррекции с подчиненным регулированием координат Пусть передаточная функция объекта имеет вид [6]:

k1k2...kne-p Wo (p) =, (5.31) n p + 1) (Ti i=где - постоянное запаздывание, Ti - постоянные времени элементов объекта регулирования, расположенные в порядке убывания по значению, k1k2...kn - коэффициенты передачи элементов объекта регулирования.

Предположим, что передаточная функция регулятора задана в виде l p + 1) (Tj j=Wp (p) =, (5.32) k1k2...knT0 p где l - число больших и средних постоянных времени. Для физически реализуемых регуляторов l 2, т. е. в качестве наиболее сложного регулятора можно использовать ПИД-регулятор.

Тогда передаточная функция разомкнутой системы l k1k2...kne-p p + 1) (Tj j=W(p) = (5.33) n k1k2...knTo p p + 1) (Ti i=Если выбрать параметры настройки регулятора из условия компенсации наибольших постоянных времени объекта ki = ki, Ti = Tj исходная передаточная функция (5.33) существенно видоизменится:

e-p W (p) = (5.34) n T0 p p + 1) (Tj j=l Исключение из передаточной функции разомкнутой системы звеньев с большими и средними постоянными времени повышает быстродействие системы, а введение интегрирующего звена с постоянной времени T0 повышает точность регулирования.

Выбирая T0 из условия T0 > Tl, где Tl, как было принято, является наибольшей из оставшихся некомпенсированных постоянных времени Ti выражение (5.34) можно упростить и приближенно записать в следующем виде:

W(p) =, (5.35) T0 p(T p + 1) n где T = + - суммарная некомпенсированная постоянная времени объекта Ti l регулирования, эквивалентная по потере запаса по фазе на частоте среза всем его реальным некомпенсированным постоянным [6].

При этом передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид Wz (p) =, (5.36) T0 p(T p + 1) + а корни характеристического уравнения равны:

1 1 1 1 a a - - a, (5.37) p12 =- - =, 2T 4T T0T T0 2 Tгде a = - отношение постоянных времени.

T Зная выражение для передаточной функции замкнутой системы и корней характеристического уравнения нетрудно записать выражение для переходной характеристики замкнутой системы a 2T h(t) = 1 - e cos(t + sin(t), (5.38) 4a - a 4a - a где = - собственная частота замкнутой системы.

2aT При a < 4 переходный процесс в замкнутой системе будет колебательным, причем время переходного процесса будет определяться суммарной не компенсируемой постоянной T из следующего выражения t = (6 8)T.

p Изложенный инженерный метод синтеза широко используется в практике проектирования систем регулирования так как практически на основе простейших расчетов позволяет по заданной передаточной функции объекта регулирования найти передаточные функции регулятора, разомкнутой и замкнутой систем регулирования, а также оценить качество системы по переходным характеристикам типового колебательного звена.

Если в составе объекта регулирования имеются больше двух постоянных времени подлежащих компенсации, то в этом случае прибегают к введению подчиненных контуров регулирования.

Допустим, необходимо регулировать выходную координату объекта регулирования, содержащего три больших постоянных времени T1, T2, T3и три обобщенных координаты x1, x2, x3 (рис. 5.2.).

u x x x 1 2 kk2 k(T p + 1)(T1p + 1) T2 p + 1 T3p + Рис. 5.2.

Введем вспомогательные контуры регулирования внутренних координат таким образом, чтобы в каждом контуре оказалась только одна компенсируемая постоянная времени, как показано на рис. 5.3.

x x x u x x x з3 з2 з1 1 2 W (p) W (p) W (p) W (p) W (p) W (p) p3 p2 p1 1 2 - - Рис. 5.Проведем вначале синтез внутреннего контура регулирования для переменной X1.

Для первого контура желаемая передаточная функция разомкнутого контура в соответствии с (5.35) будет выглядеть:

W11( p) =. (5.39) a1T p(T p + 1) Передаточную функцию регулятора найдем из условия Wp1( p)W1p = W11( p), (5.40) kгде W1 p ( p) = передаточная функция первого звена объекта рис.

(T p + 1)(T1 p + 1) 5.2.. Тогда W11( p) T1 p + 1 TWp1( p) = = = +. (5.41) W1p ( p) k1a1T p Tu1 Tu1 p В результате синтеза получен ПИ - регулятор с постоянной интегрирования Tu1 = k1a1T.

На основании (5.39) и (5.41) с учетом (5.36) найдем передаточную функцию замкнутой системы Wz1 (p) =. (5.42) a1T p(T p + 1) + Если выбрать a1 таким образом, чтобы внутренний контур представлял собой высокодемпфированное звено с невысоким показателем колебательности, то выражение (5.41) можно упростить, пренебрегая членами второго порядка малости Wz1 (p). (5.43) a1T p + С учетом этого допущения структурная схема рис. 5.3 преобразуется к виду x x x x x x з3 з2 з1 1 2 a1T p + W (p) W (p) W (p) W (p) p3 p2 2 - Рис. 5.4.

В результате введения первого контура регулирования из второго контура исключена большая постоянная T1, а не компенсируемая постоянная времени принимает значение T2 = a1T, т. е. увеличивается в a1 раз.

Проводя синтез второго контура регулирования можно записать выражения передаточных функций.

Желаемая передаточная функция разомкнутого второго контура 1 W21 (p) = =. (5.44) a2T2 p(T2 p + 1) a1a2T p(a1T p + 1) Передаточная функция регулятора T2 p + 1 TWp2 (p) = = +, (5.45) k2a1a2T p Tu2 Tuгде Tu2 = k2a1a2T.

Вновь получена передаточная функция ПИ - регулятора.

Передаточная функция замкнутого второго контура 1 Wz2 (p) =. (5.46) a1a2T p(a1T p + 1) + 1 a1a2T p + Структурная схема преобразуется к виду рис. 5.4.

xз3 xWp3(p) W3(p) a1a2T p +_ Рис. 5.5.

Сравнивая рис. 5.2 с рис. 5.5, можно установить, что в результате введения двух контуров регулирования, исключено влияние на динамику системы больших постоянных времени T1, T2. Вместе с тем увеличилась суммарная не компенсируемая постоянная контура, оценка которой составляет T3 = a1a2T. Желаемая передаточная функция разомкнутой системы при этом запишется в виде W21 (p) =. (5.47) a1a2a3T p(a1a2T p + 1) Передаточная функция регулятора третьего контура T3 p + 1 TWp2 (p) = = +, (5.48) k3a1a2a3T p Tu3 Tuгде Tu3 = k3a1a2a3T - постоянная времени ПИ - регулятора.

С учетом принятых допущений передаточная функция замкнутого внешнего контура регулирования приближенно соответствует колебательному звену с передаточной функцией Wz3 (p) =. (5.49) a1a2a3T p(a1a2T p + 1) + Введение вспомогательных, внутренних контуров регулирования имеет целью формирование благоприятной передаточной функции замкнутой системы, при использовании для последовательной коррекции физически реализуемых простых регуляторов. Вспомогательные контуры называют подчиненными контурами регулирования, а структура, показанная на рис. 5.2, представляет структуру подчиненного регулирования обобщенных координат объекта.

Динамические показатели качества регулирования каждой обобщенной координаты определяются соотношением постоянных ai. На практике принимают a1 = a2 =...= an = 2, такая настройка называется настройкой на технический оптимум или оптимум по модулю. Она обеспечивает минимальное время регулирования t = 4,7T при незначительном перерегулировании = 43%.

, p При настройке всех контуров на технический оптимум (ai = 2) передаточную функцию i - го разомкнутого контура с помощью (5.39) и (5.47) можно записать так Wpazi (p) =. (5.50) 2i T p(2i-1 T p + 1) То же для замкнутого контура Wpazi (p) =. (5.51) 2i T p(2i-1T p + 1) + В случаях, когда требуется более высокая точность регулирования используют ПИД - регуляторы обеспечивающие настройку на симметричный оптимум.

При такой настройке желаемую передаточную функцию разомкнутого контура записывают в виде 4T p + W( p) =. (5.52) 4T p 2T p(T p + 1) Формула (5.52) записана для первого внутреннего контура и может быть применена для следующих контуров, если в нее подставлять соответствующие значения Ti = 2i-1 T. Астатизм системы в этом случае повышается до двух, но при этом перерегулирование возрастает до 56 %.

5.4. Синтез регуляторов при модальном управлении Синтеза параметрических регуляторов на основе метода подчиненного регулирования, или метода логарифмических частотных характеристик применимы в первую очередь для одномерных объектов, или предполагают заранее заданную последовательную структуру объекта при скалярном управлении. При векторном управлении многомерным объектом использовать данные методы синтеза затруднительно. В этом случае более предпочтительным является использование модального управления (от латинского слова moda - корень).

В соответствии с теорией модального управления для всякого полностью управляемого объекта dx = Ax + Bu. (5.53) dt всегда можно найти управление u = CTx, (5.54) такое, что корни (моды) характеристического полинома замкнутой системы D( p) = det(Ip - A - BCT ) (5.55) имеют наперед заданные значения p1, p2,... pn, I - единичная матрица.

Корни характеристического уравнения можно задать, используя корневые критерии качества.

Докажем это утверждение, для этого подставим (5.54) в (5.53) dx = (A + BCT )x. (5.56) dt Подвергнем последнее уравнение преобразованию Лапласа Ipx( p) = (A + BCT )x( p). (5.57) Приведя подобные члены, получим:

(Ip - A - BCT )x( p) = 0. (5.58) Нетривиальное решение этого уравнения может быть найдено из условия равенства нулю определителя системы Ip - A - BCT = 0. (5.59) Это характеристическое уравнение системы, которое всегда можно привести к виду:

pn + a1 pn-1 + a2 pn-2 +....+an-1 p + an = 0. (5.60) Значения коэффициентов ai можно найти по теореме Виетта p1 + p2 +....pn = -a1;

p1 p2 + p1 p3 +...pn-1 pn = a2 ;

p1 p2 p3 + p1 p2 p4 +... + pn-2 pn-1 pn = -a3; (5.61)..............................................................

p1 p2.......pn = an, где pi - корни характеристического уравнения (5.60).

С учетом полной управляемости эта система алгебраических уравнений всегда разрешима относительно неизвестных коэффициентов cij матрицы управления CT.

Таким образом, синтез регуляторов при модальном управлении сводится к выражению коэффициентов характеристического уравнения ai через заданные коэффициенты матриц A и B, а также неизвестные коэффициенты матрицы CT с последующим их определением путем решения уравнения (5.61) при заданных корнях характеристического уравнения pi.

Рассмотрим случай скалярного управления, когда u является скаляром.

Построение модального управления в этом случае осуществляется в следующем порядке [4].

Уравнение системы (5.53) приводится к канонической управляемой форме (форме Фробениуса) ( ( ( ( & x = Ax + bu, (5.62) 0 1 0 0 ( 0 0 In-2, b = где A = : 0 0 1 :

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 | 11 | 12 |    Книги по разным темам