Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |   ...   | 32 |

а - принципиальная схема; б - структурная схема При этих допущениях реактор может рассматриваться как объект с сосредоточенными параметрами, материальный баланс которого имеет следующий вид:

Измене- Количество Количе- Количение ко- реагента А, ство вы- ство ве.

ичества = поступивше- - шедшего - щества А, вещества го вещества вступивА в реактор во А шего в в реакто- входном по- из реак- реакцию ре токе тора dCA (3.5) V = q(CA - CA) -VKCA, dt где V - объем реактора; СA - концентрация вещества A; t - время; q - объемный расход реагента А; CA - входная концентрация вещества; А, K - константа скорости реакции.

Таким образом, описание химического реактора идеального перемешивания, в котором протекает реакция типа А В, осуществляется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

Как видно из этих трех примеров, динамические свойства различных по физической природе объектов обладают некоторыми общими чертами, благодаря чему все рассмотренные объекты описываются однотипными уравнениями - обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка.

3.3 Определение линейной стационарной системы.

Принцип суперпозиции В теории управления к линейным системам обычно относят те системы, в которых протекающие процессы являются стационарными и описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными или функционально зависящими от времени коэффициентами. Важным свойством таких систем является их соответствие принципу суперпозиции. В связи с этим определение линейной системы, как правило, дается в следующем варианте: линейными называются системы, подчиняющиеся принципу суперпозиции, который заключается в том, что реакция объекта на сумму входных сигналов (t) равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности для любых xi(t).

xi Математическая запись принципа суперпозиции состоит из двух соотношений:

y (t) = yi (t) ; (3.6) xi i i y(cx(t)) = cy(x(t)). (3.7) Важно отметить, что линейность статических характеристик является необходимым, но не достаточным условием линейности, так как выполнение принципа суперпозиции необходимо не только в статике, но и в динамике. В то же время статическая характеристика, описываемая уравнением прямой у = а х + b, не отвечает принципу суперпозиции. Покажем это на примере функции у = 2 х + 3.

Для этого проведем эксперимент, который можно проиллюстрировать постановкой не менее трех опытов.

1 опыт: на вход объекта подадим сигнал х1 = 2 и определим выходную координату под действием этого сигнала y1 = 7 (рис. 3.5, а).

2 опыт: на вход объекта подадим другой сигнал x2 = 3, и определим соответствующее ему изменение выходной координаты y2 = 9 (рис. 3.5, б).

3 опыт: на вход объекта подается сигнал, равный сумме в первых двух опытах, x3 = 5 и определяется выходной сигнал y3 = 13 (рис. 3.5, в).

Вследствие того, что y3 y1 + y2 (13 16), можно утверждать, что для данной функции принцип суперпозиции не выполняется. Для устранения данного типа нелинейности следует перенести начало координат таким образом, чтобы нулевому входу соответствовал нулевой выход.

Так как большинство объектов управления являются нелинейными, то при определенных условиях нелинейные характеристики могут быть приближенно заменены линейными характеристиками, т.е.

производится линеаризация нелинейных зависимостей.

а) б) 1 опыт 2 опыт y1(t) y2(t) x1(t) x2(t) Объект Объект в) 3 опыт y3(t) x3(t) = x1(t) + x2(t) Объект Рис. 3.5 Иллюстрация эксперимента по проверке объекта y y = k x y y = f(x) y A x x x Рис. 3.6 Линеаризация нелинейной статической характеристики Одним из наиболее распространенных способов линеаризации является разложение нелинейной функции в ряд Тейлора в окрестности заданной точки и исключение нелинейных членов разложения.

Пусть статическая характеристика описывается нелинейной n раз дифференцируемой, где n - любое натуральное число, функцией у = f (x), которую необходимо линеаризовать в окрестности точки (x0, y0) (рис. 3.6).

Если в пределах максимально возможных отклонений у и x от x0 и у0 f (x) мало отличается от линейной функции, то можно f (x) заменить ее приближением y = f (x). Функция f (х) находится из ряда Тейлора:

f (x0) f (x) = f (x0) + (x - x0) +... ;

1! y - y0 = f (x) - f (x0) f (x0)(x - x0).

Переходя к новой системе координат, x = x - x0; y = y - y0, получим линеаризованное уравнение объекта dy y = kx, где k =.

dx x3.4 Динамическое поведение линейных систем Под системой в дальнейшем будет пониматься любое множество элементов (может быть отдельный элемент), образующее некоторое целостное единство безотносительно к функциям, которые они выполняют, т.е. это может быть объект, регулятор, система регулирования и т.д.

Система называется динамической, если она описывается дифференциальными, интегральными либо конечными уравнениями, завися- щими от времени, и называется статической, если в ее описании отсутст y(t) x(t) вует параметр времени.

Наибольший интерес представляет изучение динамического поведеРис. 3.7 Структур- ния линейной системы, которая в общем случае представлена на рис. 3.7.

ная схема системы Основной задачей изучения динамического поведения линейной системы является получение возможности рассчитывать выходной сигнал y(t) для любого известного входного сигнала x(t). В связи с этим необходимо располагать математическим аппаратом для исследования линейной системы (рис. 3.8).

Основными динамическими характеристиками, используемыми в теории автоматического управления, являются передаточная функция, дифференциальное уравнение, временные характеристики: переходная функция, весовая функция; частотные характеристики: амплитудно-фазовая характеристика (АФХ), расширенная амплитудно-фазовая характеристика (РАФХ), логарифмические частотные характеристики (ЛАФХ). Составляющими основных частотных характеристик являются Динамические характеристики Временные Дифференциальное Передаточная характеристики уравнение функция Переходная Весовая Частотные функция функция характеристики АФХ РАФХ ЛАФХ ЛАЧХ АЧХ ВЧХ РАЧХ ЛФЧХ ФЧХ МЧХ РФЧХ Рис. 3.8 Динамические характеристики Дифференциальное Временные уравнение характеристики Передаточная функция Частотные характеристики Рис. 3.9 Взаимосвязь динамических характеристик амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), фазо-частотная характеристика (ФЧХ), вещественночастотная характеристика (ВЧХ), мнимая частотная характеристика (МЧХ) и соответственно расширенные - РАЧХ, РФЧХ и логарифмические - ЛАЧХ, ЛВЧХ.

Между этими характеристиками существует связь, которую иллюстрирует схема, изображенная на рис. 3.9.

Ряд динамических характеристик можно получить экспериментальным путем, а некоторые являются теоретическими. На практике экспериментально получают временные характеристики и частотные, точнее, АЧХ и ФЧХ, и уже на основе их записываются дифференциальное уравнение, передаточная функция, а также расширенные и логарифмические частотные характеристики. Таким образом, чтобы оценить динамическое поведение линейной системы, необходимо познакомиться со всеми динамическими характеристиками.

3.5 Динамические процессы в системах Основным математическим аппаратом при изучении и исследовании систем управления является аппарат дифференциальных уравнений. Круг рассматриваемых объектов был уже определен - это линейные объекты с сосредоточенными координатами. При этом различают стационарные объекты, коэффициенты дифференциальных уравнений которых не изменяются во времени, и нестационарные объекты, у которых коэффициенты изменяются с течением времени, например, изменение теплопроводности, старение катализатора и др.

Большинство объектов регулирования являются нестационарными объектами, однако, скорость изменения их свойств намного меньше скорости регулирования, поэтому такие объекты при расчете систем регулирования можно приближенно рассматривать как стационарные в течение определенного промежутка времени, за который свойства объекта не успевают существенно измениться.

Далее будут рассматриваться линейные стационарные объекты (системы) с сосредоточенными координатами, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами:

an y(n)(t) + an-1y(n-1)(t) +...+ a1y (t) + a0 y(t) = bmx(m)(t) + bm-1x(m-1)(t) +...

...+ b1x (t) + b0x(t). (3.8) bУравнение (3.8) описывает поведение объекта, который имеет статическую характеристику y = x aв неустановившемся (переходном) режиме при любой форме входного сигнала x(t).

Частными случаями уравнения (3.8) являются уравнения an y(n)(t) + an-1y(n-1)(t) +...+ a1y (t) + a0 y(t) = bmx(m)(t) + bm-1x(m-1)(t) +...

...+ b1x (t), (3.8, а) an y(n)(t) + an-1y(n-1)(t) +...+ a1y (t) = bmx(m)(t) + bm-1x(m-1)(t) +...

...+ b1x (t) + b0x(t). (3.8, б) Для объектов, описываемых уравнением (3.8, а), статическая характеристика существует, но является вырожденной, так как b0 = 0. Для объектов же, описываемых уравнением (3.8, б), статическая характеристика не существует.

Объекты, имеющие статическую характеристику, называются статическими, а не имеющие статической характеристики, называются астатическими.

В большинстве случаев, как уже отмечалось выше, уравнения систем автоматического регулирования оказываются нелинейными, поэтому, если это возможно, проводят линеаризацию этих уравнений при помощи ряда Тейлора путем разложения нелинейных функций некоторых переменных по степеням малых приращений этих переменных, взятых в окрестности их значений, соответствующих установившемуся режиму. В результате получают линеаризованные уравнения в отклонениях. Таким образом, в большинстве случаев дифференциальное уравнение (3.8) является уравнением в отклонениях, которое описывает объект или систему регулирования только в окрестности установившегося режима. Для линейных систем уравнения в отклонениях и исходные уравнения совпадают.

Для получения решения уравнения (3.8) необходимо задать начальные условия, под которыми понимается состояние процесса в момент времени, принятом за его начало t = 0:

( y(0) = y0; y (0) = y0,..., y(n-1) (0) = y0n-1). (3.9) Общее решение уравнения (3.8) представляется в виде:

y(t) = yсв(t) + yвын(t). (3.10) В выражении (3.10) yсв(t) является общим решением соответствующего однородного уравнения и увын(t) - частное решение неоднородного уравнения (3.8). Следовательно, yсв(t) соответствует движению системы в отсутствии входного сигнала x(t) 0, т.е. собственному свободному движению системы, и определяется свойствами самой системы, которые проявляются в свойствах корней характеристического уравнения. Если эти корни различны, то n i yсв(t) = e t, (3.11) ci i=где i - корни характеристического уравнения; сi - произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Частное решение увын(t) зависит от вида функции x(t), определяющей входное воздействие на систему, и соответствует вынужденному движению (состоянию) системы.

Решение (3.10) уравнения (3.8) определяет динамический процесс в системе, происходящий с момента подачи входного воздействия, который принят за начало отсчета времени, поэтому движение системы (переходной процесс) рассматривается только при t 0, для t < 0 он принят тождественно равным нулю.

Выходной сигнал y(t), получающийся в течение такого процесса, является наиболее полной характеристикой динамических свойств системы, поэтому определение этого сигнала, как уже отмечалось, и является основной задачей теории регулирования. Здесь становится актуальной идея изучения динамических свойств системы с помощью временных характеристик.

3.6 Переходная и весовая функции 3.6.1 ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ Для получения переходной функции в качестве стандартного сигнала используется единичная функция времени (2.16). Такого рода воздействию соответствует, например, сброс или включение нагрузки в системах регулирования (отказ мотора в системе регулирования).

h б) x(t) а) h() qвх S t qвх t Рис. 3.10 Переходная характеристика химического реактора:

а - ступенчатое воздействие; б - кривая разгона Переходной функцией называется аналитическое выражение для решения линейного дифференциального уравнения (3.8) при входном сигнале x(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях, т.е.

an y(n)(t) + an-1y(n-1)(t) +...+ a1y (t) + a0 y(t) = b01(t), y(0) = 0; y (0),..., y(n-1) (0) = 0. (3.12) Кривой разгона называется реакция объекта (системы) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

На практике кривая разгона определяется экспериментальным путем и используется в качестве исходных данных для анализа и синтеза систем автоматического управления исследуемом объектом.

Здесь следует ввести понятия прямой и обратной задач. Прямая задача (задача Коши) заключается в определении решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. В обратной задаче требуется восстановить вид и коэффициенты дифференциального уравнения по известной интегральной кривой, например, переходной функции. Решение обратной задачи представляет значительную сложность вследствие ее некорректности и здесь существует специальный математический аппарат. Так, например, если предположить, что переходная функция описывается решением уравнения первого порядка a1y (t) + a0 y(t) = b0x(t), x(t) = 1(t), у(0) = 0, или Ty (t) + y(t) = kx(t), b0 aгде k = ; T =, то определению подлежат k - коэффициент усиления и Т - постоянная времени.

a0 ay() В статике у'(t) = 0 и, следовательно, у() = k x(), откуда коэффициент усиления k =, так как x() x() = 1; y() = h(), то k = h().

Для определения постоянной времени Т исходное уравнение интегрируется в пределах от 0 до :

T y (t)dt = - y(t)]dt = - h(t)]dt.

[h() [kx(t) Правая часть последнего выражения есть не что иное, как площадь S под экспериментально снятой S кривой разгона (рис. 3.10, б), тогда можно записать: T h() = S, откуда T =.

h() 3.6.2 ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ Для получения весовой функции, ее также называют импульсной переходной функцией, в качестве стандартного сигнала используется -функция (2.17):

0 при t ;

(t - ) = (t)dt = 1.

при t = ;

Таким образом, весовой функцией w(t) называется реакция системы на -функцию при нулевых начальных условиях.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |   ...   | 32 |    Книги по разным темам