Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | ... | 32 | а, б - система может быть устойчива; в - система неустойчива Построение годографа Михайлова практически производится либо методом контрольных точек, либо методом вспомогательных годографов. Первый метод сводится к определению ряда точек годографа Михайлова, соответствующих фиксированным значениям частоты. При втором методе определяются годографы отдельных звеньев, применяя правила сложения и умножения векторов, строят искомый годограф.
Анализируя годограф Михайлова, можно установить следующее: когда годограф Михайлова последовательно проходит квадранты, то вещественная и мнимая оси пересекаются поочередно. В точках пересечения с вещественной осью обращается в нуль мнимая функция V(), а в точках пересечения кривой с мнимой осью действительная функция U().
Частоты, при которых происходит пересечение осей, определяются корнями уравнений U () = 0;
(6.50) V () = 0.
Точки пересечения кривых U() и V() с осью абсцисс дают значение корней уравнений (рис.
6.25) для U() = 0: 1, 3, 5, Е; для U,V а) б) U,V U() V() U() V() 0 2 4 1 1 3 0 Рис. 6.25 Действительная и мнимая составляющие функции Михайлова:
а - устойчивая система; б - неустойчивая система V() = 0: 0, 2, 4,Е В этом случае для устойчивой системы обязательно соблюдение неравенства < 1 < 2 < 3 < 4 <...
В связи с этим можно привести следующую формулировку критерия устойчивости:
Система автоматического управления будет устойчива тогда и только тогда, когда вещественная U() и мнимая V() функции Михайлова, приравненные нулю, имеют все действительные и перемежающиеся корни, причем общее число этих корней равно порядку характеристического уравнения n, и при = 0 удовлетворяется условие U(0) > 0; V'(0) > 0.
6.8.3 КРИТЕРИЙ НАЙКВИСТА Этот частотный критерий был разработан в 1932 г. американским ученым Найквистом, он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФХ разомкнутой системы.
Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид b0sm + b1sm-1 +... + bm B(s) W (s) = =, n m.
A(s) a0sn + a1sn-1 +... + an Передаточная функция замкнутой АСР по каналу управления:
W (s) B(s) / A(s) B(s) замк W (s) = = =.
1+W (s) 1+ B(s) / A(s) A(s) + B(s) Характеристическое уравнение разомкнутой системы (n-го порядка) определено, как A(s) = 0.
Характеристическое уравнение замкнутой системы (n-го порядка) выражается, как A(s) + B(s) = 0.
Рассмотрим, что представляет из себя выражение 1 + W(s):
B(s) A(s) + B(s) Dзамк (s) 1+ W (s) = 1+ = = = H (s), (6.51) A(s) A(s) Dразом(s) V где Dзамк (s), Dразом(s) - характеристические полиномы, соответственно, замкнутой и разомкнутой АСР. Подставляя s = i, получим () U b0 (i)m + b1(i)m-1 +... + bm M() W (i) = = = U () + iV () = M ()ei() - a0 (i)n + a1(i)n-1 +... + an Рис. 6.26 АФХ АФХ разомкнутой системы (рис. 6.26).
разомкнутой Вектор (1+W (i)), следовательно, включает в себя свойства замкнутой и системы разомкнутой системы, и по тому, как ведет себя W(i) относительно (Ц1, i0) можно сделать вывод об устойчивости замкнутой системы.
В дальнейшем рассматривается АФХ, соответствующая положительным частотам.
Выделим три случая состояния равновесия разомкнутой системы: устойчива, нейтральна и неустойчива.
1 с л уча й - система в разомкнутом состоянии устойчива. Тогда изменение аргумента характеристического полинома разомкнутой системы согласно критерию устойчивости Михайлова будет равно (6.48):
= ArgDразом(i) = n.
=Для того, чтобы замкнутая система была устойчива, должно выполняться равенство (6.48):
= ArgDзамк (i) = n.
=Отсюда следует, что приращение аргумента вектора H (i) = (1+W (i)) равно нулю:
= = = ArgH(i) = ArgDзамк(i) -ArgDразом(i) = n - n = 0. (6.52) =0 =0 =2 Соотношение (6.52) означает, что для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы вектор 1+W (i), начало которого находится в точке (Ц1, i0), а конец, скользя по АФХ разомкнутой системы, не охватывал точку (Ц1, i0) при изменении от 0 до (рис. 6.27).
Таким образом, критерий Найквиста гласит:
Если разомкнутая система автоматического управления устойчива, то замкнутая система автоматического управления будет устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает точку (-1, i0) при изменении от 0 до.
а) б) Im Im (1) Ц1 = = _ Re W Re W(i) W(i) + 1 = H(i) W - (Ц1) = W + Рис. 6.27 АФХ:
а - разомкнутой системы; б - функции H(i ) 2 с л уча й - система в разомкнутом состоянии неустойчива.
При рассмотрении многоконтурных и одноконтурных систем регулирования, содержащих неустойчивые звенья, разомкнутая система может оказаться неустойчивой.
Пусть в разомкнутом состоянии система неустойчива, при этом характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет m корней в правой полуплоскости. Тогда согласно принципу аргумента (6.25):
= ArgDразом (i) = (n - 2m).
=Если потребовать, чтобы система в замкнутом состоянии была устойчива, то должно выполняться равенство (6.48):
= ArgDзамк (i) = n.
=В этом случае угол поворота вектора H(i ) = 1+W (i) будет равен m разом = ArgH (i) = n - (n - 2m) = 2. (6.53) =2 2 Последнее говорит о том, что АФХ функции H(i ) при изменении частоты от 0 до охватывает m начало координат в положительном направлении раз.
Число оборотов вектора H(i ) вокруг начала координат равно числу оборотов вектора АФХ разомкнутой системы W(i ) вокруг точки (Ц1, i0). На основании этого вытекает следующая формулировка критерия Найквиста.
Если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то для того, чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы W(i) при изменении частоты от 0 до охватывала точку (Ц1, i0) в положительm ном направлении раз, где m - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
а) Im Im б) m = 2 m = = 0 = = ЦRe Re H(i) W(i) Рис. 6.28 АФХ: а - H(i ); б - W(i ) при m = На рис. 6.28 изображены в качестве примера АФХ H(i ) и АФХ разомкнутой системы, соответствующие устойчивой замкнутой системе, которая в разомкнутом состоянии неустойчива и m = 2.
При сложной форме W(i ) могут возникнуть затруднения при определении числа ее оборотов вокруг точки (Ц1, i0). В этом случае удобно применять "правило переходов", предложенное Я. З. Цыпкиным Назовем переход W(i) через вещественную ось при возрастании положительным, если он происходит сверху вниз, и отрицательным, если он происходит снизу вверх. Если W(i) начинается или заканчивается на оси, то она совершает полперехода. Тогда критерий Найквиста можно сформулировать следующим образом.
Если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то для того чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов АФХ разомкнутой системы W(i) через отрезок вещественной оси (Ц, Ц1) m при изменении частоты от 0 до была равна, где m - число правых корней характеристического уравнения.
В качестве примера на рис. 6.29 изображена АФХ разомкнутой системы: число правых корней m = 2; число переходов - два положительных, один отрицательный, их Im разность равна m 1 =, следовательно, замкнутая система устойчива.
3 с л уча й - система в разомкнутом состоянии нейтральна.
+ + - -В этом случае система должна содержать интегрирующие звенья, и Re тогда характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет корни, равные нулю, и записывается в виде A(s) = s A1(s) = 0, (6.54) Рис. 6.29 АФХ рагде - порядок астатизма; А1(s) - полином, не имеющий корней, равзомкнутой системы ных нулю.
при m = Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы записывается в виде B(i ) W(i ) =. (6.55) (i )v A1(i ) При = 0, W(i) = и АФХ претерпевает разрыв, поэтому решать вопрос об устойчивости замкнутой системы трудно, так как неясно, охватывает АФХ точку (Ц1, i0) или нет.
Чтобы сохранить формулировку критерия для устойчивых в разомкнутом состоянии систем, при построении годографа Михайлова при изменении частоты от - до + обходят начало координат по полуокружности бесконечно малого радиуса r. Тогда нулевые корни дадут такой же угол поворота, как левые корни, т.е. каждый из векторов повернется на угол (рис. 6.30).
Обходу начала координат по малой дуге rei соответствует передаточная функция разомкнутой системы B(s) B(0) W (s) = = = Re-i. (6.56) S =A1(0) s A1(s) (rei) При r 0 радиус R, а аргумент меняется от до - при изменении от до -.
2 2 2 Таким образом, при движении по полуокружности бесконечно малого радиуса в плоскости корней АФХ разомкнутой системы сама W(i) может быть представлена в виде вектора бесконечно большой длины, поворачивающегося на комплексной плоскости по часовой стрелке на угол, равный Ц.
При изменении от 0 до, т.е. r 0, 0, W(i) изменяется по дуге бесконечно большого ра диуса, описывая угол от 0 до - (рис. 6.31). Критерий Найквиста формулируется следующим образом.
Система автоматического регулирования, нейтральная в разомкнутом состоянии, устойчива в замкнутом состоянии, если АФХ разомкнутой системы с его дополнением в бесконечности не охватывает точку (Ц1, i0) при изменении от 0 до.
Im а) Im б) W(i) R = R Ц1 ЦRe Re = W(i) = = Рис. 6.31 АФХ нейтральной разомкнутой системы:
а - с астатизмом первого порядка, = 1; б - с астатизмом второго порядка, = Как видно из рис. 6.31, если разомкнутая система имеет астатизм первого порядка, то замкнутая система устойчива, так как точка (Ц1, i0) не охватывается, если же астатизм будет второго порядка, то замкнутая система неустойчива - точка (Ц1, i0) охватывается АФХ разомкнутой системы.
Достоинствами критерия Найквиста являются:
1) применимость при неизвестных уравнениях некоторых звеньев разомкнутой системы;
2) возможность исследования устойчивости систем с запаздыванием.
Пример 6.3 Исследовать устойчивость системы критерием Михайлова, если характеристическое уравнение системы имеет вид D(s) = 2s4 + 4s3 + 2s2 + 5s + 1 = 0.
Заменяя s = i, находятся действительная и мнимая функции Михайлова:
D(i) = 2(i)4 + 4(i)3 + 2(i)2 + 5(i) + 1, откуда U() = 24 - 22 + 1;
V() = (Ц42 + 5).
Годограф Михайлова изображен на рис. 6.32. Его анализ показывает, V() что система неустойчива. Если использовать следствие, то U() = 0; V() = 0.
1 U() Решение этих уравнений дает:
21,3 = 1 i; 0 = 0; 2,4 = .
Так как имеются комплексно-сопря-женные корни, то система Рис. 6.32 Годограф неустойчива.
Пример 6.4 Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования (рис. 6.33), если W1(s) = ; W2(s) = е-2s.
2s + x(t) y(t) W1(s) W2(s) Рис. 6.33 Структурная схема АCР В разомкнутом состоянии система автоматического регули V рования устойчива. Амплитудно-фазовая характеристика ра 1 2 M1 зомкнутой системы записывается:
U Mразом W (i) = ei(-2- arctg 2) M0 M0 M1 + (aп)пр и изображена на рис. 6.34.
Im Рис. 6.35 Годограф Михайлова для устойчивых систем Ц3-го порядка Re Рис. 6.34 АФХ разомкнутой системы к примеру 6.Так как амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (Ц1, i0), то замкнутая система устойчива.
6.8.4 ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ Сравнение рассмотренных критериев устойчивости позволяет сделать следующий вывод относительно их применимости.
Критерий устойчивости Гурвица целесообразно применять, когда характеристическое уравнение имеет степень не выше четырех (n < 4).
Критерий устойчивости Рауса дает быстрый ответ при численно заданных коэффициентах, им целесообразно пользоваться, когда n > 4.
Критерий устойчивости Михайлова целесообразно применять при исследовании сложных многоконтурных систем, когда необходимо выяснить влияние изменения структуры системы и средств стабилизации на ее устойчивость.
Критерий устойчивости Найквиста целесообразно применять при исследовании сложных систем.
Этот критерий оказывается единственно применимым, когда часть или все характеристики отдельных элементов системы заданы экспериментально, применим при анализе систем, описываемых аналитическими функциями.
Помимо своего прямого назначения частотные критерии устойчивости могут быть использованы для оценки влияний параметров системы на ее устойчивость.
На рис. 6.35 изображен годограф Михайлова для устойчивой системы. Отрезок ОМ0 равен значению вектора D(i) (6.35) при = 0 и равен значению коэффициента an характеристического уравнения.
Можно показать, что коэффициент усиления системы влияет только на свободный член an характеристического уравнения. Поэтому при его увеличении будет увеличиваться только коэффициент an, и в этом случае все векторы D(i) получают одинаковое положительное действительное приращение, и вся кривая Михайлова без деформации передвигается направо, например, из положения 1 в положение 2 (рис.
6.35). Если увеличивать коэффициент усиления и дальше, то при некотором его предельном значении годограф Михайлова пройдет через начало координат, и система выйдет на границу устойчивости. Дальнейшее увеличение коэффициента усиления сделает систему неустойчивой.
Здесь возможно и обратное решение задачи, а именно, нахождение предельного коэффициента уси ления. Отрезок OM0 (рис. 6.35) соответствует предельному значению коэффициента (аn)пp, значение которого можно отсчитать и по первоначальному положению кривой Михайлова - отрезок М2 М0.
Оценить влияние параметров системы на ее устойчивость, можно и пользуясь критерием Найквиста. В качестве примера ниже рассмотрена система третьего порядка с тремя инерционными звеньями (рис. 6.36), в которой K1 K KW1 = ; W2 = ; W3 =.
T1s +1 T2s +1 T3s +W1(s) W2(s) W3(s) Рис. 6.36 Структурная схема системы с тремя звеньями Амплитудно-фазовые характеристики разомкнутой системы для различных значений коэффициента усиления k = K1 K2 K3 изображена на рис. 6.37, а.
Im Im а) б) AA M0 M0 AMЦ1 Ak < kпр Re Re k = kпр k > kпр Рис. 6.37 АФХ статической системы третьего порядка:
а - для различных коэффициентов усиления;
Pages: | 1 | ... | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | ... | 32 | Книги по разным темам