Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ... | 31 | При этом происходит процесс выравнивания концентраций, сопровождающийся переносом массы каждой из компонент в направлении убывания ее концентрации. Экспериментально установлено (Закон Фика) N dn /dz, где N число частиц, перемещающееся за единицу времени, а dn/dz - градиент концентрации в направлении оси z. Перепишем это соотношение в виде равенства, введя при этом размерный коэффициент D - коэффициент диффузии N = - D dn/dz S ([N] = c-1, [dn/dz] = м -4, [S] = м2 [D] = [м2/с]).
Здесь S - величина площадки, через которую происходит перенос молекул.
Рассчитаем число молекул, пролетающих через площадку S в единицу времени на одну координату и в одну сторону:
n
Тогда слева направо пролетает в единицу времени N1 = n1
Изобразим схематично вид сбоку (посмотрим сбоку на ситуацию) z- z+ z n1 nПоследнее соударение молекулы, перед тем как она долетит до площадки S, произойдет на расстоянии - средней длины свободного пробега. Тогда, если выбрать начало координат на S и направить ось z слева направо концентрации частиц будут являться функциями z вида n1 = n(z-), n2 = n(z+) и число молекул перелетевших через площадку в одну сторону за единицу времени может быть вычислено в виде N = N1 -N2 =
Замечание Пусть J = N/S тогда J = -D dn/dz Здесь J - плотность потока частиц, число частиц, пролетающих через единичную площадку в единицу времени. Пусть m0 - масса одной частицы Jm0 = M - масса всего переносимого вещества. Имеем nm0 = Nm0/V = M/V = - плотность вещества.
Получим соотношение M = -D d/dz.
Заметим в заключение, что в данном рассмотрении по сути дела речь шла о самодиффузии - перемешивании молекул одного и того же вещества (или молекул очень сходных по объему и массе).
з 3 Теплопроводность. Коэффициент теплопроводности Здесь речь идет о переносе потока тепла (или энергии). Пусть в газе каким-либо образом поддерживается в различных его частях различная температура. То есть имеется градиент температуры. В данном случае через единичную площадку пролетает одинаковое число молекул в обе стороны, но эти молекулы имеют разную кинетическую энергию, по известной формуле E = i kT/2.
Если в газе (или иной среде) создать вдоль некоторой оси (пусть z) градиент тепла, то там возникает поток тепла, стремящийся скомпенсировать создавшееся неравновесное состояние. Этот экспериментальный факт можно отразить зависимостями вида:
Q S t dT/dz, где Q - теплота или энергия (Дж), или q S dT/dz, где q=Q/t - мощность, поток тепла (Дж/с = Вт), или q dT/dz, где q=Q/t S - плотность потока (Дж/с м2 = Вт/м2).
Чтобы поставить знаки равенства необходимо ввести коэффициент, размерность которого определяется из формулы, например q = - S dT/dz, [] = Вт/м К.
Чтобы к этому процессу не примешивалась диффузия, необходимо сохранять неизменным число молекул пролетающих через площадку S. Тогда число молекул пролетающих за одну секунду в одну сторону равно:
N = n
Рассчитаем поток тепла, проходящего через площадку. Будем исходить из предположения, что каждая молекула переносит энергию равную E = i kT/2, соответствующую температуре в том месте, где произошло ее последнее соударение q = N
E1 Ez- z+ 0 z T1 TT1 = T(z-), T2 = T(z + ) T1 - T2 = T(z-) - T(z + ) = T(z) - dT/dz - T(z) - dT/dz = -2dT/dz.
При разложении в ряд Тейлора использована малость длины свободного пробега по сравнению с расстоянием, на которое происходит перенос тепла.
q = -(1/3)n
i - число степеней свободы, k - постоянная Больцмана, n - концентрация, M - масса одного моля, m - масса, NA - число Авогадро, R - газовая постоянная, Cv - молярная теплоемкость, cv = Сv/M - удельная теплоемкость, - плотность вещества.
Таким образом, для мощности при переносе тепла имеем выражение q = - (
Заметим также, что данный расчет и полученные формулы справедливы для молекул сходных по размерам.
з 4 Динамическая вязкость. Коэффициент вязкости В данном случае происходит перенос импульса молекулами за счет так называемых сил внутреннего трения. Чтобы понять суть происхождения внутреннего трения, рассмотрим два соприкасающихся слоя вещества некоторой толщины z z K1 uz K2 um = m1 = mu1, u2 - скорости упорядоченного движения слоев, а K1, K2 - импульсы слоев. Запишем переносимый импульс двумя способами K* = - St du/dz, ([K] = кг м/с, [] = Н с/м2 = Па с) K=K*/t K =- S du/dz, ([K] = кг м/с2).
Здесь - коэффициент, уравнивающий левую и правую части. Используем далее последнее выражение. Через площадку S в единицу времени из одного слоя в другой переходит число молекул N = n
Переходя из одного слоя в другой, молекула либо теряет, либо приобретает импульс, а также и весь слой (через одну частицу - ближайшему окружению и далее - всему слою). Запишем величину импульса, передаваемого в единицу времени через площадку S K=Nmu=n
Свое последнее соударение молекула претерпевает на расстоянии свободного пробега z u(z+ ) u(z) K = n
nm = Nm/V = M/V= (m - масса одной молекулы, М-масса, V - объем) K = -
Приведем сравнительную таблицу явлений переноса Изменяющаяся величина Градиент Название явления (в единицу времени) (коэффициент) Число частиц концентрации Диффузия N,с-1 dn/dz, м-3/м (D) Энергия частиц температуры Теплопроводность q, Дж/с dT/dz, K/м () Импульс частиц скорости Вязкость K, импульс/с = кг м/с/с du/dz, м/с/м () з 5 Перенос заряда В среде со свободными носителями заряда (электронный газ в металле или полупроводнике, ионы в газе или жидкости) приложим в направлении z слабое однородное электрическое поле E. Пусть jz - средний электрический заряд, пересекающий в единицу времени единичную площадку в направлении z.
jz называют плотностью электрического тока или плотностью потока зарядов [jz] = Кл /м2с. Пусть q - заряд одной частицы, N - число частиц, пролетающих через единичную площадку в единицу времени, тогда jz = Nq.
С другой стороны jz E. Чтобы поставить знак равенства необходимо ввести коэффициент jz = q E. (1) Этот коэффициент пропорциональности q называется удельной электрической проводимостью вещества. Заметим аналогию N = n
Запишем уравнение движения частицы согласно 2-го закона Ньютона mdv/dt = qE, после интегрирования - v = qEt/m + v0.
Произведем усреднение. Тогда v0 = 0, как скорость в начальный момент времени, t = - среднему времени свободного пробега, а v заменяется на
Приравняем правые части (1) и (2) и подставим туда значение дрейфовой скорости q E = q nq
Отсюда получим значение удельной проводимости, выраженное через микроскопические параметры q = q2nq/m.
Так как = /
Глава 5 Гидродинамика з1 Понятие о гидродинамике 1.1 Модель сплошной среды одержание гидродинамики составляет изучение движения жидкостей. Все рассуждения, как правило, справедливы и для газов, хотя С здесь используется другое название - аэродинамика. Субстанция рассматривается при этом как сплошная среда. Если в гидродинамике говорят о смещении некоторой частицы, то речь идет не о смещении отдельной молекулы, а о смещении целого элемента континуального объема. При этом, сколь маленький объем ни взять, в нем частичек предполагается актуально много (столько, сколько нам нужно), чем и хороша такая идеализация частичек, которые и сами в свою очередь состоят из воображаемых частичек всегда в достаточном количестве. Элемент такого объема можно рассматривать как точку, имеющую массу. Характеристиками жидкости здесь являются скорость v = v(x,y,z,t), давление P = Р(x,y,z,t), плотность = (x,y,z,t).
Подчеркнем, что скорость (давление, плотность) рассматриваются в каждой данной точке пространства с координатами (x,y,z) в момент времени t и относится не к частицам жидкости, а к точкам пространства. Температуру можно считать как неизменной, так и любой удобной для данного рассмотрения.
Плотность считаем неизменной вдоль всего объема жидкости и в течение всего времени движения. Иначе говоря, жидкость у нас несжимаемая. Сжимаемостью называется способность вещества (тела) изменять свой объем под действием всестороннего давления.
клапан Сжимаемость = (V/P) - изотермическая, адиабатическая. Пользуются понятием сжимаемости в виде = - V/VP, Па-1. Для примера в таблице приведены коэффициенты сжимаемости некоторых жидкостей Вещество P, атм tC, 10-6 атм-H2SO4 0 1-16 302,C2H5OH 20 1-50 Hg 20 1-10 3,1.2 Уравнение непрерывности Пусть имеем объем V0, тогда масса жидкости в нем m = dV. (1) V Пусть f - площадь поверхности, ограничивающей объем V0, а df - векторный элемент этой поверхности (с направлением вне (+) или во внутрь (-) ).
v d f Здесь v - длина в единицу времени, тогда dV0 = v df, dm = dV0 = v df, m = v df. (2) f Здесь m - масса вытекающей из объема V0 жидкости или втекающей в него, а f - замкнутая поверхность, ограничивающая объем V0. Выражение (2) характеризует массу жидкости, заключенную в данном объеме.
Получим из (1) массу, меняющуюся со временем в данном объеме жидкости dm/dt = d[ dV]/dt.
Тогда d[ dV]/dt + v df = V0 f На основании теоремы Остроградского-Гаусса преобразуем интеграл по замкнутой поверхности в интеграл по объему ( g ds = div g dV), где div g = g i /dxi, g i - компонента данного s V i =вектора, xi - компонента радиус вектора.) v df = div (v) dv f Vd[ dV] /dt + div (v) dV = [/t + div (v)] dV = V0 V0 VТак как V0 - произвольный объем, то и /t + div (v) = 0.
Получено так называемое уравнение непрерывности. В данном случае оно характеризует закон сохранения вещества. Часто используют v = j - плотность потока, [j] = кг/м2с. В нашем случае плотность потока массы жидкости (а может быть: газа, частиц и т.п.).
1.3 Об уравнении Эйлера Имеем определение давления P = dF/dS продифференцируем обе части по оставшейся координате | d/dx dP/dx = dF/dV = Fед. об..
Здесь Fед.об. - сила, приходящаяся на единичный объем, учтем ее векторный характер Fед.об. = Fxi + Fyj + Fzk = (P/x) i + (P/y) j + (P/z) k = grad P.
В состоянии равновесия Fед.об. = grad P.
Если равновесия нет, то можно записать уравнение движения согласно второму закону Ньютона dv/dt = Fед.об. - grad P, где v - скорость единицы объема, а если учесть и силу веса жидкости, имеем:
dv/dt = Fед.об. - grad P + g.
Полученное выражение носит название уравнения Эйлера.
1.4 Теорема неразрывности струй Картина тока жидкости представляется полем вектора скорости. Каждая линия тока является касательной к вектору скорости в данной точке. Густота линий тока пропорциональна величине скорости. Часть жидкости, ограниченная линиями тока называется трубкой жидкости. Вектора скорости не пересекают стенок трубки тока как касательные к ним.
S1 vS2 vОпределение теоремы неразрывности струй:
S v = cst Произведение величины сечения, проведенного через трубку тока в произвольной ее точке на среднюю скорость жидкости в этом сечении,есть величина постоянная.
Следовательно S1v1 = S2v2 =... = Sivi =...
з 2 Уравнение Бернулли Вообще говоря, течение жидкости в трубке тока может быть произвольным. Течение жидкости называется стационарным или установившимся, если вектор скорости в каждой точке пространства текущей жидкости остается постоянным.
Рассмотрим трубку со стационарным течением. Пусть трубка ограничена стенками и сечениями S1 и S2. За время t сечения переместятся на длины l1 и l2.
l Slh1 S2 hЗдесь h1 и h2 - высоты центров масс элементов объемов трубки тока над заданным уровнем. Согласно теореме о неразрывности струй S1v1 = S2v2, S1l1/t1 = S2l2/t2, но так как t1 = t2 S1l1 = S2l2 V1 = V2.
То есть элементарные объемы жидкости, образующиеся около сечений S1,Sза один и тот же промежуток времени равны друг другу.
1. Рассчитаем кинетическую энергию элементарных объемов K1 = m1v12/2 = V1 v12/2, K2 = V2v22/2. Рассчитаем потенциальную энергию относительно заданного уровня W1 = m1gh1 = V1gh1, W2 = V2gh2.
Для того чтобы рассчитать полное приращение энергии при переходе жидкости от объема V1 к объему V2 сложим кинетическую и потенциальную составляющие и найдем разность энергий между вторым и первым состояниями E = E2 - E1 = V2v22/2 + V2gh2 - V1v12 - V1gh2.
Данное приращение энергии должно равняться совершаемой над объемом работе при его перемещении. Работа давления на боковые стенки равна 0 (здесь перемещения нет). Остается работа за счет разницы давлений на торцах.
A = P1S1l1 - P2S2l2 = P1V - P2V, E = A v22/2 + gh2 - v12/2 - gh1 = P1 - P2.
Произведено сокращение на элементарный объем, который в данном случае остается одинаковым.
v22/2 + gh2 + P2 = v12/2 + gh1 + P1.
Так как сечения выбирались произвольно, то v2/2 + gh + P = cst. (1) Это выражение будет точным при S 0.
Определение В стационарно текущей жидкости в отсутствие внутреннего трения вдоль любой линии тока справедливо уравнение (1), которое называется уравнением Бернулли.
Уравнение Бернулли хорошо выполняется и для реальных жидкостей.
Следствие.
При h1 = h2 (случай горизонтальных линий тока) уравнение имеет вид v12/2 + P1 = v22/2 + P2.
Тогда, если v1 > v2, то P1 Пример: Водоструйный насос жидкость здесь P з 3 Ламинарное и турбулентное течения Рассмотрим течение жидкости по трубе. аминарное (слоистое): жидкость разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга не перемешиваясь, течение стационарно. Турбулентное: жидкость энергично перемешивается во всех направлениях (Р. Осборн, английский физик 1842-1912). Книги по разным темам