1 РГАТА Кафедра экономики Э.А. Михайлова, А.О. Смирнов Методы нахождения оптимального управления экономическими системами Пособие для практических занятий по курсу Теория оптимального управления экономическими системами (для студентов

Книги по разным темам Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | РГАТА Кафедра экономики Э.А. Михайлова, А.О. Смирнов Методы нахождения оптимального управления экономическими системами Пособие для практических занятий по курсу Теория оптимального управления экономическими системами (для студентов специальностей Информационные системы в экономике, Экономика и управление на предприятиях машиностроения, для слушателей ФПК) Утверждено на заседании кафедры экономики л_ 199г.

Зав. кафедрой _ _ Денисов А.П.

Рыбинск 1998 3 В В Е Д Е Н И Е Теория оптимального управления - научная дисциплина, позволяющая найти наилучшее решение по заранее установленному критерию с учетом заданных ограничений. Наиболее точный и строго обоснованный оптимум позволяет получить метод Понтрягина. Но применение данного метода требует решения системы дифференциальных уравнений или использование вариационного исчисления, что сопряжено со значительными вычислительными трудностями и далеко не всегда позволяет автоматизировать процесс вычислений.

Поэтому для практического нахождения оптимального управления экономическими системами разработаны специальные методы, упрощающие процесс вычислений, без существенной потери точности и ориентированные на использование вычислительной техники.

В данном пособии рассмотрены наиболее широко используемые методы нахождения оптимального управления экономическими системами для процессов, представленных в виде одношаговых (детерминированных) и многошаговых (динамических) задач. В каждом разделе дан необходимый теоретический материал, рассмотрены примеры решения экономических задач и приведены задачи для самостоятельной работы.

1 Линейное программирование - метод решения одношаговых задач оптимального управления В практической деятельности организаций бизнеса наиболее часто приходится решать задачи, связанные с распределением ресурсов (труда, сырья, материалов, оборудования, денежных средств). Обычно размеры ресурсов ограничены, поэтому возникает необходимость оптимального использования имеющихся ресурсов для достижения определенной цели управления. Например, если компания выпускает несколько видов продукции с использованием одного и того же оборудования и трудовых ресурсов, то нужно решить, какое количество продукции каждого вида производить, чтобы получить наибольшую прибыль, или максимизировать время использования оборудования, или минимизировать затраты труда и т.д.

Подобные задачи являются фактически одношаговыми задачами оптимального управления. В них обычно не рассматриваются методы реализации принятого решения, т.е. определяются не величина и характер управляющего воздействия U, а непосредственно значение переменной состояния системы Х, которое обеспечивает наилучшее достижение цели управления. Ограничимся рассмотрением только детерминированных задач. В этом случае целевая функция (критерий качества управления) будет зависеть только от состояния объекта управления q = q(x1,x2,... xn), где x1,x2... xn - значение переменных состояния системы, n- количество состояний.

Методы решения одношаговых детерминированных задач получили название математического программирования. Простейшим случаем является линейное программирование, когда целевая функция и ограничения представляют собой линейные функции от x1,... xn.

В задаче линейного программирования целевая функция n q(x1,... xn) = bjxj (1) j=n и система ограничений ai j xj 0, i=1,... m (2) j=представляют собой линейные функции от x1,... xn.

Требуется найти неотрицательные значения переменных x1,... xn, которые обращают в минимум (максимум) целевую функцию (1) и удовлетворяют системе ограничений (2) Для постановки задачи линейного программирования необходимо:

1) определить переменные, значения которых нужно получить;

2) установить цели и выразить целевую функцию через переменные;

3) определить ограничения на ресурсы и представить их через переменные.

1.1 Графический метод решения задач линейного программирования Рассмотрим применение данного метода на конкретном примере.

Пример Компания производит два типа деталей для автомобилей X1 и X2. Для производства одной детали типа X1 требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа X2 - 2 чел.-ч. Компания располагает фондом рабочего времени 4000 чел.-ч. в неделю. Производственные мощности позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа X1 и 1750 деталей типа X2 в неделю. Каждая деталь типа X1 требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа X2 необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг лис- тового железа. Запас каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа X1 своему постоянному заказчику. Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общую прибыль за неделю, если прибыль от производства одной детали типа X1 составляет 30 усл. ед., а от производства детали типа Х2 - усл. ед. Решение:

Сформулируем задачу линейного программирования.

1) Введем переменные X1 - количество деталей типа X1, которые нужно выпустить за неделю;

X2 - количество деталей типа X2, которые нужно выпустить за неделю.

2) Целевая функция - прибыль, получаемая за неделю q=30x1+40x2 max 3) Ограничения на производственный процесс.

Требуемый фонд рабочего времени 1x1+2x2 Требуемая производственная мощность x1 2250, x2 Требуемое количество металлических стержней 2x1 + 5x2 Требуемое количество листового металла 5x1 + 2x2 Постоянные заказы x1 Условие неотрицательности x1 0, x2 0.

В случае, когда используются две переменные, наиболее удобным методом является графический. Он основан на известных положениях о том, что линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой, а линейное неравенство - некоторую область на плоскости.

Указанные ограничения представлены на рисунках. Штриховкой показаны допустимые области.

Рис. 1.X2, тыс. шт.

Рис. 1.X2, тыс. шт.

Рис. 1.X2, тыс. шт.

Рис. 1.X2, x1 = тыс. шт.

Рис. 1.X2, тыс. шт.

Рис. 1.На рис. 1.6 показана целевая функция для условных значений x1=1, x2=1, q=7000 и x1=3, x2=3, q=25000. Чем дальше целевая функция от 0, тем больше ее значение.

Объединим все ограничения на рис. 1.7.

Рис. 1.В соответствии с рис. 1.7 максимальную прибыль можно получить при пересечении целевой функцией точки А, т.е. оптимальным будет выпуск 1500 деталей типа х1 и 1250 деталей типа х2. При этом прибыль равна q= 30 150 + 40 1250 = Очевидно, что при таком решении не все ресурсы используются полностью. Поэтому целесообразно более тщательно проанализировать возможности полного использования ресурсов и предусмотреть меры для их наилучшего применения. Это позволяет выполнить, так называемый, анализ чувствительности.

1.2 Анализ чувствительности задач линейного программирования Существуют три аспекта решения задач линейного программирования, которые необходимо тщательно изучать:

- воздействие дополнительного количества лимитирующего ресурса;

- воздействие дополнительного количества нелимитирующих ресурсов;

- воздействие изменений в коэффициентах целевой функции.

Изучение данных аспектов особенно важно для управления экономическими системами, т.к. позволяет находить не только оптимальное решение для конкретных условий, но и прогнозировать дальнейшее развитие системы, определять оптимальное решение при изменении ресурсов.

Проведем анализ чувствительности на основе примера 1. В соответствии с рис. 1.7 два ресурса - фонд рабочего времени и листовой металл - расходуются полностью. Эти ограничения называются лимитирующими. Однако для обоих типов деталей остается неиспользованной часть производственных мощностей и металлические стержни.

Представим систему ограничений примера 1 в виде уравнений. Для этого в каждое ограничение введём дополнительную переменную Si. Принимая неотрицательность Si, т.е. Si 0, Si прибавляются к левым частям всех ограничений вида Д Ф (остаточная переменная) и вычитаются из левых частей при знаке Д Ф (избыточная переменная).

Система уравнений имеет вид:

x1 + 2x2 + S1 = x1 + S2 = x2 + S3 = 2x1 + 5x2 + S4 = 5x1 + 2x2 + S5 = x1 - S6 = При найденных значениях x1 = 1500, x2 = 1250, S1 = 0 и S5 = 0 - это лимитирующие ограничения.

Значения остаточных переменных следующие:

S2 = 750, S3 = 500, S4 = Избыточная переменная:

S6 = 1.2.1 Воздействие дополнительного количества лимитирующего фактора Поскольку один или несколько ресурсов используются полностью, значение целевой функции ограничено. Если появляется дополнительное количество лимитирующего ресурса, то оптимальное решение может быть улучшено. Однако необходимо принять во внимание, что изменение оптимального решения приведет к улучшению значения целевой функции только в том случае, если сумма дополнительных издержек по обеспечению дополнительным количеством ресурса не превышает сумму прибыли, полученной в результате его использования. С увеличением объема лимитирующего ресурса соответствующее ограничение становится менее жестким. Так как жесткость лимитирующего ограничения постепенно снижается, его график будет перемещаться параллельно своему начальному положению, одновременно будет происходить перемещение оптимальной крайней точки в направлении, которое улучшает значение целевой функции. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока какой-либо другой ресурс не будет полностью использован и рассматриваемое ограничение перестанет быть лимитирующим. Величина, на которую увеличивается значение целевой функции при снижении жесткости лимитирующего ограничения на единицу, т.е. при увеличении количества лимитирующего ресурса на единицу, называется теневой ценой ресурса. Теневая цена ресурса - это стоимость единицы данного ресурса в оптимальном решении. Увеличение объема лимитирующего ресурса на единицу целесообразно только в том случае, если существует возможность его получения по стоимости, которая ниже, чем теневая цена данного ресурса. Из примера 1 следует, что лимитирующими являются ограничения на фонд рабочего времени и на листовой металл. Рассмотрим сначала последнее из указанных ограничений. Обратимся к графику, изображенному на рис. 1.7. Жесткость ограничения на листовой металл снижается по мере перемещения линии ограничения параллельно ее исходному положению в противоположном направлении от начала координат. Допустимое множество расширяется, а оптимальная крайняя точка перемещается вниз по линии ограничения на фонд рабочего времени, что увеличивает X1 и уменьшает X2. Снижение жесткости ограничения на листовой металл является эффективным до тех пор, пока линия ограничения не достигнет точки пересечения ограничений на фонд рабочего времени и производственные мощности для деталей типа X1, т.е. точки B.

Если и далее снижать жесткость ограничения на листовой металл, оно перестает быть лимитирующим, что приведет к появлению остатка в виде неиспользованного листового металла.

Новой оптимальной крайней точкой является теперь точка B. Координаты точки B можно определить, решив систему уравнений для ограничений на фонд рабочего времени и производственные мощности для детали X1.

Фонд рабочего времени: x1 + 2x2 = 400 чел.-ч в неделю;

производственные мощности для Х1: x1 = 2250 деталей в неделю.

Так как x1=2250, то, подставив его в первое уравнение, найдем значение x2:

2250 + 2x2 = 4000;

следовательно, x2 = 875 деталей.

Новым оптимальным ассортиментным набором является производство 2250 деталей типа X1 и 875 деталей типа X2 в неделю. Этот ассортиментный набор дает максимальный доход, равный 302250 + 40 875 = усл.ед. в неделю, таким образом, увеличение дохода составит: 102500 - 9500 = 7500 усл.ед. в неделю. Количество листового металла, используемое для производства данного ассортиментного набора, равно:

5 2250 + 2 875 = 13000 кг.

Оно превышает начальное количество на 3000 кг в неделю. В новой оптимальной точке фонд рабочего времени и производственные мощности для деталей Х1 используются максимально.

Дополнительное количество листового металла - 3000 кг - позволяет получать дополнительный доход, равный 7500 усл.ед. в неделю, следовательно, теневая цена данного ресурса составит: 7500 : 3000 = 2,50 усл.ед. за кг. Каждый дополнительный килограмм листового металла ведет к увеличению еженедельного дохода 2,50 усл.ед. Из этого следует, что сверхнормативный запас этого ресурса целесообразен только в случае, если стоимость получения любого дополнительного количества ресурса не превышает 2,50 усл.ед. за 1 кг ресурса.

Предположив, что ограничение на листовой металл остается неизменным, применим аналогичную процедуру ко второму лимитирующему ограничению.

Если жесткость ограничения на фонд рабочего времени снизилась на единицу, т.е. появилась возможность использовать 1 чел.-ч рабочего времени дополнительно, то тогда данное ограничение принимает вид:

x1 + 2x2 4001.

Данное ограничение параллельно первоначальному, но его линия находится дальше от начала координат по сравнению с исходной линией. Из приведенного выше графика легко видеть, что точка пересечения ограничения на листовой металл и нового ограничения на фонд рабочего времени все еще является оптимальной крайней точкой. В данном случае оптимальным решением яв- ляется точка с координатами x = 1499,75 и y = 1250,625, что приводит и к значению целевой функции Pmax = 95017,50 усл.ед. Таким образом, значение целевой функции увеличилось на 17,50 усл.ед. Теневая цена фонда рабочего времени составляет 17,50 усл.ед. за 1 чел.-ч. Если можно получить один дополнительный час рабочего времени за дополнительные 17,50 усл.ед. или менее, то это необходимо использовать. Если же стоимость 1 чел.-ч превышает 17,50 усл.ед., то дополнительное количество рабочего времени использовать нецелесообразно.

Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 |

Книги по разным темам

Blog