Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |   ...   | 11 |

2 dV V (1) + k = gA, (7.10) 2d ( ) v k = 0.25 + + A2. (7.11) 161 a12 Возвращаясь с помощью (7.3) и (7.5) к исходной переменной t, получим:

2 dV V (1) + 4k = gA, (7.12) dL L dL = 81 aV. (7.13) dt Решение последних уравнений представляется в интегральной форме:

L L0 4k ( ) V = V02 + AL-4k gL4kdL, (7.14) L LL 1 dL t = (7.15) 8a1 L0 V Здесь ради общности положено, что в начальный момент есть область турбулентного перемешивания L0 c начальной турбулентной скоростью V0 :

t = 0; V = V0 ; L = L0. (7.16) Заметим, что система обыкновенных дифференциальных уравнений (7.12)Ц(7.13) сводится к одному уравнению второго порядка:

& & dL2 L2 + 4k = 321 a2(1)gA, & Ldt L где означает дифференцирование по времени. Тем самым получаем ( ) замкнутое уравнение для определения ширины области перемешивания, содержащее две эмпирические постоянные a и v. Напомним, что параметр k, согласно (7.11), зависит от a, v и A.

2 Точное решение при кусочноЦпостоянном ускорении. Неустойчивость РихтмайераЦМешкова.

Этот вид неустойчивости получается при прохождении через границу раздела ударной волны. В рамках рассмотренной выше модели возникающее перемешивание будем характеризовать числом Атвуда, устанавливающимся после прохождения ударной волны, и Цобразным ускорением, сообщающим границе некоторую скорость U0 :

U0 = gdt.

Обратим внимание на действие генерационного члена 2 = g, x который работает как источник только в случае его положительного значения. Если ускорение изменяется плавно, то отрицательное его значение приводит к убыванию энергии. При перемешивании, вызванном ударной волной, неустойчивость возникает при любом знаке выражения g, поэтому при - образном законе ускорения генерационный член x следует брать по модулю:

2 = g, x если g - Цфункция. Поскольку неустойчивость РихмайераЦМешкова связана с ударной волной, следует учитывать сжимаемость. Поэтому здесь нужно вспомнить выражение для инкремента 2 в общем случае сжимаемого газа - формула (3.9). Для удобства перепишем ее вновь:

ln g2 =-g0 -, x cгде c0 - скорость звука в газе, g0 - ускорение. Заметим, что если gдостаточно велико, а c0 - конечно, то второй член в инкременте будет преобладающим и неустойчивость будет иметь место всегда не зависимо от знака ускорения, т.к. в этомслучае 2 < 0.

Получим решение для ударной волны из общего решения (7.14), (7.15), построив его для ускорения, заданного ступенчатой функцией g0, t R g = (7.17) S0, t0>t0, t0, T а затем найдем предел при условии, что lim g0t0 = U0.

tВначале рассмотрим нулевые начальные данные:

t = 0; L0 = V0 = 0.(7.18) Тогда из (7.14) и (7.15) следует аналитическое решение:

1 g0AL ( ), 0 t t0, 21 1+ 4k ( ) V = (7.19) L10 4k V12, t > t0, L 8a21 1 g0 At( ), 0 t t0, 1+ 4k L = (7.20) B 2 t - t( ) L10 1+, t > t0, Bt 2 8a21 1 g0At0 2a 1 g0At( ) ( ) L10 =, V1 = ; B =.

1+ 4k 1+ 4k 1+ 2k Очевидно, если lim g0t0 = U0, то t2a1 AUb g lim V1 =. (7.21) t00+ 1+ 4k Если теперь предположить, что граница раздела имеет начальную шероховатость, эффективно характеризуемую начальной шириной L0, то проходящая ударная волна приведет к появлению турбулентной скорости шероховатой зоны, равной V1 L0 = 2 1 AU0. (7.22) ( ) ( ) Этот результат следует из соотношения:

L O 1 g0A b g L0 1+4k F I V =, (7.23) H K 21 1+ 4k L b gLM1-G J P M P N Q являющегося решением уравнения (7.12). Вблизи точки L = L0; V L0 = 0 решение (7.23) можно приближенно заменить ( ) следующим:

( ) V g0A L - L0.

( ) Тогда ширина L вблизи L0 представляется выражением:

L = L0 + 8a21 1 g0At2.(7.24) b g С учетом того, что g0t0 U0, получим (7.22).

Следовательно, имеем интервал значений V1 L0,U0 от (7.21) до ( ) (7.22). Определенное значение скорости V1 получается зависящим от b g U0tпараметра =, где t0 - некоторое время, которое можно трактовать Lкак время прохождения ударной волной области шириной L0. Получим общую формулу для определения V1 L0,U0 = V1. Для этого в (7.23) ( ) ( ) Uзаменим g0 = и введем параметр :

t-( ) 1+4k V1 ( ) A1 L10 L= 1-.

U0 21 1+ 4k L0 L( ) Значение L10 = L t = t0 определим из (7.15), подставляя вместо V ( ) приближенное решение:

1 A L L 1+ 4k -1, < ;

21 L0 L0 4k V = U0 1 A L L 1+ 4k, >.

21 1+ 4k L0 L0 4k ( ) Полученное приближение наглядно демонстрируется на рис.7.3, где решение (кривая (1)) заменено двумя прямыми (2) и (3).

Рис. 7.2. Точное решение (1) заменено двумя отрезками прямых (2) и (3).

Окончательно имеем:

2 1+ 81 1A, если A 2 2 ;

32k1 L = L0 4k 1A + 4, если A.

2 1+ 4k 2 1+ 4k 32k1 ( ) После ударной волны перемешивание будет развиваться согласно решению:

2k L V = V1, (7.25) ( ) L B 81 aV1 t - t( )( ) L = L10 1+. (7.26) BL Отметим одну важную особенность полученного решения: в случае перемешивания РихтмайераЦМешкова ширина области перемешивания существенно зависит от начальной шероховатости L0, в отличие от перемешивания РелеяЦТейлора, когда при L0 0 решение стремится к автомодельному закону [(7.20), 0 t t0 ]. В рассмотренном случае (7.26) при L0 0 решение стремится к тривиальному за счет того, что L10 0.

3 Влияние начальных данных на развитие турбулентного перемешивания при постоянном ускорении Установим зависимость решения от начальной ширины перемешивания L0, когда ускорение g0 постоянно. Как только что было отмечено, при L0 0 решение стремится к автомодельному.

Выпишем решение (7.14) для постоянного ускорения g0 в общем случае произвольных (ненулевых) начальных данных (7.16):

1 g0AL 1 g0AL0 4k ( ) ( ) LV =+ -.

V 21 1+ 4k 21 1+ 4k L ( ) ( ) Определим в явном виде зависимость скорости V от ширины L и подставим в уравнение для ширины (7.13) V 1 AL0 4k 1 AL dL ( ) L0 ( ) = 81 - +.

g0 21 1+ 4k L 21 1+ 4k d 2s ( ) ( ) (7.27) Очевидно, что при L0 0 решение стремится к автомодельному, чего нет 1 ALV02 ( ) при импульсном законе ускорения. Если =, то уравнение g0 21 1+ 4k ( ) (7.27) имеет решение 1 A ( ) L = L0 + 4 s (7.28) 1+ 4k В случае, если V0 0 и умеренных значениях безразмерного параметра Vg0Lвыход на решение (7.28) происходит довольно быстро в силу того, что, как будет показано ниже, степень 4k велика: 4k = 5. Выше были представлены рассуждения в рамках приближенного рассмотрения V = 0. На рис.7.3 нанесены решения, полученные путем интегрирования x исходной системы уравнений (5.4), (5.5) при следующих параметрах: A = 0.5; k =1.25; = 0.2; 2 = 0 для V0 = 0 и трех значений L0: 01; 0.45; 0.5.

.

Рис. 7.3. Выход решения на автомодельный режим в зависимости от L0 в переменных L, s, A = 0.5; k = 1.25.

() Установление линейного закона в переменных L, s происходит довольно быстро.

4 Роль параметра 2.

Ниже будет изучено влияние постоянной 2 на свойства решения и показано, что если 2 положить 1, то роль ее несущественна, и может проявляться только при значительных перепадах начальной плотности, т.е.

при числах Атвуда, близких к 1.

Вернемся к уравнению (5.5) и усредним его с учетом того, что 2 0.

Собственно это приведет к тому, что уравнение (7.10) останется в том же виде, только вместо коэффициента k, определяемого формулой (7.11), теперь следует взять другое k, обозначим его через k :

21 22 2 ( ) % k = 0.25 + + A2 - 1 A4.

2 161 12 Очевидно, что при 2 1 роль последнего члена при малых A пренебрежимо мала. Она не существенна и при A = 1, поэтому часто полагают 2 = 0, что мы раньше в з6 и делали. Хотя в будущем при богатом экспериментальном материале этот член может потребоваться.

5 Учет несимметрии турбулентного перемешивания.

5.1 Определение несимметрии турбулентного перемешивания Эксперименты и расчеты по полной модели показывают, что турбулентное перемешивание происходит несимметрично: интенсивность перемешивания в сторону легкого вещества больше интенсивности перемешивания в сторону тяжелого.

LРис. 7.4. Несимметрия перемешивания в зависимости от отношения плотностей L =.

LНа рис. 7.4 нанесена несимметрия в зависимости от перепада Lплотностей =, полученная в опытах ЯнгсаЦРида [ ], Кучеренко - Пылаева [ ] и расчетно по k Цмодели [ ]. Некоторые различия между результатами могут объясняться разными способами определения фронтов перемешивания.

Если ориентироваться на результаты опытов КучеренкоЦПылаева [ ], в которых измерялся профиль плотности, а ширину перемешивания определять эффективно (интегральным способом, описанным выше (7.2)), то получим формулу L2 0.= 1+ A. (7.29) ( ) LНа рис. 7.4 значения по этой формуле обозначены пунктиром. Известно [см.

з 6], что если ширины L2 и L1 определять по объемной концентрации fi в точке 0.1, то несимметрия будет изменяться в интервале 1;1.15.

[ ] Принятая нами формула (7.29) будет отвечать фронтам турбулентного перемешивания, определяемых по объемной концентрации 0.01 0.02.

5.2 Приближенные уравнения Будем рассматривать задачу о перемешивании двух веществ с плотностями 1 при x > 0 и 2 при x < 0 при заданном ускорении g = g t, ( ) являющимся функцией времени. Можно построить аналитическое решение, предположив, что коэффициент турбулентной диффузии D является кусочноЦпостоянной функцией с разрывом в точке x = 0 :

LV, если x > 0;

D = (7.30) LV, если x < 0, где V - среднее значение турбулентной скорости по области перемешивания [-L2, L1, 2 - новый эмпирический коэффициент, ] определяемый выше. В п.1 настоящего параграфа в (2.4) полагалось, что коэффициент 2 = 1. Это приводило к симметричному перемешиванию, при котором L1 = L2.

Настоящее уточнение позволяет обеспечить необходимую несимметрию перемешивания, определяемую из эксперимента (или расчетно) через число Атвуда:

0.2 = 1+ A (7.31) ( ) При таком предположении уравнение для плотности смеси (5.4) сводится к линейному уравнению диффузии с разрывным коэффициентом, а решение для двух несжимаемых жидкостей с начальными плотностями и 2 представляется через интеграл вероятности :

= при x > 0, x = 2 при x < 0, (7.32) x = LV t.

= 0 + 1 - 0, если > 0, ( ) ( ) = 0 + 0 - 2, если < 0, () ( ) 1 + 2 - z0 =, = e dz, 1+ (7.33) x =, если x > 0, x =, если x < 0.

2 Полученное решение (7.33) не имеет явно выраженного фронта, по которому можно было бы определить ширину области перемешивания.

Поэтому фронт турбулентного перемешивания определяется, как и раньше, эффективно. Для этого вводятся объемные концентрации: f1 и f2 (см.

(7.2)). По этим величинам предлагается интегральный способ определения ширин L* и L* :

1 f1dx f2dx L* = 2; L* = 2. (7.34) f1 0 f2 ( ) ( ) - Используя решение (7.33), получим L1 = 21 ; L2 = 21 2 ; 1 = ; L = 1+ 2 L1.

() Здесь и далее значок * опущен.

Осталось получить уравнение для средней турбулентной скорости V t. Вернемся к уравнению (5.5) и осредним его по всей области ( ) перемешивания. Это дополнительное предположение упрощает получение аналитического решения и, как показывает последующий анализ, вполне оправдано.

V Ввиду того, что положено = 0, диффузионный член с x коэффициентом может быть опущен. Присутствующий в других членах уравнения (5.5) коэффициент D будем считать разрывным согласно (7.30).

Так как полагаем скорость V постоянной по всей области перемешивания, то это предположение для упрощения уравнения (5.5) вполне оправдано.

Необходимая несимметрия в перемешивании достигнута введением разрывности (7.30) в коэффициент D для уравнения диффузии (5.3). Также в уравнении (5.4) временную производную заменим согласно (5.5а).

Разрешим (5.5) на D+ = LVn, перейдем к переменной :

2 2 V V D D 1 D V 1 D ln += g + - V + V + 2 L2 D+ D+ x 2 D+ x x 3 D+ x ln D ln 2 2 + LV 3 D+ x (7.36) Как и раньше, здесь = LV t. Чтобы получить среднее значение V t проведем осреднение уравнения (7.36) по области перемешивания ( ) -L2 x L1. Имеем:

2 2 2 4 21 A0 MV d V M ( ) ( ) V M MA0V += g 1 2 1 - 2 X + ( ) ( )p 2d L2 12 (7.37) где LM = dx = 21 1 + 2 2 (7.38) () -L1 - 2 0.45 1 - A0 = ; 2 = 1+ A ; A =.

( ) 1 + 1 + 2 (7.39) A0 2 2 -1 () 1 X = 2 ;

p 4 ( ) 1+ () 2 + 2 + A0 21 (1- 2 ) 22 X0 =.

При выводе (7.37) были использованы следующие приближенные вычисления:

LD 1+ а) V dx = V M ;

D+ 1+ -LL D б) g 2 dx = gA010 2 1+ 2 ;

() x D+ -LL V в) dx 0 ;

x x -LL г) V dx = 0 ;

-Lд) L1 L1 21 A0 MV ( ) ln D ln D V dx = V dx X x D+ x D+ p 4 -L2 -L;

L1 4 2 ln D A01 MV е) V dx = X0 ;

x D+ 32 1+ 2 -L() L ln 2 ln ln ж) V - 2 dx = 0.

x -L Следует также заметить, что при выводе формул д) и е) положено 21 1, а также ( ) 1 1 1 -22-42 -e ()d 4 ; e ()d 4 ; e d 21 ;

00 Перепишем уравнение (7.37), преобразуя его к привычному виду (7.10):

2 dV V ( ) + ky = gA0 2. (7.40) 2d Здесь коэффициент ky имеет следующее значение:

2 1+ ( ) ( ) 21 2 1 ky = 0.25 + + A0 X - A0 Xp 2 4 1 1+ 2 12 () (7.41) Далее, как и раньше, согласно (7.32), вернемся к исходной переменной t, а в уравнении (7.40) от перейдем к L. Получим:

2 1 gAdV V ( ) + 4ky = ;

dL L 1 1+ () (7.42) dL = 21 1+ 2 V.

() dt Очевидно, что в предположении симметричного перемешивания 2 = 1 и уравнения (7.42) переходят в уравнения (7.12) и (7.13).

5.3 Учет дополнительного ускорения. Выбор постоянных модели Возникающее турбулентное перемешивание вызывает перемещение вещества со скоростью u :

ln u =-D.

x Усредним это соотношение по области перемешивания -L2 0 x L1, предварительно умножив обе части равенства на. Получим LV 2 1 - 2 ( ) ( ) u =- =- 1+ 2 2 A0V 1.

( ) () M Возникающее движение приводит к смещению лагранжевой границы раздела, которое изменит ускорение этой границы:

du dV g1 = g + g - 1+ 2 2 A0 1. (7.43) ( ) () dt dt Дополнительное ускорение следует учесть при вычислении генерационного члена в уравнении для кинетической энергии турбулентности (7.36). Для этого в этом уравнении ускорение g нужно, согласно (7.43), заменить на g1. Эта замена приведет к изменению в уравнении (7.42) коэффициента при dV производной :

dL 1 dV V ( ) z0 + 4ky = gA0 ; (7.44) dL L 1 1+ () z0 =1+ 2 1+ 2 A0 2 1.

( ) () Полученное уравнение является линейной относительно функции V и поэтому интегрируется при произвольном ускорении g, зависящем от времени.

В модель входят три постоянные:, 2. Выберем их. Для этого рассмотрим случай малых чисел Атвуда A0, когда 2 1, A0 A и в коэффициентах уравнения (7.44) можно заменить:

ky k0 = 0.25 + ; z0 1, а ускорение задать в виде кусочноЦпостоянной функции:

g0, если 0 t t0, g = 0, если t > t0.

При сделанных предположениях решение уравнения (7.44) получается в аналитическом виде (7.20). Для удобства прочтения перепишем (7.20):

821 1 g0At( ), 0 t t0, 1+ 4k L1 = (7.45) B 2 t - t L10 1+, t > t0.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |   ...   | 11 |    Книги по разным темам