Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ... | 13 | В итоге задача сводится к трем одномерным задачам, уравнения которых имеют вид - X (x) = X(x), -Y (y) = Y (y), -Z (z) = Z(z), (2.98) где ,, константы разделения переменных, при этом = + +.
2.7. Решить задачу на собственные значения для оператора Лапласа в прямоугольном параллелепипеде G = {(x, y, z) : 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c}:
-u = u, (x, y, z) G, u|G = 0, u 0, u = 1.
В случае цилиндра необходимо перейти в цилиндрическую систему координат:
x = r cos, y = r sin, z = z. (2.99) Здесь условие взаимно однозначного соответствия нарушается на всей оси z, а оператор Лапласа имеет вид 2 2 1 1 2 = r + = + + +. (2.100) z2 r2 r r r2 2 zРазделение переменных удобно провести в два этапа:
1) u(r,, z) = F (r, ) Z(z); 2) F (r, ) = R(r) ().
В итоге задача сводится к трем одномерным задачам, уравнения для которых имеют вид -Z (z) = Z(z), - () = (), (2.101) r2R (r) + rR (r) + ( - ) r2 - R(r) = 0, где , константы разделения переменных.
2.8. Решить задачу на собственные значения для оператора Лапласа в цилиндре G = (x, y, z) : x2 + y2 < a2, 0 < z < h :
-u = u, (x, y, z) G, u = 0, n G u 0, u = 1.
2.6. Трехмерный случай: шар Пусть область G шар радиуса a: G = (x, y, z) : x2 + y2 + z2 < a(рис. 2.8). Рассмотрим следующую задачу на собственные значения для оператора Лапласа:
-u = u, (x, y, z) G, u|G = 0, (2.102) u 0, u = 1.
Рис. 2.Удобно перейти к сферическим координатам (2.95). Обратные преобразования имеют вид z y r = x2 + y2 + z2, cos =, tg =. (2.103) r x Якобиан перехода J = r2 sin, следовательно, условие взаимной однозначности нарушается на всей оси z, и эту ось мы временно исключаем из рассмотрения. Выберем область изменения новых переменных:
r (0, a), (0, ), (-, +).
Как и в случае круга, потребуем по угловой переменной выполнения условия однозначности для функции (r,, ).
Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид = r +,, (2.104) r1 1 1 r = r2,, = sin +.
r2 r r sin sinИнтересно отметить, что оператор -,, с точностью до выбора системы единиц, в квантовой механике соответствует оператору квадрата x y z углового момента: L2 = L2 + L2 + L2 = -,.
Разделение переменных проведем в два этапа. Сначала представим неизвестную функцию в виде произведения радиальной и угловой части: (r,, ) = R(r)Y (, ) и подставим в уравнение (2.102):
R,Y (, ) r2rR(r) - Y rR -,Y = RY - = + r2.
r2 Y (, ) R(r) (2.105) Вводя константу разделения переменных, получим два уравнения:
-,Y (, ) = Y (, ), (2.106) r2rR(r) + r2 - R(r) = 0. (2.107) Далее, разделим угловые переменные. Поставим Y (, ) = T ()() в (2.106):
() T () T () 2() - sin - = T ()() sin sinsin d dT () 1 d2() sin + sin2 = -. (2.108) T () d d () dВводя еще одну константу разделения переменных , получим два обыкновенных ДУ:
- () = (), (2.109) d dT () sin sin + sin2 - T () = 0. (2.110) d d Граничные условия (2.102) приводят к граничным условиям для радиальной функции: R(a) = 0. Фиксируя произвольным образом угловые переменные,, из условия существования предела при r имеем, как и в случае круга, условие ограниченности в начале координат функции R: R(0) <. Наконец, для фиксированных произвольным образом переменных r, из условия существования предела при 0 или получим условие ограниченности для функции T :
T (0) <, T () <. Для функции, как и в случае круга, из условий однозначности функции : (r,, ) = (r,, + 2),, имеем условие периодичности для функции : () = ( + 2),.
В результате мы свели исходную трехмерную задачу к трем одномерным краевым задачам:
d - () = (), d(2.111) () = ( + 2),, () 0, = 1 ;
d dT () sin sin + sin2 - T () = 0, d d (2.112) T (0) <, T () <, T () 0, T = 1 ;
d d r2 R(r) + r2 - R(r) = 0, dr dr R(0) <, (2.113) R(a) = 0, R(r) 0, R = 1.
Интегралы нормировки имеют вид 2 = |()|2 d = 1, T = |T ()|2 sin d = 1, (2.114) 0 a R = |R(r)|2 r2dr = 1. (2.115) Решение задачи (2.111) известно:
eim m() =, m = m2, m = 0, 1, 2,.... (2.116) В задаче (2.112) перейдем к новой переменной x = cos и введем, (x) (cos как обычно, новую функцию T = T ) = T (), тогда (x) dT dx (x) (x) dT () dT dT = = = - sin. (2.117) d d dx d dx Уравнение (2.112) примет вид (x) d dT (x) sin2 sin2 + sin2 - T = 0. (2.118) dx dx Учтем, что = m2, поделим уравнение на sin2 = 1-x2 и в результате получим (x) d dT m2 (x) (1 - x2) + - T = 0, dx dx 1 - x (-1) T <, (2.119) (1) T <, (x) T 0, T = 1.
При m = 0 ДУ в (2.119) является уравнением Лежандра. Ограниченные при x [-1, 1] решения этого уравнения, как известно [9], существуют только при = l(l + 1), l = 0, 1, 2... и представляют собой, с точностью до произвольного множителя, полиномы Лежандра (рис. 2.9):
1 dl l Pl(x) = x2 - 1. (2.120) 2l l! dxl Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему полиномов на отрезке [-1, 1] (см. задачу 1.17. 3):
Pl, Pl = ll. (2.121) 2l + Рис. 2.При m = 0 уравнение (2.119) является уравнением для присоеди ненных функций Лежандра. Их свойства подробно обсуждаются в [9].
Решения уравнения (2.119) построены для всех значений параметров и m, но, как и в случае m = 0, ограниченные на отрезке [-1, 1] решения существуют только при = l(l + 1), l = 0, 1, 2.... Эти решения называются присоединенными функциями Лежандра 1-го рода и имеют вид |m| |m| d|m| (-1)l dl+|m| l 2 Plm(x) = 1-x2 Pl(x) = 1-x2 1-x2.
dx|m| 2l l! dxl+|m| (2.122) Уравнение (2.119) не изменяется при замене m на -m, и поэтому решение фактически зависит лишь от |m|. Из выражения (2.122) следует ограничение на значения |m| при заданном l: |m| l.
Убедиться в справедливости (2.122) можно, сделав подстановку |m| (x) T = 1 - x2 v(x) в уравнение (2.119). Тогда для функции v(x) получим 1 - x2 v (x)-2x (|m|+1) v (x)+[ - |m|(|m| + 1)] v(x) = 0. (2.123) Такое же уравнение получается при дифференцировании уравнения Лежандра |m| раз, следовательно, учитывая, что = l(l + 1), можно d|m| положить v(x) = Pl(x).
dx|m| Присоединенные функции Лежандра с одинаковым индексом m образуют ортогональную систему на отрезке [-1, 1] (задача 1.17. 4):
2 (l + m)! (Plm, Plm) = ll. (2.124) 2l + 1 (l - m)! С учетом этого нормированные присоединенные функции Лежандра имеют вид 2l + 1 (l - |m|)! lm(x) = Pl|m|(x) (2.125) 2 (l + |m|)! Графики некоторых нормированных присоединенных функций Лежандра приведены на рис. 2.10.
Рис. 2.Таким образом, задачи (2.111) и (2.112) для функции Y (, ) и параметров , имеют решения = l(l + 1), l = 0, 1, 2... ; = m2, -l m l ;
eim 2l + 1 (l - |m|)! lm(, ) = lm(cos ) = Pl|m|(x) eim.
4 (l + |m|)! (2.126) Функции lm(, ) называются сферическими гармониками.
Обратим внимание на одно важное обстоятельство. Как уже отмечалось выше, для вещественных функций условие нормировки определяет вид собственных функций с точностью до знака, который может быть, вообще говоря, разным для различных собственных функций.
Для комплекснозначных собственных функций, например сферических гармоник, произвол еще больше: любую собственную функцию можно умножить на произвольный фазовый множитель ei, R. К счастью, этот произвол как в классической физике, так и в квантовой механике не влияет на окончательный результат. Однако промежуточные вычисления зависят от этого выбора. Исторически получилось, что разные авторы используют разный выбор фазовых множителей, причем часто этот выбор явно не указывается. В итоге одни и те же формулы в разных руководствах записываются несколько иначе. Во избежание путаницы мы рекомендуем использовать исторически наиболее общепринятый выбор фазовых множителей по Кондону Шортли. При этом выборе вместо естественного на первый взгляд выражения (2.126) сферические гармоники определяются следующим образом:
m+|m| eim Ylm(, ) = (-1) lm(cos ) = (2.127) m+|m| 2l + 1 (l - |m|)! = (-1) Pl|m|(x) eim.
4 (l + |m|)! Сферические гармоники часто встречаются в различных разделах математической и теоретической физики, поскольку естественно появляются в задачах со сферической симметрией. Свойства сферических гармоник подробно обсуждаются в [9, 15]. Отметим лишь тот факт, что эти функции образуют ортонормированную систему:
Ylm, Yl m = d Ylm(, ) Yl m (, ) sin d = ll mm, 0 (2.128) полную в L2(S), где S поверхность сферы произвольного радиуса.
С учетом полученных результатов радиальная часть задачи принимает вид r2R (r) + 2rR (r) + r2 - l(l + 1) R(r) = 0, R(0) <, (2.129) R(a) = 0, R(r) 0, R = 1.
Рассмотрим различные возможные значения параметра.
В случае < 0 замена переменной x = || r и замена функции R(r) = R(x) = x- I(x) приводят к уравнению для модифицированных функций Бесселя полуцелого порядка:
x2I (x) + x I (x) - x2 + l + I(x) = 0. (2.130) В общем решении этого уравнения 1 2 1 R(x) = C1 x- Il+ (x) + C2 x- Kl+ (x) (2.131) 2 константу C2 необходимо положить равной нулю из-за неограниченности функции Kl+ (x) при x 0, а константа C1 обращается в ноль в силу условия R(a) = R( || a) = 0, поскольку функция x- Il+ (x) положительна и монотонно возрастает.
При = 0 уравнение (2.129) является уравнением Эйлера, и его решение находится подстановкой R(r) r:
R(r) = C1 rl + C2 r-l-1. (2.132) Второе слагаемое при l = 0, 1, 2,... не ограничено в нуле, следовательно, C2 = 0. С учетом этого условие R(a) = 0 выполняется только при C1 = 0.
В случае > 0 замена переменных x = r, R(r) = R(x) приводит к уравнению x2 R (x) + 2x R (x) + x2 - l(l + 1) R(x) = 0. (2.133) Решениями этого уравнения являются jl(x) и nl(x) сферические функции Бесселя 1-го и 2-го рода, и они образуют фундаментальную систему решений. Следовательно, общее решение имеет вид R(x) = C1 jl(x) + C2 nl(x). (2.134) Сферические функции Бесселя подробно рассмотрены в [9, 10]; пере числим некоторые свойства этих функций. Замена функции R(x) = = x- J(x) приводит к уравнению Бесселя с = l +. Отсюда следует, что сферические функции Бесселя выражаются через функции Бесселя полуцелого порядка:
1 jl(x) = Jl+ (x), nl(x) = Yl+ (x). (2.135) 2 2x 2x Для них справедливы следующие рекуррентные соотношения:
l + xl+1fl(x) = xl+1fl-1(x), fl-1(x) = fl(x) + fl (x), x (2.136) l x-lfl(x) = -x-lfl+1(x), fl+1(x) = fl(x) - fl (x).
x Здесь в качестве fl(x) могут быть jl(x), nl(x) или их линейная комбинация.
Графики некоторых сферических функций Бесселя приведены на рис. 2.11.
Рис. 2. Функция nl(x) неограничена при x 0, поэтому в R(x) константу C2 следует положить равной нулю. Оставшееся граничное условие при r = a приводит к уравнениям для определения собственных значений:
jl( a) = 0. (2.137) При l = 0 можно получить аналитические выражения для. Используя разложение функции Бесселя J (x) в ряд (-1)k x 2k+ J (x) = (2.138) k! (k + + 1) k= 1 (2n)! и учитывая, что (n + ) =, получим 2 22n n! (-1)k sin x j0(x) = J (x) = x2k =. (2.139) 2x (2k + 1)! x k=Следовательно, при l = 0 решения уравнения (2.137) имеют вид k a = k, k = 1, 2, 3... 0k =. (2.140) a Для сферических функций Бесселя jl(x) справедлива формула Рэлея l 1 d sin x jl(x) = (-x)l. (2.141) x dx x Таким образом, jl(x) также выражаются через элементарные функции, однако при l = 1, 2,... уравнение (2.137) не решается аналитически.
Обозначим k-й корень уравнения jl(x) = 0 через xlk (см. рис. 2.11), тогда собственные значения и радиальные функции имеют вид xlk 2 r lk =, Rlk(r) = Nlk jl xlk, l = 0, 1, 2,... ; k = 1, 2,....
a a (2.142) Константу Nlk найдем из условия нормировки a r Rlk = 1 = Nlk jl2 xlk r2dr. (2.143) a Учитывая связь между функциями Бесселя и формулу (2.75), получим выражение для константы нормировки 2 xlk Nlk =. (2.144) a |Jl + (xlk)| Вид некоторых радиальных функций показан на рис. 2.12.
Рис. 2.В итоге собственные значения и собственные функции задачи (2.102) имеют вид xlk lk =, l = 0, 1, 2,... ; k = 1, 2, 3,..., a (2.145) r uklm(r,, ) = Nlk jl xlk Ylm(, ), -l m l.
a Здесь xlk k-й корень уравнения jl(x) = 0. Каждое собственное значение lk имеет кратность вырождения 2l + 1: собственные функции uklm, имеющие одинаковые индексы k и l, соответствуют одному собственному значению lk.
2.9. Решить задачу на собственные значения для оператора Лапласа в шаре G = (x, y, z) : x2 + y2 + z2 < a2 :
-u = u, (x, y, z) G, u = 0, n G u 0, u = 1.
Ответы и указания к главе 2.1.
1) k = (k)2, k = 0, 1,... ; y0(x) = 1, yk(x) = 2 cos kx, k = 1, 2,....
2) Указание. Удобно сделать замену переменной z = x + l.
k 1 k(x + l) Ответ: k =, yk(x) = sin, k = 1, 2, 3,....
2l 2 l l 1 2 3) k = k +, yk(x) = sin k + x, k = 0, 1, 2,....
2 4) k = (2k + 1)2, yk(x) = cos (2k + 1) x, k = 0, 1, 2,....
Рис. 2.2.2.
zk 2 2 (2l2 + zk) zkx 1) k =, yk(x) = sin, k = 1, 2,..., l l (2l2 + l + zk) l z где zk > 0 k-й корень трансцендентного уравнения tg z = - (см.
l рис. 2.13, а).
(k - ) x 1 При больших k: k [ (k - )]2, yk(x) sin.
l 2 l l zk 2 2 (l2 + 2zk) zkx 2) k =, yk(x) = cos, k = 1, 2,..., l l (l2 + l + 2zk) l l где zk > 0 k-й корень трансцендентного уравнения tg z = z (см. рис. 2.13, б ).
(k - 1) 2 (k - 1)x При больших k: k, yk(x) cos.
l l l 3) k = zk, yk(x) = ( zk cos zkx + sin zkx), k = 1, 2,..., 1 + 2zk где zk > 0 k-й корень трансцендентного уравнения tg z = - z (см.
рис. 2.13, а).
1 2 При больших k: k k -, yk(x) 2 cos k - x.
2 ex 4) 0 = -1, y0(x) = ;
e sh k= (k)2, yk(x) = k cos kx + sin kx, k=1, 2,....
1 + 2k При больших k: yk(x) 2 cos kx.
Замечание. Появление отрицательного собственного значения обусловлено тем, что данная задача не является задачей Штурма Лиувилля.
2.3.
2 (2m + 1) (2n + 1) 1) mn = +, m, n = 1, 2,...;
2a 2b 2 (2m + 1)x (2n + 1)y umn(x, y) = sin cos.
2a 2b ab m 2 n 2) mn = +, m = 1, 2,..., n = 0, 1, 2,...;
a b 2 mx 2 mx ny um0(x, y) = sin, umn(x, y) = sin cos, ab a a b ab m, n = 1, 2,....
2.4. Указание. Необходимо перейти в полярную систему координат.
Внешняя нормаль к границе круга совпадает по направлению с радиуu u сомЦвектором: n = /, значит, =.
n Ответ. 00 = 0, u00(, ) = ;
a zmk mk =, umk(, ) = Nmk eimJ|m| zmk, a a где zmk k-й корень уравнения J|m|(z) = 0; m = 0, 1,..., k = 1, 2...;
2 N0k =, Nmk =.
a |J0(z0k)| a (1 - m2/zmk) J|m|(zmk) 2.5. Указание. Необходимо перейти в полярную систему координат;
тогда граничные условия примут вид u|=a = 0, u|=0 = 0, u|= = 0.
zmk Ответ. mk =, где zmk k-й корень уравнения J2m(z) = 0;
a 2 umk(, ) = J2m zmk sin 2m, m, k = 1, 2,....
a a J2m(zmk) 2.6. Указание. Необходимо перейти в полярную систему координат.
Pages: | 1 | ... | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ... | 13 | Книги по разным темам