Книги по разным темам
Pages: | 1 | 2 | 3 | Построить множество элементарных событий и подмножества, соответствующие событиям А,В,С. Сами события А,В,С будут описаны позже.
Введем систему координат на плоскости, где лежит пластина таким образом, что пластина образует прямоугольник с координатами -2 х 2, -1 х 1 (см. рис.2.) у -2 х -рис. 3.
Множество точек плоскости {(х,у)/ х[-2,2], у[-1,1]} образует пространство элементарных событий. Пусть событие А состоит в том, что абсцисса точки попадания не меньше ординаты. Тогда А есть подмножество прямоугольника, точки которого удовлетворяют условию ху. Это множество изображено на рис.4.
у -2 -1 х -1 рис.4.
Событие В состоит в том, что произведение координат фокуса не положительно, т.е. ху0. Следовательно, точки лежат в третьем и четвертом квадранте (см. рис.5).
у -2 х -рис.5.
Будем говорить, что произошло событие С, если сумма абсолютных величин координат точки превышает единицу, т.е. /х/+/у/ 1. Тогда С есть множество точек, изображенное на рис. 6.
у -2 -1 х рис. 6.
Все множества точек, рассмотренных в примере, являются квадрируемыми. Из рисунков 3,4,5 видно, что пересечение множеств А В,В С, АС не являются пустыми, поэтому и события А и В, В и С, А и С являются совместными.
Рассмотрим следующий Пример 7. На отрезке [1,5] наудачу ставятся точки. Пусть х - координата этой точки. На отрезке [1,х] выбирается точка у. Наблюдаемый результат - упорядоченная пара чисел (х,у). События:
А - вторая координата ближе к 5, чем к 1;
В - расстояние между координатами меньше 2;
С - абсцисса ближе к 1, чем к 5;
Д - абсцисса ближе к ординате, чем к 5.
Построим множество элементарных событий и подмножества, соответствующие указанным событиям.
Множество всех элементарных событий есть множество координат точек плоскости, удовлетворяющих следующим условиям:
1 х 5, 1 у х 5, т.е. прямоугольный треугольник ЕFG из рис. 7.
у 5 G у=х х=1 у= Е F 1 5 х множество элементарных событий рис.7.
Событие А определяется неравенствами 5-у
Поэтому событие А изображается следующим образом (см. рис.8).
у 5 G у=1 Е F 1 5 х СобА рис.8.
Событие В описывается неравенствами х-у<2, х<у+2. При у=1, х=3.
у 5 G 1 Е F 1 х Соб.В рис.9.
Событие С удовлетворяет неравенству х-1<5-х, или х<3.
у 5 G Е F 1 3 5 х рис.10.
Соб.С Событие Д: х-у<5-х или у2<х-5. При у=1, х=3. (рис. 11) у 5 G Е F 1 2 3 5 х Соб. Д рис.Из рисунков 8-11 видно, что события А и С - несовместные, события А и В, А и Д, В и С, В и Д - совместные.
Пример 8. Студенты М и Н договорились о встрече в определенном месте между 10 и 11 часами. Каждый приходит в случайный момент указанного интервала времени и ждет появления другого до истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Наблюдаемый результат - упорядоченная пара чисел (х,у), где х - время прихода Н, у - время прихода М. Время исчисляется в минутах, начиная с 10 часов. Построить множество элементарных событий и подмножества, соответствующее следующим событиям:
А - Н пришел после 10 ч. 45 мин.
В - Н пришел раньше М.
С - М пришла до 10 ч. 45 мин., Д - встреча, состоялась.
Е - встреча не состоялась, F - H ждал М и не дождался.
Н - встреча состоялись после 10 ч. 30 мин., I - первый пришел до 10 ч. 30 мин., J - М опоздала на встречу.
К - встреча состоялась, когда до 11 часов осталось меньше 5 минут, G - М не пришлось ждать Н.
Здесь уже в условии предпологается, что множество случайных событий можно представить как квадрат со стороной длиною в 60. Для простоты, этот квадрат сдвинем так, чтобы одна из его вершин оказалась в начале координат, а стороны пошли по осям координат.
{(х,у), х[0,60], у[0,60]}.
Множества, соответствующие указанным событиям, изобразим на рисунках 12 - 21.
у 45 х 60 0 х Соб.А рис.у х=у x у /у-х/ 60 х Соб.Д рис.15. у /у-х/>60 х Соб.Е=Соб.F рис.у Н = Д {(х, у) / х > 30, у > 30} 60 х Соб.Н рис. у I = {(x, y) / min(x, y) < 30} 60 х Соб.I рис. у 0 х у=х+ I = {} 60 у > х +60 х Соб.J рис. у (х, у) / 55 х К = 55 у 55 60 х СобК рис.у у=х+у=х+ G = {у > x y х +15} у=х 60 х Соб.G рис. Пример 9. Для лица, дожившего до 20 лет, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0,006. Застрахована на один год группа в человек двадцатилетнего возраста. Страховой взнос каждого из них составил 15 у.е. В случае смерти застрахованного наследникам выплачивается 1200 у.е. Какова вероятность того, что к концу года страховое учреждение окажется в убытке Перенумеруем всех застрахованных и рассмотрим тысячемерный "вектор", каждая i-ая координата которого принимает два значения "з" или "м" в зависимости от того, жив или мертв i-ый застрахованный к концу года. Таких "векторов", согласно законам комбинаторики, будет 21000. Множество всех этих векторов образует пространство элементарных событий, так как каждый из "векторов" представляет неразложимый "результат" смертности к концу года. юбое подмножество этого множества является конечным подмножеством и поэтому будет измеримым. Всего можно рассмотреть 22 событий (подумайте, почему). Смерть (или жизнь) каждого застрахованного предполагается независимым событием от смерти (или жизни) любого другого застрахованного и происходят с неизменными вероятностями в каждом испытании. То ест, мы имеем дело с простейшим классом повторных независимых испытаний, попадающих под схему Бернули. Общий доход страховой компании составил 1000х15=15000 у.е. Поэтому компания разориться, если в течение года умрет не менее чем [15000:1200] +1=13человек. Из теории вероятности известно, что m - np Р(13 х) = 0,5 -Ф(t), где t =, npq по условию m=13, n=1000, p=0,006, q=1-p=0,994. Поэтому 7 t = 2,87, 2,5,Р(13 х) = 0,5 -Ф(2,87) = 0,5 - 0,4979 = 0,а Эта же страховая компания решил изменить условия страхования для лиц, достигших 20 летнего возраста. В случае смерти застрахованного учреждение собирается выплачивать наследникам только 500у.е. В дальнейшем предполагается, что число застрахованных возрастет и составит 10000 человек. Какую минимальную стоимость страхового взноса следует установить, чтобы вероятность того, что к концу года страховое учреждение окажется в убытке, было не больше 0,1 Пусть страховой взнос теперь составит х у.е. Доход от страхования составит х10000у.е.. Предположим, что в течение года умрет k 20-летних застрахованных. Убыток компании 500k. Согласно теории вероятностей, имеем соотношение Р(k y) = Ф() -Ф(t) = 0,5 -Ф(t) = 0,Откуда получаем, что Ф(t)=0,4. Из таблиц находим, что t=1,28. Но как k - np - k известно, t = =. Здесь k - неизвестно, n = 1000, p = 0,006, 7,npq q=0,994. Следовательно, kЦ60=1,287,723=9,8850, k = 70. Из соотношения х 1000 500k = 50070, получаем, что х = 3,5у.е. Какую максимальную выплату наследникам следует установить, если застрахована группа той же возрастной категории в количестве 15000, страховой взнос 20 у.е., чтобы вероятность убыточности страховой компании была не более 0,0228 Рассуждая как и в предыдущем случае, приходим к выражению Р(k m 1500) = Ф(15000-90) -Ф(k -90) = 0,5-Ф(t) = 0,9,458 9.Откуда Ф(t)=0,4772. k -Из таблиц находим, что t=2. т.е. = 2, откуда k 109 человек. 9,(Напомним, что k - это количество застрахованных, умерших в течение года). Чтобы компания не было в убытке, ее доход 1500020=300000 у.е. должен совпасть с расходом хk, где х - выплата компании наследникам. х109=300000. Следовательно, х= 2752,3у.е. В целях лучшего усвоения материала предлагается решить самостоятельно следующие задачи. Задачи для самостоятельного решения. I. Проверить справедливость следующих соотношений. 1) А В = АВ (Событие А В означает, что не произошло событие А В и не совпадает с событием А В - произошло или событие А или событие В 2) А В = АВ(Событие АВ означает, что не произошло событие АВ и не совпадает с событием АВ ). 3) А В - В = А- АВ = АВ 4) АА=А А=А 5) А В - АВ = АВ АВ 6) (А В)С = АС ВС 7) А В С = А ВС (нет) 8) (А В)С = А В С = С - С(А В) 9) АВС А В 10) ((А - АВ) В = А В 11) АВ ВС СА АВС 12) АВ ВС СА (А В С) 13) А В = АВ 14) А АВ = А 15) А В = (А - В) + (В - А) + АВ 16) А В - В = А - В 17) А В - В = А - В 18) (А В)С = АС ВС 19) (А С)(В С) = АВ С 20) АС-В=АС-ВС 21) (А - В) (А - С) = А - ВС 22) (А ВС)(В АС)(С АВ) = АВС АВС 23) (А В)(А В)(А В) = АВ 24) (А В)(А В) = А II. Какие из следующих соотношений справедливы. 1) АВС АВ ВС СА (нет) 2) А В = А В (нет) 3) А В С = А ВС (да) 4) А В С = А ВС (нет) 5) (А В) - С = А (В - С) (нет) 6) АВС = АВ(С В) (нет) 7) (А В) - А = В (нет) 8) (А В)С = АС ВС (нет) 9) АВС АВС АВС = (АВ АС ВС) - АВС (да) III. Пусть А, В,С - три произвольные события. Найти выражения для событий, состоящих в том, из А,В,С: 1) произошло только А (АВС) 2) произошло А и В, но С не произошло (АВС) 3) произошли все три события (АВС) 4) произошло по крайней мере одно из этих событий (А В С) 5) произошло по крайней мере два события (АВ АС ВС) 6) произошло одно и только одно событие (АВ С АВС АВС) 7) произошло два и только два события (АВС АВС АВС) = (АВ АС ВС) - АВС 8) ни одно событие не произошло (А В С) 9) произошло не более двух событий (АВС) IV. Объединение А В двух событий может быть выражено как объединение двух несовместных событий: А В = А (В - АВ). Выразить аналогичным образом объединение трех событий А,В,С. (А В С) = А(В - АВ) (С - С(А В)) = (А ВАС А В) V. Взятый на удачу шар может оказаться либо красным (событие А), либо белым (событие В), либо черным (событие С). Что представляют собой следующие события: 1) А В, 2) АС, 3)АС, 4)АВ +С Ответы: 1) А В - взят либо белый, либо красный шар 2) АС - взят белый шар 3) АС - невозможное событие 4) (АВ +С) - черный шар. VI. Упростить следующие выражения 1) ( А В )( А В ) 2) ( А В )( В С )(С А) 3) А (В - АВ) (С - АС) 4) (А В)В А(АВ) Ответы: 1)А; 2) АВ ВС СА; 3) А В С ; 4) В. VII. В уроке 5 красных, 2 синих и 3 белых шара. Все они пронумерованы цифрами 1,2,Е,10. Из урны берется наудачу 1 шар. Событие - шар с четным номером - обозначим через А, с номером, кратным 3, - через В, шар красного цвета - через С, синего - через Д и, наконец, белого - через Е. Что представляют собой следующие события: А+В, С+Е, АД, А- В, В Е, АД - Е VII. Электронная схема содержит три транзистора, 4 конденсатора и резисторов. События: Тк Ц - выход из строя k-го транзистора (k=1,2,3), Сi - выход из строя i-го конденсатора (i=1.2.3.4), Rj - выход из строя j-го резистора (j=1,2,3,4,5). Электронная схема считается исправной, если одновременно исправны все транзисторы, не менее двух конденсаторов и хотя бы один резистр. Записать в алгебре событий событие А Цсхема не исправна. Ответ: А = Т1 +Т2 +Т3 + С1С2С3С4 + С1С2С3С4 + С1С2С3С4 + С1С2С3С4 + + С1С2С3С4 + R1R2R3R4RIX. Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат - упорядоченная пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших в первый и второй раз. Построить пространство элементарных событий описанного опыта. Описать события А,В и С, где Событие А - оба раза выпало число очков, кратное трем; событие В - ни разу не выпало число шесть; С - оба раза выпало число очков, больше трех; Д - оба раза выпало одинаковое число очков, с помощью элементарных событий. Х. Возможно ли "приведение подобных чисел в алгебре событий" Указание. Разобрать пример: А В - В = А- АВ = АВ = А- В XI. Пусть А, В и С - события, наблюдаемые в эксперименте, причем А и В несовместны. Показать, что события АС и ВС так же несовместны. XII. Показать, что если А В, то 1) В А, 2)АВ=А, 3) А В = В, 4)А-В=. Из любого из соотношений 1)-4) следует А В. Доказать. ХШ. Пусть для некоторого эксперимента множество элементарных событий может произойти в этом эксперименте ХIV. Рассмотрим следующий случайный эксперимент: матч на первенство страны по футболу между командами "Ростсельмаш" и "Алания". Интересующие нас события: А - выиграла команда "Ростсельмаш", В - игра закончилась победой одной из команд, С - игра закончилась со счетом 3:1 в пользу "Ростсельмаша". Д - в игре забито не менее трех голов. Опишите множество элементарных событий и укажите состав подмножеств, соответствующих указанным событиям. Если интересующие нас события иного плана: А1 - травмированных игроков за весь матч не было; В1 - у "Ростсельмаша" травмированных на одного игрока больше, чем в команде противника; С1 - в каждой команде по 2 травмированных игрока; Д1 - победившая команда имеет больше травмированных игроков, чем проигравшая, то каким будет теперь пространство элементарных событий Опишите события А1,В1,С1,Д1. Система множеств {Е1,Е2,ЕЕi} называется разбиением множества Е, если выполняются следующие условия: Еj, j =1,i ЕnЕm=, m n, i Е = E U j j=Если разбиению подвергается все множество элементарных событий некоторого эксперимента, то говорят, что система подмножеств событий, осуществляющих разбиение образует полную группу несовместных событий. XV. Показать, что совокупность всех элементарных событий любого эксперимента в случае когда конечное множество образует разбиение множества. XVI. Пространство элементарных событий некоторого эксперимента состоит из 4-х исходов. Сколько различных разбиений можно составить для данного множества Ответ:16. ХVII. Пусть = N - множество натуральных чисел. Показать, что система {S1,S2,S3}, где S1={х/х=3n, nN}, S2={х/х=3n-1, nN}, S3={х/х = 3n-2, nN} образует разбиение множества. итература 1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. - М.: Мир, 1967. 2. Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. - Минск: Вышэйшая школа, 1976г. 3. Смирнов Н.В. Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. - М.: Наука, 1965. 4. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Серия СМБ. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. - М.: Наука, 1967г. 5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математической статистики. - М.: Высшая школа, 1997г. 6. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов. Руководство для решения задач. - Ростов-на-Дону.: Феникс, 1999г. 7. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1998г. 8. Вуколов Э.А., Ефимов А.В. и др. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ. Специальные курсы. - М.: Наука, 1984г. Книги по разным темам