Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | 19 | |a||b| R3. Так как |b|=, при |a|
4. Центр окружности не сопряжён ни с какой точкой, так как при a=0 равенство (16.2) не выполняется ни при каком b, как и равенство (16.1) при a=s.
6Ч7685.ЧЯ. П. Понарин.
16.2. Поляра точки относительно окружности. Для фиксированной точки A, отличной от центра окружности, имеется бесконечное множество сопряжённых с ней точек M(z), так как каждым из уравнений (a-s)(z-s)+(z-s)(a-s)=2R2, (16.3) az+az=2R2 (16.4) задаётся прямая линия (з 11). Уравнение (16.3) эквивалентно уравнению (a-s)z+(a-s)z=2(R2-ss)+aa+as, (16.5) в котором коэффициенты при z и z сопряжены, а свободный член Ч действительное число.
Итак, множество точек плоскости, полярно сопряжённых с данной точкой A относительно окружности (S, R) при A =S, есть прямая, называемая полярой точки A относительно окружности. Уравнения (16.3) и (16.5) являются уравнениями поляры точки A относительно окружности, уравнение (16.4) Ч их частный вид при S=O.
16.3. Построение поляры. Полюс прямой. Для выяснения способа построения поляры данной точки A заметим, что прямая OA, имеющая уравнение az-az=0, перпендикулярна поляре (з 11) и переRсекает её в точке C с координатой c=. Точку C можно построить a так: если точка A лежит внутри окружности, то через неё проводим перпендикуляр к OA, пересекающий в точке T(t) (рис. 43). Касательная к в точке T пересекает прямую OA в искомой точке C.
Действительно, полученные прямоугольные треугольники OAT и OTC подобны и противоположно ориентированы. На основании (6.3) полуa-o t-o чаем: =, или ac=tt=R2. Из ac=R2 следует ac=R2. Это t-o c-o и подтверждает правильность построения точки C. Если точка A находится вне окружности, то построение выполняется в обратном порядке (точки A и C меняются ролями).
Если A, то сравнение (16.4) с (3.17) показывает, что полярой точки A будет каT сательная к в этой точке.
Таким образом, для каждой точки A = =O имеется поляра относительно, соA C держащая все точки, полярно сопряжёнO ные точке A.
Из описанного способа построения поляры явствует, что и верно и обратное:
для каждой прямой, не проходящей чеРис. 43 рез центр O окружности, имеется единПоляра точки A ственная точка A, которая полярно сопряжена любой точке этой прямой.
Точку A называют полюсом данной прямой относительно окружности.
Чтобы построить полюс заданной прямой m, не содержащей центр окружности, достаточно построить поляру p ортогональной проекции P центра O окружности на прямую m. Тогда точка M =pOP и будет полюсом прямой m.
Полюсы и поляры относительно окружности обладают замечательным свойством: если точка A лежит на поляре точки B, то точка B лежит на поляре точки A. В самом деле, уравнение поляры точки A есть уравнение (16.4), а bz+bz=2R2 Ч уравнение поляры точки B.
Принадлежность точки A поляре точки B и принадлежность точки B поляре точки A выражаются одним и тем же равенством (16.2).
Доказанное свойство называют свойством взаимности полюсов и поляр. Из этого свойства следует, что поляры всех точек, принадлежащих прямой l, проходят через полюс этой прямой (требуется лишь, чтобы O l).
16.4. Другое определение полярной сопряжённости точек. Если точки A и B полярно сопряжены относительно окружности zz=R2, то ab+ab=2R2. Найдём точки пересечения прямой AB с окружностью (если они существуют). Уравнение прямой AB можно записать с помощью действительного параметра так (з 1):
a+b z=, =, (16.6) 1+ a+b откуда z=. Выполняя подстановки z и z в уравнение zz=R1+ окружности, приходим к уравнению относительно :
(1+b)(a+b) =R2.
(1+)С учётом того, что ab+ab=2R2, оно приводится к виду 2(bb-R2)=R2-aa.
Следовательно, u R2-aa =.
bb-RЕсли |OA|
Если же |OA|>R, то |OB| может быть больше, меньше или равно R.
Этот случай приходиться опустить, так как тогда может оказаться и мнимым числом, а согласно (16.6) оно должно быть действительным.
Итак, при |OA| пересечения прямой AB и окружности делят отрезок AB внутренним и внешним образом в равных по абсолютной величине отношениях: m-a n-a =-, b-m b-n отсюда a-m a-n : =-1(16.7) b-m b-n Следовательно, точки A, B, M, N образуют гармоническую четвёрку (з 15). Таким образом, мы пришли к другому, общепринятому определению полярной сопряжённости двух точек относительно окружности. Опре де ле ние. Точки A и B называются полярно сопряжёнными относительно окружности (при условии, что одна из них лежит внутри окружности), если эти точки гармонически делят хорду MN, высекаемую окружностью на прямой AB. Из этого определения следует определение полярной сопряжённости точек, выраженное формулами (16.1) или (16.2). В самом деле, m-a n-a пусть выполняется равенство (16.7) и отношения = и = b-m b-n =- Ч действительные числа (точки M и N принадлежат прямой AB). a+b a-b Тогда m=, n=. Точки M и N принадлежат окружности 1+ 1zz=R2, следовательно, mm=nn=R2, или (a+b)(a+b)=(1+)2Rи (a-b)(a-b)=(1-)2R2. Раскрывая скобки и вычитая из первого равенства второе, получаем: ab+ab=2R2. Из изложенного следует, что для получения поляры точки A (при |OA| Если точка A лежит вне, то получаем не все точки поляры, а только те, которые лежат внутри на прямой, проходящей через точки касания касательных, проведённых к через A. Таким образом, определение полярной сопряжённости точек через формулы (16.1) и (16.2) оказывается предпочтительнее определения через гармонические пары точек (A, B) и (M, N) с элементарногеометрической точки зрения. Однако оно проигрывает в другом: определение через гармонические пары может быть распространено на любую кривую второго порядка и имеет глубокое геометрическое содержание с проективной точки зрения, а определение указанными формулами имеет место только для окружности на евклидовой плоскости. 16.5. Построение поляры данной точки одной линейкой. Для этого построения необходимо доказать такое свойство: если диагонали вписанного в окружность четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, а прямые AB и CD Ч в точке Q, то точки P и Q полярно сопряжены относительно окружности. Примем окружность за единичную. Согласно (2.20) имеем: a+c-(b+d) a+b-(c+d) p=, q=, ac-bd ab-cd откуда ac(b+d)-bd(a+c) ab(c+d)-cd(a+b) p=, q=. ac-bd ab-cd Требуется проверить, что pq+pq=2 (считаем, что R2=1). Находим: pq+pq=(ac(b+d)-bd(a+c))(a+b-c-d)+(a+c-b-d)(ab(c+d)-cd(a+b))= (ac-bd)(ab-cd) =(b+d)(c(a+b)(a+d)-a(b+c)(c+d))+(a+c)(b(c+d)(a+d)-d(a+b)(b+c))= (ac-bd)(ab-cd) =(b+d)(a-c)(ac-bd)+(a+c)(b-d)(ac-bd)= (ac-bd)(ab-cd) =(b+d)(a-c)+(a+c)(b-d)=2. ab-cd Чтобы построить поляру точки A, про- B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B BB BB BB BB B BB B BB BB BB BB BB B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B водим через неё две произвольные секущие A C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C окружности и находим с помощью получившегося вписанного четырёхугольника полярно сопряжённую ей точку B. Проведя через A третью секущую, находим аналогично ещё одну точку C, полярно сопряжён- Рис. ную с A (рис. 44, 45). Прямая BC Чполяра точки A Ч построена одной линейкой. Построив поляру для внешней точки A, мы получаем две точки пересечения C поляры с окружностью и, соединяя их с A, получим две касательные к окружности из внешней точки. Это построение A касательных выполнено одной линейкой. З а д а ч а 1. Две окружности ортогональны. Доказать, что две диаметрально противоположные точки одной из них B полярно сопряжены относительно другой. Пусть даны окружности zz=и (z-s)(z-s)=R2. Так как по условию Рис. они ортогональны, имеем: R2=ss-1. Пусть две диаметрально противоположные точки первой окружности имеют координаты a и -a. Проверим, что выполняется равенство (16.1): (a-s)(-a-s)+(a-s)(-a-s)=-2aa+2ss=2R2, поскольку aa=1 и -1+ss=R2. Задача 2. Точка M Ч середина стороны AB треугольника ABC, точка H Ч его ортоцентр. Доказать, что - - 1 MHMC= AB2. В силу формулы (2.5) для скалярного произведения векторов полярная сопряжённость точек A и B относительно окружности (S, R) характеризуется равенством - SASB=R2. (16.8) Имея это в виду, построим окружность с центром M и радиусом R= = |AB|. Она пройдёт через основания A1 и B1 высот треугольника ABC, проведённых из вершин A и B. В четырёхугольнике ABA1Bдиагонали пересекаются в точке H, а прямые AB1 и BA1 Ч в точке C. Поэтому точки H и C полярно сопряжены относительно окружности - - M, AB. В силу (16.8) будет истинно MHMC= AB2. 2 Задачи 3.35. Дан вписанный четырёхугольник ABCD и построены точки P=ACBD, M =ABCD, N =ADBC. Докажите, что центр O описанной около четырёхугольника окружности является ортоцентром треугольника MNP. 3.36. Из точки A опущен перпендикуляр AP на поляру точки B относительно окружности с центром O, а из точки B опущен перпендикуляр BQ на поляру точки A относительно той же окружности. - - - Докажите, что OABQ=OBAP. з 17. Пучки окружностей 17.1. Степень точки относительно окружности. Если дана точка M и окружность (S, R), то число SM2-R2 называют степенью точки M относительно окружности. Условимся обозначать SM2-R2=(M). Если точка M лежит вне окружности, то (M)>0 и (M) равна квадрату длины отрезка касательной к окружности, проведённой из точки M. Если точка M находится на окружности, то (M)=0. Когда же точка M располагается внутри, (M)<0 и |(M)| равен квадрату длины полухорды, проходящей через M перпендикулярно SM. Если прямая, содержащая точку M, пересекает в точках A и B, - то (M)=MAMB. Согласно определению, (M)=(s-m)(s-m)-R2 (17.1) 17.2. Радикальная ось двух окружностей определяется как множество точек плоскости, каждая из которых имеет одну и ту же степень относительно каждой из двух данных окружностей. Если (A, R) и (B, r) Ч данные окружности и P(z) Ч точка искомого множества, то это множество имеет уравнение: (a-z)(a-z)-R2=(b-z)(b-z)-r2, или (a-b)z+(a-b)z-aa+bb+R2-r2=0. (17.2) Если a=b, то полученным уравнением определяется прямая с нор мальным вектором a-b. Следовательно, радикальной осью двух неконцентрических окружностей (a-z)(a-z)=R2 и (b-z)(b-z)=rявляется прямая (17.2), перпендикулярная линии центров этих окружностей. При a=b и R =r равенство (17.2) противоречиво, т. е. концентрические окружности не имеют радикальной оси. Если окружности заданы уравнениями zz+z+z+0=0, 0=и zz+z+z+0=0, 0=0, то a=-, b=-, R2=-0, r2=-0, и поэтому уравнение (17.2) их радикальной оси принимает вид: (-)z+(-)z+0-0=0. (17.3) Формально это уравнение получается путём почленного вычитания уравнения одной окружности из уравнения другой. Если окружности имеют общие точки, то эти точки принадлежат радикальной оси окружностей, поскольку они имеют одну и ту же, нулевую, степень относительно каждой из окружностей. Следовательно, радикальная ось двух пересекающихся окружностей содержит их общую хорду, радикальная ось двух касающихся окружностей совпадает с их общей касательной, которая перпендикулярна линии центров. Если окружности лежат одна вне другой, не касаясь, то их радикальная ось проходит через середины отрезков общих касательных с концами в точках касания. Взаимное расположение двух окружностей характеризуется такими условиями: а) если |R-r|<|-| б ) при |R-r|=|-| окружности касаются внутренним образом; в) при |-|=R+r они касаются внешним образом; г) когда |R-r|>|-|, одна окружность лежит внутри другой, не касаясь её; д) если |-|>R+r, то одна окружность лежит вне другой, не касаясь её. 17.3. Радикальный центр трёх окружностей. Если центры трёх окружностей неколлинеарны, то три радикальные оси этих окружностей, взятых попарно, пересекаются в одной точке. В самом деле, точка пересечения двух радикальных осей имеет одну и ту же степень относительно каждой из трёх данных окружностей, вследствие чего она должна принадлежать и третьей радикальной оси. Она называется радикальным центром трёх данных окружностей. Комплексная координата радикального центра трёх окружностей zz+z+z+0=0, =0, zz+z+z+0=0, zz+z+z+0=0, находится как координата точки пересечения их радикальных осей: (-)z+(-)z+0-0=0, = (17.4) ; (-)z+(-)z+0-0=0. Уравнение (-)z+(-)z+0-0=0 третьей радикальной оси является следствием уравнений (17.4). Их система даёт искомую координату 0 0-0 - 0 0-0 - 0 z0= =. (17.5) - - - - Если первая окружность единичная: zz-1=0, то (1+0)-(1+0) z0=. (17.6) С помощью радикального центра легко построить радикальную ось двух непересекающихся окружностей. Для этого достаточно провести произвольную окружность, пересекающую две данные, и построить радикальный центр этих трёх окружностей (рис. 46). S Рис. 17.4. Пучкиокружностей. Возьмёмдвенеконцентрическиеокружности zz+z+z+0=0 и zz+z+z+0=и рассмотрим множество окружностей, заданное уравнением (zz+z+z+0)+(1-)(zz+z+z+0)=0, (17.7) где Ч действительный параметр, =. Это множество замечательно тем, что любые две его окружности имеют одну и ту же радикальную ось. В самом деле, если 1=2, то радикальная ось окружностей, соответствующих 1 и 2, имеет уравнение (1+(1-1)-2-(1-2))z+(1+(1-1)-2-(1-2))z+ +10+(1-1)0-20-(1-2)0=0. В левой части можно выделить множитель 1-2, сокращая на который, получаем уравнение (-)z+(-)z+0-0=0. (17.8) Таким образом, радикальная ось двух произвольных окружностей из семейства (17.7) совпадает с радикальной осью двух данных окружностей (не зависит от ). О п р е д е л е н и е. Множество окружностей, каждая пара которых имеет одну и ту же радикальную ось, называется пучком окружностей. Центр произвольной окружности пучка (17.7) имеет комплексную координату -+(-1), а, значит, коллинеарен с центрами двух первоначально взятых окружностей. Следовательно, центры всех окружностей пучка лежат на одной прямой Ч линии центров пучка. Она имеет уравнение z z =0, - - - - или (-)z+(-)z+-=0. (17.9) Пучок окружностей задаётся любыми двумя его окружностями. Книги по разным темам