Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | ... | 30 | 2 2 8.52. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций а) f1(x) = a cos x + b sin x; б) f2(x) = a cos2 x + b cos x sin x + c sin2 x.
8.53. Пусть cos x + cos y = a, sin x + sin y = b. Вычислите cos(x + y) и sin(x + y).
8.54. Докажите, что функция cos x не является периодической.
8.55. При каких целых значениях n функция y = cos nx sin x n имеет период 3 8.56. Рассмотрим функцию f(x) = A cos x + B sin x, где A и B Ч некоторые постоянные. Докажите, что если f(x) обращается в ноль при двух значениях аргумента x1 и x2 таких, что x1 - x2 = k (k Ч целое), то функция f(x) равна нулю тождественно.
120 8. Алгебра + геометрия 8.57. Докажите, что если сумма a1 cos(1 + x) + a2 cos(2 + x) +... + an cos(n + x) при x = 0 и x = x1 = k (k Ч целое) обращается в ноль, то она равна нулю при всех x.
8.58. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = = sin6 x + cos6 x.
8.59. Решите уравнение sin4 x + cos4 x = a.
8.60. Решите уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
8.61. Решите уравнение tg x + tg 2x + tg 3x + tg 4x = 0.
8.62. Пусть и Ч различные корни уравнения a cos x + b sin x = c.
Докажите, что - ccos2 =.
a2 + b8.63. Решите систему:
x sin + y sin 2 + z sin 3 = sin 4, x sin + y sin 2 + z sin 3 = sin 4, x sin + y sin 2 + z sin 3 = sin 4.
8.64. Вычислите:
а) arccos sin - ; б) arcsin cos.
7 8.65. Докажите, что имеют место следующие соотношения:
а) cos arcsin x = 1 - x2; д) sin arccos x = 1 - x2;
1 б) tg arcctg x = ; е) ctg arctg x = ;
x x 1 x в) cos arctg x = ; ж) sin arctg x = ;
1 + x2 1 + xx г) cos arcctg x = ; з) sin arcctg x =.
1 + x2 1 + x8.66. Докажите равенства:
а) arctg x + arcctg x = ; б) arcsin x + arccos x =.
2 8.67. Докажите формулы:
а) arcsin(-x) = - arcsin x, б) arccos(-x) = - arccos x.
8.68. Чему равна сумма arctg x + arctg x 8.69. Докажите равенство:
x + y arctg x + arctg y = arctg +, 1 - xy 3. Тригонометрия где = 0, если xy < 1, = -1, если xy > 1 и x < 0, = +1, если xy > и x > 0.
8.70. Докажите равенство:
1 4 arctg - arctg =.
5 239 8.71. Докажите равенство:
1 1 1 arctg + arctg + arctg + arctg =.
3 5 7 8 8.72. Найдите сумму:
x x x arctg + arctg +... + arctg (x > 0).
1 + 1 2x2 1 + 2 3x2 1 + n (n + 1)x8.73. Найдите сумму:
r r r arctg + arctg +... + arctg, 1 + a1 a2 1 + a2 a3 1 + an an+если числа a1, a2,..., an+1 образуют арифметическую прогрессию с разностью r (a1 > 0, r > 0).
8.74. Докажите, что числа Фибоначчи {Fn} удовлетворяют соотношению arcctg F2n - arcctg F2n+2 = arcctg F2n+1. (8.2) Получите отсюда равенство arcctg 2 + arcctg 5 + arcctg 13 +... + arcctg F2n+1 +... =.
8.75. Докажите, что при x > 1 выполняется равенство:
2x 2 arctg x + arcsin =.
1 + x8.76. Решите уравнение x2 - 8 x arcsin = 2 arcsin -.
8 4 8.77. Докажите формулу:
arcsin 1 - x2, если 0 x 1;
arccos x = - arcsin 1 - x2, если - 1 x 0.
8.78. Докажите равенство:
arcsin x + arcsin y = arcsin(x 1 - y2 + y 1 - x2) +, 122 8. Алгебра + геометрия где = 1, = 0, если xy < 0 или x2 + y2 1; = -1, = -1, если x2 + y2 > 1, x < 0, y < 0; = -1, = 1, если x2 + y2 > 1, x > 0, y > 0.
8.79. Докажите, что если 0 < x < 1 и 1 + x 1 - x = 2 arctg, = arctg, 1 - x 1 + xто + =.
8.80. Найдите соотношение между функциями arcsin cos arcsin x и arccos sin arccos x.
8.81. Докажите, что при 0 выполняется неравенство cos sin > sin cos.
8.82. Вычислите 1 sin 2 arctg - arctg.
5 8.83. Теорема синусов. Докажите, что из равенств a b c = =, + + = (8.3) sin sin sin следует:
a = b cos + c cos, b = c cos + a cos, (8.4) c = a cos + b cos.
(См. также 8.12.) 8.84. Покажите, что из соотношений (8.4) и дополнительных условий 0 <, 0 <, 0 <, a > 0, b > 0, c > 0 следуют равенства (8.3).
8.85. Теорема косинусов. Докажите, что соотношения (8.4) равносильны системе a2 = b2 + c2 - 2bc cos, b2 = a2 + c2 - 2ac cos, (8.5) c2 = a2 + b2 - 2ab cos, то есть из равенств (8.4) вытекают равенства (8.5) и наоборот.
8.86. Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла. Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами,, и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Для 3. Тригонометрия него справедлива теорема синусов (8.7) и две теоремы косинусов (8.6), (8.8) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований.
Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства cos = cos cos + sin sin cos A, cos = cos cos + sin sin cos B, (8.6) cos = cos cos + sin sin cos C, и, кроме того, величины,, и A, B, C заключены между 0 и.
Докажите, что sin A sin B sin C = =. (8.7) sin sin sin 8.87. Вторая теорема косинусов для трехгранного угла и аналог формулы Герона. Докажите, что из системы (8.6) следуют равенства cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos, cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos, (8.8) cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos, A + B + C - p p - p - p - tg = tg tg tg tg, 4 2 2 2 где 2p = + +.
8.88. Формулы Рамануджана. Докажите следующие тождества:
2 4 8 5 - 3 3 3 а) cos + cos + cos = ;
7 7 7 2 4 8 3 9 - 3 3 б) cos + cos + cos =.
9 9 9 (См. также 8.11.) 8.89. Пусть sin 2nx sin(2n - 1)x ... sin(2n - k + 1)x uk =.
sin kx sin(k - 1)x ... sin x Докажите, что числа uk можно представить в виде многочлена от cos x.
(См. также 3.142.) 8.90. Пусть числа uk определены как и в предыдущей задаче. Докажите тождества:
а) 1-u1 +u2 -...+u2n = 2n(1-cos x)(1-cos 3x)...(1-cos(2n-1)x);
sin(2n + 2)x sin(2n + 4)x ... sin 4nx б) 1 - u2 + u2 -... + u2 = (-1)n.
1 2 2n sin 2nx sin 2(n - 1)x ... sin 2x Глава Уравнения и системы 1. Уравнения третьей степени 9.1. Докажите, что а) при p 0 график многочлена x3 + px + q = 0 пересекает каждую горизонтальную прямую ровно в одной точке;
б) при p < 0 график пересекает некоторые горизонтальные прямые в трех точках;
в) при p < 0 график имеет один минимум и один максимум при этом абсциссы точек минимума и максимума противоположны.
9.2. Докажите, что произвольное уравнение третьей степени z3 + Az2 + Bz + C = при помощи линейной замены переменной z = x + можно привести к виду x3 + px + q = 0. (9.1) 9.3. Докажите, что график многочлена а) x3 + px; б) x3 + px + q; в) ax3 + bx2 + cx + d имеет центр симметрии.
3 9.4. Докажите равенство 2 + 5 + 2 - 5 = 1.
9.5. Решите уравнение x3 + x2 + x = -.
9.6. Докажите, что уравнение x3 + ax2 - b = 0, где a и b вещественные и b > 0, имеет один и только один положительный корень.
9.7. Какими должны быть числа a и b, чтобы выполнялось равенство x3 + px + q = x3 - a3 - b3 - 3abx 1. Уравнения третьей степени 9.8. Разложите многочлен a3 + b3 + c3 - 3abc на три линейных множителя. (См. также 11.74.) 9.9. Выразите через a и b действительный корень уравнения x3 - a3 - b3 - 3abx = 0.
Найдите представления для двух комплексных корней этого уравнения.
9.10. Докажите, что (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz) = = X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ, если X = ax + cy + bz, Y = cx + by + az, Z = bx + ay + cz.
9.11. Формула Кардано. Получите формулу для корня уравнения x3 + px + q = 0:
q q2 p3 3 q q2 px = - + + + - - +.
2 4 27 2 4 9.12. Решите уравнение x3 + x - 2 = 0 подбором и по формуле Кардано.
9.13. Выпишите уравнение, корнем которого будет число 3 = 5 2 + 7 - 5 2 - 7.
Запишите число без помощи радикалов.
9.14. При всех значениях параметра a найдите число действительных корней уравнения x3 - x - a = 0.
9.15. Решите уравнение x3 - x - = 0. Сколько действительных 3 корней оно имеет 9.16. Докажите, что если x1, x2, x3 Ч корни уравнения x3+px+q = 0, то x2 + x2x3 + x2 = x2 + x1x3 + x2 = x2 + x1x2 + x2 = -p.
2 3 1 3 1 (См. также 8.13.) 126 9. Уравнения и системы Определение. Пусть f(x) Ч некоторый многочлен степени n 2, и пусть f(x) = an(x - 1)... (x - n) Ч разложение f(x) на линейные множители. Тогда дискриминант D(f) многочлена f(x) определяется так:
D(f) = a2n-2 (j - l)2.
n 1 j 9.17. Дискриминант кубического уравнения. Пусть уравнение x3 + px + q = 0 имеет корни x1, x2 и x3. Выразите через p и q дискриминант этого уравнения D = (x1 - x2)2(x2 - x3)2(x3 - x1)2. 9.18. Докажите, что равенство 4p3 + 27q2 = является необходимым и достаточным условием для совпадения по крайней мере двух корней уравнения x3 + px + q = 0. 9.19. Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения x3 + ax2 + 18 = 0, x3 + bx + 12 = имеют два общих корня, и определите эти корни. Определение. Кривая 4p3 + 27q2 = 0 на фазовой плоскости Opq называется дискриминантной кривой уравнения x3 + px + q = 0. Прямые ap + q + a3 = 0, соответствующие трехчленам, имеющим корень a, называются корневыми. 9.20. Каково взаимное расположение на фазовой плоскости Opq дискриминантной кривой и корневых прямых Имеют ли они общие точки, и, если имеют, то сколько (См. также 6.22.) 9.21. Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p; q), для которых уравнение x3 + px + q = 0 имеет а) один корень; б) два корня; в) три различных корня; г) три совпадающих корня. 9.22. Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p; q), для которых все корни уравнения x3 + px + q = 0 не превосходят по модулю 1. 9.23. Изобразите на фазовой плоскости Opq множество точек (p; q), для которых уравнение x3 + px + q = 0 имеет три различных корня, 1. Уравнения третьей степени принадлежащих заданному интервалу (a; b). Рассмотрите, например, случай, когда a = -2, b = 4. 9.24. Метод Виета. Когда 4p3 +27q2 < 0, уравнение x3 +px+q = имеет три действительных корня (неприводимый кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции. а) Докажите, что при p < 0 уравнение 9.1 заменой x = kt сводится к уравнению 4t3 - 3t - r = 0 (9.2) от переменной t. б) Докажите, что при 4p3 + 27q2 0 решениями уравнения (9.2) будут числа + 2 + t1 = cos, t2 = cos, t3 = cos, 3 3 где = arccos r. 9.25. Решите уравнения а) x3 - 3x - 1 = 0; б) x3 - 3x - 3 = 0. Укажите в явном виде все корни этих уравнений. 9.26. Докажите, что если корни многочлена f(x) = x3 + ax2 + bx + c образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен f (x) = 3x2 + 2ax + b имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника. 9.27. Докажите, что если уравнения x3 + px + q = 0, x3 + p x + q = имеют общий корень, то (pq - qp )(p - p )2 = (q - q )3. 9.28. а) Докажите, что при 4p3 + 27q2 0 уравнение 9.1 заменой x = y + сводится к уравнению ay3 - 3by2 - 3ay + b = 0 (9.3) от переменной y. б) Докажите, что при решениями уравнения (9.3) будут числа + 2 + y1 = tg, y2 = tg, y1 = tg, 3 3 128 9. Уравнения и системы где определяется из условий: b a sin =, cos =. a2 + b2 a2 + b9.29. Метод Феррари. Этот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений. а) Докажите, что любое уравнение 4 степени можно привести к виду x4 = Ax2 + Bx + C. (9.4) б) Введем действительный параметр и перепишем уравнение (9.4) в виде x4 + 2x2 + 2 = (A + 2)x2 + Bx + (C + 2). (9.5) Докажите, что для некоторого -A/2 правая часть равенства (9.5) превращается в полный квадрат (по переменной x). Пользуясь равенством (9.5), опишите метод нахождения корней уравнения (9.4). 2. Тригонометрические замены 9.30. Решите систему x2 + y2 = 1, 4xy(2y2 - 1) = 1. 9.31. Решите систему y = 2x2 - 1, z = 2y2 - 1, x = 2z2 - 1. 9.32. Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство x - y 0 <. 1 + xy 9.33. Среди всех решений системы x2 + y2 = 4, z2 + t2 = 9, xt + yz = 6, выберете те, для которых величина x + z принимает наибольшее значение. 2. Тригонометрические замены 9.34. Решите уравнения а) 1 - x2 = 4x3 - 3x; в) 1 - x = 2x2 - 1 + 2x 1 - x2; x 35 1 - |x| б) x + = ; г) = 2x2 - 1. 12 x2 - 9.35. Последовательность чисел {hn} задана условиями: 1 1 - 1 - hn h1 =, hn+1 = (n 1). 2 Докажите неравенство hk < 1,03. k=9.36. Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравнение 8x(1 - 2x2)(8x4 - 8x2 + 1) = 1 9.37. Пусть |x1| 1 и |x2| 1. Докажите неравенство x1 + x1 - x2 + 1 - x2 2 1 -. 1 9.38. Решите уравнение |2x - 1 - 4x2| = 2(8x2 - 1). 9.39*. Числа x, y и z удовлетворяют соотношению xy + yz + xz = 1. Докажите, что существуют числа,, такие, что + + = и выполняются равенства x = tg(/2), y = tg(/2), z = tg(/2). 9.40. Решите системы: x + 3y = 4y3, 1 1 3 x + = 4 y + = 5 z +, x y z a) y + 3z = 4z3, в) xy + yz + xz = 1; z + 3x = 4x3; 2x + x2y = y, - x2 2y 1 - z= , б) 2y + y2z = z, г) 1 + x2 1 + y2 1 + z xy + yz + xz = 1. 2z + z2x = x; 9.41. Пусть xy + yz + xz = 1. Докажите равенство: x y z 4xyz + + =. 1 - x2 1 - y2 1 - z2 (1 - x2)(1 - y2)(1 - z2) 9.42. Решите систему: 130 9. Уравнения и системы tg x tg z = 3, tg y tg z = 6, x + y + z =. 9.43. Решите систему: y = x(4 - x), z = y(4 - y), x = z(4 - z). 9.44. Решите уравнение: 1 + 2x 1 - x+ 2x2 = 1. 3. Итерации Определение. Итерацией называется результат повторного применения какой-либо математической опреации. Так, если y = f(x) = = f1(x) есть некоторая функция от x, то функции f2(x) = f(f1(x)), f3(x) = f(f2(x)),..., fn(x) = f(fn-1(x)) называются соответственно второй, третьей,..., n-й итерациями функции f(x). При отыскании предела последовательности xn = fn(x0) часто оказывается полезной следующая теорема. Теорема Вейерштрасса. Всякая возрастающая последовательность, ограниченная сверху, имеет предел. Аналогично, всякая убывающая последовательность, ограниченная снизу, также имеет предел. (См. [7].) 9.45. Имеются два сосуда. В них разлили 1 л. воды. Из первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет 2/3 л. и 1/3 л. с точностью до 1 миллилитра. Книги по разным темам