Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | ... | 30 | Определение. Наибольшим общим делителем двух или нескольких многочленов называется многочлен максимальной степени, на который делится каждый из данных.
Как и для чисел, наибольший общий делитель многочленов P1(x),...
..., Pk(x) обозначается (P1(x),..., Pk(x)).
6.65. Докажите, что из равенства P(x) = Q(x) T(x) + R(x) следует соотношение (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x)).
6.66. Алгоритм Евклида для многочленов. Пусть P(x) и Q(x) Ч многочлены, причем Q(x) не равен нулю тождественно и Q(x) P(x).
Докажите, что при некотором s 1 существуют многочлены A0(x), 90 6. Многочлены A1(x),..., As(x) и R1(x),..., Rs(x) такие, что deg Q(x) > deg R1(x) > deg R2(x) >... > deg Rs(x) 0, P(x) = Q(x) A0(x) + R1(x), Q(x) = R1(x) A1(x) + R2(x), R1(x) = R2(x) A2(x) + R3(x),.......................
Rs-2(x) = Rs-1(x) As-1(x) + Rs(x), Rs-1(x) = Rs(x) As(x), и (P(x), Q(x)) = Rs(x). (Сравните с задачей 3.36.) 6.67. Пусть (P(x), Q(x)) = D(x). Докажите, что существуют многочлены U(x) и V(x) такие, что deg U(x) (Сравните с задачей 3.37.) 6.68. Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде P(x) U(x) + Q(x) V(x): а) P(x) = x4 + x3 - 3x2 - 4x - 1, Q(x) = x3 + x2 - x - 1; б) P(x) = 3x4 - 5x3 + 4x2 - 2x + 1, Q(x) = 3x3 - 2x2 + x - 1. 6.69. Найдите (xn - 1, xm - 1). 6.70. Последовательность a0, a1, a2,... задана условиями a0 = 0, an+1 = P(an) (n 0), где P(x) Ч многочлен с целыми коэффициентами, P(x) > 0 при x 0. Докажите, что для любых натуральных m и k (am, ak) = a(m,k). 6.71. Решите систему x6 - x5 + x4 - x3 + 5x2 = 5, x6 - 2x5 + 3x4 - 4x3 + 2x = 0. 6.72. При каком положительном значении p уравнения 3x2-4px+9 = = 0 и x2 - 2px + 5 = 0 имеют общий корень 6.73. Найдите многочлены P(x) и Q(x) такие, что (x + 1) P(x) + (x4 + 1) Q(x) = 1. 6.74. При помощи метода неопределенных коэффициентов (смотрите раздел 3, с. 92) найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство P(x)(x2 - 3x + 2) + Q(x)(x2 + x + 1) = 21. 2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу 6.75. Найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство P(x)(2x3 - 7x2 + 7x - 2) + Q(x)(2x3 + x2 + x - 1) = 2x - 1. 2n + 6.76. Сколько представлений допускает дробь в виде суммы n(n + 1) двух положительных дробей со знаменателями n и n + 1 6.77. Схема Горнера. Значение многочлена Pn(x) = anxn + an-1xn-1 +... + a1x + a0 (an = 0) в точке x = c можно вычислить, используя ровно n умножений. Для этого нужно представить многочлен Pn(x) в виде Pn(x) = (... (anx + an-1)x +... + a1)x + a0. (См. также 5.63.) Пусть bn, bn-1,..., b0 Ч это значения выражений, которые получаются в процессе вычисления Pn(c), то есть bn = an, bk = c bk+1 + ak (k = n - 1,..., 0). Докажите, что при делении многочлена Pn(x) на (x - c) с остатком, у многочлена в частном коэффициенты будут совпадать с числами bn-1,..., b1, а остатком будет число b0. Таким образом, будет справедливо равенство: Pn(x) = (x - c)(bnxn-1 +... + b2x + b1) + b0. 6.78. Формулы сокращенного умножения. Докажите следующие равенства: an+1 - bn+1 = (a - b)(an + an-1b +... + bn); a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n - a2n-1b + a2n-2b2 -... + b2n). 6.78. Докажите, что при n. . nn-1 - 1. (n - 1)6.79. Формула Тейлора для многочлена. Докажите, что любой многочлен Pn(x) можно единственным образом разложить по степеням (x - c): n Pn(x) = ck (x - c)k, k=92 6. Многочлены причем коэффициенты ck могут быть найдены по формуле P(k)(x) ck = (0 k n). k! x=c (См. также 11.21.) 6.80. Пользуясь схемой Горнера, разложите x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + по степеням x + 1. 6.81. Разложите P(x + 3) по степеням x, где P(x) = x4 - x3 + 1. 3. Разложение на множители Метод неопределенных коэффициентов. В задачах о разложении многочленов на множители часто оказывается полезным подход, который называется методом неопределенных коэффициентов. Сначала записывается предполагаемое разложение с неизвестными (неопределенными) коэффициентами. После раскрытия скобок получается выражение, которое должно совпадать с исходным. Равенство коэффициентов при соответствующих одночленах дает систему уравнений, из которой находятся неопределенные коэффициенты, а, тем самым, и разложение на множители. Соотношения на неопределенные коэффициенты можно также получать, подставляя в предполагаемое равенство конкретные значения переменных. 6.82. Разложите на множители с действительными коэффициентами многочлены: а) x4 + 4; ж) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3; б) 2x3 + x2 + x - 1; з) (x - y)5 + (y - z)5 + (z - x)5; в) x10 + x5 + 1; и) a8 + a6b2 + a4b4 + a2b6 + b8; г) a3 + b3 + c3 - 3abc; к) (x2 + x + 1)2 + 3x(x2 + x + 1) + 2x2; д) x3 + 3xy + y3 - 1; л) a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2a2c2 - 2b2c2; е) x2y2 - x2 + 4xy - y2 + 1; м) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15. (См. также 9.8.) 6.83. Можно ли разлложить на множители с целыми коэффициентами многочлен x4 + x3 + x2 + x + 12 6.84. Докажите, что многочлен x4 +px2 +q всегда можно разложить в произведение двух многочленов второй степени. 6.85. Упростите выражение: (a + b + c)5 - a5 - b5 - c. (a + b + c)3 - a3 - b3 - c4. Многочлены с кратными корнями 6.86. Докажите, что при нечетном m выражение (x + y + z)m - xm - ym - zm делится на (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3. 6.87. Пусть a, b, c Ч попарно различные числа. Докажите, что выражение a2(c - b) + b2(a - c) + c2(b - a) не равно нулю. 6.88. Докажите, что если три действительных числа a, b, c связаны соотношением 1 1 1 + + =, a b c a + b + c то обязательно какие-либо два из этих чисел в сумме дают ноль. 6.89. Докажите, что если a + b + c = 0, то 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2). 6.90. Теорема о рациональных корнях многочлена. Докажите, что если (p, q) = 1 и p/q Ч рациональный корень многочлена P(x) = anxn +... + a1x + aс целыми коэффициентами, то.. а) a0. p; б) an. q. .. Эти соотношения позволяют перечислить все рациональные числа, которые могут быть корнями данного многочлена. (См. также 7.41.) 6.91. Докажите при помощи предыдущей задачи, что 17 Ч иррациональное число. 6.92. Докажите, что cos 20 Ч число иррациональное. 6.93. Найдите рациональные корни многочленов: а) x5 - 2x4 - 4x3 + 4x2 - 5x + 6; б) x5 + x4 - 6x3 - 14x2 - 11x - 3. 6.94. Решите уравнения: а) x4 + x3 - 3a2x2 - 2a2x + 2a4 = 0; б) x3 - 3x = a3 + a-3. 4. Многочлены с кратными корнями Определение. Пусть P(x) = (x - a)k Q(x), k 1 и Q(a) = 0. Тогда число a называется корнем многочлена P(x) кратности k. Если a Ч 94 6. Многочлены корень кратности 1, то он называется простым корнем, если кратность больше 1, то число a называется кратным корнем. 6.95. Докажите, что корень a имеет кратность больше 1 тогда и только тогда, когда P(a) = 0 и P (a) = 0. 6.96. Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет построить многочлен R(x), имеющий те же корни, что и P(x), но все кратности 1. Положим Q(x) = (P(x), P (x)) и R(x) = P(x) Q-1(x). Докажите, что а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x); б) многочлен R(x) не имеет кратных корней. 6.97. Постройте многочлен R(x) из предыдущей задачи, если: а) P(x) = x6 - 6x4 - 4x3 + 9x2 + 12x + 4; б) P(x) = x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + x + 1. 6.98. Докажите, что многочлен x2 xn P(x) = 1 + x + +... + 2! n! не имеет кратных корней. 6.99. При каких A и B многочлен Axn+1 + Bxn + 1 имеет число x = не менее чем двукратным корнем 6.100. Докажите, что многочлен x2n - nxn+1 + nxn-1 - 1 при n > имеет трехкратный корень x = 1. 6.101. Докажите, что многочлен P(x) делится на свою производную тогда и только тогда, когда он имеет вид P(x) = an(x - x0)n. 6.102. Докажите, что при n > 0 многочлен nxn+1 - (n + 1)xn + делится на (x - 1)2. 6.103. Докажите, что при n > 0 многочлен n2xn+2 - (2n2 + 2n - 1)xn+1 + (n + 1)2xn - x - делится на (x - 1)3. 6.104. Докажите, что при n > 0 многочлен x2n+1 - (2n + 1)xn+1 + (2n + 1)xn - делится на (x - 1)3. 6.105. Докажите, что многочлен P(x) = a0 + a1x +... + anxn 5. Теорема Виета имеет число -1 корнем кратности m тогда и только тогда, когда выполнены условия: a0 - a1 + a2 - a3 +... + (-1)nan = 0, - a1 + 2a2 - 3a3 +... + (-1)nnan = 0,........................... - a1 + 2ma2 - 3ma3 +... + (-1)nnman = 0. (См. также 11.12.) 6.106. Докажите, что многочлен P(x) = (xn+1 - 1)(xn+2 - 1)... (xn+m - 1) без остатка делится на Q(x) = (x1 - 1)(x2 - 1)... (xm - 1). (См. также 11.95.) 5. Теорема Виета Теорема Виета. Пусть x1, x2,..., xn Ч корни многочлена anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +... + a1x + a(an = 0). Тогда справедливы равенства x1 + x2 +... + xn = -an-1/an, x1x2 + x2x3 +... + xn-1xn = an-2/an,...................... x1x2... xn = (-1)na0/an. Определение. Многочлен, не изменяющийся при любых перестановках своих переменных, называется симметрическим. Многочлены 1(x1, x2,..., xn) = x1 + x2 +... + xn, 2(x1, x2,..., xn) = x1x2 + x2x3 +... + xn-1xn,............................. n(x1, x2,..., xn) = x1x2... xn, называются элементарными симметрическими. Теорема. Всякий симметрический многочлен F(x1,..., xn) представим в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов: F(x1,..., xn) = G(1,..., n) и единственным образом (См. [23].) 96 6. Многочлены При этом коэффициенты G получаются из коэффициентов F только при помощи операций сложения, вычитания и умножения, то есть, если все коэффициенты F были целыми числами, то и коэффициенты G также будут целыми числами. Задачи о выражении симметрических многочленов через элементарные симметрические могут быть решены при помощи метода неопределенных коэффициентов (см. с. 92). Для нахождения искомого представления многочлена F(x1,..., xn) степени m достаточно рассмотреть сумn му с неопределенными коэффициентами одночленов вида a... a, 1 n суммарная степень (a1 + 2a2 +... + nan) каждого из которых равна m. 6.107. Выразите через элементарные симметрические многочлены следующие выражения: а) (x + y)(y + z)(x + z); г) (x2 + y2)(y2 + z2)(x2 + z2); б) x3 + y3 + z3 - 3xyz; д) x2 + x2 +... + x2 ; 1 2 n в) x3 + y3; е) x4 + y4 + z4. 6.108. Известно, что a+b+c = 0, a2+b2+c2 = 1. Найдите a4+b4+c4. 6.109. Числа x, y, z удовлетворяют системе x + y + z = a, 1 1 1 + + =. x y z a Докажите, что хотя бы одно из этих чисел равно a. 6.110. Решите систему: x + y + z = a, x2 + y2 + z2 = a2, x3 + y3 + z3 = a3. 6.111. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых корни x1, x2, x3 многочлена x3 - 6x2 + ax + a удовлетворяют равенству (x1 - 3)3 + (x2 - 3)3 + (x3 - 3)3 = 0. 6.112. Постройте кубический многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена x3 + x2 - 2x - 1 = 0. 6.113. Известно, что x1, x2, x3 Ч корни уравнения x3 - 2x2 + x + 1 = 0. Составьте кубической уравнение, корнями которого были бы числа y1 = x2x3, y2 = x1x3, y3 = x1x2. 5. Теорема Виета 6.114. Выразите свободный член c кубического уравнения x3 + ax2 + bx + c = через коэффициенты a и b, зная, что корни этого уравнения образуют арифметическую прогрессию. 6.115. Пусть известно, что все корни уравнения x3 + px2 + qx + r = положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник 6.116. а) Известно, что x + y = u + v, x2 + y2 = u2 + v2. Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство xn + yn = un + vn. б) Известно, что x + y + z = u + v + t, x2 + y2 + z2 = u2 + v2 + t2, x3 + y3 + z3 = u3 + v3 + t3. Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство xn + yn + zn = un + vn + yn. 6.117. Решите системы: x + y + z = 6, x2 y2 + =, 1 1 1 11 y x а) г) + + =, x y z 6 1 1 + = ; y x xy + yz + xz = 11; x(y + z) = 2, x + y + z = 1, б) y(z + x) = 2, д) xy + xz + yz = -4, z(x + y) = 3; x3 + y3 + z3 = 1; x2 + y2 + x + y = 32, x2 + y2 = 12, в) е) 12(x + y) = 7xy; x + y + xy = 9. 6.118. Числа a, b, c являются тремя из четырех корней многочлена x4 - ax3 - bx + c. 98 6. Многочлены Найдите все такие многочлены. 6.119. Известно, что целые числа a, b, c удовлетворяют равенству a + b + c = 0. Докажите, что 2a4 + 2b4 + 2c4 Ч квадрат целого числа. 6.120. Найдите зависимость между коэффициентами кубического уравнения ax3 + bx2 + cx + d = 0, если известно, что сумма двух его корней равна произведению этих корней. 6.121. При каких a и b уравнение x3 + ax + b = 0 имеет три различных решения, составляющих арифметическую прогрессию 6.122. Путь a, b, c Ч стороны треугольника, p Ч его полупериметр, а r и R Ч радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от p, r, R, корнями которого являются числа a, b, c. Докажите равенство 1 1 1 + + =. ab bc ac 2rR 6.123. Решите в натуральных числах систему x + y = uv, u + v = xy. 6.124. В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше а) 4x3 - 18x2 + 24x = 8, 4x3 - 18x2 + 24x = 9; б) 4x3 - 18x2 + 24x = 11, 4x3 - 18x2 + 24x = 12 6. Интерполяционный многочлен Лагранжа 6.125. Решите уравнение (x - a)(x - b) (x - a)(x - c) (x - b)(x - c) c + b + a = x. (c - a)(c - b) (b - a)(b - c) (a - b)(a - c) 6.126. Докажите тождество (x - a)(x - b) (x - a)(x - c) (x - b)(x - c) c2 + b2 + a2 = x2. (c - a)(c - b) (b - a)(b - c) (a - b)(a - c) 6.127. Пусть x1 < x2 <... < xn Ч действительные числа. Постройте многочлены f1(x), f2(x),..., fn(x) степени n-1, которые удовлетворяют условиям fi(xi) = 1 и fi(xj) = 0 при i = j (i, j = 1, 2,..., n). 6.128. Опишите явный вид многочлена f(x) = f1(x) + f2(x) +... + fn(x), 6. Интерполяционный многочлен Лагранжа где fi(x) Ч многочлены из предыдущей задачи. 6.129. Пусть x1 < x2 <... < xn Ч действительные числа. Докажите, что для любых y1, y2,..., yn существует единственнный многочлен f(x) степени не выше n - 1 такой, что f(x1) = y1,..., f(xn) = yn. 6.130. Пусть A, B и C Ч остатки от деления многочлена P(x) на x - a, x - b и x - c. Найдите остаток от деления того же многочлена на произведение (x - a)(x - b)(x - c). Определение. Многочлен степени не выше n-1, значения которого в данных точках x1,..., xn (узлах интерполяции) совпадают с заданными числами y1,..., yn, называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Книги по разным темам