Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |   ...   | 65 |

По поводу обратного утверждения см. задачу 17.1.

Глава 9. Вычисление сумм и произведений 9.4. Рационально ли число 0, 1234567891011... (подряд записаны все натуральные числа) 9.5. Докажите, что любое число вида nk, где n и k натуральные числа, отличные от 1, можно представить в виде суммы n последовательных нечётных чисел.

9.6. Найдите сумму 1 + 2x + 3x2 +... + (n + 1)xn.

9.7. Пусть a, a+d, a+2d,... бесконечная арифметическая прогрессия, причём a, d > 0. Докажите, что из неё можно выбрать бесконечную подпоследовательность, являющуюся геометрической прогрессией, тогда и только тогда, когда число a/d рационально.

9.8. Имеется 4n положительных чисел, таких, что из любых четырёх попарно различных можно составить геометрическую прогрессию.

Докажите, что среди этих чисел найдётся n одинаковых.

9.9. Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.

9.2. Изменение порядка суммирования 9.10. Докажите, что если n = p + q - 1, то (a1 + a2 +... + ap) + (a2 + +... + ap+1) +... + (an-p+1 +... + an) = (a1 + a2 +... + aq) + (a2 +... + + aq+1) +... + (an-q+1 +... + an) 9.11. Числа a1, a2,..., an таковы, что сумма любых семи последовательных чисел отрицательна, а сумма любых одиннадцати последовательных чисел положительна. При каком наибольшем n это возможно 9.3. Суммы Sk(n) = 1k + 2k +... + nk Сумму 1 + 2 + 3 +... + n можно вычислить следующим способом.

Сложим равенства (k+1)2 = k2 +2k+1 для k = 1, 2,..., n. В результате после сокращения получим (n+1)2 = 1+2S1(n)+n, где S1(n) искомая n(n + 1) сумма. Значит, S1(n) =.

9.12. Вычислите таким же способом суммы S2(n) = 12 + 22 +... + nи S3(n) = 13 + 23 +... + n3.

106 Глава 9. Вычисление сумм и произведений 9.13. а) Докажите, что k + 1 k + 1 k + Sk(n)+ Sk-1(n)+...+ S1(n)+S0(n) = (n+1)k+1-1.

k k - 1 б) Докажите, что при фиксированном k сумма Sk(n) является мноnk+гочленом степени k + 1 от n со старшим коэффициентом.

k + k k k 9.14. а) Пусть S = S2k-1(n)+ S2k-3(n)+ S2k-5(n)+..., 1 3 k причём последнее слагаемое в этой сумме равно Sk(n) при нечётном k k nk(n + 1)k k и Sk+1(n) при чётном k. Докажите, что S =.

k - 1 n(n + 1) б) Докажите, что S2k-1(n) многочлен степени k от (при фиксированном k).

k + 1 k + 9.15. Пусть S = Sk(n) + Sk-2(n) +..., причём по1 k + следнее слагаемое в этой сумме равно S0(n) при чётном k и k + k + 1 (n + 1)k+1 + nk+1 - S1(n) при нечётном k. Докажите, что S =.

k 9.16. Найдите сумму 13 + 33 + 53 +... + (2n - 1)3.

9.4. Разбиение на пары 9.17. а) Докажите, что для любого простого числа p > 2 числитель дроби m 1 1 = 1 + + +... + n 2 3 p - делится на p.

б) Докажите, что для любого простого числа p > 3 числитель дроби m 1 1 = 1 + + +... + n 2 3 p - делится на p2.

p 1 1 1 9.18. Пусть = 1 - + - +... + несократимая дробь, q 2 3 4 4k - причём число 6k - 1 простое. Докажите, что p делится на 6k - 1.

9.19. Пусть p > 2 простое число, ak остаток от деления kp на p3 - pp2. Докажите, что a1 + a2 +... + ap-1 =.

Глава 9. Вычисление сумм и произведений 9.5. Вычисление одной суммы двумя способами 9.20. По окружности в произвольном порядке расставлено a плюсов и b минусов. Пусть p количество пар стоящих рядом плюсов, q количество пар стоящих рядом минусов. Докажите, что a - b = p - q.

Решения 1 1 ak+1 - ak d 9.1. Ясно, что - = =, где d разность арифak ak+1 akak+1 akak+метической прогрессии. Поэтому рассматриваемая сумма равна 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - + - +... + - = - = d a1 a2 a2 a3 an-1 an d a1 an 1 an - a1 1 (n - 1)d n - = = =.

d a1an d a1an a1an 9.2. Заметим, что ak+1 - ak ak+1 - ak ak+1 - ak 1 = = =, ak + ak+1 ak+1 - ak ak + ak+1 ak+1 - ak d где d разность арифметической прогрессии. Поэтому рассматриваемая сумма равна 1 1 an - a1 n - ( an - a1) = =.

d d an + a1 an + a9.3. Ясно, что 0, a1a2... aN-(aNaN+1... aN+n-1) = = a1a2... aN-10-N+1 + 10-N aNq + 10-N-1aN+1q +... + 10-N-n+1aN+n-1q, где q = 1 + 10-n + 10-2n + 10-3n +... = рациональное число.

1 - 10-n 9.4. Предположим, что это число рационально. Тогда согласно задаче 17.оно записывается периодической десятичной дробью 0, a1a2a3..., где ak+n = = ak для всех k N (n длина периода). Выберем m достаточно большим, чтобы число 10m+2n было записано после aN. Тогда получим, что, с одной стороны, период состоит из одних нулей, а с другой стороны, период содержит единицу. Полученное противоречие показывает, что данное число иррационально.

9.5. Чтобы число a + (a + 2) +... + (a + 2n - 2) = n(a + n - 1) равнялось nk, нужно положить a + n - 1 = nk-1, т.е. a = nk-1 - n + 1. Ясно, что число a при этом нечётно.

9.6. Чтобы получить требуемую сумму, нужно сложить 1 + x + x2 +... + xn+1 - 1 xn+1 - x xn+1 - xn +xn =, x+x2+...+xn =,..., xn =. В результате x - 1 x - 1 x - 108 Глава 9. Вычисление сумм и произведений получим xn+1 - (n + 1)xn+1 (n + 1)xn+1 - (1 + x +... + xn) x - = = x - 1 x - (n + 1)xn+2 - (n + 2)xn+1 + =.

(x - 1)9.7. Пусть a/d = m/n, где m и n натуральные числа. При всех натуa(1 + n)k - a ральных k число (1+ n)k - 1 делится на n, поэтому число bk = = d m = ((1 + n)k - 1) целое. Значит, все числа a(1 + n)k = a + bkd принадлежат n данной арифметической прогрессии.

Пусть a+kd, a+ld, a+md последовательные члены геометрической прогрессии, причём k < l < m. Тогда (a+ld)2 = (a+kd)(a+md), т.е. a(2l-k-m) = = d(km - l2). Остаётся проверить, что 2l - k - m = 0. Пусть 2l - k - m = 0.

Тогда km - l2 = 0. Поэтому (k - m)2 = (k + m)2 - 4km = 4l2 - 4l2 = 0, что противоречит условию k < m.

9.8. Покажем, что среди данных чисел не может быть больше четырёх попарно различных чисел. Объединим равные числа в группы, выберем в каждой группе по одному числу и расположим выбранные числа в порядке убывания: a > b > c > d > e >.... Числа a, b, c, d по условию образуют геометрическую прогрессию. Но ab > cd и ac > bd, поэтому ad = bc, т.е.

d = bc/a. Те же самые рассуждения показывают, что e = bc/a.

9.9. Каждый член геометрической прогрессии представляется в виде aqn, n 0. Случай, когда q = 1, очевиден, поэтому будем считать, что q = 1.

Предположим, что существуют различные целые неотрицательные числа k1, k2,..., km+1 (m 2), для которых aqk1 + aqk2 +... + aqkm = aqkm+1. (1) Пусть l1 < l2 <... < lm+1 это числа k1, k2,..., km+1, записанные в порядке возрастания. Перепишем равенство (1) в виде aql1 = aql2 ... aqlm+1.

После сокращения на aql1 получим 1 = ql2-l1(1 ql3-l2 ... qlm+1-l2).

евая часть равенства равна 1, а правая часть делится на целое число ql2-l1, абсолютная величина которого строго больше 1. Получено противоречие.

n-p+9.10. Первую (ai i= n-p+1сумму можно записать в виде p-1 n-p +... + p-1 p-n-p + ai+p-1) = ai+j = ai+j+1 = ai+j+1 = i=0 j=0 j=0 i= n-q q-1 i=1 j== ai+j+1. В результате мы получили вторую сумму.

j=0 i=9.11. Согласно задаче 9.10 (a1 + a2 +... + a7) + (a2 +... + a8) +... + (a11 + +... + a17) = (a1 + a2 +... + a11) + (a2 +... + a12) +... + (a7 +... + a17).

Поэтому n < 17.

Глава 9. Вычисление сумм и произведений При n = 16 такая последовательность существует: 5, 5, -13, 5,5, 5, -13, 5, 5, -13, 5,5, 5, -13, 5, 5.

9.12. Сложив равенства (k + 1)3 = k3 + 3k2 + 3k + 1 для k = 1, 2,..., n, получим (n + 1)3 = 1 + 3S2(n) + 3S1(n) + n. Значит, 3 n(n + 1)(2n + 1) 3S2(n) = (n + 1)3 - n(n + 1) - (n + 1) =.

2 Сложив равенства (k + 1)4 = k4 + 4k3 + 6k2 + 4k + 1 для k = 1, 2,..., n, получаем (n + 1)4 = 1 + 4S3(n) + 6S2(n) + 4S1(n) + n. Значит, 4S3(n) = (n + 1)4 - n(n + 1)(2n + 1) - 2n(n + 1) - (n + 1) = n2(n + 1)2.

n 9.13. а) С одной стороны, (j + 1)k+1 - jk+1 = (n + j= n + 1)k+1 - 1. С другой стороны, (j + 1)k+1 - jk+1 = j= n k + 1 k + k + 1 k + = jk + jk-1 +... + j + 1 = Sk(n) + j=k k - 1 1 k k + 1 k + + Sk-1(n) +... + S1(n) + S0(n).

k - 1 б) Достаточно воспользоваться формулой из задачи а) и применить ин k + дукцию по k. Нужно лишь учесть, что = k + 1.

k n 9.14. а) С одной стороны, jk(j + 1)k - jk(j - 1)k = nk(n + 1)k. С j=другой стороны, эта сумма равна сумме выражений вида k k k k jk + j2k-1 + j2k-2 +... + jk-1 + jk 1 2 k - 1 k k k k k - jk + j2k-1 - j2k-2 +... jk-1 jk.

1 2 k - 1 k Поэтому она равна 2S.

n(n + 1) 2 n2(n + 1)б) Согласно задаче а) S1(n) =, S3(n) =, 2 1 3 n3(n + 1)3 S5(n) = - S3(n) и т.д.

1 2 n 9.15. С одной стороны, (j + 1)k+1 - (j - 1)k+1 = (n + 1)k+1 + j=+ nk+1 - 1. С другой стороны, эта сумма равна 2S.

m(m + 1) 9.16. Согласно задаче 9.12 13 +23 +33 +...+m3 =. Поэтому 2n(2n + 1) 13 + 23 + 33 +... + (2n - 1)3 + (2n)3 =, т.е. 13 + 33 + 53 +... + 2n(2n + 1) + (2n - 1)3 + 23(13 + 23 +... + n3) =. Преобразуем последнее n(n + 1) равенство, воспользовавшись тем, что 13 + 23 +... + n3 =. В результате получим 13 + 33 + 53 +... + (2n - 1)3 = n2(2n2 - 1).

110 Глава 9. Вычисление сумм и произведений 1 9.17. а) Рассматриваемую сумму можно разбить на слагаемые +, k p - k p - 1 1 1 p k = 1, 2,...,. При этом + =. После приведения та2 k p - k k(p - k) m pq ких дробей к общему знаменателю получаем =. Остаётся n 1 2 3... (p - 1) заметить, что p не делится ни на одно из чисел 2, 3,..., p - 1.

б) Рассматриваемая дробь равна 1 1 1 1 + + + +... + = p - 1 p + p - 1 2 p - + 2 1 1 1 M = p + +... + = p, p - 1 p + p - 1 2(p - 2) (p - 1)! 2 где (p - 1)! (p - 1)! (p - 1)! M = + +... +.

p - 1 p + p - 1 2(p - 2) 2 Нужно доказать, что M делится на p.

(p - 1)! Пусть x (mod p). Тогда xk(p - k) (p - 1)! (mod p). Согласно k(p - k) теореме Вильсона (задача 31.15 а) (p - 1)! -1 (mod p), поэтому -xk2 -(mod p). Теперь легко убедиться, что, когда k пробегает значения 1, 2,..., p - 1 p -, x пробегает значения 12, 22,...,. Действительно, k2 пробегает 2 все квадратичные вычеты. Для каждого k можно выбрать k так, что kk (mod p). Ясно, что k2 тоже пробегает все квадратичные вычеты и k x (mod p).

p - В итоге получаем, что M 12 + 22 +... + (mod p). Но согласно 2 p - 1 p - 1 p + 1 p задаче 9.12 12 + 22 +... + =. Это число делится 2 2 2 на p.

9.18. Сначала заметим, что 1 1 1 1 - + - +... + = 2 3 4 4k - 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + + + +... + - 2 + + +... + = 2 3 4 4k - 1 2 4 6 4k - 1 1 1 1 1 1 = 1 + + + +... + - 1 - - -... - = 2 3 4 4k - 1 2 3 2k - 1 1 = + +... +.

2k 2k + 1 4k - Число слагаемых в последней сумме чётно, поэтому слагаемые можно сгруппировать в пары 1 1 6k + + =.

2k + s 4k - 1 - s (2k - s)(4k - 1 - s) Глава 9. Вычисление сумм и произведений По условию число 6k - 1 простое. Поэтому сумма нескольких дробей с числителями 6k - 1 является дробью, числитель которой делится на 6k - 1.

9.19. Покажем, что kp + (p - k)p делится на p2. Действительно, (x - y)p = = -yp + pxyp-1 +..., где многоточием обозначены члены, делящиеся на x2. В нашем случае (p - k)p -kp + pkp-1p -kp (mod p2), поэтому kp + (p - k)p делится на p2.

Число p простое, поэтому если 1 k p - 1, то оба числа kp и (p - k)p на p не делятся. Значит, ak + ap-k = p2. Рассматриваемая сумма разбивается на (p - 1)/2 слагаемых вида ak + ap-k, поэтому она равна p2(p - 1)/2.

9.20. Запишем между соседними плюсами число +2, между соседними минусами запишем -2, а между соседними плюсом и минусом запишем 0.

С одной стороны, сумма всех записанных чисел равна 2(a - b). С другой стороны, она равна 2(p - q).

Глава 10.

Многочлены I 10.1. Выделение полного квадрата 10.1. Представьте многочлен (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 в виде полного квадрата.

10.2. Корни многочленов 10.2. а) Докажите, что остаток от деления многочлена f(x) на x - a равен f(a) (Безу).

б) Пусть x0 корень многочлена f(x). Докажите, что f(x) делится на x - x0.

10.3. Пусть P (x) = anxn + an-1xn-1 +... + a1x + a0 многочлен с целыми коэффициентами. Предположим, что он имеет рациональный корень x0 = p/q, причём p/q несократимая дробь. Докажите, что an делится на q, а a0 делится на p.

10.4. Найдите многочлен с целыми коэффициентами, корнем кото рого является число 2 + 3.

10.5. Найдите многочлен с целыми коэффициентами, корнем кото 3 рого является число 2 + 3.

10.6. Найдите все многочлены вида xn xn-1 xn-2 ... x 1, у которых все корни вещественны.

Глава 10. Многочлены I 10.3. Коэффициенты многочлена 10.7. Определите коэффициенты, которые будут стоять при x17 и x18 после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении (1 + x5 + x7)20.

10.8. Пусть P (x) = anxn + an-1xn-1 +... + a0 многочлен с вещественными коэффициентами, причём an 1. Докажите, что если число m больше любого из чисел |an-1| + 1,..., |a0| + 1, то Q(x) = P (x + m) многочлен с положительными коэффициентами.

10.9. При делении многочлена x1951 - 1 на x4 + x3 + 2x2 + x + получается частное и остаток. Найдите в частном коэффициент при x14.

10.4. Теорема Виета 10.10. Пусть x1,..., xn корни многочлена xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +... + a0.

Докажите, что xi = -an-1, xixj = an-2, 1 i n 1 i

10.11. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты многочлена x3 + ax2 + bx + c, чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию 10.12. а) Пусть, и корни многочлена x3 - 9x + 9. Докажите, что 2 + - 6 = или.

б) Пусть, и корни многочлена x3 - 21x + 35. Докажите, что 2 + 2 - 14 = или.

10.5. Делимость 10.13. Пусть P (x) многочлен с целыми коэффициентами, a и b целые числа, причём a > b. Докажите, что число P (a) - P (b) делится на a - b.

10.14. Существует ли многочлен P (x) с целыми коэффициентами, для которого P (7) = 11 и P (11) = 13 114 Глава 10. Многочлены I 10.15. Пусть P (x) многочлен с целыми коэффициентами, причём для некоторого целого числа n числа P (n), P (n + 1) и P (n + 2) делятся на 3. Докажите, что тогда P (m) делится на 3 для любого целого m.

10.16. Докажите, что любой многочлен с целыми коэффициентами, отличный от константы, при некотором натуральном значении аргумента принимает значение, которое является составным числом.

10.17. Приведите пример многочлена P (x), который делится на x2 + + 1, и при этом P (x) - 1 делится на x3 + 1.

10.18. Пусть a0 = 0, an = P (an-1) для n = 1, 2,..., где P (x) многочлен с целыми коэффициентами, причём P (x) > 0 при x 0.

Докажите, что если m, n > 0, то НОД(am, an) = ad, где d = НОД(m, n).

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |   ...   | 65 |    Книги по разным темам