Книги, научные публикации Pages: | 1 | 2 | -- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В.Г Сербо и И.Б. Хриплович КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Учебное пособие

Новосибирск 1999.

Пособие предназначено для студентов 3-го курса физического факультета. Содержание соответствует курсу УКвантовая механикаФ. Печатается по решению методической комиссии физического факультета. Пособие подготовлено при содействии Федеральной целевой программы УГосударственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997Ц2000 годыФ, проект No 274. Рецензент Ч профессор Мильштейн Александр Ильич.

c Новосибирский государственный университет. 1999 Предисловие к серии 3 Оглавление Предисловие................................................. 7 Первые квантовомеханические понятия..................... 7 Соотношение неопределенностей. Оценки.................. 9 Координатное и импульсное представления. Операторы физических величин....................................... 11 з5. Оператор Гамильтона. Уравнение Шр е дингера............ 14 з6. Эрмитовы операторы....................................... 17 1 з7. Линейный осциллятор U x = 2 m 2 x2...................... 18 Уровни энергии и волновые функции Операторы рождения и уничтожения з8. Временн о е уравнение Шр е дингера......................... 22 з9. Одномерное рассеяние..................................... 24 з10. Коммутаторы. Снова соотношение неопределенностей. Уравнение Эренфеста. Теорема о вириале................ 26 з11. Оператор сдвига. Теорема Блоха.......................... 30 з12. Квазиклассическое приближение......................... 32 з13. Квазистационарные состояния. -распад................. 37 з14. Момент импульса.......................................... 40 з15. Центральное поле......................................... 44 з16. Атом водорода............................................. 47 з17. Стационарная теория возмущений........................ 51 Поляризуемость Силы Ван-дер-Ваальса з18. Стационарная теория возмущений при наличии вырождения................................................ 54 Двухуровневая система Эффект Штарка для атома водорода при n = 2 з19. Уравнение Шр е дингера для частицы в электромагнитном поле........................................................ 57 з20. Постановка задачи рассеяния. Амплитуда рассеяния..... 58 з21. Борновское приближение. Формула Резерфорда. Атомный формфактор................................................ 60 з22. Фазовая теория рассеяния................................. 64 Понятие о неупругом сечении Оптическая теорема Упругое рассеяние медленных частиц з1. з2. з3. з4.

Дифракционное рассеяние быстрых частиц на черном шаре Упругое рассеяние быстрых частиц на идеально отражающем шаре Резонансное рассеяние з23. Гайзенберговское представление......................... 70 з24. Опыт Штерна-Герлаха. Спин.............................. 72 з25. Матрицы Паули. Уравнение Паули........................ 74 з26. Сложение моментов....................................... 76 з27. Правила отбора для матричных элементов скалярных и векторных операторов..................................... 79 з28. Усреднение векторного оператора........................ 81 з29. Тождественность частиц.................................. 83 з30. Уравнение КлейнаЦФокаЦГордона........................ 84 з31. Уравнение Дирака......................................... 86 Свободное движение дираковской частицы Рождение электрон-позитронных пар постоянным внешним электрическим полем Гамильтонова форма уравнения Дирака Сходство и различие уравнений Дирака и КлейнаЦФокаЦГордона Ультрарелятивистский предел уравнения Дирака з32. Релятивистский электрон в кулоновом поле. Тонкая структура.................................................. 96 з33. Атом в магнитном поле.................................... 99 з34. Атом гелия............................................... 101 з35. Вариационный принцип.................................. 102 з36. Метод ТомасаЦФерми.................................... 105 з37. Таблица Менделеева..................................... 106 з38. Разные типы связи в атомах.............................. 106 Случай LS связи Случай jj связи Пример: конфигурация p2 з39. Сверхтонкая структура (СТС)............................ 111 з40. Изотопический сдвиг..................................... 113 з41. Нестационарная теория возмущений..................... 114 з42. Фотоэффект.............................................. 116 з43. Квантование электромагнитного поля................... 119 з44. Испускание и поглощение света......................... Спонтанное и вынужденное излучение Угловое распределение и интенсивность спонтанного дипольного излучении Правила отбора Поглощение света з45. Лэмбовский сдвиг........................................ 127 з46. Рассеяние света.......................................... 130 з47. Молекулы................................................ 131 з48. ПРИЛОЖЕНИЕ: о формализме квантовой механики.... 132 Основные положения Вектора состояний и волновые функции Операторы. Связь представлений з1. Предисловие Пособие содержит краткий конспект лекций по квантовой механике для студентов 3-го курса физического факультета НГУ и набор задач, которые обычно решаются на семинарах. В нем приведены основные законы квантовой механики и необходимые формулы. Данное пособие не заменяет собой лекции и семинары, оно лишь поможет в усвоении предмета. Принятые сокращения: КМ Ч Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика, М.: Наука, 1989. ГКК Ч Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике, М.: Наука, 1981.

з2. Первые квантовомеханические понятия Квантовая природа света Излучение абсолютно черного тела. Рассматривается спектральный состав электромагнитного излучения, находящегося в равновесии со стенками полости, поддерживаемыми при постоянной температуре. Моделируя стенки полости набором осцилляторов (заряженных частиц, удерживаемых линейными силами вблизи положения равновесия), Планк (1900 г.) сумел объяснить экспериментально наблюдаемый спектр излучения, предположив, что осцилляторы поглощают и испускают энергию порциями: En = h n, где h = 1, 05 1027 эргс. Фотоэффект +A e+ A, его основные законы, наличие Украсной границыФ. Уравнение Эйнштейна (1905 г.) h 2 = 1 mevmax + I, где I Ч работа выхода, фотоны. Эффект Комптона + e + e (рис.1). Покажите, что из предположения E = h, p = hk Рис. 1: Кинематика эффекта Комптона и из законов сохранения h + E = h + E, hk + p = hk + p следует, что наблюдавшееся Комптоном (1924 г.) изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии на первоначально неподвижном электроне равно = 4 e Здесь sin2 2, e = 2, k = 2. k e h = m c = 3, 86 Ч комптоновская длина волны электрона. Понятие о нелинейном фотоэффекте и нелинейном эффекте Комптона. Волновые свойства частиц Опыты Резерфорда по рассеянию -частиц (1911 г.), планетарная модель атома: R 1013 1012 см, a 108 см. Стабильность и стандартность атомов, противоречия с классической физикой. Гипотеза де Бройля о волновых свойствах частиц (1923 г.) p = E, k = h, h ее экспериментальное подтверждение. Дифракция электронов, нейтронов, атомов и т.д. Вероятностная интерпретация квадрата модуля волновой функции |r, t|2.

Плоская волна фазовая скорость x, t = Aeikxt, u= =E. k p Волновой пакет, близкий к монохроматической волне: x, t = k0 +k k0 xk dk Ak0eikxt k k = Ak0eik0 x0t f x, t,, 2.1 f x, t = где dq eiqxqvt v = 2k sin x vtk x vtk = |k0 = E |p0 k p Ч групповая скорость. Расплывание пакета.

з3. Соотношение неопределенностей. Оценки В монохроматической плоской волне p = 0, x = и E = 0, t =. Из формулы (2.1) видно, что в пакете при фиксированном t > амплитуда f x, t заметно отлична от нуля в области размером x 1/k, то есть > p x h. Разброс частот /kk и при фиксированном x из (2.1) > видно, что f x, t заметно отлична от нуля в интервале времен t 1/, то есть > E t h. Оценим, используя x p h, энергию основного состояния гармонического осциллятора:

> E Из x2 x2 и p2 p2 получаем = 2m + p m 2 x.

p2 + m2 x2 h2 + 1 m2x2. > E 2m 2 2mx2 Минимум функции Ex соответствует x h , m что дает Emin h (точное значение Emin = 1 h). 2 Покажите, что энергия основного состояния атома водорода me4 Emin 2 = 13, 6 R. 2 h ВОПРОСЫ 3.1. Покажите, что при лобовом соударении лазерного фотона (энергия h) с ультрарелятивистским электроном (энергия E me c2 ), энергия рассеянного назад фотона равна h x = x + 1E, x= 4 E. h m2 c4 e Найдите h для h = 1, 2 эВ (инфракрасный лазер на неодимовом стекле), E = 46 ГэВ (ускоритель SLAC, опыты по нелинейному эф фекту Комптона, 1996 г.) и h = 1, 2 эВ, E = 5 ГэВ (ускоритель ВЭПП-4М, опыты по расщеплению фотона в поле ядра, 1997 г.). 3.2. Полагая, что для дифракции на кристаллической решетке полезно иметь частицы с 108 см, найти энергию фотона, электрона и нейтрона с данной длиной волны. 3.3. Оценить энергию электрона, необходимую для изучения строения атома, атомного ядра, протона. 3.4. Ультрахолодными называются нейтроны, скорость которых < v 1 м/с. Найти их длину волны и температуру. 3.5. Найти |x, t|2, если Ak = A0 ekk0 для частиц с законом дисперсии пустоте) и 2 /2k, = ck (электромагнитные волны в (нерелятивистская свободная частица массы m).

= hk 2m 3.6. Используя соотношение неопределенностей, оценить энергию основного состояния частицы в поле U x = |x|. 3.7. Используя соотношение неопределенностей, оценить глубину уровня в одномерной мелкой яме.

з4. Координатное и импульсное представления. Операторы физических величин Плотность вероятности найти частицу в точке x Ч величина dW/dx Ч пропорциональна |x, t|2. Если x, t нормирована условием dx|x, t|2 dW x, t dx Тогда среднее значение x равно x то = 1, = |x, t|2.

dx x x x.

= x dW = x |x|2 dx = Аналогично, среднее значение любой функции F x равняется F x Если = dx x F x x. dk Ak eikx, то вероятность найти частицу с импульсом p = hk пропорциональна 2, или |Ak| dW k |Ak|2. dk Если dx |x|2 = 1, то и Здесь Ak k = dk |k| x = = 1. Ч нормированный Фурье-образ функции x, то есть eikx eikx x = dk k ;

k = dx x.

4.1 Поэтому dW dk и F k p = |k| = = dk k F k k. dk k hk k Выразим p через x. Подставляя в соотношение выражение k через x из (4.1), получим eikx hk dxx eikx. p = dk dx x Используя тождество keikx d = i dx eikx и интегрируя по x по частям, получим окончательно d x. dx Здесь при интегрировании по k использована известная формула dk eikx x = 2x x. p = dx x i h Таким образом, при нахождении p можно пользоваться формулой p где оператор d. 4.2 dx В квантовой механике постулируется, что динамические переменные описываются операторами, так что среднее значение некоторой переменной A в состоянии с заданной волновой функцией x (или p) равно p = i ^ h A = dx x p x, ^ = ^ dx x A x = ^ dp p A p.

В частности, оператор импульса в x-пространстве определяется формулой (4.2), а в p-пространстве Ч это просто оператор умножения p = p. Аналогично, оператор x = x в x-пространстве и ^ ^ x = +i ^ h d dp в p-пространстве. Из операторов ^ и p строятся все динамические переменные. Наr^ пример, оператор момента импульса ^r^ h M = ^ p = i r.

ВОПРОСЫ 4.1. Для потенциального ящика вида U x = x<0 0

б) молекулы H2 в ящике с a 1 см;

найти n, соответствующий энергии En kT, где T 300 К;

оценить En En1/En для данной энергии;

в) электрона в ящике с a 108 см. Сравнить классическую плотность вероятности, определенную соотношением dW x 2 = vxT, dx Ч классический период колебаний, и квантовую плотность где T вероятности dW/dx = |n x|2 при n = 1 и n 1. Провести такое же сравнение для dW/dp Ч плотности вероятности в импульсном пространстве. 4.2. Найти изменение с течением времени волновой функции нерелятивистской свободной частицы массы m, если в начальный момент времени 22 r, 0 = A er /a +ibr. 4.3. Найти k для er/a r = a, a= h2 me e = 0, 53 (основное состояние атома водорода). Пусть данная волновая функция описывает состояние свободного электрона при t = 0. Оценить, на каком расстоянии окажется этот электрон через 1 с.

з5. Оператор Гамильтона. Уравнение Шр е дингера Классическая функция Гамильтона p2 + U r H= 2m заменяется оператором Гамильтона 2 ^ = h + U r. H 2m Собственная функция этого оператора с собственным значением En удовлетворяет уравнению Шредингера (УШ) (1925 г.) ^ H n x = En n x.

Решения этого уравнениея ищутся в классе однозначных и непрерывных функций. В случае связанных состояний эти функции нормируемы (для них dx|nx|2 = 1) и поэтому n x 0 при x . Поведение производной x определяется видом потенциала. Интегрируя УШ в малой окрестности точки x = a, получаем a+ a dx x = a + a = 2m a+ dx U x E x = 2m a a+ dx U x, a h2 a h2 то есть x непрерывна в точке x = a, если потенциальная энергия U x непрерывна в этой точке или имеет разрыв 1-го рода (конечный скачок). У потенциалов, имеющих скачки 2-го рода, x может иметь разрывы (см. пример потенциального ящика). Для U x = G x a имеем a + a = 2mG a. h2 5.1 Дискретные уровни в одномерной задаче всегда невырождены, то есть каждому собственному значению энергии соответствует единственная собственная функция. Допустим обратное: пусть ^ 1x и 2 x Ч две разные собственные функции H, отвечающие одному значению E. Тогда 1 1 или = 2m U E = 2 2 h2 d = 0 = dx 12 12. Отсюда следует, что 1 2 12 = const. Далее, const = 0 из-за поведения n x на бесконечности. В итоге, 1 = C2. 1 2 В одномерной задаче дискретные уровни четного гамильтони^ ^ ана, Hx = Hx, имеют определенную четность, то есть либо n x = +n x, либо n x = n x. Действительно, для такого гамильтониана функции n x и n x являются решениями, отвечающими одному и тому же значению En, то есть, по предыдущему утверждению, n x = Cnx. Сделав еще одно отражение координат, получим n x = Cnx = C 2n x, откуда C = 1. Пример Прямоугольная потенциальная яма глубиною V и шириною есть V |x| < a U x = 0 |x| > a.

2a, то Ищем решения такие, чтобы x и x были непрерывны, чтобы x 0 при x и чтобы x была либо четной, либо нечет^ ^ ной функцией, так как Hx = Hx. Четные решения имеют вид x = Связанным состояниям отвечает энергия E < 0, при этом УШ имеет вид |x| < a, hk = 2mV |E| + k2 = 0 2 = 0 |x| > a, h = 2m|E|. A cos kx при |x| < a, Be|x| при |x| > a Из непрерывности x/x в точке x = a получаем уравнение tg ka = = 2mV k h2 k 2 1, дающее дискретный ряд значений kn или En (энергия квантуется). Найдите нечетные решения и покажите, что четные и нечетные уровни чередуются. Покажите, что в мелкой яме, V h2 /ma2, существует лишь од но связанное состояние с энергией h22 0, = 2aV m E0 = 0 2m h2 и волновой функцией 0 x 0 e0 |x|.

Оцените x и p для такой ямы. Покажите, используя условие (5.1), что потенциальной энергии U x = Gx соотвествует мелкая яма с mG 0 = 2. h Осцилляционная теорема Волновая функция дискретного спектра n x, соответствующая n+ 1-му по величине собственному значению En, обращается в нуль (при конечных x) n раз (см. примеры потенциального ящика, осциллятора и т.д.). ВОПРОСЫ: 5.1. Найти En и n x для поля U x = V x<0 0

з6. Эрмитовы операторы ^ ^ Назовем оператор B эрмитово сопряженным к оператору A, если для любых двух функций 1 и 2 справедливо соотношение ^ dx 1 A = ^ dx B1 2.

^ ^ ^^ Такой оператор обозначим B = A+. Если A = A+, то есть оператор совпадает со своим эрмитово сопряженным, назовем его эрмитовым (или самосопряженным). Для эрмитова оператора ^ dx 1 A = ^ dx A1 2. ^ dx A .

Собственные значения эрмитова оператора вещественны:

^ =, dx A = Отсюда следует, что =.

^ A Аналогично показывается, что среднее значение эрмитова опера^ тора dx A в каком-либо квантовом состоянии - вещественное число. Все операторы физических величин эрмитовы. Собственные функции, отвечающие различным собственным значениям эрмитова оператора, взаимно ортогональны. Действитель ^ ^ но, домножив A = на , а A = на, и проинтегрировав, получим dx = dx , то есть dx = =.

В случае вырождения можно выбрать собственные функции ортогональными и, соответственно, использовать ортонормированную систему функций dx m n = mn. Полнота системы собственных функций эрмитового оператора: f x = n an n x;

an dx f x = n dx n x fx , n x nx .

f x = Отсюда n n x nx = x x .

Дираковские обозначения. Матричный элемент Af i = ^ ^ dx f x A i x = f |A|i.

В этих обозначениях эрмитовость имеет вид ^ f |A|i ортонормируемость означает = ^ i|A|f = f i, = 1.

, f |i а полнота Ч n |n n| ВОПРОСЫ 6.1. Найти операторы, сопряженные к операторам ^ A= d ^,B dx d ^ = i dx, C = mx + h dx. d ^ 6.2. Для оператора C, определенного в предыдущей задаче, найти собственные функции и собственные значения. Проверить, что собственные значения этого оператора могут быть комплексными, а собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, не обязательно ортогональны. ^ ^^ 6.3. Пусть A Ч эрмитов оператор, A = A+. Покажите, что среднее ^ значение квадрата этого оператора неотрицательно | A2 | 0. 6.4. Найти собственные функции оператора x в x- и p-представлениях. ^ То же для оператора p. ^ ^ 6.5. Найти вид оператора A = 1/r в импульсном пространстве (задача 1.47 ГКК).

1 з7. Линейный осциллятор U x = 2 m 2x Уровни энергии и волновые функции В этой задаче естественная система единиц включает h, m,. Из них строится единица длины = h/m, энергии h и т.д. (найдите единицы времени, скорости, импульса, силы). Перейдем к безразмерным величинам x E x=, E= h ;

при этом волновая функция x связана с безразмерной x соотношением x/ . x = Тогда мы получим УШ в виде d2 2 2 + 2E x dx = 0;

в дальнейшем штрихи опускаем. 2 При x имеем d2/dx2 = x2, то есть ex /2. Поэтому ищем нормируемые, убывающие на бесконечности решения в виде где Ищем v в виде ряда v = ex2/2vx, + 2E 1v = 0. = n= v 2xv an xn Возникающее таким образом уравнение xn n 2E 1 2n an + n + 1n + 2 an+2 = 0 2n 2E = n ++ 1 + 2 an. 1n 2 = n приводит к рекуррентному соотношению для коэффициентов an+ Оно означает, в частности, что функция vx содержит слагаемые одинаковой четности. Условие lim n an+2 an обеспечивает сходимость ряда при всех x, но vx ex при x . Чтобы получить x 0 при x , необходимо ряд для vx оборвать, положив 2E = 2n + 1.

В итоге получаем уровни энергии и нормированные волновые функции 1, x = ex2/2 nx, n = 0, 1, 2,.... H En = n + n 4 2 n!2n Здесь Hn - полиномы Эрмита: H0x = 1, H1 x = 2x, Hn+1x = 2xHnx 2nHn1x. Отметим, что n x = 1nn x.

Операторы рождения и уничтожения Введем операторы a= ^ 1 x + i^, a+ = 1 x i^, p ^2 p через которые гамильтониан записывается в виде ^ H 1 a ^ ^^ = 2 ^+a + aa+ = a+a + 1 = aa+ 1. ^ ^ 2 ^^ 2 = a+ H + 1 ^^ ^a ^ ^, H^ = a H 1. 7.1 Нетрудно показать, что ^a H^+ и En 1 соответственно. Действительно, из (7.1) следует, что Пусть |n Ч нормированное состояние с энергией En = n + 1, то 2 есть ^ H |n = En |n = n + 1/2 |n. ^ ^ Тогда a+ |n и a |n Ч состояния (ненормированные) с энергией E + n = a+H + 1 |n = En + 1 a+ |n, ^^ ^ а также аналогичное уравнение для a |n : ^ ^a H^ |n = En 1 a |n. ^ ^ Таким образом, действие оператора a+ на состояние |n переводит его в состояние |n + 1, то есть повышает энергию состояния на 1 (на h в обычных единицах), a+ |n = cn |n + 1, ^ 7.2 ^a H^+ |n а действие оператора a на состояние |n переводит его в состояние ^ |n 1, то есть понижает энергию состояния на 1. Это позволяет использовать удобную интерпретацию: состояние |n содержит n одинаковых частиц (квантов) с энергией E = 1 (или h в обычных единицах) каждая, оператор a+ называют повышающим оператором ^ ^ или оператором рождения такой частицы, а оператор a Ч понижающим оператором или оператором уничтожения. Заметим еще, что собственные значения оператора n = a+ a = H ^ ^^ ^ равны n, поэтому n называют оператором числа частиц. ^ Найдем коэффициент cn. Для этого вычислим норму вектора (7.2): Отсюда cn = писано так:

1 ^ n| aa+ |n = n| H + 1/2 |n = n + 1 = c2. ^^ n n + 1. Таким образом, состояние |n может быть за|n а отличные от нуля матричные элементы операторов рождения и уничтожения равны n + 1| a+ |n = n| a |n + 1 = n + 1. ^ ^ Волновая функция основного состояния может быть найдена из условия a 0 x = 0. ^ Это дает ^+n |0 a = n!

, Для волновой функции с n > 0 получаем компактное выражение ex2 /2. x = ^+ n ex2/2. a n x = n! ВОПРОСЫ 7.1. Найти np для линейного осциллятора.

7.2. Для линейного осциллятора сравнить классическую dW /dx 2 плотности вероятности при n = 0. и квантовую |n x| /dp и |0 p|2. То же для dW Найти вероятность того, что в основном состоянии осциллятор находится в классичечки недоступной области |x| >. 7.3. Найти матричные элементы xf i, pf i, x2f i для линейного осциллятора. 7.4. Найти x и p для линейного осциллятора в n-м состоянии.

з8. Временн о е уравнение Шредингера В классической механике импульс и энергия связаны с действием Sx, t соотношениями p= Если в квантовой механике S,E x = S. t, x ^ h p p = i то естественно ожидать, что h E i Проверим, что для плоской волны. t h x, t = A eipxEt/ это так и есть: i /t = E. h Конечно, всe это лишь наводящие соображения, показывающие естественность следующего утверждения: в квантовой механике постулируется УШ в виде r, t h2 + U r r, t. ^ i t = Hr, t = 2m h Его свойства: 1. УШ линейно: если 1r, t и 2 r, t Ч решения УШ, то c1 1 + c2 2 также является решением УШ (принцип суперпозиции). 2. УШ имеет первый порядок по времени, поэтому значения r, t в любой момент времени полностью определяется, если известна r, t0 в некоторый момент времени t0.

Для стационарного решения h r, t = n r eiEnt/ плотность вероятности |r, t|2 не зависит от t. Общее решение таково h r, t = cn eiEn t/ n r, n где cn = n r r, 0 d3r.

Таким образом, эволюция r, t с течением времени описывается уравнением r, t = Gr, r, t r, 0 d3r, G = n h n r nr eiEnt/.

Функция Грина Gr, r, t удовлетворяет уравнению ^ i G = Hr G h t с начальным условием Gr, r, 0 = Из E n n r nr = r r .

= ^ r, t H r, t d3r = n En |cn | видно, что cn есть амплитуда вероятности обнаружить у системы энергию En. Набор величин cn есть волновая функция системы в энергетическом представлении. Плотность тока Изменение плотности вероятности деляется уравнением t t r, t = |r, t|2 со временем опре+. t = t Подставив / t из УШ, получим уравнение непрерывности 1 j = 2m i h = 2m = j, .

i h + i h Для имеем = ei j = hm. j = |A|2 v, В частности, для плоской волны = A eikrt плотность тока равна v = hk.

m з9. Одномерное рассеяние Для потенциальной энергии указанного на рис. 2 вида (U x 0 при x, U x V при x +) задача рассеяния при E > V Рис. 2: Потенциальная энергия для случая одномерного рассеяния формулируется так. Слева имеется падающая и отраженная волна, справа Ч прошедшая. Асимптотики волновой функции таковы: ikx ikx, hk = 2mE x it e + A e e ik1 x, hk1 = 2mE V x +. Be Плотности x-компонент тока равны: j = hk, m j j j = |A|2 hk, m R= |j j | j k = |B|2 hm1.

R+D Коэффициенты прохождения D и отражения R равны: D= = k1 |B|2;

k = |A|2;

= 1.

Оптический аналог Ч отражение света при нормальном падении на плоскую границу раздела двух сред. В оптике волновой вектор c где n Ч показатель преломления. Здесь нашей задаче соответствует ситуация, когда справа Ч вакуум, а слева Ч стекло. В случае 0 < E < V асимптотика при x + изменяется, eit B ex, h = k 2 = n, 2mV E ;

Здесь оптический аналог Ч полное внутреннее отражение. ВОПРОСЫ 9.1. Частица находится в поле U x = Gx. При t = 0 волновая функция имеет вид x, 0 = e|x|/b / b. Найти вероятность того, что при t частица окажется в основном состоянии 0 x. 9.2. Тот же вопрос для гармонического осциллятора при ex2 /2b2. x, 0 = b21/ 9.3. Найти функцию Грина для свободной частицы. 9.4. Найти D и R для частицы в поле рис. 3 U x = V x<0 x > 0.

Указать оптическую аналогию. Известно, что при отражении от оптически более плотной среды происходит потеря полуволны. Чему соответствует это явление в данной задаче? Рассмотреть предел h 0. 9.5. Найти D для частицы в поле прямоугольной потенциальной ямы глубины V и ширины a (рис. 4). Дать график DE, указать условие прозрачности. Указать необходимое условие прозрачности в случае поля рис. 5: U x = V1 V x<0 0

Рис. 5: Потенциальная энергия, соответствующая случаю просветленной оптики Рис. 6: Туннелирование частицы через одномерный прямоугольный барьер з10. Коммутаторы. Снова соотношение неопределенностей. Уравнение Эренфеста. Теорема о вириале Измеримость величин Если величины A и B одновременно измеримы, то существует полная система волновых функций n, таких, что n Ч одновременно ^^ собственная функция и A, и B. Но тогда ^^ AB то есть ^^ = AB n cn n = n cn ab n = n ^^ cn B A n ^^ = BA, ^^ ^^ И обратно, если A, B = 0, то A и B могут иметь общую систему ^ собственных функций. Пусть a Ч собственная функция A: ^ A a тогда ^ ^ ^^ ^ ^ A, B AB B A = 0. = a a, ^^ ^ = aB a = AB a, ^ ^ то есть Ba Ч тоже собственная функция A с собственным значе^ нием a. Если спектр невырожден, отсюда следует, что Ba с точ^ ностью до множителя совпадает с a, то есть Ba = ba, так что ^ a, действительно, является собственной функцией оператора B (с ^^ B A a собственным значением b). В случае вырожденного спектра можно выбрать такие линейные комбинации i ci ai собственных функций ^ оператора A, которые будут одновременно собственными функция^ ми B. Рассмотрите также случай a = b = 0.

Соотношение неопределенностей Определим дисперсию A = A A 2. ^^ ^^ ^ Пусть эрмитовы операторы A и B не коммутируют, A, B = iC и для ^ ^ простоты n|A|n = n|B|n = 0. Рассмотрим состояние ^^ |m = A + iB |n.

Квантовые скобки Пуассона ^ Оператор производной по времени dA, по определению, удовлетвоdt ряет условию ^ d dA ^ |A|. dt dt Используя УШ, правую часть этого равенства можно переписать в виде d ^ |A| dt = ^ A t + ^ A t + ^ A t = ^ 1 ^^ A + i AH. t h ^ ^ dA A i ^ ^ = t + h H, A. dt Квантовый аналог скобки Пуассона {H, A} выражается через коммутатор: i^^ {H, A} H, A. h Таким образом, Покажите, что d U. px = ^ dt x Отсюда следует теорема Эренфеста d2 m 2 r = U. dt Обсудите еe сооотношение со вторым законом Ньютона. Теорема о вириале Предварительные полезные соотношения:

^ ^^ A, B C ^^^ ^^^ ^^ h = B A, C + A, B C;

H, p = i ^^ ^^ n|H A|n n|AH|n ^ U ;

H, r i ^ h = mp.

^^ 0 = n| H, pr |n = Таким ообразом, ^^ ^^ n| H, p r + p H, r |n = i h p2 ^ 2 n Величина r U называется вириалом данной механической системы. Если потенциальная энергия Ч однородная функция координат, то есть если U r = k U r, то, по теореме Эйлера об однородных функциях, r U = k U, или p2 ^ p2 ^ k 2 2 n 2m n = k n |U | n, n 2m n = k + 2 En, n |U | n = k + 2 En. Примеры Для гармонического осциллятора k = 2, поэтому ^2 2 x2 n = n p n = hn + 1 . n m m 2m n = n |r U | n.

Для атома водорода k = 1, поэтому e2 p2 n ^ n n=n r m = 2En.

10.1 ВОПРОСЫ 10.1. Объясните, почему теорема о вириале не имеет места для инфинитного движения. 10.2. Найти соотношение неопределенностей для x и K, для U и K, где K = p2/2m. 10.3. Для частицы, находящейся в состоянии x, y, z, найти вероятность того, что ее координата x и импульс py расположены в пределах x1 < x < x2, py1 < py < py2. ^^ 10.4. Для гамильтониана H = p2 /2m + U r найти коммутатор ^ H, r. Используя этот результат, показать, что среднее значение импульса частицы для стационарного состояния в случае финитного движения равно нулю E | p | E = 0. ^ з11. Оператор сдвига. Теорема Блоха ^ Оператор сдвига Ta определяется соотношением ^ Ta x x + a.

an d n x, x + a = n=0 n! dx то оператор сдвига может быть выражен через оператор импульса Так как ^ Ta ph = eia^/.

Обратим внимание на то, что при бесконечно малом сдвиге a оператор сдвига имеет вид ^ Ta ^ то есть оператор импульса px является инфинитезимальным оператором для сдвига вдоль оси x.

= 1 + i a p, h ^ Оператор сдвига неэрмитов:

1 x2x + a dx = 1 x + a2 x dx.

^^ ^^ ^^ Для свободной частицы H = p2 /2m и H, Ta = 0, потому H и Ta имеют совместные собственные функции E x = A eikx с собствен ными значениями E = h2k 2 /2m и = eika. Импульс тоже коммути^^ рует с H и Ta и имеет в этом состоянии собственное значение hk. ^^ Если потенциал периодический, U x + a = U x, то H, Ta = 0. В таком поле собственные функции стационарных состояний могут быть выбраны в таком виде, E x, что они одновременно являются собственными функциями оператора сдвига: ^ H E ^ = E E, Ta = E.

Если потребовать, чтобы E x была конечной при x , то из соотношения E x na = n E x = eiqa.

следует || = 1, то есть можно представить в виде Величину hq в этом случае называют квазиимпульсом. Конечно, истинный импульс не сохраняется в периодическом поле, так как ^^ H, p = 0. Если такое решение переписать в виде E x = eiqx uq x, то из E x + a = eiqa E x следует периодичность функции uq x: uq x + a ждение называется теоремой Блоха. ВОПРОСЫ = uq x. Это утвер 11.1. Для свободного движения x = A cosx/b является соб^ ^^ ^^ ^^ ственной функцией H, но не Ta и p, хотя H, Ta = H, p = 0. Почему?

11.2. Рассматривается движение частицы с E < 0 в поле + x + na. U x = G n= Покажите, что волновая функция, определенная соотношениями 0 < x < a, x = A sha x + eiqa shx q ^^ является собственной функцией H и Ta с собственными значениями h2 2 E= = eiqa.

Найдите связь между E и из условия сшивки / при x = 0. При 0 = mGa/ 2 h 1 разрешите это уравнение и найдите в явном виде зависимость E от q. Представив при малых q эту зависимость в виде h2 q 2 + const, E= q x = eiqna q x na na < x < n + 1a, 2m 2m найдите m. Найдите плотность тока jx и покажите, что одному значению E при разных значениях q соответствуют разные jx. Как ведет себя классическая частица в данном поле? Повторите это рассмотрение для E > 0.

з12. Квазиклассическое приближение Подставив в УШ 2 h x = p2x x, px 2m E U x волновую функцию в виде h x = eiSx/, получим S x2 = p2x + i S x. h Если отбросить последнее слагаемое, то получим классическое уравнение ГамильтонаЦЯкоби, в котором Sx Ч действие как функция координат. Решение этого уравнения S = x px dx.

Таким образом, переход к классике происходит, когда S x h|S x| или d x dx 1, где x = 2 /px. Иначе, h d dx, то есть изменение длины волны x на расстоянии порядка x должно быть много меньше длины волны. Другая форма критерия Ч великость классического действия по сравнению с квантом действия px dx h. Подчеркнем, наконец, что переход к квазиклассическому пределу в квантовой механике Ч это аналог перехода к пределу геометрической оптики в оптике волновой. И критерии применимости у этих пределов общие: длина волны должна быть много меньше, чем характерные расстояния a, на которых меняется потенциал (в оптике Ч коэффициент преломления): 1, ka 1. a В классической механике плотность вероятности dW dx vx.

В квантовой механике при U x = const точное решение УШ имеет вид x = A eikx + B eikx, где hk = p. Естественно ожидать, что для движения частицы в достаточно плавно изменяющемся поле приближенное решение выглядит так: x = kx C1 ei x kx dx + C2ei x kx dx, hkx = px = Чтобы показать это, подставим 2m E U x i.

12.1 h h x = eiSx/, Sx = S0 x + S1x +...

в УШ и удержим члены первого порядка по h: S02 2i S0 S1 i S0 = p2x. h h Отсюда S0 x = S то есть x = px dx, S d = 1 S0 = 1 dx ln px, 2 S0 S1x = ln px + const, + C4e.

x что и приводит к (12.1). В классически недоступной области x = x C3 e x x dx x dx, hx = 2m U x E 12.2 Правила квантования Бора-Зоммерфельда Рассмотрим движение частицы в квазиклассическом поле вида рис. 7. В квазиклассическом приближении волновая функция связанного состояния при x < a (область A на рис. 7) Ч это волна, затухающая при x : a A A x = exp dx ;

x при x > b (область C на рис. 7), аналогично, C C x = exp x b dx.

В классически доступной области a < x < b волновую функцию можно записать в виде стоячей волны B B x = sin k x a k dx +.

Правила сшивки при переходе точки поворота a (идею сшивки можно найти, например, в книге Давыдова А.С. Квантовая механика (М.: Наука, 1973;

з23) таковы: A= B, = 1 4.

Рис. 7: Квазиклассическая потенциальная яма Переписав B в виде B B x = sin k где b x k dx +, = b a k dx + и применив сшивку в точке b, находим C 2, n = 0, 1, 2,....

= 1n 1 B, b a = n + 1, Таким образом, получаем правило квантования: px dx = 2m En U x dx = 2 n + h В B x фаза меняется от при x = a до 4 b kx dx + = n + a 1,, n = 0, 1, 2,....

3 так что волновая функция, отвечающая уровню En, имеет, в соответствии с осцилляционной теоремой, n узлов. Фазовая площадь px dx растет линейно с ростом числа состояний n, так что в фазовом пространстве на каждое состояние приходится площадь 2, а число состояний в фазовой ячейке x px h равно p n = x2 x. h Нормировка волновой функции: 2 2 b dx 2 x b 1 a B sin2 a k dx + dx B a kx = B h, k 4 2 2m где dx a vx Ч классический период колебаний. Отсюда 2 = T = b B = 2m. h dEn/dn n.

dEn. dn Про В квазиклассике n 1, так что En+n En дифференцируем по n правило квантования 2 = h p dEn dx = En dn dx dEn vx dn =T Отсюда разность соседних уровней (при n = 1) составляет En+1 En h dEn n = T2 1 = h. dn Иными словами, в каждом небольшом участке квазиклассической части спектра уровни эквидистантны.

Рис. 8: Квазиклассический барьер Подбарьерное прохождение Для прямоугольного барьера рис. 6 коэффициент прохождения D exp2a. Отсюда для плавного барьера рис. 8 находим D i exp 2xixi = exp b a b a x dx.

Критерий применимости этой формулы обычный: |px| dx h. Двойная яма См. КМ, задача 3 к з50. Дополнительно покажите, что если x, t = 0 = 0x (частица в начальный момент в правой яме), то h x, t = eiE0 t/ 0 x t t cos + i 0x sin, где = 2 /E. Таким образом, через время /2 частица окажется h в левой яме, через время Ч снова в правой яме и т.д.

ВОПРОСЫ 12.1. Получить квазиклассическое выражение для уровней энергии частицы в однородном поле тяжести в случае, когда ее движение ограничено снизу идеально отражающей плоскостью. Указать условие применимости полученного результата (задачи 9.2 и 9.3 ГКК). 12.2. Задача 2.4 ГКК. Для частицы, находящейся в поле U x = U0|x/a| ;

U0 > 0, > 0, найти в квазиклассическом приближении, как изменяется расстояние между соседними уровнями энергии с увеличением n в зависимости от значения параметра. Какова плотность состояний дискретного спектра? 12.3. Найти волновые функции n x для гармонического осцил1. Дать график |nx|2 и сравнить его с графиком лятора при n классической плотности вероятности dW dx x = vxT, = 2/ Ч классический период движения. Сравнить такгде T же эти величины для состояния n = 0. 12.4. Вычислить в квазиклассическом приближении коэффициент прохождения электронов через поверхость металла под действием сильного электрического поля E (Ухолодная эмиссияФ). Найти границы применимости расчета. Оценить плотность тока через поверхность металла при E 2 эВ, E 106 В/см. 12.5. Найти расщепление основного состояния в двойной яме. Потенциал каждой ямы вблизи минимума аппроксимируется осцилляторным, барьер по-прежнему считается квазиклассическим. Сравнить ответы для этой задачи и для задачи 3 к з50, КМ.

з13. Квазистационарные состояния. -распад Возбужденные состояния квантовых систем нестационарны, распадаются Ч элементарное излучение ядер, атомов, молекул, радиоактивный распад ядер и т.д. Закон распада: число распавшихся за 2/, и E = En 1, Рис. 9: Распределение по энергии для квазистационарного состояния. Здесь w = время dt частиц dN t пропорционально числу имеющихся в данный момент N t и интервалу времени dt, то есть dN t = N t dt, N t = N 0 e t. ширина квазиуровня откуда получаем Определения: время жизни 1 =,, = h. dW dt Вероятность в единицу времени для каждого атома или ядра остаться в возбужденном состоянии _ = N. N dW,t = |r, t|2, exp iEnt 2. dt h h Вычислив спектральный состав состояния eit = t dt, Модель получим (см. рис. 9) dW = 2 E E, 2 + ,/22, dE n то есть у квазистационарного состояния E,. При, 0 имеем dW/dE E En и состояние переходит в стационарное.

Модель -распада Пусть -частица движется в потенциальном поле вида рис. 10, где на малых расстояниях действуют притягивающие ядерные силы, а на больших расстояниях Ч кулоновское отталкивание. При b Рис. 10: Потенциальная энергия, соответствующая случаю -распада уровень En Ч обычное стационарное состояние с, = 0. Конечность барьера приводит к конечному времени жизни и E,. Оценка где T D a, dr. 0 vr Постановка задачи с начальным условием. Постановка квазистационарной задачи с r eikr. T = ВОПРОСЫ 13.1. УПожалуй самым ярким и удивительным свойством -распада является очень сильная зависимость периода полураспада T1/2 от энергии вылетающих -частиц EФ (Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядер ная физика (М.: Наука, 1972. С. 208). Эта зависимость (эмпирический закон ГейгераЦНеттола) имеет вид B lg T1/2 = A + E, где A и B Ч константы, слабо зависящие от заряда ядра Z (для Z = 90 известно A = 51, 94;

B = 139, 4 МэВ1/2, если T1/2 в секундах). Показать, что для -частиц, движущихся в модельном потенциале 0 при r < a U r = /r при r > a и при условии E /a, должен выполняться закон ГейгераЦНеттола, и найти вид коэффициентов A и B через параметры задачи. 13.2. Найти положение и ширину квазиуровней в поле U x = при x < 0 G x a при x > 0. h2 /ma Специально обсудить случай малопроницаемого барьера G (ср. с задачей 4.56 ГКК).

з14. Момент импульса Сдвиг и поворот Сдвиг на расстояние a и поворот на угол = n, где n Ч произвольный фиксированный единичный вектор, имеют ряд общих черт. Пусть при таком повороте радиус-вектор r переходит в r. ^ В з11 было показано, что оператор сдвига, определенный как Ta r ^ ^ ph r+a, связан с оператором импульса p соотношением Ta = expia^/ . Совершенно аналогично можно показать, что оператор поворота, ^ определенный как R r r , связан с оператором момента им^ ^h ^ пульса M = r p соотношением R = expiM/ . ^ ^ h Собственная функция оператора pz = i /z равна k z = eikz / 2 и соответствует собственному значению hk. Аналогично, собствен ^ z = i /, где Ч азимутальный угол ная функция оператора M h в сферических координатах, равна m = A eim и соответствует собственному значению hm. На этом, однако, аналогия между сдви гом и поворотом кончается.

Собственная функция оператора pz определена на всей прямой, ^ < z < +, спектр оператора импульса непрерывный, а его соб ственные функции нормированы на -функцию: k zk z dz = ^ k k . Собственная функция оператора Mz определена в ограниченной области, 0 2, требование однозначности m+2 = m приводит к дискретному спектру m = 0, 1, 2,.... Ортонор^ мированная система собственных функций оператора Mz такова:

eim m =, 2 m d = mm. m 14.1 Далее, различные компоненты оператора импульса коммутируют друг с другом, плоская волна k r = eikr /23/2 представляет собой ^^^ совместную собственную функцию операторов px, py и pz. Напротив, различные компоненты оператора момента импульса не коммутируют друг с другом. Введем безразмерный оператор ^ ^ M = ir lh Нетрудно показать, что.

^j, ^k = ijks^s, ^j, ^2 = 0. ll l ll ^2 m = m, ^z m = m m. l l 14.2 Отсюда видно, что можно искать совместные собственные функции lx l ll операторов ^ и ^2 или операторов ^z и ^2 :

14.3 l Определим ^ Свойства собственных функций и собственных значений операторов ^z и ^2, следующие из коммутационных соотношений l l = ^x i ^y, тогда l l ^z ^ = l ^z 1 ^l ll, 14.4 ^, ^2 = 0, ll 14.5 ^2 = ^+^ + ^z ^z = ^^+ + ^z + ^z. l l l l2 l l l l2 l 14.6 Соотношение (14.4) между оператором ^z и операторами ^+ и ^ анаl l l ^ логично соотношениям (7.1) между оператором H и повышающим a+ и понижающим a операторами для осциллятора. Поэтому опера^ ^ торы ^+ и ^ будут играть роль повышающих и понижающих операl l l торов для состояний с определенным значением ^z. Действительно, из (14.4Ц5) следует ^2 ^ m = ^ m, ^z ^ m = m 1 ^ m, ll l ll l то есть Поскольку ^z ^2, то при заданном существует максимальное l2 l значение m, обозначим его mmax = l. Ясно, что ^+ l = 0, отсюда с l учетом (14.6) получаем ^ m = m m1. l 14.7 ^^+ l = ^2 ^z ^z ll l l2 l или l = l2 l l = Применяя n раз понижающий оператор ^ к состоянию с наибольl шим mmax = l, мы получим ^n l ln. Увеличивая n, мы приl дем к наименьшему значению mmin = l, в этом случае l n = l, то есть 2l. 14.8 Найдем матричные элементы операторов ^. Будем обозначать l состояние m с = ll + 1 как |lm и усредним (14.6) по этому состоянию, тогда = ll + 1.

l l ll +1 = lm|^+ ^ |lm то есть +m2 m = lm|^+ |lm 1 lm 1|^|lm l l +m2 m, l | lm|^+ |lm 1 |2 Отсюда следует, что l lm| ^+ |lm = l2 + l m2 + m. = l + ml m + 1.

= lm 1| ^ |lm l Извлекая квадратный корень, мы выбрали определенный (положительный) знак, что соответствует фиксированию фазовых соотношений между различными состояниями |lm с данным l. Полученные формулы определяют также и коэффициенты C в соотношении (14.7) ^+ |lm = l + m + 1l m |lm + 1 l, ^ |lm = l + ml m + 1 |lm 1 l.

14.9 ^ где A = r, или p, или ^ или векторная функция вида ^ l A = r f1 + p f2 + ^ f3, fj fj r2, p2, r^ + pr. ^ l ^p^ Сферические функции В заключение этого раздела укажем, что нетрудно проверить следующие обобщение коммутационных соотношений (14.2): ^, A = i A, ^, A2 = 0, ^ l^ l^ 14.10 j k jks s j Для получения конкретного вида собственных функций удобно использовать сферические координаты, в которых ^z = i l ^2 l, ^ l = ei + i ctg, 1 sin + 1 2. = sin sin2 l lz Совместные собственные функции операторов ^2 и ^ удобно искать в виде Ylm , = lm m, где функция m определена в (14.1) с m = 0, 1, 2,..., l. Для нахождения функции lm можно использовать такой прием. Условие ^ Yll = 0 приводит к уравнеl+ d l ctg ll = 0, d откуда получаем Yll = const eil sinl. Последовательно применяя понижающий оператор в соответствии с (14.9), получим сферические функции Ylm, = 1 m+|m| нию 2l + 1 l |m|! P mcos eim, 4 l + |m|! l где Plm x Ч присоединенные полиномы Лежандра. Сферические функции образуют ортонормированую систему = ll mm. Отражение системы координат r r в сферических координатах выглядит так: r r,, +. При этом Ylmn = 1l Ylmn.

Ylm Ylm d Примеры 1 3 3 = 4, Y10 = 4 cos = 4 nz, 3 sin ei = 3 n in . Y11 = y 8 8 x Y00 ВОПРОСЫ 14.1. В состоянии частицы, заданном волновой функцией = A cos2, найти вероятности различных значений m проекции момента на ось z и lz. То же для = A ei cos2. 14.2. Обсудить вопрос о том, куда направлен вектор | ^ | в l 1 Y + Y . Показать, что в состоянии состояниях = Yll и = 2 11 11 m с определенной проекцией момента m на ось z средние значения lx = ly = 0. 14.3. Исследовать качественно угловое распределение плотности вероятности для состояний, описываемых сферическими функция1. ми Yl,m=l и Yl,m=0, считая l 14.4. Указать, при каких m и m могут быть отличны от нуля матричные элементы дипольного m | xi |m и квадрупольного m | xixj 1/3ij r2 |m моментов. 14.5. Частица находится в состоянии с моментом l = 1 и его проекцией m m = 0, 1 на ось z. Найти вероятности W m, m различных значений проекции момента m на ось z, составляющую угол с осью z. Рассмотреть, в частности, случай, когда ось z перпендикулярна оси z (задача 3.24 ГКК).

з15. Центральное поле Для центрального поля удобны сферические координаты. УШ в них имеет вид 2 2m r h2 2 + h2^2 + U r r,, = E r,, . l + r r 2mr Его можно легко получить, используя тождество h2^2 l r = p r r12 r p = p2 ^ r r12 r p ^ ^^ p ^ = Rr Ylm, , получим для радиальной Разделяя переменные функции уравнение 2 2m r h2 + 2 r + U r Rl = El Rl, r U h2ll + 1 = U r + 2mr2.

От первой производной по r можно избавиться заменой Rl = l /r. Для l r получаем обычное одномерное уравнение Шредингера 2m l + U rl = El l, но с эффективным потенциалом U r, зависящим от l. Из того, что Rl r конечно в нуле, следует l 0 = 0. Условие нормировки таково:

h2 |l r|2 dr = 1.

Терминология. l = 0, 1, 2, 3,...s, p, d, f,... Ч азимутальное, m Ч магнитное квантовые числа. Радиальное квантовое число nr равняется числу узлов функции l r (кроме точек r = 0 и r = ). Поведение при r 0. Пусть r2 U r 0 при r 0, тогда решениями уравнения ll + 1 l = l r2 служат l = arl+1 Rl = arl и l b = rl Rl b = rl+1 .

Второе решение сингулярно и поэтому не годится. Отметим, что 0 = 0 лишь для l = 0. Поведение при r. Считая, что поле убывает достаточно быстро, получим l так что eikr l r e = 2mE l, h2 sinkr + l E > 0, E < 0.

Свободное движение При l = 0 решением уравнения + k 2 = 0 = 0 служит k0 r = A sin kr. Нормировка на -функцию Упо шкале kФ: k k = 0 с граничным условием k k dr отсюда следует A= В итоге k = A = A eik+k r + eik+k r k k dr = eik+k r dr + k k = A 4 2 k + k 2 k k ;

Можно показать (см. КМ з 33), что при l > 0 kl r = отсюда kl r rl+1 1d kl r dr l 2 = sin kr.

k0 r r = krJl+1/2kr ;

при r 0, при r.

Если поле убывает при r достаточно быстро, то при E > 0 и больших r движение становится свободным, поэтому kl r krl+1 2 2l + 1!! sin kr l 2 2 sin kr l 2 + l ;

здесь l Ч так называемая фаза рассеяния. ВОПРОСЫ 15.1. Показать, что задача 1 из з 33 КМ сводится к вопросу 5.1. 15.2. Задача 3 из того же з 33. 15.3. Задача 4.20 ГКК. Как меняются значения Enr l энергетических уровней частицы в дискретном спектре:

а) при фиксированном значении l с увеличением nr ;

б) при фиксированном значении nr с увеличением l? 15.4. Задача 4.21 ГКК. Для частицы, находящейся в центральном поле, а) могут ли быть двукратно вырожденные уровни;

б) какую кратность вырождения может иметь первый возбужденный уровень? 15.5. Задачи 4.23 ГКК и 4.24 ГКК. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции стационарных состояний сферического осциллятора U r = kr2 /2, используя декартовы координаты. Определить кратность вырождения уровней. Произвести классификацию четырех нижних уровней осциллятора по nr, l и четности, исходя только из известного значения кратности вырождения уровней. Какая комбинация волновых функций n1 n2 n3 отвечает состоянию осциллятора с моментом l = 0 (при N = n1 + n2 + n3 = 2)?

з16. Атом водорода Задача сводится к движению частицы приведенной массы m = me mp /me+ mp в поле U = e2 /r, ниже рассматривается только случай E < 0 (связанные состояния). Естественная система единиц включает h, e, m. Из них строятся единицы длины (боровской радиус) h2 = 0, 53 108, aB = me2 энергии (удвоенный Ридберг) me4 E = 2 = 27, 2 h t скорости v где R = 2 Ry,, времени = h3 me = 2, 4 = e = c, h e2 hc = 1 Ч так называемая постоянная тонкой структуры. (Найдите единицы импульса, силы, напряженности электрического и магнитного полей.) Переходя к безразмерным величинам r = r/a, E = E/E, получим УШ в виде d2l dr 2 + 2E + r llr+ 1 l = 0. 2 er при r (здесь В дальнейшем штрихи опускаем. Мы знаем, что l rl+1 при r 0 и l = 2E). Поэтому ищем решение в виде l = rl+1 er wr.

Для wr получаем уравнение rw + 2l + 1 rw + 21 lw = 0.

s s=0 as r.

Его решение ищем в виде ряда w = шение для коэффициентов таково: as+1 Из него получаем as+ Рекуррентное соотно s + l = 2 s + 1s+ 1 1 as. + 2l + 2 Таким образом, as 22/s! и, если ряд не оборвать, он сходится к w e2r при r. Чтобы l r 0 при r, необходимо оборвать ряд на некотором s = nr. При этом nr + l + 1 1 = 0 и wr = Lnr r Ч полином степени nr, имеющий nr узлов (он сводится к полиному Лагерра). В итоге, En 2 a s s+ s.

n = nr + l + 1 = 1, 1 = 2n2, nlm = Rlmr Ylm, , nr Rnl = rl er/n Ln r, r 2, 3,..., = 0, 1, 2,..., l = 0, 1,..., n 1.

Кулоновское вырождение. Уровню En с данным главным квантовым числом n соответствует n1 l= 2l + 1 = n различных состояний (различных волновых функций). Состояния с l = n 1. Для них nr = 0 и Lnr r Ч просто константа, которую легко определить из условия нормировки, используя известный интеграл xn ex dx = n!. n+ 2n+ Таким образом, получим Rn,n =r e n+ n1 r/n 12 2n! n.

16.1 Отсюда найдем, что в данном состоянии r =n У основного 1s состояния r 1 ;

r = 1. 2 r 2n + 1 = 3, r = 60. 2r Таким образом, здесь нет сходства с моделью Бора, для которой r = 1, r = 0 (не говоря уже о том, что в 1s состояние момент M = 0, а в модели Бора в основном состоянии M = h). При l = m = n 1 1, напротив, квантовая механика дает ответ, близкий к боровской модели. А именно, средний радиус велик: r n2, относительная дисперсия мала: r/ r 1/ 2n, в угловом распределении |Yn1,n1|2 sin2n2 вероятность найти электрон сконцентрирована в узком интервале углов вблизи = /2, что очень похоже на классическую траекторию в форме окружности радиуса n2 в плоскости xy. Первый возбужденный уровень n = 2. Волновая функция состояния 2p с l = 1 (см. (16.1)) R не имеет узлов. Для 2s состояния рекуррентное соотношение дает 1 a1 = 1 a0, а условие нормировки a0 = 2, итого 2 R = r er/2 1 = 1 1 r er/2, 2 имеется один узел при r = 2. Спектральные серии 1 h = n2 f 2 ni 1 Ry, ni > nf.

При nf = 1 возникает серия Лаймана в ультрафиолетовой области спектра;

при nf = 2 - серия Бальмера, причем четыре линии H, H, H, H, соответствующие ni = 3, 4, 5, 6, лежат в видимой области спектра;

при nf 3 возникают серии в инфракрасной области спектра. Водородоподобные атомы. Возможные поправки к формуле Бора для En. ВОПРОСЫ 16.1. Для состояния 1s атома водорода дать графики dW/d3r и dW/dr в зависимости от r. Найти 100p и дать графики dW/d3p и dW/dp в зависимости от p. Оценить p, p и p. 16.2. Найти R20 из условия ее ортогональности к R10. Ортогональны ли R20 и R21 ? 16.3. Задача 2 из з 36 КМ. Оценить напряженность электрического поля атома водорода на расстоянии r = aB. 16.4. Для 2s и 2p состояний атома водорода дать графики dW/d3r в зависимости от r и. Определить среднее магнитное поле, создаваемое электроном в центре атома водорода в состоянии 2p. 16.5. Для того, чтобы учесть отсутствие случайного кулоновского выражения по l в спектрах водородоподобных атомов, можно попытаться использовать потенциал вида Za e2 Za e2 h2 , U r = r0 2, r0 = r r mZa e2 где второй член моделирует поляризуемость атомного остатка под действием валентного электрона. Найти уровни энергии в этом потенциале. 16.6. Найти вероятность того, что при -распаде трития электрон останется в основном состоянии.

16.7. У волновой функции = A 200 + B 210 определить коэффициенты A и B, дающие наибольшее среднее значение дипольного момента |er| = d, и найти величину d. 16.8. Оценить размеры и уровни энергии водородоподобных атомов He+, Li++, e+ e, p, +, в поле ядра свинца Pb+82.

з17. Стационарная теория возмущений ^ Пусть некий гамильтониан H можно представить в виде ^ H ^^ = H0 + V, ^ где для гамильтониана H0 известны его собственные функции и соб0 0 ственные значения, n x и En, ^0 H0n 00 = Enn, ^ а V Ч малое возмущение. Рассмотрим, как под действием этого воз0 мущения сдвигается n-й невырожденный уровень En и как изменя0 0 ется волновая функция n x. Подставим = m cm m в уравнение 0 ^^ H0 + V = E, домножим уравнение слева на k и проинтегрируем по x. Получим 0 E Ek ck = m Vkm cm.

17.1 Пусть 0 1 2 = En + En + En +..., cm = c0 + c1 +.... m m ^ Так как 0 при V 0, то c0 = 1 при m = n и c0 = 0 при m = n, m m 0 =. Более того, из условия нормировки ||2 dx = 1 то есть cm mn E имеем m 2 c0 + c1 +... m m = 1 + 2Re c1 +... = 1, n = 0.

Vkm mn + c1 +.... m так что c1 n Таким образом, из (17.1) получаем 0 0 1 2 En Ek + En + En +...kn + c1 +... = k m 1 В первом порядке при k = n отсюда следует En 0 0 получаем En Ek c1 = Vkn, откуда k = Vnn. При k = n c1 k Итак, 1 En kn = E 0V E 0 n k при k = n.

0 m m=n = Vnn = 0^ 0 n |V |n, 0 = n + Vmn 0 0. En Em 0 Критерий применимости: должна мало отличаться от n, то есть |Vmn | Во втором порядке при k E n 0 0 |Em En |.

= n получаем |Vmn |2 = 0 0. m=n En Em = m Vnm c1 m Отметим, что если поправка второго порядка к основному уровню 2 отлична от нуля, то она отрицательна, E0 0. Примеры Производная от энергии по параметру ^ Пусть H ^^ ^ = H, а H = H + = H0 + V, где ^ ^ = H. V = n 1 В первом порядке поправка к энергии равна En 1 С другой стороны, En = En/, поэтому ^ H/ n.

En = n ^ H n.

В частности, для центрального поля при l h2 2 2 + h2ll + 1 + U r, ^ Hl = + r r 2mr2 2m r2 и Enr l l = H nr l nr l l = h2 2l + 1 nr l 2mr2 nr l.

Так как Enr l /l > 0, то в центральном поле с ростом l (при фиксированном nr ) энергии уровней растут, что вполне согласуется с классическими представлениями. Для атома водорода me4 E nr l = 2 2 nr + l + 12 h и поэтому nl 2 nl r = a1 Если к кулоновскому полю U = e2 /r есть малая поправка вида /r2, то энергия начинает зависеть не только от n, но и от l: me4 Enl = 2 2 2 n h m2 e2 +43 1. h n l + 2 1. 1 3 B n l + 2 17.2 Обратим внимание на то, что в пределе больших квантовых чисел их полная степень в найденной поправке совпадает со степенью h: 4 n3l1. Так и должно быть для любого матричного элеменEnl h та, имеющего классический предел. Поляризуемость Для атома в слабом однородном электрическом поле E возмуще^ ние V = dE, где d = ea ra Ч дипольный момент атома (здесь сумма идет по координатам ra всех электронов). В невырожденном 0 1 состоянии n среднее значение d = 0, так что En = 0 и 2 En = En = | m| dE |n |2 1 ij EiEj. 0 0 2 m=n En Em n|di |m m|dj |n. 0 0 Em En Отсюда тензор поляризуемости равен ij = m=n Пусть состояние атома сферически симметрично, тогда ij и =2 n|dz |m m|dz |n. 0 0 Em En = ij Очевидно, в основном состоянии > 0.

m=n Оценим величину для основного состояния атома водорода. Для оценки снизу оставим в сумме по m лишь одно слагаемое |m |nlm = |210. Отсюда (в атомной системе единиц) > 2 19 2 | 100|z|210 | = 211 2, 96. 1 + 1 3 0 0 0 0 Для оценки сверху заменим всюду Em E1 E2 E < 16 m 100|z|m m|z| = 16 100|z2|100 = 16 5, 33. 3 = 3. Тогда Точное значение (см. КМ задача 4 к з 76). Силы Ван-дер-Ваальса = 4, 5 a3 B На больших расстояниях R aB два атома в S-состояниях имеют диполь-дипольное взаимодействие V = 3d1nd23n + d1d2 = 2d1z d2z + d1xd2x + d1y d2y. R R Поправка первого порядка по этому взаимодействию равна нулю для невырожденных состояний атомов. Поправка второго порядка имеет вид 2 U R = E00 = 6, R где 0|V |n1n2 n1 n2|V |0 = 6 | 0|d1z d2z |n1n2 |2. = En1 + En2 2E0 n1 n2 n1 n2 En1 + En2 2E0 Оценки для атома водорода 233 2, 46 Расчет дает < 25 < e aB 8.

= 6, 5 e2a5. B з18. Стационарная теория возмущений при наличии вырождения 0 Пусть уровню En соответствуют s различных функций 0, 0,..., 0. s 12 Ищем решение в виде = s cm 0, что приводит к уравнению m=1 m 0 E En ck = s Vkm cm, m= ^m где Vkm = 0 |V |0 и все cm, вообще говоря, не малы. Подставляя k 0 1 E = En + En +..., получим в первом порядке систему линейных однородных уравнений для определения cm :

s m= 1 Vkm Enkm cm = 0.

Эта система имеет нетривиальное решение, если 1 det |Vkm Enkm| = 0, 1 что дает, вообще говоря, s различных корней En k, k столько же независимых наборов cm.

= 1, 2,..., s и Примеры Двухуровневая система Секулярное уравнение V11 E 1 V12 V21 V22 E 1 имеет корни E = 1 = 2 V11 + V22 1 V11 V222 + 4|V12|2. 2 E = V11 V222 + 4|V12|2.

Расщепление уровней равно Пусть возмущение зависит от некоторого параметра. Можно ли, меняя, добиться того, чтобы уровни 1 и 2 пересеклись? Обращение E в нуль возможно лишь при условиях V11 = V22 , V12 = 0. Но это, по существу, два уравнения для одной переменной, которые, вообще говоря, несовместны. Нельзя совместить два уровня, меняя одну переменную. Это так называемая теорема о непересечении уровней. Очевидные исключения Ч случаи, когда V12 или V11 V22 обращаются в нуль тождественно. Эффект Штарка для атома водорода при n = 2 Имеется 4 состояния: 2s;

2p, m = +1;

2p, 0;

2p, 1. Возмущение V = eEz сохраняет lz. Значит, состояния 2p, +1 и 2p, 1 не смешиваются ни друг с другом, ни с остальными состояниями. Поэтому для них применима теория возмущений без вырождения, что дает E 1 = 2p, 1|V |2p, 1 = 0.

Остаются два состояния 0 = |2s и 0 = |2p, 0, для них V11 1 2 V22 = 0, V12 = V21 = 3eEa. Отсюда получаем два решения E = = 3eEa, 1 = |2s |2p, 0 .

ВОПРОСЫ 18.1. Определить поправки к основному состоянию линейного осциллятора за счет малых ангармонических поправок V = x3 + x4. Учесть члены первого порядка по и второго по. 18.2. Вычислить поправку первого порядка к энергии основного состояния водородоподобного атома, обусловленную неточечностью ядра. Ядро считать а) сферой радиуса R, по поверхности которой равномерно распределен заряд;

б) шаром радиуса R с равномерно распределенным по объему зарядом. Оценить поправку для атома водорода, считая R 1013 см. Как изменится результат для состояния 2p ? 18.3. Оценить величины поправок к кулоновским уровням энергии водорода, обусловленных: а) релятивистскими поправками к кинетической энергии электрона;

б) взаимодействием с магнитным моментом ядра (сверхтонкая структура);

в) наличием у ядра электрического квадрупольного момента (так называемая квадрупольная сверхтонкая структура). 18.4. Задачи 8.9 ГКК и 8.10 ГКК. а) Плоский ротатор с моментом энерции I и электрическим дипольным моментом d помещен в однородное электрическое поле E, лежащее в плоскости вращения. Рассматривая действие поля как возмущение, найти поляризуемость основного состояния ротатора. б) В условиях предыдущей задачи найти в первых двух порядках теории возмущений сдвиг и расщепление энергетических уровней возбужденных состояний ротатора. Указать правильные функции нулевого приближения. Специально обсудить случай первого возбужденного уровня. в) В каком порядке теории возмущений возникает расщепление n-ого уровня ротатора? Вычислить это расщепление.

з19. Уравнение Шредингера для частицы в электромагнитном поле Классическая функция Гамильтона 1 p e A 2 + e, Hr, p = 2m c где обобщенный импульс равен p = mv + e A, c заменяется оператором 2 ^ = 1 p e A + e, p = i H ^ h 2m ^ c.

При этом ток равен 1 j = 2m AA+ i h e A c + k.c.

Калибровочная инвариантность: при замене f, 1 f, eief/ c. h c t УШ не изменяется (здесь f Ч произвольная функция координат и времени).

ВОПРОСЫ 19.1. Определить уровни энергии и волновые функции для заряженной частицы в постоянном и однородном магнитном поле. Выбрать векторный потенциал в виде A = 0, xB, 0. 19.2. Считая известным гамильтониан частицы в электромагнитном поле, найти ^ а) выражение для оператора скорости v ;

б) коммутационные соотношения для компонент скорости;

в) уравнение для d^ v m dt (операторный аналог уравнения Ньютона);

г) показать, что в постоянном и однородном магнитном поле B операторы x0 ^ 1^ ^ 1^ = x + vy ;

y0 = y vx;

eB = mc соответствуют сохраняющимся величинам, но не могут быть измерены одновременно. (В классической электродинамике эти величины соответствуют координатам центра окружности, по которой движется заряженная частица).

з20. Постановка задачи рассеяния. Амплитуда рассеяния Рассматриваем решение стационарного УШ + k2 r = 2m U r r, h2 20.1 которое на больших расстояниях r a (a Ч характерный радиус действия потенциала U r) имеет вид суперпозиции падающей плоской волны и сферической волны, расходящейся от центра (рис. 11):

= + = eikz + f eikr, k = 0, 0, k, k = k r. r r 20.2 Здесь функция f = f k,, Ч амплитуда рассеяния.

Рис. 11: Схема рассеяния Дифференциальное сечение рассеяния d равно отношению числа частиц, рассеянных в единицу времени в элемент телесного угла d h |2 _ = j r dS = j r r2 d, j r = i + k.c. = hk |f 2, dN 2m dr mr к плотности потока падающих частиц j d z = hk/m: .

_ = jdN = |f |2 d z Заметим, что, обсуждая сечение, мы имеем в виду расстояниях r, большие не только по сравнению с a, радиусом действия потенциала, но и с дебройлевской длиной волны. От дифференциального УШ (20.1) и граничного условия (20.2) удобно перейти к интегральному уравнению m r = eikz 2 2 h eik|rr | U r r d3r. |r r | 20.3 Такой переход можно обосновать известными из электродинамики результатами (см. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теория поля (М.: Наука, 1988, з 64). Действительно, волновое уравнение 2 r, t = 4r, t c2 t2 при гармонической зависимости от времени потенциалов и плотностей зарядов r, t = r eit, r, t = r eit имеет вид + k2r = 4r, r r, r m U r r. 2 2 h 20.4 аналогичный (20.1) с заменой Решение же уравнения (20.4) в форме запаздывающих потенциалов таково: eikR r d3r, R = |r r |, r = R что соответствует суперпозиции сферических волн eikR /R, расходящихся из центров r, в которых состредоточены заряды r d3r. При r a соотношение (20.3) приводится к виду (20.2). Действительно, при этом k |r r | = k r2 2rr так что f +r2 =k r r r = kr k r, r 20.5 = m 2 2 h eik r r U r d3r.

з21. Борновское приближение. Формула Резерфорда. Атомный формфактор Борновское приближение Рассматриваем потенциал как возмущение. Для получения амплитуды рассеяния в первом порядке по потенциалу взаимодействия, подставим в (20.5) невозмущенную волновую функцию r 0 r = eikz и получим f q = m 2 2 h = eikr k, q eiqr U r d3r, q = k = 2k sin. Критерий применимости: | 1 | | 0 |, что дает для сферически симметричного потенциала условие m h2 k U r 1 e2ikr dr 1.

Оно приводится к |U a| Иными словами, характерная потенциальная энергия |U a| должна быть мала либо (для медленных частиц) по сравнению с характерной энергией E h2 /ma2 , либо (для быстрых частиц) по срав нению с E ka (в последнем случае |U a| может быть и не мала по сравнению с E ). Критерий применимости борновского приближения для рассеяния медленных частиц |U a| h2 /ma2 соответствует тому, что в случае притягивающего потенциала притяжение недостаточно для образования связанного состояния. В случае быстрых частиц условие |U a| hv/a соответствует тому, что неопределенность в энер гии, связанная с временем пролета, должна быть много больше потенциала взаимодействия;

условие ka 1 обеспечивает здесь применимость квазиклассического рассмотрения. Формула Резерфорда Для поля U r = /r критерий применимости борновского приh 1. Борновская амплитуда равна ближения / v f а сечение рассеяния d d 2 = 2pv sin2/2 h2/ma2 при ka hv/a при ka 1, 1.

= 2m, h2 q 2 = 2 16E 2 sin4/2 совпадает с классическим. Отметим без доказательства, что борновская формула для сечения совпадает с точной (это верно лишь в нерелятивистском приближении). Полное сечение равно бесконечности. Атомный формфактор При упругом рассеянии быстрых электронов на атоме последний можно рассматривать как источник статического потенциала r, создаваемого средним распределением зарядов в атоме r = Zer enr.

Так как r = 4r, то из qeiqr = q2qeiqr = 4qeiqr следует, что q = 4q /q 2. Таким образом, 2e2m Z F q. f q = 2 2 hq Здесь введен так называемый атомный формфактор: F q = eiqr nr d3r.

1, то есть при углах рассеяния 1/ka, формфакПри qa тор |F | Z и сечение совпадает с резерфордовским. Это вполне естественно: большие углы рассеяния соответствуют малым прицельным параметрам, при которых налетающая частица рассеивается ядром, практически неэкранированным. При qa 1 имеем Z F q 1 q2 r2 nr d3r = 1 q2 r2.

В этой области дифференциальное сечение 1 r 2 2. d =9 a d B Таким образом, при рассеянии на атоме полное сечение оказывается (в отличие от резерфордовского) конечным. Пример Атом водорода. Z = 1, nr = |100r|2, поэтому 1, u = 1 q2a2 = ka sin/2 F q = B 1 + u2 4B 1 + 1 u2 a2, = 7 e2/aB a2. d = 1 + 2u4 B d 6EB 2, Указанному распределению зарядов соотвествует потенциальная энергия e2 U r = er = 1 + ar e2r/aB. r B В классической механике в таком поле =, что находится в резком противоречии с квантовым (правильным!) результатом.

Конечные сечения в квантовой механике Обсудим подробнее вопрос о том, какие потенциалы приводят в квантовой механике к конечным сечениям. Пусть на больших расстояниях U r /rn, n > 0. В классической механике при рассеянии в таком поле полное сечение бесконечно, так как любым большим прицельным параметрам соответствуют хотя и малые, но конечные классические углы отклонения p F t n, F n+1, t. pz mv E v В квантовой механике для частицы с прицельным параметром (у > нее r < ) неопределенность поперечного импульса p h/r > h/, поэтому квантовая неопределенность угла отклонения равна p > h pz mv.

Таким образом, при n > 1 > и поэтому квантомеханические результаты могут существенно отличаться от классических. Зная поведение U r на больших расстояниях, где взаимодействие всегда слабое и поэтому борновское приближение применимо, можно оценить поведение амплитуды в области малых углов рассеяния: f q r eiqr rn d3r d d 3n. q 3n Отсюда получаем, что дифференциальное сечение конечно при 0, если n > 3, а полное сечение d2 23n конечно при n > 2.

23n Опыты по рассеянию быстрых электронов на ядрах. Формфакторы элементарных частиц. ВОПРОСЫ 21.1. Рассеяние на прямоугольной потенциальной яме в борновском приближении (задача 1 к з 126 КМ). Обсудить условия применимости приближения. 21.2. То же для потенциала Юкава U r = /r er/a. 21.3. То же для кулонового потенциала U r = /r (предельный случай потенциала Юкава при a ). 21.4. Найти полное сечение рассеяния быстрой частицы на поh 1. тенциале Юкава U r = /r er/a при условии / v 22. Фазовая теория рассеяния Рассеяние на сферически симметричном потенциале является симметричным, то есть r зависит лишь от r и, но не от. Поэтому разложение этого решения по парциальным волнам содержит лишь Yl0, Pl cos : r = Как известно (см. з15), r. r 2 + l Чтобы выполнялось граничное условие (20.2), необходимо kr Al Тогда f k, = el l l= Al Pl cos Rkl r.

22.1 Rkl r 2 1 sin l 1 = k 2l + 1 il ei. l 2l + 1flkPl cos ;

l fl = Sl2ik 1 ;

l Sl = e2i ;

l = |f |2 d = 4 2l + 1 |fl |2 = k 2l + 1 |1 Sl |2.

Понятие о неупругом сечении Решение (22.1) при r можно представить не только в виде (20.2), но и в виде двух сферических волн, расходящейся и сходящейся: 1 2l+1P cos S eikr 1l eikr r + = r l l 2ik l r r (разумеется, при таком разбиении расходящаяся волна отличается от в (20.2)). Парциальная амплитуда расходящейся волны отличается на множитель 1l+1Sl от соответствующей амплитуды в сходящейся волне. Если нет поглощения частиц силовым центром, то этот множитель должен быть по модулю равен единице, |Sl | = 1. Если есть поглощение, то |Sl | < 1, а величина |Sl |2 характеризует уменьшение потока частиц в расходящейся волне по сравнению с потоком частиц в сходящейся. Действительно, h _ N = j r r2 d = 2l + 1, mk l _ N in h = j r r2 d = mk l 2l + 1 |Sl |2.

Поэтому неупругое сечение равно = _ _ |N | N j z = k2 2l + 1 1 |Sl | l Оптическая теорема Для процессов рассеяния и поглощения существуют определенные ограничения и связи. Введем понятие парционального сечения l, 1 момент импредставив = l l. В классической механике l l ( = /2 = 1/k), пульса M = pl = hkl = hl, поэтому l = l/k = а под парциальным сечением l естественно понимать площадь кольца между окружностями радиусов l+1 и l, то есть l = 2 2 = 2 2l + 1.

l+1 l Парциальные сечения для упругого, неупругого и полного tot = el + in сечения можно записать в виде l l l 1 |Sl |2, tot = l 2 1Re Sl . el = l |1 Sl |2, in = l При Sl = 1 нет ни поглощения, ни рассеяния;

при |Sl | только рассеяние, но нет поглощения. Так как |Sl | 1, то l l l el tot 4 l, in l.

= 1 есть Если есть поглощение частиц |Sl | < 1, то непременно происходит и рассеяние частиц. Поглощение максимально при Sl = 0 и в этом случае l l in = el = l.

Еще одно соотношение возникает, если сравнить tot = el + in = 2 2l + 1 2 1 Re Sl kl с выражением для мнимой частицы амплитуды рассеяния на угол нуль: 1 Im f k, = 0 = 2l + 1Pl 1 Im Sl2ik 1 = 2k l l 2l + 11 Re Sl .

Отсюда получаем оптическую теорему: k Im f k, = 0 = 4 tot. Ее смысл тот же, что и в оптике: ослабление падающего потока происходит за счет интерференции падающей волны и волны, рассеянной под очень малыми углами. Упругое рассеяние медленных частиц При ka 1 прицельные параметры l = l/k a для l 1, поэтому лишь s-волна может давать заметное рассеяние. Таким образом, f = e 2ik 1, 2i дифференциальное сечение изотропно d d = const = 4, а полное сечение определяется фазой s-волны = 4 sin2 0. k Дифракционное рассеяние быстрых частиц на черном шаре Пусть идеально поглощающий (черный) шар имеет радиус a. Рассмотрим рассеяние быстрых (ka 1) частиц на таком шаре (пример: нейтроны с энергией E 100 МэВ рассеиваются на тяжелом ядре радиуса a 1012 см, при этом ka 10). Эта задача вполне аналогична дифракции плоской световой волны на черном шаре. Прицельный параметр l0 = a соответствует l0 = ka 1. При l > l частицы не сталкиваются с шаром, Sl = 1. При l < l0 частицы полностью поглощаются, Sl = 0. Строго говоря, эти утверждения спраl0, но область l l0 не дает большого ведливы лишь для l l0 и l вклада в сечение. Таким образом, el = in = k l0 k 2l + 1 = k l 2l dl = a2, tot = 2a2, то есть полное сечение вдвое больше классического = a2. Амплитуда упругого рассеяния велика лишь в области малых углов < 1/ka: f k, = Поэтому del d i l0 2l + 1 P cos = i l 2k l=0 k 1 a2 ka2 = 4 8 sin2 ka l lJ0l dl = ia J ka.

= |f | ka при при 1/ka 1/ka.

Упругое рассеяние быстрых частиц на идеально отражающем шаре Пусть радиус шара a и ka 1. Полное сечение определяет число частиц, выбывших из начального пучка. В классике это сечение a2 связано лишь с прямым столкновением с мишенью. С учетом волновых свойств частиц их выбывание из пучка, то есть изменение начального импульса, связано также с дифракцией. Как и в предыдущем случае Sl = 1 при l > l0. При l < l0 решение УШ для радиальной волновой функции имеет вид Rkl r = 0 при r a. Rkl r r 2l Сшивка при r = a дает l ka 1 l. Для нахождения полного 2 сечения используем оптическую теорему = 2 k l Слагаемые, содержащие cos 2l 1l cos2ka, быстро осциллируют при изменении l, и поэтому их вкладом в сумму можно пренебречь. В итоге получаем = 2a2, что вдвое превышает классическое сечение = a2.

l= 2l + 11 cos 2l .

В данном случае отличие от классического результата связано с наличием помимо квазиклассического рассеяния, обусловленного углами 1/ka, дифракционного рассеяния на малые углы < 1/ka. Чтобы увидеть это, представим амплитуду рассеяния f i = 2k l l= 2l + 1 1 e2i l Pl cos совпадает с ампли в виде двух слагаемых f = f + f, где f тудой рассеяния в предыдущем случае, а f = i 2k l0 l= 2l + 1 e2i Pl cos i a e2ika sin/2. l Доказательство того факта, что |f |2 a2 /4 при 1/ka (в полном соответствии с классическим изотропным рассеянием d /d a2 /4) можно найти в задаче 13.32 ГКК. Таким образом, вклады f иf в полное сечение одинаковы, а вклад их интерференции пренебрежимо мал. Для классических частиц дифракция практически ненаблюдаема. Так, для частицы с m 1 г, v 1 см/с углы дифракции на шаре радиуса a 1 см настолько малы, h/mva 1027, что увидеть 1027 это рассеяние можно было бы лишь на расстояниях a/ см. Резонансное рассеяние Перепишем асимптотическое выражение (при r ) Rkl r в виде Rkl r = 1 sin r kr l 2 + l 1 ei 12 l. i l const r al E eikr + a E eikr, al E = l Если в данном поле U r возможно квазистационарное состояние i при E = Er 2,, то асимптотика Rkl r при данной энергии должна содержать только расходящуюся волну, то есть a Er l i, = 0. Отсюда следует, что парциальная амплитуда рассеяния 1 al E 1l+1 1 1 = 2ik aE l i должна иметь полюс при E = Er 2,. Пусть вблизи резонанса i a E l E Er +,, l l 1 e2i fl E = 2ik тогда 1 1l+1 fl E 2ik l E Er l E Er + i 2, i 2, 1 1 fl0 2k i E Er + 2,, e2i l 0, 0 0 где l и fl Ч фаза и амплитуда рассеяния вдали от резонанса, причем, 0 l l arctg 2E Er . При прохождении через резонанс фаза рассеяния изменяется на. Парциальное сечение имеет резонансную зависимость от энергии:,2 l = 42l + 1 |f |2 2l + 1 l k2 E Er 2 + ,/2 и при E = Er достигает максимально возможного значения 4 2l + 1.

k i При E = Er 2, радиальная волновая функция на больших расстояниях равна eikr. Rl r = i, l r Если Rl r нормирована во внутренней области на единицу, то полный поток в расходящейся волне v,2 |l |2 должен равняться вероятности распада в единицу времени,/. Отсюда h |l | 1 = hv,. Аналогичным образом можно показать, что при аналитическом продолжении по k функций Rkl r и fl k в область отрицательных значений E (при этом k i), связанным состоянием с энергией En < 0 соответствуют полюса амплитуды рассеяния при E = En.

ВОПРОСЫ 22.1. Вычислить сечение рассеяния медленных частиц в поле U r = G r a в условиях резонанса в s-волне (задача 13.34 ГКК). 22.2. Найти сечение рассеяния медленных частиц в случае: а) сферической прямоугольной потенциальной ямы (включая и резонансное рассеяние Ч см. задачу 13.35 ГКК);

б) сферического прямоугольного потенциального барьера. 22.3. Найти фазовые сдвиги l k в поле U r = /r2, > 0. Выполнить суммирование ряда, представляющего разложение амплитуды по парциальным волнам, в случае m/ 2 h 1 при произвольных углах рассеяния. Найти d/d и ( задача 13.29а ГКК). Сравнить с классическим рассеянием на малые углы. 22.4. Как ведет себя сечение неупругого рассеяния в пределе малых скоростей?

з23. Гайзенберговское представление В обычном (шредингеровском) представлении операторы r и p = ^ ^^ i не зависят от t, а оператор физической величины Ar, p, t моh жет зависеть от t лишь частным образом. Зависимость среднего значения этой величины от времени At ^ ^ = r, t A r, t d3r = t| A | t, связана в основном с волновой функцией r, t, которая удовлетворяет УШ ^ i t r, t = H r, t. h Представим волновую функцию в виде r, t = или n ^h h ^ ^ an eiEn t/ n r = U t r, 0;

U t = eiHt/ | t ^ = U t | 0.

Тогда среднее значение At можно записать так: At ^ = 0| AH t | 0, где ^ ^ ^^ AH t = U 1 t A U t Ч это оператор в гайзенберговском представлении. Таким образом, зависимость от времени в гайзенберговском представлении перенесена с волновых функций на операторы. При этом ^ HH ^ ^^ ^ = U 1H U = H.

Легко получить выражение для производной по времени от оператора в гайзенберговском представлении:

^ dA H dt ВОПРОСЫ ^ i H, A + AH. ^ ^H =h t 23.1. Задачи 7.29-7.31 ГКК. Найти операторы координаты и импульса в гайзенберговском представлении для линейного гармонического осциллятора. Задачу предлагается решить двумя способами: а) используя унитарное преобразование, связывающее операторы физических величин в гайзенберговском и шредингеровском представлениях;

б) непосредственным решением уравнений движения для гайзенберговских операторов. 23.2. Задачи 7.34 ГКК. Найти значение УразновременногоФ коммутатора импульса и координаты pt, xt для: а) свободной ча^^ стицы;

б) частицы в однородном поле;

в) линейного осциллятора. 23.3. Задача 7.36 ГКК. Используя вид гайзенберговских операторов pt, xt, найти зависимость от времени следующих средних: ^^ xt, pt, xt, pt для линейного осциллятора в состоянии, описываемом волновой функцией вида ip0x x x02. x = A exp h 2a з24. Опыт ШтернаЦГерлаха. Спин В классической теории магнитный момент атома = 1 2c a ea ra va обусловлен в основном движением электронов где M = e re pe - орбитальный момент импульса электронов. Взаимодействие нейтрального атома со внешним магнитным полем B описывается добавкой V = B к функции Гамильтона. Во внешнем неоднородном магнитном поле на такой атом действует сила 2mec M, |e| F= V = B.

В опытах Штерна и Герлаха (1921 г.) нейтральный атом пролетал через поперечное неоднородное магнитное поле. В классической электродинамике средняя действующая на атом сила Fz = z Bz /z может принимать любые значения из интервала |Bz /t| Fz +|Bz /z|, что приводило бы лишь к размытию на пластинке линии, вдоль которой осаждались пролетевшие атомы. ^ ^ В квантовой механике M = hL и потому оператор ^ L ^ = BL, B |e| = 2mhc e Ч магнетон Бора. ^ Величина z = B Lz принимает дискретный ряд значений ^ B l, B l 1,..., +B l, что должно привести к появлению на пластинке 2l + 1 полос. Опыт частично подтвердил это предсказание, но для водорода и серебра на пластинке оказалось две полосы, что формально соответствует равенству 2l + 1 = 2, то есть l = 1/2.

= ss +1 |s, m = 3 |s, m ;

sz |s, m = m |s, m ;

m = s = 1. ^ 4 2 1 Введем краткие обозначения |s = 2, m = 1 = |+, |s = 1, m = 2 2 1 = |. Любое спиновое состояние | можно представить в виде 2 ^ s2 |s, m | причем |a1 |2 + |a2 |2 = 1. ^ Из sz |+ = 1 |+ следует Гипотеза Уленбека и Гаудсмита (1925 г.): электрон имеет собственный (не связанный с вращением вокруг ядра) момент импульса или спин h^, причем sz имеет собственные значения 1/2. Слеs ^ дует отметить, что механическая модель электрона: шарик радиуса re = e2 /mec2 вращается вокруг своей оси, несостоятельна, так как моменту импульса h/2 me re v соответствует скорость вращения v h/mere hc2 /e2 137 c ! Коммутационные соотношения (14.2) для компонент орбитального момента определяются лишь общими свойствами операции поворота, поэтому полученные в з 14 общие формулы справедливы и для спина. В частности, sm, sn = imnk sk, ^^ ^ откуда следует, что sz, s2 = 0 и поэтому существуют совместные ^^ ^^ собственные функции s2 и s :

z = a1|+ + a2|, 24.1 +|^z |+ = 1, s |^z |+ s |^z | s = 0;

= 1. аналогично, +|^z | = 0, s Набор матричных элементов s, m | sz |s, m удобно представить в ^ виде матрицы +|^z |+, +|^z | s s |^z |+, s |^z | s 1 1 0. = 2 0 l Для операторов ^ = ^x i^y мы выводили соотношение l l ml m + 1 |l, m 1.

^ |l, m = l l Подобным же образом получим s+ |+ ^ 0 1, s+ = ^ s+ + s ^^ = 0, s+ | = |+, то есть ^ 0 0, s = ^+ + = ^ s 1 sx = ^ = 2 0 1, sy = s+ s = 1 0 i. ^ ^ 2i ^ 2 i 0 10 2 Действие любого оператора sm на произвольное состояние (24.1) ^ может быть описано, как действие соответствующей этому оператору матрицы на спинор a1. = a з25. Матрицы Паули. Уравнение Паули Определим матрицы Паули x, y, z соотношением ^ = 1, тогда s 0 1, x = Их свойства: m n 0 i, y = i 1 0. z = 0 = I mn + imnk k, Sp m = 0, Sp I = 2. 1 = 1 Sp A, a = 2 Sp A. Любую квадратную 2 2 матрицу A можно представить в виде A = a0 I + a, a Магнитный момент заряженной частицы, обусловленный ее ор^ l битальным движением, l связан с ее орбитальным моментом ^ соотношением h ^ e ^. l = l ^ Связь же собственного момента частицы s с ее спином ^, как поs казывает опыт, зависит от вида частицы ^ e = 1, 001 159 625 B 2^ B 2^, s s = 2, 79 2^, n = 1, 91 2^, s^ s 2mc B |e| = 2mhc, e p ^ p |e| = 2mhc.

С учетом магнитного момента уравнение для движения частицы в электромагнитном поле принимает вид (Паули, 1927 г.) 2 ^ ^ 1^ ^ i = H ;

H = 2m p e A + e sB, h 25.1 t c в котором волновая функция Ч двухкомпонентный спинор = 1r, t, 2r, t а условие нормировки таково: | 1 |2 + | 2 |2 d3r = 1.

Уравнение движения спина электрона в магнитном поле s = i H, ^ = 1 B 2B ^ B. d^ ^ ^ dt h s he h s В случае квазиклассичности движения электрона, усредняя это уравение по квазиклассическому волновому пакету, получим для средних значений e ds s B. dt mc Аналогичное уравнение для скорости электрона имеет хорошо известный вид dv e = mc v B. dt Таким образом, в магнитном поле B как вектор скорости, так и вектор спина электрона процессируют вокруг направления магнитного поля B с одной и той же (циклотронной) частотой c Поэтому проекция спина на направление v остается неизменной (учет ^ малого отличия e от 2B^ приводит к небольшому рассогласоваs нию этих скоростей). Покажите, что имеет место соотношение 2 h ^ = 1 p e A + e e B = 1 H ^c 2m 2mc 2m (Оно окажется полезным в дальнейшем.) eB = mc.

p eA ^c + e. 25.2 з26. Сложение моментов Рассмотрим две подсистемы с заданными моментами j1 и j2. Сумjjj марный момент ^ = ^1 + ^2, величина его j может принимать различные значения. Примеры: система протон и нейтрон в s-состоянии (при этом j1 = s1 = 1/2, j2 = s2 = 1/2, ^ = ^1 + ^2 Ч полный jss спин системы);

орбитальный и спиновый момент электрона в атоме (j1 = l, j2 = s = 1/2, ^ = ^ +^) и т.д. Состояние подобной системы jls можно описать двумя различными способами: 1) Набором собственных функций коммутирующих операторов ^2;

^1z ;

^2;

^2z с собственными значениями j1j1 +1;

m1;

j2j2 +1;

m2 : j1 j j2 j m1m2 = |j1m |j2 m ;

имеется всего N = 2j1 + 12j2 + 1 таких функций. 2) Набором собственных функций коммутирующих операторов ^2;

^z ;

^2;

^2 с собственными значениями jj+1;

j1j1 +1;

j2j2 +1: j j j1 j jm = |jmj1 j.

При каждом j имеется 2j + 1 различных значений m = j, j + 1,..., j, поэтому число таких функций (равное, конечно, N ) есть N = j 2j + 1, где сумма берется по всем допустимым при данных j1 и j2 значениях j. Функции m1 m2 и jm должны быть снабжены также индексами j1 и j2, но так как эти значения фиксированы, мы их для упрощения формул не выписываем явно. Под проблемой сложения моментов понимаются следующие задачи: а) какие значения m возможны при заданных m1 и m2 ? б) какие значения j возможны при данных j1 и j2 ? в) ясно, что любая функция jm может быть выражена через линейные комбинации функций m1 m2, и наоборот:

jm = m1 m jm Cm1m2 m1 m2 ;

m1 m2 = jm ~ jm Cm1 m2 jm.

~ Как найти коэффициенты C и C (их называют коэффициентами Клебша - Гордана)? Сформулируем ответы на эти вопросы:

а) Так как ^z j = ^1z + ^2z, то j j m = m1 + m2.

причем интервал значений j между наименьшим jmin = |j1 j2 | и наибольшим jmax = j1 + j2 значениями таков, как если бы отрезки длиной j1, j2 и j составляли треугольник. в) Поскольку jm C m1 m б) Величина j принимает 2j1 + 1 (при j2 >j1 ) или 2j2 + 1 (при j2

jm Если выбрать коэффициенты Cm1 m2 вещественными, то ~ jm C m1 m jm = C m1 m 2.

Конструктивный способ нахождения коэффициентов КлебшаЦГордана и доказательство ответа на вопрос б) мы укажем на двух простых примерах. Примеры 1. j = s1 = 1/2, j = s2 = 1/2, ^ S = ^1 + ^2. j^jj Имеется четыре функции:

1 1 = |, 12 21 = |, 21 12 = |, 21 12 = |. 22 Так как max S = max m = max m1 + m2 = 1, то в нашей системе должен существовать триплет S = 1, m = 1, 0, 1, причем 11 = 1 12 = |. 2 Две остальные функции 10 и 11 могут быть получены действием ^^ понижающего оператора S = s1 + s2 на функцию 11, что дает ^ 1 + 10 = 1 1 + 1 1 = | |, 11 = 21 12 = |. 22 2 22 1 Оставшаяся ортогональная к 1m комбинация 1 2 1 1 имеет S 2 22 max m = 0. Это синглет = 1 и симЕще метричны по спинам. Симметрия функции не зависит от проекции момента. Поэтому симметричная (нормированная) функция с m = 0 имеет S 1 00 = 12 21 21 12 = | |. 2 2 проще: | и | соответствуют S = 1, m = 1 | + | = 1, а ортогональная к ней антисимметричная функция 1 | | 2 с m = 0 имеет S = 0. = l, j2 = s = 1, ^ = ^ + ^. 2j l s Имеется 2l + 1 2 функций m1 m2 = Ylm1 1 m2 : 2. j 1 m=l+ Yll +, Yll1+, Yll,..., Yl,l+1, Yl,l +, Yl,l, 1 m=l 2 1 m=l+ 2 1 m=l 1 0 + = 1 1 =, = 1 1 =. 22 22 0 1 Так как jmax = max m1 + m2 = l + 1/2, то существует мультиплет из 2jmax + 1 = 2l + 2 функций l+ 21,m, причем l+1/2, l+1/2 = Yll + = где Yll.

Остальные функции этого мультиплета могут быть получены дейj l ^ ствием оператора ^ = ^ + s. В частности, ^ l+1/2, l+1/2 = 2l Yll1 + + Yll = 2l + 1 l+1/2, l1/2. j Из двух функций m1 m2 с m = l 1/2, помимо указанной выше ком11 бинации, можно построить еще одну, ортогональную к l+ 2,l+ 2 : Yll1 + 2l Yll.

Ясно, что эта комбинация принадлежит к мультиплету с j = max m1+ 1 1 m2 = l 2, содержащему 2j+1 = 2l функцией l 2, m.Таким образом, эти два мультиплета дают набор из 2l + 2 + 2l = 2l + 1 2 функций jm с j = l + 1/2 и j = l 1/2. Покажите, что + l+ 21,m+ 21 = 1 l m + 1 2l + 1 l m lm l 21,m+ 21 = 1 + m + 1 l 2l + Ylm Ylm+1 Ylm Ylm+,.

^ Указание: первая из этих функций пропорциональна Ylm +, а вто^ рая 1 Ylm+, где = 2l 1 1 s^+ + s+^ + 2^z ^z + l + 1 sl + ^l ^l Ч проекционный оператор для мультиплета с j = l + 1/2.

з27. Правила отбора для матричных элементов скалярных и векторных операторов ^ = 2l 1 1 ^ + ^ + ls l 1 l 1 +1 = ^ Для каждого скалярного оператора S, построенного из операторов r2, p2, r^, ^2, ^^ и т.д., справедливо ^ p l ls ^^ J, S = или ^ где J Ч оператор полного момента импульса системы. Пусть |JM ^^ Ч собственная функция операторов J2 и Jz с собственными значениями JJ +1 и M соответственно, набор квантовых чисел характеризует другие возможные физические величины, имеющие определенные значения в этом состоянии. Из соотношения ^ ^ ^^ J M |Jz S S Jz |JM = M ^^ Jz, S ^^ = 0, J2, S = 0, ^ M J M |S|JM = ^ следует, что матричный элемент J M | S |JM может быть отличен от нуля лишь при M = M. Аналогично, из соотношения ^^ J M | J2, S |JM = следует, что этот же матричный элемент может быть отличен от нуля лишь при J = J. Наконец, рассматривая матричные элементы от ^ ^^ ^^ ^ операторных равенств типа J S J+ = S JJ+, получим, что обсуждаемый матричный элемент вообще не зависит от M (при M = M ), то есть ^ J M | S |JM = aJ,, JJ M M. В качестве простого примера векторного оператора рассмотрим единичный вектор n = r/r. Известны соотношения между компонентами вектора n и сферическими функциями Y1m, : nz = 4 Y10, n = nx i ny = 8 Y. 3 1 Отсюда ясно, что произведение nz |JM может быть представлено в виде суперпозиции функций jm с m = M и j = J 1, J, J + 1 1 при J 1 и j = 1/2, 3/2 при J = 2. Поэтому матричный элемент J M | nz |JM может быть отличен от нуля при M = M и J = J, J 1 при J 1 и J = 1/2, 3/2 при J = 1/2. Аналогично, для J M | n |JM получим правила отбора M = M 1 и те же правила отбора для J. Существенным для доказательства этих правил отбора был не конкретный вид оператора n, а его векторный харак^ тер. Поэтому и для любого векторного оператора V справедливы правила отбора: матричный элемент ^ J M | Vz |JM отличен от нуля лишь при M = M, матричный элемент ^ J M | V+ |JM = M + 1, а матричный элемент ^ J M | V |JM = M 1, и во всех этих случаях J = = 1/2, 3/2 при J = 1/2.

отличен от нуля лишь при M отличен от нуля лишь при M J 1, J, J + 1 при J 1 или J ^^ следующее из Jm, Vn Найдите правила отбора по M для векторного оператора пользуя соотношение ^^ ^ Jz, V = V, ^ V, ис ^ Дополнительные правила отбора. Четность состояния V Ylm рав^ ^ на 1l, если V Ч полярный (аксиальный) вектор, поэтому l m |V|lm отличен от нуля лишь при l = l 1 для полярного вектора (например, для V = r) и лишь при l = l для аксиального вектора (например, ^l для V = ^ = r p/ ). ^h з28. Усреднение векторного оператора ^ = imnl Vl.

^ = imnl Vl, покажите, что ^2 J2 VV ^2J2 VV ^2 J2 = J2, J2, V = 2 ^2 V + V J2 4J JV. ^^^ ^ ^^ J ^ ^ ^J ^ ^ ^J ^ J ^ ^^ Взяв от этого соотношения матричный элемент по состояниям |JM ^ и |JM, отличающимся лишь значениями проекции Jz, получим формулу усреднения ^^ Используя правила коммутации Jm, Vn ^ JM |V|JM то есть усредненный вектор V направлен по усредненному вектору J. В частности, при M = M получаем = JJ 1+ 1 ^ ^^ JM |J|JM JM|JV|JM, = JJ 1+ 1 ^ JM|V|JM ВОПРОСЫ = C 0, 0, M, C ^^ JM| JV |JM.

28.1. Найти ab;

an ;

eia ;

ea ;

U m U 1, где U = eiz /2. 28.2. Задача 5.4 ГКК. Могут ли квадраты проекций электронного спина на оси x, y, z иметь одновременно определенные значения? 28.3. Задача 5.12 ГКК. Показать, что для состояния, описываемого спиновой волновой функцией cos = ei sin ei (это наиболее общий вид нормированной волновой функции спинового состояния частицы со спином s = 1/2 при 0 /2, 0 < 2), можно указать такую ось в пространстве, проекция спина на которую имеет определенное значение +1/2. Найти полярный и азимутальный углы этой оси. 28.4. Найти ^ d, l 1 = Y11 + Y11, и сравнить полученный результат с результатом предыдущей задачи. 28.5. Найти, для которой sx = 1. То же для sy = 1. ^ ^ 2 2 28.6. Задача 5.15 ГКК. Для частицы со спином s = 1/2 указать закон преобразования спиновой волновой функции = a b при вращении системы координат на угол относительно оси, направление которой определяется единичным вектором n. Показать, что величина 2 a a2 + b b2 не меняется при указан1 1 1 ном преобразовании, то есть является скаляром. 28.7. Показать, что угловая волновая функция состояния p1/2 l = 1, s = 1/2, j = 1/2 может быть представлена в виде n, где n Ч орт радиус-вектора, Ч обычный двухкомпонентный спинор. 28.8. Найти относительные интенсивности расщепленных пучков нейтронов в опыте типа ШтернаЦГерлаха, если поляризованные вдоль оси x нейтроны движутся вдоль оси z, а магнитное поле B направлено в плоскости xy под углом = 450 к оси x. 28.9. Распад p (Фейнмановские лекции по физике. Вып. 9, гл. 15, з 5). 28.9. Спин в магнитном поле (задачи 7.40-7.42 и 7.44 ГКК). ^ a Найти операторы скорости v и ускорения ^ (в шредингеровском представлении) нейтральной частицы (например, нейтрона), находящейся в магнитном поле. Найти зависимость от времени спиновой функции и средних значений компонент спина нейтральной частицы со спином s = 1/2 и магнитным моментом , находящейся в однородном постоянном магнитном поле B.

Обобщить результат предыдущей задачи на случай однородного непостоянного магнитного поля, направление которого остается неизменным, т. е. Bt = Bt n0. Частица со спином s = 1/2 и магнитным моментом находится в однородном магнитном поле Bt вида Bx = B0 cos 0t, By = B0 sin 0t, Bz = B1, где B0, B1, 0 - постоянные величины. При t = 0 частица находилась в состоянии с проекцией спина на ось z, равной sz = 1/2. Найти вероятность различных значений прекции спина на ось z в момент времени t. Обсудить, в частности, случай, когда |B1/B0| 1;

обратить внимание на резонансный характер зависимости вероятности УпереворотаФ от частоты 0 в этом случае. 28.10. Сложение моментов 1 1, 1 1, 1 1 (в том числе с 2 2 2 использованием таблиц коэффициентов Клебша-Гордана). 28.11. Найти среднее значение магнитного момента электрона в состоянии p1/2 с jz = 1/2 двумя способами: а) используя результаты предыдущей задачи;

б) используя формулу усреднения векторного оператора. 28.12. Система состоит из двух спинов s1 = s2 = 1/2, взаимодействие которых имеет вид Ks1s2. Найти уровни энергии системы во внешнем магнитном поле B, если гиромагнитные отношения равны g1 и g2. 28.13. Найти правила отбора для матричных элементов дипольного l m |xj |lm и квадрупольного l m |xj xk |lm моментов. 28.14. Найти в борновском приближении сечение рассеяния быстрых нейтронов кулоновским полем (Задача 13.43 ГКК, а также з 42 из книги Берестецкого, Лифшица и Питаевского ФКвантовая электродинамикаФ (М.: Наука, 1989).

з29. Тождественность частиц Благодаря отсутствию точной локализуемости в квантовой механике тождественность частиц приводит к их неразличимости. Поэтому x2, x1 = ei x1, x2.

Так как двухкратная перестановка двух частиц Ч тождественная операция, то x2, x1 = x1, x2. Благодаря принципу суперпозиции, симметрия всех состояний физической системы одинакова. Волновая функция бозонов симметрична относительно перестановок 1 x x + x x , a = b;

a1 b2 a2 b1 x2, x1 = 2 a x1b x2, a = b. Волновая функция фермионов антисимметрична: 1 a x1 b x2 a x2b x1, 2 x2, x1 = 0, a = b. a = b;

Принцип Паули: два фермиона не могут находиться в одном состоянии. Он обеспечивает стабильность атома Ч системы электронов (частиц со спином 1/2). В релятивистской квантовой теории поля доказывается теорема Паули о связи спина со статистикой: частицы с целым спином Ч бозоны, частицы с полуцелым спином Ч фермионы. Составная частица, построенная из четного числа фермионов Ч бозон, из нечетного числа фермионов Ч фермион.

з30. Уравнение КлейнаЦФокаЦГордона ^ H p0 = ^c образуют 4-мерный вектор p ^ Операторы h = i t c p = i ^ h = i 1 t, = i . h h c Из классического соотношения для компонент 4-импульса релятивистской частицы e2 p A = m2 c2, c где A = A0 =, A Ч 4-потенциал электромагнитного поля, следует релятивистское волновое уравнение (1926 1927 г.) e 2 i e A 2 = m2c2. h i h 30.1 t c c c Четырехмерная плотность тока j = 1 i e A + h 2 c j e i A h c сохраняется:

= 0.

где f x Ч произвольная функция. Релятивистская поправка к закону дисперсии, то есть к зависимости энергии от импульса, p2 p22 V = c m2 c2 + p2 mc2 2m 8m3c Уравнение (30.1) и плотность тока j инвариантны относительно калибровочного преобразования (сравни с нерелятивистским случаем в з19) h A A f x, eiefx/ c, 30.2 снимает вырождение по l в спектре кулоновой задачи, приводит к тонкой структуре уровней. Возникающая поправка к энергии равна (см. уравнения (10.1) и (17.2)) Enl = 1 = 2mc Здесь ^ nl| V |nl + 1 = 2mc me4 = 2 2 h nl 2 n p2 2 ^ 2m nl = nl E n 2 e2 nl r 1 3. l + 1/2 4n 30.2 e2 1 = hc 137 Ч безразмерная константа, постоянная тонкой структуры.

2 l= 1 n= l= 1 n=2 }n = l = Тонкая структура уровней атома водорода согласно (30.2). Однако реальный спектр атома водорода отличается от этого спектра. Причина в том, что уравнение (30.1) не учитывает спин электрона.

з31. Уравнение Дирака Естественное релятивистское обобщение уравнения Паули (см. з25) 2 1 i t e = 2m p e A h ^c которое учитывает спин электрона, выглядит так: h e p e A 2 m2c2 = 0, i ^c 31.1 t 0 c где = 0, Ч некоторые матрицы. Оператор второго порядка {...} в левой части уравнения (31.1) факторизуется: i e A + mc h c i e A h c mc.

Функция удовлетворяет уравнению (31.1), если она является решением уравнения первого порядка i e A h c mc = 0.

31.2 Это и есть уравнение Дирака (1928 г.). Сколько компонент у волновой функции ? Бесконечно малый поворот 2-компонентного спинора на угол вокруг оси n i = 1 + 2 n сохраняет P -инвариантность (то есть инвариантность относительно отражений), так как и момент, и ось поворота n Ч аксиальные векторы;

соответственно, n Ч скаляр. Но единственно возможное бесконечно малое преобразование Лоренца со скоростью v для 2компонентного спинора = 1 + v нарушает P -инвариантность, так как скорость v Ч полярный вектор, а следовательно, v Ч псевдоскаляр (то есть меняет знак при отражении координат). Поэтому приходится вводить второй спинор. Если ^ ^ P =, то P =. И тогда преобразование Лоренца вида = 1 v, = + 1 v P -инвариантность сохраняет. Двухкомпонентные спиноры и объединяются в 4-компонентный спинор, или биспинор =. ^ Найд е м 4 4 матрицы . Свободное уравнение Дирака p mc = 0 под действием оператора p +mc должно перейти в ^2 ^ p 2 c2 = 0. Отсюда следует m + = 2g I.

^ ^ При отражении координат p0 не изменяется, а p изменяет знак. Поэтому ^^ P 0p0 ^ = 0p0 + ^ P. p ^ p^ ^ Таким образом, матрица P удовлетворяет условиям ^ P Ясно поэтому, что ^ = 0 P, ^ P ^ P = ^ = P.

^ = P. С другой стороны, по определению,, I так что ^ =P = I.

^ ^ Из P + P = 0 следует, что 0 =CB.

А соотношение Ч матрицы Паули. удовлетворяется, если Bn = Cn Итак, I0 0., = 0 = 0 0 I Функция = + 0 удовлетворяет уравнению m n + n m = 2mn I = n, где n i eA m = 0, j где производная действует налево. 4-мерная плотность тока = удовлетворяет уравнению непрерывности = 0. Для дираковской частицы плотность вероятности равна = +, а плотность тока Ч где матрицы = j = +, 0 =.

эрмитовы. Уравнение Дирака и плотность дираковского тока, разумеется, инвариантны относительно калибровочного преобразования (30.2). Свободное движение дираковской частицы Cвободному движению соответствует плоская волна x = upeip x , где биспинор up удовлетворяет системе алгебраических уравнений p m up = 0.

Здесь и ниже в з32 полагаем h = 1, c = 1. Для двухкомпонентных спиноров, через которые выражается, u= получаем систему уравнений E m p = 0, p E + m = 0.

Эта система имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю, то есть при условии E 2 = p2 + m2. Введ е м арифметический, положительный корень = + p2 + m2. Существуют две возможности(рис. 12): 1. p. E =, = +m При нормировке + = 1, u+u = 1, up 2.

= +m A, A= p +m + m A. 2 Четыре компоненты волновой функции соответствуют двум возможным ориентациям спина при двух возможных знаках энергии. Исключить состояния с отрицательной энергией нельзя, так как в квантовой механике возможны переходы между состояниями. Дирак постулировал, что уровни с отрицательной энергией заполнены. Тогда переходов на них нет в силу принципа Паули. Дырка в дираковском море ведет себя как частица той же массы, что и электрон, но с противоположным зарядом, то есть является позитроном. E =, u,p = Рождение электрон-позитронных пар постоянным внешним электрическим полем Рождение электрон-позитронных пар внешним электрическим полем Ч замечательное предсказание релятивистской квантовой механики (Заутер, 1931 г.;

Швингер, 1951 г.). Напряженности электрического поля, достаточно большие для реального наблюдения Рис. 12: Возможные значения энергии для свободной дираковской частицы: E = 24 2 c2 > mc2 и E = m2 c4 + p2 c2 < mc2. Дираковской щели соответ+ m c +p ствует область энергий: mc2 < E < mc эффекта, достигаются в столкновениях атомных ядер с большими зарядами при сближении ядер на малые расстояния. Мы рассмотрим модель явления, допускающую точное решение: случай однородного постоянного внешнего поля E. Будет использовано представление о дираковском море, это резко упрощает решение задачи. Начнем с расчета основной, экспоненциальной зависимости эффекта. Направим ось z вдоль постоянной силы F = eE = 0, 0, eE, тогда потенциальная энергия U = eEz. При движении в таком поле сохраняется полная энергия E = m2 c4 + p2 c2 eEz и поперечный импульс p = px, py, 0. В этом поле обычная дираковская щель (рис. 12) перекашивается (рис. 13). В результате электрон, который имел отрицательную энергию в отсутствие поля, может теперь протуннелировать сквозь щель (см. пунктирную линию на рис. 13) и уйти на бесконечность как обычная частица. Конечно, дырка, возникшая таким образом, Ч это не что иное как позитрон. Пусть E = m2 c4 + p2 c2 eEz Ч энергия частицы дираковского моря. Продольный импульс частицы pz z = 1 eEz + E2 m2c4 p2 c2 c Рис. 13: Изменение дираковской щели при наличие постоянного электрического поля обращается в нуль при E m2 c4 + p2 c2. z1,2 = eE eE Исходная частица из дираковского моря входит в барьер в точке z = z1 и выходит из него при z = z2. Подбарьерное действие легко находится z2 m2 c2 + p2 c S=. | pz | dz = z1 2 eE В итоге экспоненциальный фактор в вероятности W подбарьерного перехода таков: 2 m2c2 + pc h. 31.3 W e2S/ = exp eE h Заметим, что внешнее поле можно считать постоянным, если оно слабо меняется на подбарьерном пути. Отношение l/ длины этого пути l = z2 z1 mc2 /eE к комптоновской длине волны электрона = h/mc равно по порядку величины подбарьерному действию S в единицах h, так что в квазиклассической ситуации l . Вычислим теперь предэкспоненциальный фактор в вероятности рождения пар. Экспонента (31.3) Ч это вероятность того, что одна частица из дираковского моря, которая подходит слева к барьеру (см. рис. 13), протуннелирует сквозь него, став, таким образом, реальным электроном. Рассмотрим исходные частицы в элементе импульсного пространства d3p = d2p dpz, плотность которых равна dn = 2d3 p/2 3, где множитель 2 соответствует двум возможh ным проекциям спина электрона. В единицу времени через площад_ ку dx dy слева от барьера пройдет dN = djz z dx dy частиц, где ток djz z = vz z dn. В это выражение входит величина vz zdpz E = p dpz = dE, z где частная призводная берется при фиксированных значениях z и p. С другой стороны, как нетрудно сообразить, интервал энергий туннелирующих частиц dE прямо связан с интервалом dz продольных координат точек, в которых частицы входят в барьер: dE = eE dz (с точностью до несущественного здесь знака). Чтобы полу чить полное число пар, рожденных в единицу времени в объ е ме dV = _ dx dy dz, экспоненту (31.4) следует домножить на dN. В итоге пол ное число пар, рожденных в единицу времени в единице объ е ма, равно dW m2 c2 + p2 c d2 p = 2 eE 2 3 exp. P1/2 dt dV h eE h Интегрируя это выражение по поперечным импульсам, находим окончательный ответ: m2 c3 e2 E 2 P1/2 = 31.4 3h2c exp eE. h 4 Мы снабдили вероятности P в формулах, полученных выше, индексом 1/2, чтобы подчеркнуть, что результат относится к частицам со спином половина. Разумеется, понятие моря Дирака, а с ним и наш подход, неприменимы сами по себе к рождению пар заряженных бесспиновых частиц, которые описываются уравнением КлейнаЦФокаЦГордона. Но в используемом квазиклассическом приближении вероятности рождения разного спина отличаются лишь числом спиновых состояний. Таким образом, вероянтность рождения скалярных частиц, вычисленная в этом приближении, вдвое меньше: m2 c3 e2 E 2 P0 = 31.5 3h2 c exp eE. h 8 Соответствующие точные результаты для постоянного электрического поля таковы: m2 c3 e2 E 2 1 P1/2 = exp n eE, h 43h2c n=1 n2 m2 c3 e2 E 2 1n1 P0 = exp n eE. 3h2c n=1 n2 h 8 Разумеется, учет высших членов, с n 2, в этих суммах осмыслен > h лишь для очень сильных электрических полей, при E m2 c3 /e . Для меньших полей формулы (31.4) и (31.5) верны количественно. Гамильтонова форма уравнения Дирака Умножив уравнение (31.2) на 0 слева, получим уравнение Дирака в гамильтоновой форме ^ ^ i = H, H = i eA + m0 + eA0. t Отсюда x-компонента скорости 2 Так как x = I, то собственные значения x равны 1, или c в обычных единицах. Однако собственные функции x не соответствуют определенному знаку энергии, то есть обычным физическим состояниям. И наоборот, в состоянии с фиксированной энергией px, x = u+ x u = как и должно быть. Операторное уравнение движения во внешнем поле d ^ eA = eE + e B p dt Ч аналог классического уравнения движения d mv = eE + ev B. dt 1 v ^ x = i H, x _ = x.

l ^ В центральном поле орбитальный момент ^ = r p и спин 0 ^= 1 = 1 s2 20 в отдельности не сохраняются:

Естественно, однако, что сохраняется полный момент ^ = ^ + ^. jls ^l ^s i H, ^ = p, i H, ^ = p. ^ ^ Сходство и различие уравнений Дирака и КлейнаЦФокаЦГордона Применив оператор i eA + m к уравнению Дирака, квадрируем это уравнение: {i eA ie F m2} = 0, 2 F = A A.

Отличие этого уравнения от уравнения КлейнаЦФокаЦГордона во втором спиновом слагаемом. Рассмотрим движение заряженной частицы в постоянном (но не обязательно однородном) магнитном поле в отсутствие электрического поля. В этом случае спиновое слагаемое переходит в eB. В силу квадрированного уравнения, ^ eA2 = ^ eA2 eB = E 2 m2. p p В магнитном поле, не зависящем от времени, энергия сохраняется. Поэтому в таком магнитном поле В квазиклассическом приближении p eA совпадает с mv/ 1 v 2 и в магнитном поле, не зависящем от времени, по модулю сохраняется. Таким образом, в этом случае сохраняется и спиральность электрона, то есть проекция его спина на направление движения. В действительности это утверждение нарушается за счет аномального магнитного момента электрона. Магнитный момент электрона равен e h = 1 + , 1.

p eA = const.

2mc Эту поправку можно учесть в уравнении Дирака следующим образом: ie F = 0. i eA m 4m Ультрарелятивистский предел уравнения Дирака Введем оператор = I I.

Он коммутирует с гамильтонианом, если в последнем пренебречь в ультрарелятивистском пределе массой:

^ H ^ = ^ eA + e, H, 5 = 0. p L,R = 1 1 5 L,R, L,R Собственные функции оператора выглядят так:

L,R = где L,R = 1 1 n и n Ч орт скорости. Очевидно, n L,R = L,R, то есть у L ( или R спин антипараллелен (или параллелен) скорости. Отсюда названия L Ч левый, R Ч правый. В ультрарелятивистском пределе спиральность электрона сохраняется в произвольном внешнем электромагнитном поле. Действительно, уравнения для L,R расщепляются:

^ H или L,R L,R = eA0 ^ eA p ^ eA p eA0 ^ eA L,R p eA0 L,R L,R L,R = L,R L,R = L,R.

Вполне возможно, что нейтрино существует только левое, антинейтрино Ч только правое, а масса их равна нулю. Во взаимодействиях двухкомпонентного нейтрино четность не сохраняется. ВОПРОСЫ 31.1. Указать релятивистские единицы энергии, времени, длины, силы. h 31.2. Чему равно (в эВ/см) критическое поле E0 = m2 c3 /e , при котором исчезает экспоненциальное подавление рождения пар внешним полем? 31.3. Зарядовое сопряжение (задачи 15.2, 15.3, 15.27 ГКК). ^l ^s ^l s ^ 31.4. Найти H, ^, H, ^, H, ^ + ^, где H = p + 0m + U r (ср. с задачей 15.20 ГКК).

^^ ^ 31.5. Используя тождество n| H, pr |n = 0, где H = p + 0m Ze2/r, показать, что энергия En = n| 0 |n. 31.6. Преобразование Лоренца для плоской волны, являющейся решением уравнения Дирака (задачи 15.25 и 15.26 ГКК). 31.7. Решение в виде плоской волны с определенными энергией, импульсом и спиральностью (задачи 15.21, 15.26 и 15.27 ИГГ). 31.8. Решение в виде плоской волны для нейтрино (задачи 15.28 и 15.29 ГКК). 31.9. Сечение рассеяния заряженной релятивистской частицы на кулоновом центре в борновском приближении (задачи 15.17 и 15.34 ГКК). 31.10. Электрон в однородном постоянном магнитном поле (задачи 15.11 и 15.33 ГКК).

з32. Релятивистский электрон в кулоновом поле. Тонкая структура Пусть релятивистский электрон рассеивается в кулоновом поле U r = e2/r, переходя из начального состояния i r = up expipr в конечное состояние f r = up expip r. Борновская амплитуда рассеяния с точностью до множителя равна фурье-образу потенциала взаимодействия (см. з21), или матричному элементу Uf i Uf i = + f r U r ir d3r = 4e q u+ up p = p.

4e2 + 1 q2 + i p p, q = p = q2 f 4 + m 2 + m i Выражение в фигурных скобках имеет вид { } = A + in B, p n = |p где n Ч нормаль к плоскости рассеяния. Если выбрать оси квантования спина (оси z), то + A + in B i f p, p| n в качестве = 0, только если начальные и конечные проекции спинов на эту ось совпадают, mi = mf. Это делает тривиальным усреднение сечения по поляризациям начального электрона и суммирование по поляризациям конечного электрона. Если ограничиться в этом выражении первой релятивистской поправкой, положив = m, то мы получим 1 1 + i q p 4e2 2 q 8m2 4m2q (опускаем для кратности + и i ). Отличия фурье-образа этой велиf чины e2 e2 e2 + r 2m2 r + 4m2r3 l от кулонового потенциала U r = e2 /r составляют релятивистскую поправку к взаимодействию электрона с ядром. Второе, спин-орбитальное слагаемое в этой поправке можно качественно интерпретировать, как взаимодействие магнитного момента электрона = e/2m в его собственной системе с магнитным полем B = v E, возникающим в этой системе при движении электрона в электрическом поле ядра E = er/r3. Первое, функционное слагаемое в поправке также имеет спиновое происхождение, но является чисто квантовым. Учитывая поправку p4/8m3 к зависимости энергии от импульса, получаем следующее выражение для релятивистского возмущения кулоновой задачи:

2 2 p2 2 ^ = ^ 3 + e 2 r + e2 3 ^. V 8m 2m 4m r l Уровни с одним и тем же l, но с разными полными моментами j не смешиваются этим возмущением, поскольку оно сохраняет полный момент. Уровни с одним и тем же j, но с разными l не смешиваются ^ возмущением V, поскольку оно сохраняет четность, а четность таких состояний противоположна. Таким образом, при вычислении релятивистской поправки к энергии можно пользоваться невырожденной теорией возмущений. Среднее значение первого слагаемого было вычислено в аналогичной задаче для уравнения КлейнаЦФокаЦГордона (см. з30). Среднее значение второго слагаемого отлично от нуля лишь при l = 0: njl| r |njl = | 0 |2 l0.

Среднее значение последнего слагаемого отлично от нуля лишь при l = 0: njl ^ l njl r = jj + 1 ll + 1 3 r 1 l0.

Величины | 0 |2 и тождеством где 1/r удобно вычислить, воспользовавшись ^ njl| C |njl ^ = 0, C = d^, Hr, dr 1 d2 + 2 d ll + 1 e2 ^ Hr = 2m dr2 r dr r2 r Ч гамильтониан радиального движения. Явное вычисление коммутатора дает 2 ^ = 1 2 d ll +31 + e2. C mr dr mr r Значение 1/r2 было найдено ранее (см. (17.2)). Первое слагаемое в правой части можно преобразовать к виду d r2 dr = d 1 d r2 dr 2 r dr = для l = 0.

d||2 dr d 0 dr Таким образом, находим njl| r |njl njl njl r =1 = 2|0|2.

= | 0 |2 = a1 n3 l0, B B В итоге поправка к энергии равна (в обычных единицах) = a3 n3ll + 1 + 1/2 1 l0. 1l 3. 4n Enj me4 2 1 = 2 n3 j + 1/2 2 h 3d5/2 3p3/2, 3d3/2 n = 3 3s1/2, 3p1/ 2p3/2 2s1/2, 2p1/2 2s1/ n=2 }n = Тонкая структура уровней атома водорода согласно уравнению Дирака. Видно, что сохраняется вырождение уровней с одинаковыми n и j. ВОПРОСЫ 32.1. Найти расщепление -линии серии Бальмера (переход с уровня n = 3 на уровень n = 2) с учетом тонкой структуры для уравнения КлейнаЦФокаЦГордона и уравнения Дирака. 32.2. Оценить с помощью соотношения неопределенности критическое значение Zc заряда точечного ядра, при котором в релятивистской кулоновой задаче возникает падение на центр. 32.3. Пусть два точечных ядра с зарядами Z1 и Z2 находятся на расстоянии R друг от друга. При этом Z1 < Zc, Z2 < Zc, Z1 + Z2 > Zc. Оценить, при каком R в задаче возникает падение на центр.

з33. Атом в магнитном поле Выберем для постоянного и однородного внешнего магнитного поля B калибровку, в которой вектор-потенциал A = 1 B r. Тогда 2 линейное по полю слагаемое в гамильтониане Паули преобразуется к виду ^ V1 ^ V h h e e = 2mc ^A + A^ 2mc B = 2mc ^ + B. p p e l e ^ ^ e ^ h h ^ ^a + aB = 2mc L + 2SB = 2mc J + SB, l Для многоэлектронного атома получаем e h = 2mc a ^^^ где L, S, J Ч суммарный орбитальный, спиновый и полный моменты атома.

p3/ p1/2 Аномальный эффект Зеемана для одного p-электрона.

lz = 1, lz = 0, lz = 1, lz = 0, lz = 1, sz = 1/2 sz = 1/2 sz = 1/2 sz = 1/2 sz = 1/ Нормальный эффект Зеемана для одного p-электрона. В слабом внешнем поле в качестве невозмущенных состояний мож^^^ но использовать состояния с определенными значениями S2, L2, J2 ^ и Jz. Тогда поправка к энергии атома равна E = где g ^ SLJJz | V1 |SLJJz e h = 2mc g Jz B, LL = 1 + JJ + 1 2JJ + 1 + SS + 1 + 1 Ч фактор Ланде (см. з28). Это так называемый аномальный эффект Зеемана. В сильном магнитном поле можно пренебречь тонкой структурой невозмущенных уровней и тогда E = ^ SSz LLz | V1 |SSz LLz e h = 2mc Lz + 2Sz B.

Это так называемый нормальный эффект Зеемана. В промежуточной области, когда энергия взаимодействия магнитного момента с полем сравнивается со спин-орбитальным вза имодействием, эти два взаимодействия нужно учитывать одновременно. Это так называемый эффект Пашена-Бака. Порядок величины критического поля Bc 104 Гс. При L = S = 0 работает лишь квадратичный член в гамильтониане 2 e2 2 = e r B 2. V2 = 2mc2 A 8mc2 Поправка к энергии атома положительна и сводится с учетом сферической симметрии задачи L = 0 к e2 B 2 2 E = 12mc2 ra. a В этом случае диамагнитная восприимчивость атома 2E e2 2 = 6mc2 ra. = 2 B a Если J = 0, но L = S = 0, то из-за малых интервалов тонкой структуры доминирует поправка второго порядка по V1. Эта поправка к энергии основного состояния отрицательна, так что возникает своеобразный парамагнетизм в отсутствие исходного магнитного момента. ВОПРОС 33.1. Определить расщепления терма с S Бака (КМ задача 1 к з113).

= 1/2 в эффекте Пашена - з34. Атом гелия Основное состояние 1s2 симметрично по координатам. Поэтому оно, в силу принципа Паули, антисимметрично по спинам, то есть является синглетом 1 S 0. В первой возбужденной конфигурации 1s2s триплетное ортосостояние 3 S 1 лежит ниже синглетного парасостояния 1S. Действительно, волновая функция 3 S симметрична по спинам, 0 1 и поэтому антисимметрична по координатам, что уменьшает кулоновское отталкивание электронов. Во втором возбужденном состоянии 1s2p снова триплетное состояние 3 P лежит ниже синглетного 1P по той же причине. Последовательность 3 P, 3 P, 3 P определя1 0 1 2 ется положительным знаком спин-орбитального взаимодействия.

1s2p 1P 1 3P 2 3P 1 3P 0 1S 0 3S 1s2s 1s { 1S Схема уровней атома гелия. Оценим с помощью соотношения неопределенности энергию основного состояния атома гелия. Естественно принять импульсы обоих электронов равными p1 = p2, а радиус-векторы равными и противоположными по направлению, r1 = r2. Тогда из гамильтониана p2 p2 2e2 2e2 + e2 H= 1 + 2 2m 2m r1 r2 |r1 r2| получаем следующую оценку для энергии: p2 E m 7 e2. 2r Минимизируя это выражение с учетом соотношения неопределенности, находим Emin Это не так далеко от экспериментального значения Eexp 49 Ry = 6, 1 Ry. = 5.808 Ry.

з35. Вариационный принцип ^ Уравнение Шредингера H = E следует из условия минимума функционала ^ H E dx.

Иначе это можно сформулировать как условие минимума функционала ^ H dx при дополнительном условии dx = 1, которое учитывается с помощью лагранжева множителя E. Волновая функция основного состояния 0 соответствует абсолютному минимуму функционала. Волновая функция первого возбужденного состояния 1 следует искать на классе функций, ортогональных 0. Волновая функция второго возбужденного состояния 2 должна быть ортогональна 0 и 1, и т.д. ВОПРОС 35.1. Укажите классический аналог обсуждаемого варационного принципа. Прямой вариационный метод состоит в отыскании минимума функционала E = ^ x, H x, dx на классе пробных функций заданного вида, зависящих от параметров, и сводится фактически к отысканию минимума функции E. Найденное таким образом приближенное собственное значение E лежит, очевидно, не ниже истинного. Поясним сказанное следующей выкладкой. Разложим x, по ^ собственным функциям гамильтониана H x, = n ^ cn nx, H n x = En n x, где коэффициенты cn в силу условия нормировки удовлетворяют соотношению |cn |2 = 1.

n Используя это разложения, мы получим E = n En |cn |2.

Отсюда видно, что E E0 и что E = E0 если cn = n0. Найдем прямым вариационным методом энергию гелиеподобного иона с зарядом ядра Ze. Гамильтониан системы 2 2 2 ^2 ^2 ^ = p1 + p2 Ze Ze + e. H 2m 2m r1 r2 |r1 r2| Нормированную пробную функцию выберем в виде r1, r2 = r1 r2, r = 3 r/aB e. a3 B Следует ожидать, что вариационный параметр, имеющий смысл эффективного заряда, окажется меньше Z, вследствие экранировки одним из электронов поля ядра для другого электрона. Вычисление дает 5 E = 2 2 2Z + Ry.

Минимум этой функции E достигается при = Z 5/16. Для гелия Z = 2 получаем E0 = 5, 695 Ry. Превышение над истинным значением 5.808 Ry всего 1,9 %. Для иона H Z = 1 мы получили бы таким образом E0 = 121/128 Ry, что лежит выше энергии основного состояния атома водорода Ry. Однако приближение слишком грубое, истинное значение энергии лежит ниже, чем Ry, так что устойчивый ион H существует. Метод ХартриЦФока Для двухэлектронной задачи координатная пробная функция выбирается в виде r1, r2 = 1r12r2 1 r22 r1, где верхний знак выбирается для синглетного, нижний Ч для триплетного состояния. Для основного состояния гелия хартри-фоковская пробная функция такова: r1, r2 = r1r2.

5 = 2Z 16 2 Ry Вариация функционала энергии по r1 дает уравнение ^ dr2 r2H Er1r2 = 0, или 2m h2 2e2 + r 2e2 + e2 r r = dr r 2m r |r r | = E r.

h2 Это сложное интегро-дифференциальное уравнение решается численно. ВОПРОС 35.1. Найти по теории возмущений поправку к энергии атома He за счет взаимодействия электронов для состояний: 1s2, 2s2, 1snl, 1s2s.

з36. Метод ТомасаЦФерми Последовательное строгое изложение метода содержится в з70 книги Ландау и Лифшица УКвантовая механикаФ. Здесь же ограничимся нестрогими, но простыми рассуждениями. С ростом заряда ядра, а следовательно, и числа электронов Z, радиус и объем атома существенно не изменяются (этот размер определяется внешним электроном, а он находится в экранированном поле ядра, которое оказыватся того же порядка, что и поле в атоме водорода). Если в постоянный объем помещены Z электронов, то среднее расстояние между ними aB /Z 1/3. Провед е м чуть более аккуратное рассмотрение (используя атомную систему единиц). Пусть плотность электронов nr = Z F rZ . Полное число электронов Z = dr r2 nr = 4Z dx x2F x.

Средний радиус r = 3 0 dr r nr Z Z 1/3. 2 0 dr r nr Таким образом, = 1/3, а плотность электронов имеет вид nr = Z 2 F rZ 1/3.

Потенциальная энергия такова: U r = Z f rZ 1/3. r 1.

Так как при r < 1/Z 1/3 ядро не экранируется электронами, то f 0 = Средний импульс электронов p 2T |U | Z/r Z 2/3 (по теореме о вириале кинетическая и потенциальная энергии, T и U, по модулю сравнимы). Средний орбитальный момент l r p Z 1/3. Полная энергия атома E Z Z Z 1/3 = Z 7/3.

Здесь первый множитель Z Ч число электронов, второй множитель Z Ч заряд ядра, третий множитель Z 1/31 Ч обратное среднее расстояние электрона от ядра. Квазиклассическое расссмотрение отказывает на первой боровской орбите. Ее радиус Z 1, заряд ядра Z здесь неэкранирован, так что энергия этих электронов Z 2. Эта поправка составляет Z 1/3 от полной энергии атома. ВОПРОСЫ 36.1. Оценки в модели ТомасаЦФерми (задачи 11.29-11.31 и 11.33 ГКК). 36.2. Электронный газ большой плотности находится внутри непроницаемой сферы. Кулоновское отталкивание прижимает электроны к стенке. Оценить толщину слоя, в котором находятся электроны.

з37. Таблица Менделеева См. КМ з73.

з38. Разные типы связи в атомах В сложных атомах гамильтониан системы имеет вид Z p2 ^a + U + V, U = Ze2 + e2 ^ ^, H= 2m | ra rb | a ra a=1 a

^ V =U V a ra учитывает отличие реального поля от самосогласованного поля. В таком поле сохраняется полный орбитальный момент импульса L и его проекция ML, а также полный спин S и его проекция MS. Как и в случае самосогласованного поля, остаточное взаимодействие между электронами не имеет прямой зависимости от спиновых состояний электронов, но оно, конечно, зависит от симметрии координатной волновой функции, а следовательно (вследствие принципа ^ Паули), и от полного спина S. Таким образом, с учетом V уровни энергии атома ESL зависят от S и L, но не зависят от проекций MS и ML, а потому не зависит и от полного момента J = L+S. Порядок величины остаточного взаимодействия Ч обычная атомная энергия, Ry;

однако численно оно заметно меньше. ^ Последнее слагаемое V определяет релятивистские эффекты Ч ср. формулу (32.1) для релятивистских поправок в атоме водорода. Наиболее важным из этих эффектов является спин-орбитальное взаимодействие, имеющее вид ^ Vls = a Ara ^a^a, ls 38.1 где ^a и ^a Ч операторы орбитального и спинового момента электроls на, а функция Ara приближенно выражается через потенциальную энергию самосогласованного поля. Для одного электрона в кулоновом поле с зарядом Ze эта функция согласно (32.1) равна Ze2h2 1 . Ar = 38.2 2m2c2 r3 Спин-орбитальное взаимодействие релятивистское по природе и составляет поэтому величину v/c2 в атомных единицах. Это взаимодействие пропорционально r3 и формируется на малых расстояниях aB /Z от ядра, где кулоново поле ядра неэкранировано и v/c Z. Таким образом, относительная величина спин-орбитального взаимодействия Z 2 2. В тяжелых атомах оно сравнивается с остаточным кулоновым взаимодействием. Случай LS связи В легких атомах, где остаточное кулоново взаимодействие доминирует по сравнению со спин-орбитальным взаимодействием, |V | |V |, сохраняющимися величинами являются полный спин S и полный орбитальный момент импульса L. При этом разность уровней энергии с различными S и L велика по сравнению с интервалами ^ тонкой структуры, определямыми возмущением Vls. В этом случае говорят об LS-типе связи. При определении расположения уровней ESLJ для данной электронной конфигурации имеют место Правила Хунда: 1. Энергия состояние тем ниже, чем больше S (ибо чем более симметрична спиновая функция, тем более антисимметрична коор динатная и тем слабее остаточное кулоново отталкивание электронов). Замкнутая оболочка (основное состояние благородных газов) Ч синглет, S = 0. 2. Энергия состояния тем ниже, чем больше L (при данном S). Ниже будет показано на примере конфигурации p2, что при б о льшем L кулоново отталкивание электронов слабее. 3. Энергия состояние тем ниже, чем меньше J для оболочки, заполненной менее чем наполовину (при данных S и L). В такой оболочке энергия растет с ростом J, что является следствием роста энергии при увеличении j для одного электрона. Для дырки знак спин-орбитального взаимодействия обратный. Поэтому если оболочка заполнена больше чем наполовину, то энергия с ростом J падает. (Кстати, отсюда ясно, что для оболочки, заполненной ровно наполовину, спин-орбитальное расщепление в первом порядке отсутствует.) Последнее правило Хунда связано с учетом спин-орбитального взаимодействия. Усредняя возмущение (38.1) по состояниям с определенными значениями S и L, мы получим оператор возмущения в виде ^^ ^ LS| Vls |LS = ALS LS, где постоянная ALS < 0 для электронной оболочки, заполненной менее (более) чем наполовину. Тонкую структуру уровней найдем, используя теорию возмущений, причем в качестве волновых функций нулевого приближения можно взять состояния с определенным значением полного момента J :

> ^^ = ESL + ALS LSJ| LS |LSJ = = ESL + ALS 1 JJ + 1 LL + 1 SS + 1 ESLJ Случай jj связи.

Рассмотрим теперь противоположный случай, когда спин-орбитальное взаимодействие существенно больше остаточного, |V | |V |. Без учета V гамильтониан атома соответствует набору невзаимодействующих электронов, каждый из которых движется в потенциале V ra + Ara ^a^a. ls В таком поле сохраняется полный момент импульса отдельного электрона j = l 1/2 и его проекция mj. Из состояний |nljmj отдельных электронов строится (с учетом принципа Паули) состояние атома с определенными J и MJ. По этим последним состояниям и находятся поправки к энергии атома за счет возмущения V. Следует отметить, что случай jj связи в чистом виде не встречается, для тяжелых атомов имеется промежуточная ситуация, когда V и Vls имеют близкий порядок величины. Пример: конфигурация p2 Случай LS связи. По принципу Паули, состояние с S = 1, симметричное по спиновым переменным, антисимметрично по координатам и поэтому имеет L = 1. По аналогичной причине синглетные состояния с S = 0 имеют L = 0, 2. В силу первого и третьего правил Хунда три нижних состояния Ч это 3 P 0,1,2. Что касается синглетных уровней, 1S 0 и 1 D2, то их радиальные волновые функции одинаковы (мы пока пренебрегаем остаточным кулоновым взаимодействием между электронами). Сравним поэтому их угловые функции LM. Угловая функция a-го p-электрона Y1mna зависит от компонент единичного радиус-вектора na = ra/ra (см. з14). Волновая функция состояния 1S 0, естественно, является скаляром 3 n1 n2. 00 = 4 В качестве представителя 1 D 2 состояний выберем, например, состояние с Lz = +2, это просто произведение одноэлектронных волновых функций, каждая из которых соответствует lz = +1, 3 = Y11n1 Y11n2 = n1 + in1 n2 + in2. x y x y Наиболее существенный вклад в энергию отталкивания электронов e2/|r1 r2| дает область близких значений их координат, когда r1 r2. Рассмотрим предельный случай, когда координаты электронов совпадают. При n1 = n2 отношение |22 |2 |00 | = 3 n2 + n2 2. 4x y 13, 13 ;

Pages: | 1 | 2 | Книги, научные публикации

Blog