Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | ... | 15 | kN max ( kN + cE max ) (А2.2.2) E, N E, N 1 - p(E) N + E D N 0, E 0.
Во второй задаче влияние эффективных расходов на ВРП выпадает из поля зрения лиц, принимающих бюджетные решения, так как доходная часть определяется лишь поступившим ex post трансфертом. При k > c решение линейной задачи (А2.2.2) очевидно: N* = D; E* = 0.
В нелинейной задаче решение Е* > 0 возможно, только если 1 - p(E*) N = < D.
p' (E*) Для этого необходимы высокие значения и p'(E*), то есть значимость будущего и политическая ответственность.
А2.3. Доказательство утверждений раздела 3.3. Запишем условия первого порядка существования решения в задаче (3.2.1):
N* > 0 (A2.3.1) = k (A2.3.2) - p(E*) (1 - p(E*))(Y ' (E*) - 1) + N * p' (E*) = (A2.3.3) N * +E * -Y (E) + A (A2.3.4) N* = 0 (A2.3.5) > k (A2.3.6) - p(E*) Y ' (E) = (A2.3.7) E * + A - Y (E*) = (A2.3.8) E * E * N * N * Свойство 3.3.1. 0; 0; 1; -D A D A Повторяя шаг за шагом доказательство из раздела А1.1, можно убедиться, что решение системы, если оно существует, единственно. Кроме того, E * E * p' = - = - > 0. (А2.3.9) D A Np' '+Y ' ' (1 - p) N * N * p' (1 - Y ' ) = - = 1 + < 1. (А2.3.10) D A Np' '+Y ' ' (1 - p) Числитель (А2.3.9) положителен, а знаменатель отрицателен. Аналогично и в дроби в (А2.3.10), однако определенно сказать, что знаменатель по модулю больше числителя нельзя.
Однако если значение Y'' мало, значение p' велико и дисконтирующий множитель высок, то N * N * может быть получена ситуация = - < 0.
D A Запишем условия существования решения в линейной постановке той же задачи:
N* > 0 (A2.3.11) (A2.3.12) = k k - c (A2.3.13) Y ' (E*) = k N * +E* = -A + Y (E*) (A2.3.14) (A2.3.15) N* = > k (A2.3.16) (A2.3.17) c - + Y ' (E*) = E* = -A + Y (E*) (A2.3.18) Если система (А2.3.11)-(А2.3.14) разрешима, то дальнейшее увеличение дотации (уменьшение изъятия) оказывается неоправданным, так как не увеличивает эффективные расходы и целиком трансформируется в неэффективные. При меньших значениях дотации (больших значениях изъятия) возможно некоррупционное решение, определяемое системой (А2.3.15)-(А2.3.19). В этом случае рост дотации (уменьшение изъятия) целиком трансформируются в эффективные расходы.
Утверждение 3.3.3. Если бы центр мог полностью контролировать расходование трансфертов, то оптимальный для него трансферт D** < D*, где D* -- решение задачи (3.3.2).
Доказательство. Если бы полный контроль за расходованием трансфертов был бы доступен центру, то он решал бы задачу:
D min, E** +D, (А2.3.19) где E** -- решение задачи (А2.2.1) субнационального правительства в отсутствии дотаций.
Пусть D** -- решение задачи (А2.3.19). Теперь контроль перестал быть доступным и центр вынужден просто добавить дотацию D** в бюджетное ограничение задачи (А2.2.1). Поскольку E * мы предполагаем < 1, то решение E** выросло менее, чем на D**, а значит не достигло D значения. Следовательно, в отсутствии контроля требуется бльшая дотация.
А2.4. Доказательство утверждений раздела 3.5.
Утверждение 3.5.1. Пусть {E*, D*} -- равновесие в игре (3.2.1) - (3.3.2). Если D1 > D*:
(Y(Е1) - Y(E*)) D1 - D*, где -- дисконтирующий множитель, а Е1 -- индуцируемый 1 + D1 объем эффективных бюджетных расходов, то в динамической игре центр выберет стратегию {Di}, где последовательность {Di} убывающая, а субнациональный бюджет -- стратегию {Еi}, где последовательность {Еi} возрастающая.
Утверждение 3.5.2. Пусть {E*, А*} -- равновесие по Штакельбергу в игре (3.1.1) - (3.4.1).
Если А1[0; А*): (Y(Е1) - Y(E*)) А* - А1, где -- дисконтирующий множитель, а Е1 + -- индуцируемый А1 объем эффективных бюджетных расходов, то в динамической игре центр выберет стратегию {Аi}, где последовательность {Аi} возрастающая, а субнациональный бюджет -- стратегию {Еi}, где последовательность {Еi} также возрастающая.
Доказательство для региона-"акцептора" (для региона-"донора" -- аналогично). Бюджетное ограничение для субнационального бюджета в динамической модели имеет вид:
Ni + Ei Y(E*i - 1) + Di.
Его правая часть не зависит от Еi, поэтому ее размер влияет на решение так же, как независимый трансферт D в статической задаче. При росте правой части Еi будет не убывать, а при широких условиях (см. свойство 3.3.1) -- возрастать. Условие возрастания правой части имеет вид:
Di+1 - Di+2 < ( Y(Еi+1) - Y(Еi)), iN. (А2.4.1) Если при этом Ni > 0, то Di+1 - Di+2 < Di - Di+1, то есть дотации убывают все медленнее. Это E * следует из того, что < 1, а Y'(E*) < 1/, что вытекает из (А2.3.3) и (А2.3.13). Если D E * > 0, то правая часть (А2.3.1) будет положительна, следовательно, Di+2(0; Di+1) такая, D что (А2.4.1) выполняется. Значит, по индукции, можно построить искомую последовательность {Di}.
Однако, чтобы запустить механизм в действие, федеральному центру придется в начальный период игры простимулировать регион путем существенного увеличения дотации.
Посмотрим, когда это будет выгодно федеральным властям, исходя из критерия суммарного дисконтированного дохода федерального бюджета за все периоды:
i i D * Di. (A2.4.2) i =0 i =Достаточным условием того, что центр выберет стратегию {Di}, будет условие:
D1 + D2 D*(1 + ). (A2.4.3) В этом случае начальное увеличение трансферта окупится уже через год (D1 > D*;
D2 < D*). Сопоставляя (А2.4.1) при D0 = D* и (A2.4.3), получим достаточное условие равновесия:
(Y(Е1) - Y(E*)) D1 - D*. (А2.4.4) 1 + Утверждение 3.5.3. Последовательно уменьшать свою долю бюджетных доходов федеральным властям всегда невыгодно.
Доказательство. Пусть есть некоторая убывающая последовательность {i} и соответствующая ей возрастающая последовательность ВРП {Yi}. Пусть * -- оптимальная доля федерального правительства с точки зрения статического равновесия по Штакельбергу и Y* -- соответствующий ей ВРП. Тогда имеет место следующая цепочка неравенств, на левом конце которой находится выигрыш центра при снижении своей доли в течение некоторого числа N периодов, а на правом -- выигрыш от повторения статического равновесия:
N N N i i i i Yi iYi *Y *.
+i =0 i =0 i =А2.5. Доказательство утверждений раздела 3.6.
Утверждение 3.6.1. Если максимизируется федеральный бюджет, то A* *Y(*), если максимизируется консолидированный бюджет, то A* + Е(А*) > *Y(*) + E(*), А > 0:
A *Y(*), E(A) > E(*), Y(A) > Y(*).
Доказательство построим следующим образом. Покажем, что оптимальный план задачи с параметром, достигаемый при *, является допустимым планом в задаче с параметром А при некотором объеме трансфертов, причем Е() > Е(*). Отсюда сразу вытекают все сформулированные утверждения.
:= *Y(E(*)). (А2.5.1) Соответственно, (1 - *)Y(Е(*)) = Y(E(*)) -.
Пара {N(*); Е(*)} будет допустимым (хотя и не оптимальным) решением задач (3.1.1) или (3.1.2), так как левая часть ограничения задачи не изменилась при переходе от -модели к А-модели.
Покажем, что при этом E() > E(*). Если решение -задачи являлось не коррумпированным (N* = 0), то этот факт очевиден. В общем случае в линейной задаче:
k - c k - c Y'(E(*)) = > = Y ' (E(A)) E(*) < E(). (А2.5.2) k(1 - ) k Для нелинейной задачи выпишем условия существования решений друг под другом:
(- + Y - E)p' + (1 - p)(Y'-1) = 0 (А - задача) (А2.5.3) (Y(1 - ) - E)p' + (1 - p)(Y'(1 - ) -1) = 0 ( - задача) (А2.5.4) Известно, что левые части выражений (А2.5.3) и (А2.5.4) монотонно убывают по Е. Если подставить решение Е() из (А2.5.3) в левую часть (А2.5.4), то она окажется отрицательной, следовательно равенство (А2.5.4) достигается при меньшем значении Е.
В качестве А можно взять. Если > : Е() > 0 (то есть не совпадает с критическим объемом трансферта А, определяемым свойствами 3.1.1 и 3.1.2), то в силу непрерывности функции отклика субнационального правительства Е(А) на отрезке[A; ] и непрерывности Y(Е) А(; ]: A > *Y(*), E(A) > E(*), Y(A) > Y(*). Это означает, что почти всегда доминирование политики деления консолидированного бюджета в определенной пропорции политикой фиксированных трансфертов будет строгим.
A * Комментарий к неравенству (3.6.2): * <.
Y (E(A*)) A A Рассмотрим отношение, где =. < *, так как Е() > Е(*). Однако Y (E(A)) Y (E(A)) при дальнейшем повышении центральными властями размера обязательных отчислений А A отношение быстро увеличивается, так как числитель возрастает, а знаменатель Y (E(A)) E Y убывает (напомним, < 0, > 0).
A E А3. Доказательство утверждений главы 4.
А3.1. Доказательство утверждений раздела 4.3.
Утверждение 4.3.1. Постоянное значение обобщенного среднего при любых колебаниях ВРП обеспечивает семейство функций вида:
1 c (Y ) = 1 - +, сR.
Y -w+ 1 - w Доказательство. Преобразуем выражение (4.3.1) к виду:
((Y)) = [[' Y + ] [(1 - w1)] + [1 - ' Y - ] 1 ].
Прологарифмируем данное выражение, отбросим постоянный множитель 1/ с учетом его знака (возникают два случая), пропотенцируем и продифференцируем полученное выражение, запишем условие первого порядка, обозначив через k(Y) := 'Y + :
(1 - 1)k - 1k' - 1(1 - k) - 1k' = 0. (А3.1.1) Отсюда либо k' = 0 и = сY-1, либо выполняется k = 1 -. Заменяя k -w+ 1 - w обратно на, получаем линейное дифференциальное уравнение:
(Y) + '(Y)Y = 1 - (А3.1.2.) -w+ 1 - w Его решением является множество функций:
(Y) = 1 - + сY-1, сR. (А3.1.3) 1 w+ 1 - w А3.2. Оптимизационные задачи при смешанном подходе. При смешанном подходе субнациональный бюджет решает задачу:
kN max ( kN + cE max ) (А3.2.1) E, N E, N 1 - p(E) N + E (1 - )Y(E) - А N 0, E 0.
Переход от рассматриваемого в (А3.2.1) для удобства трансферта А к реально назначаемому центром трансферту осуществляется элементарным пересчетом:
A Ареальный =.
1 - Заметим, что задача (А3.2.1) эквивалентна задаче (2.1.1-2.1.2) с параметром и видоизмененной функцией ВРП:
A = Y -.
(1 - ) Федеральный центр одновременно решает задачу:
A + Y max, [0; 1]. (А3.2.2).
A, Несложно проверить, что неунитарное равновесие по Нэшу в игре (А3.2.1-А3.2.2) отсутствует, а равновесие по Штакельбергу влечет * = 0.
A4. Доказательство утверждений главы 5.
А4.1. Доказательство утверждений раздела 5.1.
T Утверждение 5.1.1. > 0 lnY выпуклый по, > 0 ; > 0.
t t T Доказательство. Центр решает задачу:
TY(T + t) max. (А4.1.1) Условие первого порядка имеет вид:
F(T, t) = Y(T + t) + TY'(T + t) = 0. (А4.1.2) T Из условия второго порядка следует F'Т > 0. Поэтому, чтобы установить знак, t достаточно выяснить знак F't:
Y Y F't = Y' - Y ' ' = - (ln Y )' ' Y ' Y ' T (lnY)'' > 0 F't > 0 > 0.
t Из (А4.1.2) следует:
T Y ' (T + t) = -1 + t TY ' ' (T + t) + 2Y ' (T + t) Y ' (T + t) = > 0. (А4.1.3) t TY ' ' (T + t) + 2Y ' (T + t) Знаменатель (А4.1.3) отрицателен по условию второго порядка для (А4.1.1), а числитель отрицателен по определению функции Y().
Запишем условия существования решения {t*, E*, N*} линейной формы задачи (5.1.1):
N* > 0 (A4.1.4) = k (A4.1.5) k - c (A4.1.6) Y 'e (E*, t * +T ) = kt * N * +E* = t * Y (E*, t * +T ) (A4.1.7) Y 't (E*, t * +T )t * +Y (E*, t * +T ) = (A4.1.8) N* = (A4.1.9) > k (A4.1.10) (A4.1.11) c - + t * Y 'e (E*, t * +T ) = E* = t * Y (E*, t * +T ) (A4.1.12) (A4.1.13) Y 't (E*, t * +T )t * +Y (E*, t * +T ) = Здесь и далее предположим, что функция Y(Е, ) является мультипликативно разделимой, то есть представимой в виде:
Y(E, t) = Y1(E)*Y2(t). (А4.1.14) В этом случае t* определяется независимо от Е, исходя из (А4.1.8) или (А4.1.13). Задача сводится к рассмотренной выше, и аналогично > 0.
T А4.2. Доказательство утверждений раздела 5.2.
E Свойство 5.2.1. < 0.
T Доказательство проведем для случая линейной задачи и мультипликативно разделимой функции ВРП. Если решение подразумевало N* = 0, то свойство очевидно: при росте T доходная часть бюджета сокращается. Если решение подразумевало N* > 0, то E* определяется уравнением (А4.1.6), которое можно переписать в виде:
k - c Y1'(E*) = (А4.2.1) kt * Y2 (t * +T ) При росте Т знаменатель правой части (А4.2.1) уменьшается, следовательно Y1'(E*) увеличивается, а Е* уменьшается.
Эффект дохода и эффект замены. Из равенства (А4.1.7) получаем:
dN = dE(tY'e - 1) + dt(Y + tY') + dT(tY') (A4.2.2).
Обратим внимание на то, что второе слагаемое правой части обращается в ноль по необходимому условию существования решения (А4.1.8), тогда:
N E = (tY'e - 1) + tY'.
T T Второе слагаемое отрицательно -- это эффект дохода.
Первое слагаемое положительно, так как оба его сомножителя отрицательны,-- это эффект замены.
А4.3. Доказательство утверждений раздела 5.3.
Утверждение 5.3.1. Если федеральное правительство максимизирует консолидированный бюджет, то федеральное налоговое бремя будет иным, чем если оно максимизирует федеральный бюджет.
E По свойству 5.2.1 < 0. Далее доказательство полностью повторяет доказательство T утверждения 2.4.1.
Утверждение 5.3.2. Равновесие по Нэшу в игре (5.1.1)-(5.1.2) всегда существует.
Доказательство. Во-первых, кривые реагирования непрерывны. Во-вторых, t(1 - ) 0, [0; 1]; t(T) < 1 - T, T[0; 1]. Таким образом, непрерывная ограниченная функция t(T) достигает максимума на отрезке [0; 1]. Так как t(0) = опт; t(1) = 0, то tmax 1. Но функция T(t), обладающая теми же свойствами, определена для всех аргументов t[0; 1], в том числе для t > tmax. Значит, кривые реагирования пересекаются, причем внутри интервала (0; 1), так как крайние точки кривых лежат на разных координатных осях (см. рис.1).
А4.4. Доказательство утверждений раздела 5.4.
Утверждение 5.4.1. Пусть равновесие в игре (5.1.1)-(5.1.2) характеризуется налоговым бременем * = t* + T*. Тогда в задаче деления консолидированного бюджета (2.1.1)-(2.3.1) (0; 1): Y() > Y(*); оптY() > T*Y(*); E() > E(*).
Доказательство проведем для случая линейной модели, для нелинейного случая T * утверждение доказывается аналогично. Положим :=. Рассмотрим задачу (2.2.1) с T * +t * параметрами опт и . Воспользовавшись равенствами (А1.2.3) и (А4.1.14), получим:
k - c Y'1(E*) = (A4.4.1) o k (1 - )оптY2 (опт ) Согласно (А4.1.6), для исходной задачи с параметрами t и Т выполняется:
k - c Y'1(E*) = (А4.4.2) k t * Y2 (t * +T*) Очевидно, знаменатель (А4.4.1) больше знаменателя (А4.4.2). Следовательно, решение Е* в задаче с параметром больше, чем в задаче с параметром T*: E() > E(*). Так как опт максимизирует консолидированные бюджетные доходы и при этом E() > E(*), то оптY() > T*Y(*). Так как опт < t* + T*, то Y() > Y(*).
T * Утверждение 5.4.2. Как правило, * >.
Pages: | 1 | ... | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | ... | 15 | Книги по разным темам