Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |

указывает на неправильную спецификациюмодели, связанную с возможным пропуском квадратичной составляющей. Оцениваниерасширенной модели наблюдений, включающей дополнительную объясняющую переменную,приводит к остаткам, обнаруживающим существенно более удовлетворительноеповедение (см. правый график). Результаты оценивания расширенной моделиприведены в следующей таблице.

Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	P-value
1	2.851	0.157	18.205	0.0000
x	0.003	0.000399	7.803	0.0000
x2	-1.10E-06	2.24E-07	-4.925	0.0001

Таким образом, используя преобразованияпеременных, мы получили две альтернативные оцененные модели связи междупеременными и :

и.

Первую из этих двух моделей можнопредпочесть из соображений простоты интерпретации.

3.5. КОРРЕКЦИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ВЫВОДОВ ПРИАВТОКОРРЕЛИРОВАННОСТИ ОШИБОК

Пусть мы имеем дело с наблюдениями,производимыми последовательно через равные промежутки времени (ежедневные,еженедельные, ежеквартальные, ежегодные статистические данные) и выявляем пографику зависимости стандартизованных остатков от тенденциюсохранения знака соседнихнаблюдений. В таком случае мы можем подозревать нарушение условия независимостислучайных ошибок в принятой нами модели наблюдений

в формеположительной автокоррелированности рядаошибок.

Простейшей моделью автокоррелированностиошибок является модель авторегрессии первогопорядка:

где, а — независимые в совокупностислучайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение. Тогдагипотеза

соответствует (при нашем предположении онормальности распределения случайных ошибок) независимости в совокупности случайных величин. В качестве альтернативной используем гипотезу

соответствующую положительной автокоррелированности случайныхвеличин (т. е. тенденции преимущественного сохранения знака случайной ошибки при переходе от - го наблюдения к -му). Еслигипотеза отклоняетсякритерием Дарбина-Уотсона в пользу альтернативной гипотезы то для полученияправильных статистических выводов относительно коэффициентов модели необходимасоответствующая коррекция.

Итерационная процедура Кохрейна-Оркатта(Cochrane-Orcutt).

Умножим обе части выражения для -гонаблюдения на, так что

и вычтем обе части полученного выражения изсоответствующих частей выражения для -го наблюдения:

Тем самым мы приходим к преобразованноймодели наблюдений

где

Поскольку в принятой моделиошибок

то это означает, что ошибки впреобразованной модели — независимые в совокупности случайные величины, имеющие одинаковоенормальное распределение.

Иными словами, случайные ошибки в преобразованной модели удовлетворяютстандартным предположениям. Следовательно,в рамках преобразованной модели никакой дополнительной коррекции обычных статистических выводов окоэффициентах модели не требуется. Проблема только в том, что используемое впроцессе преобразования модели значение коэффициента нам не известно. Поэтому реально провестиуказанное преобразование невозможно. Вместо этого можно пытаться заменитьуказаное преобразование какой-либо его аппроксимацией с заменой неизвестногозначения на его оценку по данным наблюдений. Конечно, при использованиитакой аппроксимации мы уже не можем гарантировать, что в преобразованноймодели будут независимыми в совокупности случайными величинами, однако естьнекоторая надежда на то, что эти ошибки все же будут обнаруживать меньшую автокоррелированность посравнению с ошибками в исходной модели.

Описываемая здесь процедураКохрейна-Оркатта использует для получения аппроксимации теоретическогопреобразования оценку для в виде

где — остатки, получаемые приоценивании исходной моделинаблюдений. Аппроксимирующее преобразование определяетсясоотношениями

которые приводят к преобразованноймодели

Если в последней моделиавтокоррелированность не проявляется, то полученные в рамках этой модели оценки параметров можнопринять в качестве уточненных оценок параметров. Если же в преобразованной модели еще остаетсявыраженная автокоррелированность, то процесс преобразования применяют уже кпреобразованной модели иеще раз уточняют значения параметров иат.д., пока последовательно уточняемыезначения параметров не перестанут изменяться в пределах заданнойточности.

Заметим, наконец, что обычно мыпредполагаем, что. Соответственно, для первой объясняющей переменнойполучаем

так что фактически мы имеем преобразованнуюмодель

с. Получив в этой модели оценку для, мы можем оценить параметр исходной модели, просто полагая

Пример. Проанализируем статистические данные о совокупных потребительскихрасходах (CONS) и денежной массе (MONEY) в США за 1952—1956аг. г. (квартальные данные, вмлрд. долларов).

obs	MONEY	CONS	obs	MONEY	CONS
1952:1	159.3	214.6	1954:3	173.9	238.7
1952:2	161.2	217.7	1954:4	176.1	243.2
1952:3	162.8	219.6	1955:1	178.0	249.4
1952:4	164.6	227.2	1955:2	179.1	254.3
1953:1	165.9	230.9	1955:3	180.2	260.9
1953:2	167.9	233.3	1955:4	181.2	263.3
1953:3	168.3	234.1	1956:1	181.6	265.6
1953:4	169.7	232.3	1956:2	182.5	268.2
1954:1	170.5	233.7	1956:3	183.3	270.4
1954:2	171.6	236.5	1956:4	184.3	275.6

Результаты оценивания линейной моделинаблюдений

в которой — значения объясняемой переменнойCONS, а - значения объясняющей переменной MONEY, приведены в следующейтаблице:

Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
1	–154.719	19.850	-7.794	0.0000
X	2.300	0.114	20.080	0.0000
R-squared	0.957	Durbin-Watson stat	0.328

Хотя коэффициент детерминации весьма близокк единице, значение статистики Дарбина-Уотсона достаточно мало, и это даетвозможность подозревать наличие положительной автокоррелированности ошибок впринятой модели наблюдений. Два следующих графика дают представление орассеянии значений переменных и о поведении остатков.

Здесь наблюдаются серии остатков, имеющиходинаковые знаки, что как раз и характерно для моделей, в которых имеетсяположительная автокоррелированность ошибок.

Для подтверждения положительнойавтокоррелированности ошибок используем критерий Дарбина-Уотсона. По таблицамнаходим нижнюю границу для критического значения при :. Полученное приоценивании модели значение существенно меньше этой нижней границы, такчто гипотеза отвергается в пользу альтернативной гипотезы. Для коррекции статистическихвыводов используем процедуру Кохрейна-Оркатта.

Прежде всего находим оценку длянеизвестного значения коэффициента : Основываясь на этой оценке,переходим к преобразованной модели, оценивание которой дает следующиерезультаты:

Included observations: 19аafter adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
1	-30.777	14.043	-2.192	0.0426
X’	2.795	0.609	4.593	0.0003
R-squared	0.554	Durbin-Watson stat	1.667

Хотя в преобразованной модели коэффициентдетерминации существенно ниже, чем в непреобразованной модели, значениестатистики Дарбина-Уотсона теперь превышает верхнююграницу для критического значения,соответствующего. (В преобразованной модели наблюдений на единицу меньше, чемв исходной, так как при преобразовании используются запаздывающие значения обеихпеременных). Поэтому гипотеза о независимости в совокупности ошибок впреобразованной модели не отвергается (в пользу гипотезы об их положительной автокоррелированности). Дваследующих графика дают представление о рассеянии значений преобразованныхпеременных и о поведении остатков в преобразованной модели.

RESID: TRANSFORMED MODEL

Обратим внимание на существенно болеенерегулярное поведение остатков по сравнению с исходной моделью.

Обращаясь к результатам оцениваниякоэффициентов в преобразованной модели, отметим значительное (более, чем в5араз!) возрастание оценки стандартной ошибки, что подтверждает сделанноеранее замечание о занижениистандартных ошибок при неучете имеющейся в действительности положительнойавтокорреляции случайных ошибок в модели наблюдений. Столь существенноевозрастание значения приводит к возрастаниюболее, чем в 5араз, и ширины доверительного интервала для мультипликатора. Если при оценивании исходной линейной модели95%-доверительный интервал для этого параметра имел вид, то при оцениваниипреобразованной модели мы получаем интервал.

Рассмотренный пример ясно демонстрируетопасность пренебрежения возможной неадекватностью построенной модели вотношении стандартных предположений об ошибках и необходимость обязательного проведения в процессеподбора подходящей модели связи между теми или иными экономическими факторамианализа остатков,полученных при оценивании выбранной модели.

Более того, используя преобразованнуюмодель, можно получить улучшенную модель дляпрогнозирования объемов расходов на потребление припланируемых объемах денежной массы. Поясним это на примере простой линейноймодели

Предполагая, что и используяоценку для коэффициента, переходим к преобразованной модели

c и

и получаем в рамках этой моделиоценки и параметров и, так что оцененная модель линейнойсвязи между преобразованными переменными имеет вид

В исходных переменных последние соотношенияпринимают вид

где, откуда получаем:

Если мы собираемся теперь прогнозироватьбудущее значение, соответствующее плановому значению объясняющейпеременной, то естественно воспользоваться полученным соотношением и предложитьв качестве прогнозного длязначение

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |    Книги по разным темам