Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ... | 20 | Но коэффициент при в полной моделисоответствует связи между переменными и, очищенными от влиянияпеременной, тогда как коэффициент при в полной модели соответствуетсвязи между переменными и, очищенными от влияния переменной. Поэтомунеопределенность в оценивании коэффициентов при и в полной моделипо-существу означает невозможность разделения эффектов влияния переменныхи на переменную.
Приведем значения, и для всех трехмоделей.
Полная | 0.9702 | 1.1324 | 3.274 | 3.411 |
Без | 0.9704 | 1.1286 | 3.211 | 3.303 |
Без | 0.9719 | 1.0991 | 3.158 | 3.250 |
Все четыре критерия выбирают в качественаилучшей модель с исключенной переменной.
Мы не будем далее углубляться в проблемумультиколлинеарности, обсуждать другие ее последствия и возможные способыпреодоления затруднений, связанных с мультиколлинеарностью. Заинтересованныйчитатель может обратиться по этому вопросу к более полным руководствам поэконометрике.
2.10. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЗНАЧЕНИЯХ
КОЭФФИЦИЕНТОВ:ОДНОСТОРОННИЕ КРИТЕРИИ
Вспомним пример с потреблением текстиля. Мыподобрали линейную модель в логарифмах (с постояннымиэластичностями)
(здесь — расходы на личное потреблениетекстиля, —относительная цена текстиля, - располагаемый доход). В рамках этой моделипредставляют интерес гипотезы и о лединичной эластичности расходовна потребление текстиля как по доходам, так и по ценам.
Построить критерии с уровнемзначимости для проверки этих гипотез можно по той же схеме, по которойстроятся критерии проверки гипотез, только теперь для проверки гипотезыследует использовать - статистику
а для проверки гипотезы — - статистику
Каждая из этих статистик, в случае справедливости соответствующей нулевойгипотезы, имеет распределение. Нулевая гипотезаотвергается, если значение - статистики превышает по абсолютной величинезначение.
В нашем примере
Таким образом, отклонение значения отгипотетического значения статистически значимо — гипотеза отвергается. В то же время, отклонениезначения от гипотетического значения не является статистическизначимым, и гипотезане отвергается.
Замечание. Изпроведенного рассмотрения видна важность нетолько абсолютныхотклонений оценок от гипотетических значенийпараметров, но и точностейоценок, измеряемых дисперсиями и оцениваемых величинами. Действительно,абсолютные величины отклонений в рассмотренном примере равны
и,
соответственно, т. е. отличаются не оченьсущественно. Однако примерно в 4.3араза меньше, чем, и именно такое большоеотличие и и приводит, в конечном счете, кпротивоположным решениям в отношении гипотез и.
Итак, на основании построенной процедурыгипотеза отвергается.А что же тогда принимается
Формально, альтернативой для впостроенном критерии является гипотеза, поскольку критическое множествосодержит в равной степени как большиеположительные, так и большие (по абсолютной величине)отрицательные значения -статистики. В то же время, значение, соответствующее отклонению, скорееговорит в пользу того, что в действительности.
В этой связи, естественным представляетсяболее определенный выбор альтернативной гипотезы, а именно, сопоставлениенулевой гипотезе одностороннейальтернативы (односторонняя альтернатива — вотличие от двухсторонней альтернативы ). При такой постановке задачи отвержение нулевой гипотезы впользу альтернативы производится только прибольших положительных отклонениях, т. е. при большихположительных значениях -статистики. Если мы отнесем кпоследним значения, превышающие, то получим статистический критерий, укоторого ошибка первого рода (уровень значимости) равна. Его критическоемножество определяется соотношением
справа стоит теперь значение, а не, какэто было при двухсторонней альтернативе. Поскольку у нас, мы отвергаем гипотезу в пользу гипотезы.
Построим аналогичную процедуру дляпараметра. Именно, построим критерий уровня для проверки гипотезыпротив односторонней альтернативы. Критическое множество такого критериядолжно состоять из значений -статистики, превышающих. У насзначение
опять меньше порогового, так чтогипотеза не отвергается в пользу.
Обратим теперь внимание на то, что прирассмотрении пары конкурирующих гипотез
мы выделяем в гипотезу только одно частное значение, хотяпо-существу дела проблема состоит скорее в выборе между гипотезами
Последняя ситуация коренным образомотличается от предыдущей: оказывается сложнойгипотезой, т. е. гипотезой, допускающей более одного значения параметра, вданном случае даже бесконечно много значений параметра. В противоположность этому, в предыдущейситуации гипотеза была простой.
Какие осложнения возникают прииспользовании сложной нулевой гипотезы
Возьмем, для примера, частную гипотезу. Мыотвергли бы ее в пользу при
В то же время, частную гипотезу мыотвергаем в пользу той же при
Иначе говоря, при различных частных гипотезах,входящих в состав сложной нулевой гипотезы, мы получаем различные критические множества, обеспечивающиезаданный уровень значимости (ошибку 1-го рода). Построение каждого такогомножества непосредственно использует конкретноегипотетическое значение, тогда как в рамкахгипотезы отдельноегипотетическое значение параметра неконкретизируется.
Возникающее затруднение преодолевается,исходя из следующих соображений. Коль скоро мы не в состоянии построитьединое для всехкритическое множество, вероятность попадания в которое равна присправедливости каждой отдельной частной гипотезы, следует попытаться построитьединое для всех критическое множество, вероятность попадания в котороепри выполнении каждой отдельной частной гипотезы была бы небольше. Такая задача реализуется путем использованиякритического множества, соответствующегограничному значению односторонней гипотезы, в данномслучае.
Действительно, пусть мы берем критическоемножество соответствующее граничной частной гипотезе, такчто
Тогда, если в действительности верначастная гипотеза то
Вообще, какая бычастная гипотеза ни была верна, вероятность отвергнуть еев рамках указанной процедуры не превысит.
В этом контексте, по-прежнему называетсяуровнем значимости критерия, тогда как понятие ошибки 1-города уже теряет смысл для критерия в целом. Уровеньзначимости ограничивает сверху ошибки 1-го рода, соответствующие частным гипотезам, входящим в составсложной нулевой гипотезы.
Основной вывод из сказанного: при указанномподходе к построению критериев проверки сложных нулевых гипотезвида
(эластичность при
(неэластичность при
(неэластичность при
(эластичность при
против соответствующих одностороннихальтернатив можно пользоваться критериями уровня, построенными для работы стеми же альтернативами, но при простыхгипотезах соответственно.
Замечание. То жеотносится и к другим аналогичным парам гипотез, в которых вместо значения1аберутся другие фиксированные граничные значения.
2.11. НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ
С ПРОВЕРКОЙ ГИПОТЕЗ ОЗНАЧЕНИЯХ
КОЭФФИЦИЕНТОВ
Итак, фактически, мы уже построили критерийпроверки гипотезы
против альтернативы
Это тот же критерий с уровнем значимости,который был предназначен для проверки гипотезы против альтернативы Такойкритерий отвергает гипотезу при
что и имеет место в нашем примере.Соответственно, нулевая гипотеза эластичностипотребления текстиля по цене отвергается.
Мы также фактически построили критерийпроверки гипотезы
против альтернативы
Это тот же критерий с уровнем значимости,который был предназначен для проверки гипотезы против альтернативы Такойкритерий отвергает гипотезу при
что невыполняется в нашем примере. Соответственно,нулевая гипотеза неэластичности потребления текстиляпо доходу отвергается.
Представляет, однако, интерес то, какиерешения будут приняты, если поменятьместами нулевую и альтернативную гипотезы.
В отношении эластичности по цене возьмемтеперь пару гипотез
При построении соответствующего критериядостаточно обратиться к критерию для пары
который отвергает гипотезупри
(на левомхвосте распределения ). Но у нас
так что гипотеза, а значит, ине отвергаются в пользу
Итак, здесь нулевая гипотеза о неэластичностипотребления по цене не отвергается, и это решение согласуется с отклонением нулевой гипотезы об эластичности потребления поцене.
Рассмотрим, наконец, паругипотез
Здесь мы исходим из критерия,предназначенного для пары
и, с учетом использования знаков равенствав этих парах, отвергаем гипотезу при
В нашем случае
так что гипотеза не отвергается.
Итак, здесь нулевая гипотеза эластичностипотребления по доходу не отвергается. Но ранее мы установили, что и нулеваягипотеза неэластичности потребления по доходутакже не отвергается.
Из рассмотренного примера мы должны сделатьважнейший вывод:
Решения об отклонении или неотклоненииодной из двух соперничающих гипотез могут быть различными, в зависимости оттого, какая из двух гипотез принимается за основную (нулевую).
При решении вопроса о характере зависимостипотребления текстиля от его относительной цены оба варианта выбора нулевойгипотезы дали согласованные результаты: основная гипотеза неэластичности неотвергается, а основная гипотеза эластичности отвергается.
Однако при решении вопроса о характерезависимости потребления текстиля от располагаемого дохода не отвергаются ниосновная гипотеза эластичности ни основная гипотеза неэластичности. В такойситуации каждый изисследователей, придерживающихся противоположных априорных позицийотносительно эластичности или неэластичности потребления текстиля по доходу,может считать, что имеющиеся статистические данные подтверждают именно его гипотезу, хотя правильнеезаключить, что имеющиеся статистические данные непротиворечат его гипотезе в рамках соответствующего статистического критерия.
Мы должны теперь сделать еще одно важнейшеезамечание. Пусть
Тогда — статистика критерияравна
Гипотеза отвергается в пользу,если
Но при, и этоозначает, что если,то гипотеза не может быть отвергнута в пользу.
Следовательно, если мы сначала оценим поимеющимся статистическим данным коэффициент, и только после этого выберемуказанную пару гипотез для некоторого значения то в такой ситуациипостроенный по тем же данным указанный -критерий никогда неотвергнет гипотезу впользу.
Аналогично, если мы, оценив, формулируем паругипотез
для некоторого то тогдасоответствующий односторонний -критерий, построенный по тем же данным, никогда не отвергнет гипотезув пользу.
В случае двухстороннего -критерия
формулирование гипотезы с,где— оцененное значение параметра, приводитк тому, что эта гипотеза заведомо не будетотвергнута (-статистика принимает нулевое значение).
огическая ошибка в последних трех случаяхсостоит в том, что теориястатистических критериев строится в предположении, что гипотезы и фиксируются до обращения кстатистической обработке данных.
В последней ситуации априори нельзяабсолютно точно сказать, будет ли значение больше или меньше заранее выбранного гипотетическогозначения.
Пример. Пусть -совокупные расходы на личное потребление в США, - совокупный располагаемыйдоход (1970—1979аг.г., млрд. долларов в ценах 1972аг.).
Подобранная модель
Уже зная, что,бессмысленно (илинечестно) ставить задачупроверки гипотезы против альтернативы, поскольку на основании имеющихсянаблюдений гипотеза заведомо не будетотвергнута. Она отвергается лишь при большихположительных значениях-статистики
а у нас числитель последнего отношенияпринимает отрицательноезначение. Другое дело, что сформулировать такую гипотезу еще до анализа статистических данных вполнеразумно. Впрочем, последнее вовсе не означает, что будет всегда меньшеединицы, даже если истинное.
Проверим теперь гипотезу противодносторонней альтернативы в той же ситуации, но на основании данных запериод с 1970апо 1981аг., лет.
В этом случае, так что-статистика
Если мы используем для проверки гипотезыдвусторонний -критерий суровнем значимости, то будем отвергать, когда
.
Если же использовать односторонний -критерий с уровнемзначимости, то будем отвергать, когда
.
В обоих случаях вероятность ошибочногоотклонения гипотезыравна.
Представим теперь, что в действительности. Тогда распределениеСтьюдента имеет статистика
Какова вероятность того, что гипотезабудет отвергнута
При использовании двустороннего критерия
или
или
или
или
+
.
А при использовании одностороннего критерия эта вероятностьбудет равна
.
Таким образом, вероятность отвергнутьошибочную гипотезу в случае, когда вдействительности, равна
— прииспользовании двухстороннего критерия,
— прииспользовании одностороннего критерия;
две последние величины представляют собоймощности соответствующихкритериев при частной альтернативе.
Односторонний критерий имеет более высокую мощность —против у двухстороннего критерия — притой же вероятности ошибочного отклонения нулевой гипотезы, равной. Такое же положение будет, если в действительностии значение входит в множество значений параметра, составляющихальтернативнуюгипотезу (т. е. ). Это говорит о предпочтительности одностороннего критерия по сравнению с двухсторонним прииспользовании в качестве альтернативной гипотезы.
2.12. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОЦЕНЕННОЙ МОДЕЛИ ДЛЯПРОГНОЗИРОВАНИЯ
Пусть мы имеем модель наблюдений в видемодели простой линейной регрессии
и хотим дать прогноз, каким будет значениеобъясняемой переменной при некотором выбранном (фиксированном)значении объясняющей переменной, если мы будем продолжатьнаблюдения.
Pages: | 1 | ... | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ... | 20 | Книги по разным темам