Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |   ...   | 30 |

2.6. Оценивание систем одновременных уравнений В этом разделе мы рассматриваем некоторые методы оценивания систем одновременных уравнений. Выбор того или иного метода оценивания связан с идентифицируемостью (неидентифицируемостью) системы в целом, идентифицируемостью отдельных уравнений системы, а также с имеющимися предположениями о вероятностной структуре случайных ошибок в правых частях структурных уравнений.

2.6.1. Косвенный метод наименьших квадратов Если i -е стохастическое уравнение структурной формы идентифицируемо точно, то параметры этого уравнения (коэффициенты уравнения и дисперсия случайной ошибки) восстанавливаются по параметрам приведенной системы однозначно. Поэтому для оценивания параметров такого уравнения достаточно оценить методом наименьших квадратов коэффициенты каждого из уравнений приведенной формы методом наименьших квадратов (отдельно для каждого уравнения) и получить оценку ковариационной матрицы ошибок в приведенной форме, после чего воспользоваться соотношениями = и = T, подставляя в них вместо оцененную матрицу коэффициентов приведенной формы и оцененную ковариационную матрицу ошибок в приведенной форме. Такая процедура называется Инструментальные переменные. СистемыЕ косвенным методом наименьших квадратов (ILS - indirect least squares). Полученные в результате оценки коэффициентов i -го стохастического уравнения структурной формы наследуют свойство состоятельности оценок приведенной формы. Однако они не наследуют таких свойств оценок приведенной формы как несмещенность и эффективность из-за того, что получаются в результате некоторых нелинейных преобразований. Соответственно, при небольшом количестве наблюдений даже у этих естественных оценок может возникать заметное смещение. В связи с этим при рассмотрении различных методов оценивания коэффициентов структурных уравнений в первую очередь заботятся об обеспечении именно состоятельности получаемых оценок.

2.6.2. Двухшаговый метод наименьших квадратов Мы фактически уже воспользовались этим методом в разделе 2.3 при рассмотрении системы Ct = + Yt + t, Yt = Ct + It.

Там мы подменили переменную Yt в первом структурном уравнении искусственной инструментальной переменной t = + It, где и - оценки наименьших квадратов, получаемые при оценивании модели Yt = + It + t. После такой подмены уравнение Ct = + t + t состоятельно оценивается обычным методом наименьших квадратов, поскольку Уобъясняющая переменнаяФ t в этом уравнении не коррелирована с t.

Пусть мы имеем систему g одновременных уравнений yt = xt + ut, t =1,K, n, где 160 Глава 11 K 1g 11 K 1g = M O M, = M O M, g1 K K1 K gg Kg yt = (yt1,K, ytg) - вектор значений эндогенных переменных в t -м наблюдении, xt = (xt1,K, xtK ) - вектор значений предопределенных переменных в t -м наблюдении, ut = (ut1,K,utg ) - вектор значений случайных ошибок в t -м наблюдении, и при этом предполагается невырожденность матрицы. Пусть наибольший интерес представляет первое уравнение системы. (Это не уменьшает общности, поскольку уравнения всегда можно надлежащим образом перенумеровать.) Считая, что первое уравнение нормировано на коэффициент при переменной yt1, уединим эту переменную в левой части, преобразуя уравнение к виду:

yt1 = 11yt +K+g1,1ytg1 +11xt +K+K1,1xtK1 + ut1, 1 или yt1 = Yt11 + Xt11 + ut1, где Yt1 =(yt,K, ytg1) - вектор значений g1 эндогенных переменных, включенных в правую часть первого уравнения, Xt1 =(xt,K, xtK1) - вектор значений K1 предопределенных переменных, включенных в правую часть первого уравнения, 1 и 1 - векторы коэффициентов при эндогенных и предопределенных переменных, включенных в первое уравнение. Состоятельному оцениванию коэффициентов уравнения мешает эндогенность переменных yt,K, ytg1. Это затруднение преодолевается за два шага (отсюда название метода: двухшаговый метод наименьших квадратов, 2SLS - two-step least squares, two-stage least squares).

Инструментальные переменные. СистемыЕ 1. Производится оценивание уравнений регрессии каждой из этих переменных на все предопределенные переменные, включенные в систему. В качестве очищенных вариантов переменных yt,K, ytg1 берутся предсказанные значения t,K, t g1 этих переменных. (В этом контексте предопределенные переменные понимаются как инструменты для очистки эндогенных переменных.) 2. Значения yt,K, ytg1 эндогенных переменных в первом уравнении заменяются значениями t1,K, tg. Полученное уравнение оценивается методом наименьших квадратов.

Как и в случае оценивания обычным методом наименьших квадратов (OLS) единственного уравнения в линейной множественной регрессии, процедуру 2SLS можно представить в матричном виде. Для этого будем предполагать, что в левой части i -го стохастического структурного уравнения находится единственная эндогенная переменная yti, и обозначим:

T yi = (y1i,K, yni) - вектор-столбец значений i -й эндогенной переменной в n наблюдениях, y11 K y1g i Yi = M O M - матрица значений в n наблюдениях gi yn1 K yng i эндогенных переменных, включенных в правую часть i -го уравнения, 162 Глава x11 K x1K i Xi = M O M - матрица значений в n наблюдениях Ki xn1 K xn K i предопределенных переменных, включенных в правую часть i -го структурного уравнения, T ui = (u1i,K,uni) - вектор-столбец значений ошибки в i -м структурном уравнении в n наблюдениях, x11 K x1K X = M O M - матрица значений в n наблюдениях всех xn1 K xnK K предопределенных переменных, включенных в систему, 11 K 1g = M O M - матрица коэффициентов приведенной K K1 Kg формы системы, w11 K w1g W = M O M - матрица значений в n наблюдениях wn1 K wng ошибок в g уравнениях приведенной формы.

(Заметим, во T T избежание путаницы, что yi = (y1i,K, yni) и ui = (u1i,K,uni) - векторы-столбцы, содержащие значения объясняемой переменной и случайных ошибок в i -м структурном уравнении в моменты времени t =1,K,n. Их не следует путать с ранее использовавшимися векторами-строками yt = (yt1,K, ytg ) и ut = (ut1,K,utg ), содержащими значения объясняемой переменной и случайных ошибок в g уравнениях, относящиеся к одному и тому же моменту времени t.) Инструментальные переменные. СистемыЕ Тогда первый шаг процедуры 2SLS оценивания i -го структурного уравнения состоит в оценивании методом наименьших квадратов отдельных уравнений системы Yi = Xi +Wi, где i - подматрица матрицы коэффициентов приведенной формы, образованная теми ее столбцами, которые соответствуют эндогенным переменным, включенным в правую часть i -го структурного уравнения, а Wi - подматрица матрицы W, образованная столбцами матрицы W, соответствующими тем же эндогенным переменным. Оценив отдельные уравнения методом наименьших квадратов, мы получаем оценку i матрицы i и на ее основе - оценку матрицы Yi в виде i = Xi. Матрица i содержит значения эндогенных переменных, включенных в правую часть i -го структурного уравнения, УочищенныхФ от корреляции с ошибкой в этом уравнении.

Обозначая i и i - векторы коэффициентов при эндогенных и предопределенных переменных, включенных в i -е структурное уравнение, запишем это уравнение в виде:

yi = Yii + Xii + ui = Zii + ui, где i i =, Zi = [Yi Xi].

i Мы также можем записать это уравнение в следующей форме:

yi = Yii + X i + ui = ii + X i + ((Yi - i)i + ui), i i или yi = i + i, i где i =[i X ].

i 164 Глава Второй шаг процедуры 2SLS состоит в вычислении оценки наименьших квадратов вектора i в последнем уравнении. Эта оценка вычисляется по обычной формуле:

-i2SLS =(iT iT ) iT yi.

При этом, естественно, требуется, чтобы матрица iT iT была невырожденной. Заметим, что rank(iT iT )= rank iT rank X. Но матрица iT iT имеет порядок, равный gi + Ki, а rank X = K, так что необходимо, чтобы K gi + Ki, т.е. K - Ki gi =(g - gi)-1, а это есть не что иное, как известное нам порядковое условие идентифицируемости. Для состоятельности i2SLS требуется еще, чтобы предельная матрица p lim iT iT = Qi n n имела конечные элементы и была невырожденной, а для этого матрица i должна иметь полный столбцовый ранг. Последнее же выполняется в случае идентифицируемости i -го уравнения (cм.

[Schmidt (1976), p. 150-151]).

Хотя на втором шаге используется OLS, непосредственное использование для построения t -статистик и доверительных интервалов вычисленных (по формулам OLS) значений стандартных ошибок коэффициентов невозможно. Эти значения должны быть скорректированы. Например, если дело касается первого уравнения, то на втором шаге оценивается уравнение ~ yt1 = 11 t + K + tg + 11xt + K + xt K1 + ut1, 1 g1,1 1 K1, где t,K, tg - очищенные на первом шаге значения эндогенных переменных. При вычислении стандартных ошибок коэффициентов по обычным формулам OLS используется оценка дисперсии случайной ошибки в правой части уравнения в виде:

Инструментальные переменные. СистемыЕ n (yt1 - 11 t - K - tg - 11xt1 - K - K,1xt K1) 1 g1,~t =S = ;

n - g1 - Kвместо этого следует использовать другую оценку:

n (yt1 - 11 yt - K - ytg -11xt - K -K,1xt K1) 1 g1,1 t =S =, n - g1 - K в которой вместо УочищенныхФ значений t,K, tg используются УсырыеФ значения yt,K, ytg1.

В обеих формулах оценки параметров получены методом 2SLS;

для сокращения записи в обозначениях этих оценок опущен верхний индекс, указывающий на 2SLS (например, 11 вместо 11SLS ). В специализированных программах статистического анализа систем одновременных уравнений такая коррекция предусмотрена.

З а м е ч а н и е На втором шаге 2SLS не следует особенно полагаться на указываемые в распечатках значения t -статистик, поскольку если данных мало, то асимптотическая теория неприменима и эти статистики не имеют ни нормального, ни t -распределения.

Напротив, статистики, получаемые на первом шаге, имеют t распределения при нормальном распределении ошибок. Однако они не предназначены для выяснения значимости отдельных коэффициентов.

З а м е ч а н и е Вернемся к рассмотренной ранее системе Qt = a0 + a1Pt + ut, Q = b0 + b1Pt + b2Rt + b3St + vt, t 166 Глава в которой, как мы установили, первое уравнение сверхидентифицируемо. Следуя методу инструментальных переменных, мы могли бы произвести УочисткуФ эндогенной переменной Pt в правой части первого уравнения, используя в качестве инструмента только одну из переменных Rt и St. В 2SLS в качестве инструментов для очистки Pt используются сразу обе эти переменные. Очистка с использованием только одной из этих переменных также приводит к состоятельной оценке, но эта оценка менее эффективна (ее асимптотическая дисперсия больше, чем у оценки, полученной с применением пары инструментальных переменных). В этом смысле 2SLS оценка является наилучшей инструментальной оценкой среди этих трех альтернатив.

З а м е ч а н и е 3 (Проверка адекватности) Получив в результате применения двухшагового метода наименьших квадратов к i -му структурному уравнению оценку i2SLS, мы получаем далее оцененное значение i2SLS = Zii2SLS вектора yi и вектор остатков i2SLS = yi - i2SLS. (Заметим, что эти остатки отличаются от остатков, непосредственно получаемых на втором шаге 2SLS и равных yi - ii2SLS.) Опираясь на эти остатки, можно обычным образом проверять адекватность этого уравнения, используя критерии:

Х нормальности (ХаркеЦБера, по оцененным асимметрии и куртозису последовательности остатков);

Х линейности (добавляя степени и перекрестные произведения предопределенных переменных и проверяя гипотезу зануления коэффициентов при УлишнихФ составляющих);

Х гомоскедастичности (Уайта, ПаганаЦХолла);

Х независимости - против автокоррелированности остатков (БройшаЦГодфри).

Инструментальные переменные. СистемыЕ При обнаружении нарушений стандартных предположений необходимо соответствующим образом изменить спецификацию модели или, не изменяя спецификации, скорректировать статистические выводы.

З а м е ч а н и е 3a Критерий ПаганаЦХолла предназначен специально для выявления гетероскедастичности в отдельном уравнении системы. В отличие от других критериев гомоскедастичности, он не предполагает отсутствия гетероскедастичности в других уравнениях системы. Этот критерий реализован, например, в пакете Stata.

2.6.3. GLS-оценивание систем одновременных уравнений.

Трехшаговый метод наименьших квадратов Если нас интересует оценивание коэффициентов всех g структурных уравнений, и каждое из уравнений идентифицируемо (идентифицируемо точно или сверхидентифицируемо), то тогда мы можем сразу получить OLS-оценку матрицы коэффициентов приведенной формы системы и на ее основе сформировать подматрицы 1,K,, соответствующие эндогенным переменным, g включенным в отдельные уравнения структурной формы yi = Yii + Xii + ui = Zii + ui, i =1,K, g.

После этого можно вычислить i = Xi и получить 2SLS-оценку i2SLS для i, применяя OLS к уравнению yi = i + i.

i Совокупность оценок i2SLS, i =1,K, g, в форме вектора 12SLS 2SLS = M 2SLS g 168 Глава фактически получается как OLS-оценка уравнения регрессии 1 K 1 y 2 K M = M + M, M M O M yg g g K g в сокращенной форме y = +, где 1 K y1 1 2 K y = M, =, = M, = M.

M M O M yg g g K g Соответственно, вектор 2SLS находится по обычной формуле:

T T T 2SLS = ( ) y.

Эта оценка неэффективна вследствие коррелированности ошибок t1,K,tg (имеющей место даже при некоррелированности ошибок ut1,K,utg в структурных уравнениях) и различия матриц 1,K,.

g Эффективную оценку можно было бы получить, используя здесь вместо OLS обобщенный метод наименьших квадратов, (GLS), но для этого надо знать ковариационную матрицу вектора.

Поскольку же эта матрица неизвестна, мы можем довольствоваться только ее оценкой, и такая оценка должна быть состоятельной, если мы хотим получить в итоге асимптотически эффективную оценку вектора.

Заметим, что ковариационная матрица вектора при наших предположениях имеет весьма специфический вид:

Инструментальные переменные. СистемыЕ M 11Ig 12Ig K 1g Ig n Ig 22Ig K 2g Ig M Cov( )= Cov =, M M O M 1g g1Ig g 2Ig K ggIg M ng или Cov( )= Ig, где Ig - единичная матрица порядка g, ij = Cov(ti,tj), = (ij) - ковариационная матрица вектора (t1,K,tg ), Ig - формализованное обозначение матрицы, являющейся кронекеровским произведением матриц и Ig.

Таким образом, для реализации доступного GLS необходимо состоятельно оценить ковариации ij. Это можно сделать, используя для ij естественную оценку 1 T 2SLS ij = (i2SLS ).

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |   ...   | 30 |    Книги по разным темам