Книги, научные публикации
Pages: | 1 | 2 | 3 Туманов М.П. Теория управления. Теория линейных систем автоматического управ ления: Учебное пособие. - МГИЭМ. М., 2005, 82 с. ...
-- [ Страница 2 ] --Можно, однако, реализовать сколь угодно близкий к этому случайный процесс, называемый "розовым шумом". Формально розовый шум получается при пропус кании белого шума через любое реальное звено. При этом ограничивается спектр сигнала, так как никакое реальное звено не может пропускать бесконечную полосу частот. В результате, у реального розового шума может быть сколь угодно широкий, но неизбежно убывающий спектр, а его корреляционная функция может очень быстро убывать, что означает малую связь значений процесса в разные моменты времени.
Связь между скоростями убывания корреляционной функции и спектра.
Рис. 18. Ясно, что этот белый шум является очень тяжелой помехой. Если уметь бо роться с такой помехой, "с остальными помехами должно быть проще".
В общем случае, при прохождении некоторого блока с передаточной функцией W(p) спектральная функция преобразуется так:
Su() Sy() W(p) Sy()=|W(j)|2 * Su();
(18.9) Рис. 18. В частном случае для белого шума с единой спектральной плотностью:
Su()=1 |W(j| W(p) Sy()=|W(j)|2;
(18.10) Рис. 18. Такой блок называют "формирователем". При заданной спектральной плотности вы ходного сигнала легко можно вычислить передаточную функцию "формирующего фильтра", который выработает необходимый спектр из стандартного (единичного) белого шума:
S()=|W(j)|2= W(j)ХW(-j)=(j)Х(-j) - процедура факторизации S().
Спектральная плотность вещественного сигнала всегда является чётной функцией, поэтому допускает такую факторизацию.
Белый шум, прошедший через линейную систему, является розовым.
Также имеется простая связь между взаимными спектральной плотностью входного и выходного сигналов и спектральной плотностью входного сигнала:
Su() Suy() W(p) Suy()=W(j) * Su();
(18.11) Рис. 18. Фильтрация помех.
Теперь перейдём собственно к постановке и решению задачи фильтрации, пони маемой нами, как задача борьбы с помехами в САУ. Будем при этом решать задачу как оптимальную, то есть искать условия наибольшего подавления помех. Помехи будем считать случайными процессами с известными корреляционными функциями или (что эквивалентно) с известными спектральными характеристиками.
Х Фильтр Винера (Норберт Винер).
Задача - построить устройство-фильтр в виде передаточной функции, максимально возможно подавляющее аддитивную случайную помеху. При этом полезный сигнал также считается случайным процессом. Возможность эффективной фильтрации за висит от того, как перекрываются спектры полезного сиг нала и помехи, но не только от этого. Важна ещё и сте пень статистической связи между ними, которая описы вается взаимной спектральной плотностью или взаимной корреляционной функцией.
Рис. 18. Предполагаются известными:
спектральная плотность полезного сигнала Sx(), а также их взаимная спек тральная плотность Sxv(), либо, что эквивалентно:
соответствующие корреляционные функции Kx(), Kxv().
V(p) X(p) X+V (p) X Wф(p) e(t)=x(t)- x (18.12) (t);
x Рис. 18. Случайный процесс e(t)=x(t)- (t) называется ошибкой фильтрации. Его "малость" могла бы означать хорошее качество фильтрации, однако, для случайной величины понятие "малость" не имеет обычного смысла. Вместо этого используют малость дисперсии De, как меры мощности сигнала e(t).
Оптимальная передаточная функция фильтра ищется из условия:
Demin. (18.13) Отметим, что важным предположением является стационарность слу чайных сигналов и отсутствие дополнительной информации о сигналах, при наличии которой фильтрацию можно было бы улучшить.
Имеются формулы, позволяющие получить передаточную функцию оптимально го фильтра Винера, наилучшим образом решающую задачу:
K+(p) Sxv() W(p)= ;
гдеSx()=(j)(-j);
K(j)= ;
K(p)=K+(p)+K-(p);
:
(18.14) ф (p) (-j) здесь: К+(p) - устойчивые элементарные дроби в разложении К(p).
Рассмотренный фильтр Винера описывает процедуру стационарной фильтрации при стационарных случайных процессах. При этом не учитываются, например, переход ные процессы при заданном начальном состоянии системы. Фильтр Винера может быть обобщён на более сложные случаи (многомерных сигналов, нестационарных процессов и т.п.), но наиболее полным образом теория и задача линейной фильтра ции реализуется в так называемом фильтре Калмана, то есть в многомерном, не стационарнм линейном оптимальном фильтре в пространстве состояний.
Конечно, фильтр Винера оказывается частным случаем фильтра Кал мана, именно - установившимся режимом фильтра Калмана при ста ционарных помехах, представленным в виде передаточной функции.
Х Фильтр Калмана (Ричард Калман 1961г.).
Постановка задачи: Имеется многомерная нестационарная линейная система, в ко торой имеются помехи W - в канале управления и V - в канале измерения. Кро ме того, состояние объекта непосредственно недоступно измерению, а лишь косвен но с помехой V.
Нестационарный объект с помехами, косвенным измерением и фильтром Калмана.
Рис. 18. Пусть известны, возможно, нестационарные уравнения объекта (82). Здесь матрицы уравнений из-за нестационарности могут зависеть от времени. Имеются помехи w и v и косвенное измерение y(t) состояния x(t) объекта.
Х x ( ) = A t) x t) + B( )u (t + w ;
-уравнение состояния объекта.
(18.15) t ( ( t ) y (t) = C( t)x (t ) + v;
-уравнение косвенного измерения состояния.
Будем строить фильтр, как динамическую систему аналогичного (82) вида относи тельно сигнала оценки состояния z(t):
Х z( t) = F (t )x( t)+ B(t )u( t ) +K (t ) y (t);
-уравнение оценки состояния. (18.16) Матрицы F(t) и K(t) подлежат определению. Матрица В(t) выбрана из условия ком пенсации управляющего воздействия. В самом деле, при такой матрице сигнал ошибки не будет явно зависеть от управления (87), то есть разделяются задачи управления и фильтрации (фильтрация не зависит от управления).
Требуем при этом минимальной дисперсии ошибки фильтрации в каждый момент времени: e(t)=x(t)-z(t);
De(t)min. (18.17) Предположим, что V и W (помехи) являются Убелыми шумамиФ с нулевым математи ческим ожиданием, с заданными интенсивностями - дисперсиями и независимы ме жду собой. Использовав оптимизационный подход, определим оптимальные мат рицы F(t) и K(t). Вычисления показывают, что F(t)=A(t)- Kопт(t)ХС, а Kопт(t)=P(t)CTR-1(t). (18.19) Здесь P(t) -ковариационная матрица ошибки е(t), являющаяся обобщением ме няющейся со временем дисперсии нестационарного случайного процесса на вектор ный случай. R-1(t) -матрица, обратная матрице интенсивности случайного процесса V(t), являющейся обобщением интенсивности на случай векторного белого шума. Матрица P(t) при этом удовлетворяет следующему матричному дифферен циальнома уравнению Риккати:
Х P(t) = A(t)P(t) + P(t)AT(t) -P(t)CTR-1CP(t) +Q;
(18.20) Q - интенсивность шума w.
Вообще говоря, это уравнение необходимо решать на компьютере и хранить в памя ти, чтобы можно было вычислять оптимальный коэффициент усиления Kопт(t) фильтра по формуле (85).
Х Х Х e(t) = x(t) - z(t) = (A(t) - Kопт(t)ХC)e(t) + w - Kопт(t)v;
(18.21) Таким образом, оптимальный фильтр Калмана, даже при постоянных параметрах объекта, является системой с переменными коэффициентами. Поэтому, его затрудни тельно реализовать. Однако, P(t) обычно быстро стре мится к установившемуся значению и квазиоптималь ный фильтр получается из оптимального, если мы выби раем Kопт=Kуст из условия: dPуст/dt =0, что приводит к алгебраическому матричному Рис. 18.11 уравнению для Pуст. Фильтр Винера как раз соответствует стационарному установившемуся режиму работы фильтра Калмана.
Одновременно с задачей фильтрации автоматически решается за дача восстановления состояния объекта по косвенным измерени ям.
Приведём, наконец, важнейшую теорему, которая устанавливает тот факт, что алго ритмы управления и фильтрации могут быть реализовани по-отдельности и их одно временное функционирование в замкнутой системе не мешает друг другу.
Х Теорема разделения в задаче фильтрации.
Оптимальный фильтр можно рассчитывать отдельно от регулятора в том смысле, что характеристическое уравнение замкнутой системы оказывается равным произведению:
Pзс(p)=P(p)подсистемы регулирования Х P(p)подсистемы фильтрации ;
(18.22) БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. А.А. Алексеев, Д.Х.Имаев, Н.Н. Кузьмин, В.Б. Яковлев Теория управления. СПбГ:, Издательство "ЛЭТИ" 1999, 434с.
2. Р.Дорф, Р.Бишоп. Современные системы управления. М:,Юнимедиастайл 2002, 822с.
ОГЛАВЛЕНИЕ ЛЕКЦИЯ 1. Введение................................................ ЛЕКЦИЯ 2. Математические модели САУ. Уравнение объекта.............. ЛЕКЦИЯ 3. Положения, лежащие в основе линеаризации.................. ЛЕКЦИЯ 4. Метод преобразования Лапласа............................ ЛЕКЦИЯ 5. Типовые входные воздействия.............................. ЛЕКЦИЯ 6. Передаточная матрица для системы дифференциальных урав- нений.............................................................. ЛЕКЦИЯ 7. Характеристики типовых звеньев ТАУ........................ ЛЕКЦИЯ 8. Характеристики типовых звеньев ТАУ (продолжение)........... ЛЕКЦИЯ 9. Колебательное звено..................................... ЛЕКЦИЯ 10. Правила преобразования структурных схем.................. ЛЕКЦИЯ 11. Многомерные САУ со многими входами и выходами............ ЛЕКЦИЯ 12. Устойчивость систем автоматического управления............. ЛЕКЦИЯ 13. Частотные методы исследования устойчивости................ ЛЕКЦИЯ 14. Понятие запаса устойчивости по амплитуде и фазе............ ЛЕКЦИЯ 15. Точность САУ........................................... ЛЕКЦИЯ 16. Точность по возмущающему воздействию.................... ЛЕКЦИЯ 17. Синтез САУ............................................. ЛЕКЦИЯ 18. Случайные процессы в САУ. Линейная оптимальная фильтра- ция............................................... БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.....................................
Pages: | 1 | 2 |
Книги, научные публикации