Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |   ...   | 43 |

Таким образом, система уравнений, описывающая напряженное состояние слоя на момент достижения пластического деформирования примет вид:

L + - P1 + P1 - 21 () 1 d + 21 (х ) = 0.25С x + a1 x + a2 (x - ) L -P + ln x + a1 + P2 ln x + a2 + 2 21 () ln |x - | d ;

+0.5С L + a1 L + a2 L - x + a1 - x + a+ A11 - B22 = -P1 ln - P1 ln + L + a1 L + aL |x - | +2 11 () ln d ; (39) L - L + - P2 - P2 - 22 () 1 d ;

A22 - B11 = 0. x + a1 x + a2 (x - ) - + - + 12 (x) = 0.5 12(x) + 12(x) ; 11 (x) = 0.5 11(x) + 11(x) ;

22 (x) 21 (x) - + - + = 21(x) - 21(x); = 11(x) - 11(x);

x x 136 В. В. Глаголев, Л. В. Глаголев, М. В. Девятова, А. А. Маркин (11 - 22)2 + (22 - 33)2 + (11 - 33)2 + 62 = 2T ;

+ + - 33 = (11 + 22) ; P1 2 + P2 2 = 2 P1 2 + P2 2 ;

+ + - P1 = tg (1) P2 ; P1 = tg (2) P2.

При i = /2 соответствующее (11 или 12) уравнение системы (39) + заменяется на уравнение P2 = 0 или P2 = 0. Система (39) содержит 12 уравнений, в качестве неизвестных которых используются 4 средних + напряжения слоя: 11, 22, 33, 12; 4 граничных напряжений слоя 11, - + - + - + 11, 21, 21 и 4 проекции внешних сосредоточенных сил P1, P1, P2, P2, обеспечивающих соответствующее напряженное состояние. Решение системы (39) ищется при удовлетворении граничных условий (34), (35). При дальнейшем изложении считаем = 1.

Отметим, что система (39) содержит 2 нелинейных уравнения: (3) и (38), что предполагает итерационную процедуру ее решения. При дискретном [2, 3] решении системы (39) использовался метод НьютонаЦРафсона, где в качестве начального приближения выбиралось дискретное решение системы (37) при единичном значении модуля внешней нагрузки:

+ P = P = 1. Отметим, что вычислительная сходимость решения с относительной погрешностью 0.01% наблюдается при четырех итерациях.

Используя решение системы (39) можно определять критическую нагрузку, соответствующую переходу концевой области трещины в пластическое состояние, для произвольного распределения внешней нагрузки.

При рассмотрении упругопластической задачи полагаем, что процесс деформирования лучевой. В этом случае поведение материала слоя на стадии пластического деформирования согласно (1) определяется следующими выражениями:

11 = C + Ap11 - Bp22, (40) 22 = C1 + Ap22 - Bp11, (41) k k k 33 = 33 + p 11 - 11 + 22 - 22, (42) 21 = C2 + Dp21, (43) 3K-2Gp 9KGp где Ap = 1 - p /Ep; Bp = p (1 + p) /Ep; p = ; Ep = ;

6K+2Gp 3K+Gp k k k C = (A - Ap) 11 - (B - Bp) k ; C1 = (A - Ap) 22 - (B - Bp) 11; Dp = k (Gy-Gp)21 k k k k = ; C2 = ; 11, 22, 33, 21 напряжения, удовлетворяющие Gp GyGp условию достижения критического состояния (38). При решении задачи используется кусочно-постоянная аппроксимация зависимости G(э). Символ p приписывается соответствующим модулям в пластическом состоянии.

Модель развития тонкой пластической зоны в окрестности трещины Выпишем систему уравнений, описывающую поведение слоя в пластическом состоянии, L + - P1 + P1 - 21 () 1 d + C2 + Dp21 = 0. x + a1 x + a2 (x - ) L -P + ln x + a1 + P2 ln x + a2 + 2 21 () ln |x - | d ;

+0. L + a1 L + a2 L - x + a+ C + Ap11 - Bp22 = -P1 ln L + aL x + a2 |x - | -P1 ln + 2 11 () ln d ; (44) L + a2 L - + PC1 + Ap22 - Bp11 = 0.5 - x + aL P2 22 () - - d ;

x + a2 (x - ) - + - + 12 (x) = 0.5 12(x) + 12(x) ; 11 (x) = 0.5 11(x) + 11(x) ;

22 (x) 21 (x) - + - + = 21(x) - 21(x); = 11(x) - 11(x);

x x 33 = (11 + 22).

Таким образом, математическая модель задачи об упругопластическом поведении тонкого слоя, лежащего на продолжении трещины в виде физического разреза в линейно упругой плоскости, включает в себя системы (37), (39), (44) при выполнении граничных условий (34), (35).

При дискретной реализации предложенной постановки система нелинейных алгебраических уравнений решалась методом НьютонаЦРафсона, где в качестве начального приближения использовалось напряженное состояние предыдущего шага нагружения. Вычислительная сходимость решения с относительной погрешностью 0.01% наблюдается, как и в упругой задаче, при четырех итерациях.

Приведем зависимость длины пластической зоны от прикладываемого + - + усилия для случая нормального отрыва P1 = P1, P2 = P2 = 0, a1 = aв рамках различных представлений и вида плоской задачи. На рис. отображены зависимости безразмерного расклинивающего усилия и соответствующая ему длина тонкой пластической зоны от выбранной 138 В. В. Глаголев, Л. В. Глаголев, М. В. Девятова, А. А. Маркин расчетной модели для первых 5 элементов при следующих расчетных характеристиках: a = 10; E = 2.1 105 МПа; т = 600 МПа; = 0.25. Для модели трещины в виде физического разреза рассмотрено как плоское напряженное, так и плоское деформированное состояние. Непрерывная линия 1 соответствует решению ЛеоноваЦПанасюкаЦДагдейла, штриховые Gp = 0.01Gy, штрихпунктирные Gp = 0.1Gy. Графики 2, 4 построены для случая плоского напряженного состояния, 3, 5 для плоского деформированного состояния. Pl нагрузка, обеспечивающая пластическое течение на l элементах. Pн нагрузка, необходимая для выхода первого элемента в пластическое состояние для случая плоского напряженного состояния. Отметим, что результаты решения полностью идентичны значениям, полученным в работе [4] при рассмотрении нормального отрыва исходя из гипотезы однородности нормальных компонент тензора напряжений в слое.

Рис. 2. Зависимость длины пластической зоны от расклинивающего усилия для случая нормального отрыва На рис. 3 показана зависимость длины пластической зоны от + прикладываемого усилия для случая продольного сдвига: P1 = P1 = 0, + P2 = -P2, a1 = a2 при следующих расчетных характеристиках: a = 10;

E = 2.1 105 МПа; т = 600 МПа; = 0.25.

Графики 1, 2 характеризуют плоское деформированное состояние, графики 3, 4 характеризуют плоское напряженное состояние. Штриховые линии соответствуют Gp = 0.01Gy, а непрерывные Gp = 0.1Gy.

На рис. 4 построены эпюры распределения напряжений в слое взаимодействия на первых 10 элементах при пластическом течении на пяти элементах. Непрерывные линии соответствуют Gp = 0.1Gy, штриховые + Gр = 0.01Gy. Кривые 1, 3 определяют напряжение 21 = 21 = 21, 2 и + 11.

Модель развития тонкой пластической зоны в окрестности трещины Рис. 3. Зависимость длины пластической зоны от прикладываемого усилия для случая продольного сдвига Рис. 4. Распределение напряжений в слое при продольном сдвиге При продольном сдвиге зона пластичности не выходит за пределы слоя для любого вида плоской задачи. Для нормального отрыва локализация пластического течения справедлива только для плоского напряженного состояния, тогда как в плоском деформированном состоянии при выходе второго элемента слоя в пластичность зона необратимого деформирования выходит за границы слоя. Упрочнение материала существенно для продольного сдвига и плоского напряженного состояния при нормальном отрыве.

Список литературы 1. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990. 368 с.

140 В. В. Глаголев, Л. В. Глаголев, М. В. Девятова, А. А. Маркин 2. Глаголев В.В., Маркин А.А. О распространении тонких пластических зон в окрестности трещины нормального отрыва // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50, № 5. С. 206Ц217.

3. Глаголев В.В., Маркин А.А. Модели процесса деформирования и разделения // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. № 2. С. 148Ц157.

4. Глаголев В.В., Маркин А.А. О влиянии упрочнения материала на формирование напряженного состояния тупиковой области трещины нормального отрыва // Вестник ЧувашГПУ. Сер. Механика предельного состояния. 2010. № 2(8). С. 106Ц117.

Глаголев Вадим Вадимович (vadim@tsu.tula.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Глаголев Леонид Вадимович (vadim@tsu.tula.ru), студент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Девятова Мария Владимировна (gavrilkina-mv@rambler.ru), к. ф.-м. н., банк Тульский промышленник.

Маркин Алексей Александрович (markin@tsu.tula.ru), д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Model of development of a thin plastic zone in a crack vicinity at any loadings on its coast V. V. Glagolev, L. V. Glagolev, M. V. Devyatova A. A. Markin Abstract. The model of a finding of the is intense-deformed state of a neighbourhood of a flaw is viewed at any allocation of an exterior loading on its coast.

The flaw in this case is modelled by a physical slit and the material stratum on its continuation. The distance between slit coast is extremely small, providing lack of interaction between them. Allocation a stress tensor builder on a thickness of a stratum is accepted by the linear. In the course of a body loading existence of plastic field within the limits of the given stratum is supposed possible. For the description of behaviour of a material at transition in plastic field the variant of the deformation theory, thus volume change is used remains linearly elastic.

Process of an elasto-plastic deforming is necessary beam, the guiding tensor of a deviator of voltages in each point of a stratum is fixed by its value, reached at the moment of transition from an elastic stage in the elasto-plastic. The given assumption has allowed to reduce a problem to statically determinate. From the interaction analysis between a stratum and exterior semiplanes the closed system Модель развития тонкой пластической зоны в окрестности трещины of the integrated and differential equations concerning boundary and medial a builder in a stratum is gained. Numerical solutions of the given system for cases of the symmetrical and antisymmetric loading of coast are constructed by concentrated forces. Comparisons of effects with the alternative models are spent.

Keywords: the characteristic size, linear elasticity, elastic-plastic deformation, beam process.

Glagolev Vadim (vadim@tsu.tula.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Glagolev Leonid (vadim@tsu.tula.ru), student, department of applied mathematics and informatics, Tula State University.

Devyatova Maria (gavrilkina-mv@rambler.ru), candidate of of physical and mathematical sciences, Bank Tulsky promyshlennik.

Markin Alexey (markin@tsu.tula.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 31.05.Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 142ЦМеханика УДК 539.Задача о комбинированном сдвиге нелинейно-упругого полого цилиндра В. В. Козлов Аннотация. Рассматривается задача комбинированного сдвига несжимаемого, нелинейно-упругого полого цилиндра.

Получены аналитические представления для компонент левой меры искажения и тензора поворота, выраженные через два обобщенных перемещения. Из условий равновесия и определяющего соотношения следует система трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных перемещений и гидростатической составляющей тензора напряжений. Получено решение данной системы.

Ключевые слова: полый цилиндр, комбинированный сдвиг, нелинейная упругость.

Введение Комбинированный сдвиг полого цилиндра используется для моделирования процессов, происходящих в различных нелинейных средах, в частности в эластомерах [1]. Экспериментальные исследования на основе модели комбинированного сдвига позволят определять значения материальных параметров. Также в результате таких исследований можно будет делать выводы об адекватности представления свойств материала различными уравнениями состояния.

В работе рассматривается однородный, изотропный, нелинейно-упругий, несжимаемый материал, уравнение состояния которого описывается в [1]. При комбинированном сдвиге внутренняя цилиндрическая поверхность жестко закреплена, а внешняя может двигаться вдоль оси цилиндра под действием приложенной к этой обойме силы F и момента M. При этом полагается, что толщина цилиндра не меняется.

Сдвиговые деформации возникают в результате движения внутренних цилиндрических поверхностей относительно оси цилиндра. Несжимаемость материала предполагает отсутствие радиального смещения внутренних цилиндрических поверхностей.

Отметим, что на момент написания данной работы нам не удалось найти описаний решения поставленной задачи комбинированного сдвига. Однако Задача о комбинированном сдвиге нелинейно-упругого полого цилиндра в работах В.Л.Бидермана, Э.Э.Лавендела, А.И.Лурье изложены методы решения задачи кругового сдвига нелинейно-упругого полого цилиндра достаточно большой длины. Эта задача по используемым допущениям кинематики и целям решения схожа с рассматриваемой задачей, однако предлагаемая вашему вниманию в данной работе задача является более общей с точки зрения кинематики процесса и преследует одной из целей проверку других определяющих соотношений, нежели представленных в работах Бидермана, Лавендела, Лурье.

1. Кинематика комбинированного сдвига Рассмотрим полый цилиндр бесконечной длины. Внутренняя поверхность цилиндра жестко закреплена. Внешняя поверхность может двигаться вдоль оси цилиндра и поворачиваться вокруг этой оси. Радиальные перемещения материальных точек цилиндрических поверхностей отсутствуют. Внутренний радиус цилиндра обозначим R2, внешний R1.

Пусть (R,, z0) цилиндрические координаты точек цилиндра в начальном состоянии, (r,, z) цилиндрические координаты точек цилиндра в деформированном состоянии. В данном случае связь между указанными координатами имеет вид:

r = R, = + R (R), (2.1) z = z0 + zR (R), где R (R), zR (R) неизвестные функции поворота и осевого перемещения материальных точек соответственно (обобщенные перемещения).

Положения точек цилиндра в начальном состоянии определяются согласно выражению (2.2) x = ReR + z0ez0, где единичные векторы eR, e, ez0 определяют базис исходной неподвижной цилиндрической системы координат.

Для удобства вычислений и оптимизации результатов вводится подвижная цилиндрическая система координат, повернутая относительно исходной неподвижной на угол R (R) с базисом er, e, ez.

Тогда положения точек цилиндра в деформированном состоянии с учетом закона (2.1) будут определяться следующим выражением:

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |   ...   | 43 |    Книги по разным темам